专题02 一元一次方程解决动点与动角问题（高效培优专项训练）数学新教材华东师大版七年级下册

专题02 一元一次方程解决动点与动角问题 题型一：数轴上单个动点的位置与距离问题 题型二：数轴上两个动点的相遇问题 题型三：数轴上两个动点的追及问题 题型四：数轴动点与线段中点结合问题 题型五：双射线旋转的角度关系（含平行、垂直、相遇）问题 题型六：三角板旋转中的角度关系问题 题型七：数轴上多个动点的综合问题(含分类讨论) 题型八：动点与动角的交叉综合问题 题型一：数轴上单个动点的位置与距离问题 方法技巧：设运动时间为(单位：秒)，用含的式子表示动点坐标，结合数轴两点距离公式列一元一次方程。 【典例1】. （24-25七年级上·湖北恩施·月考）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移2个单位长度，得到点C．若点C到A、B两个点的距离相等，则a的值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查数轴上两点间距离，先用含a的式子表示出点C表示的数，再根据点C到A、B两个点的距离相等，列方程，解方程即可． 【详解】解：将点A向右平移2个单位长度，得到点C， 点C表示的数为， 点C到A、B两个点的距离相等， ， 解得， 故选C． 【变式1】. （24-25七年级上·全国·期末）如图，数轴上的线段，，点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是7，若线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动． (1)问运动多少秒时，点B与D重合？ (2)问运动多少秒时，的长度为8？ 【答案】(1)秒 (2)秒或秒 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用； （1）设运动t秒时，根据点和点重合列方程解答即可； （2）设运动秒时，点B、C所表示的数分别为，根据列方程解答即可． 【详解】（1）解：设运动t秒时，点B与D重合． 则． 解得． 答：当运动秒时，点B与D重合． （2）解：∵，点A表示的数是， ∴点B表示的数是． 设运动秒时，的长为8，这时点B、C所表示的数分别为． 则． ∵， ． ， 或． 解得或． 答：运动秒或秒时，的长为8． 【变式2】. （25-26七年级上·江苏泰州·月考）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴” 素材1 如图，将一条数轴在原点 O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”． 图中点A表示， 点B表示12， 点C表示24， 点 D表示36，我们称点 A与点 D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为 ． 素材2 动点 P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点 B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点 B与点 C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点 C后立刻恢复初始速度． 问题解决 探索 1 动点 P从点 A运动至点 B需要多少时间？ 探索 2 动点P从点A出发，运动 t秒至点B和点C之间时，求点 P表示的数 （用含 t的代数式表示）； 【答案】探索1：秒；探索2：． 【分析】本题主要考查数轴上动点计算问题、数轴上两点间距离问题等知识点，理解题意并掌握相关的知识是解题的关键． 探索1：先求得和的长度，再说明点P在和上的速度为2个单位长度/秒和1个单位长度/秒，再根据时间、路程、速度的关系列式计算即可； 探索2：由探索1可得P在段运动时间为： 秒，进而得到，结合点B表示12即可解答． 【详解】解：探索1：∵点A表示， 点B表示12， ∴，， ∵P在段初始速度为2个单位长度/秒，P在段初始速度的一半， ∴P在段速度为1个单位长度/秒， ∴P从点A运动至点B的时间为：（秒）； 探索2：∵P的初始速度为2个单位长度/秒，P在段初始速度的两倍， ∴P在段速度为4个单位长度/秒， ∵点B表示12，点C表示24， ∴ 由探索1可得：P在段运动时间为： 秒， ∴， ∴P表示的数为：． 【变式3】. （25-26七年级上·江西宜春·月考）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题． 若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是4，则n的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有_____个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为2，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点A的距离等于点P到点B的距离的2倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 【答案】(1) (2) (3)点P表示的数为或，n的值为或； (4)点P表示的数为或，n的值为或 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数是，，，，，； （3）由题意可求出点表示的数为或，进而即可求出的值； （4）分两种情况讨论：当在之间时，点表示的数为，此时；当在点右边时，点P表示的数为，此时． 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴点到点的距离与点到点的距离之和为， ∴点为点、的“格距点”， ∴， 故答案为：； （2）解：∵整点为点、的“格距点”， ∴，即在线段上， ∴整点所表示的数是，，，，，，共个， 故答案为：； （3）解：∵点到点的距离为， ∴点表示的数为或， ①当点表示的数为时，点到点的距离与点到点的距离之和为， 此时； ②当点表示的数为时，点到点的距离与点到点的距离之和为， 此时； 综上，点P表示的数为或，n的值为或； （4）解：设点P表示的是为， ∵点P到点A的距离等于点P到点B的距离的2倍， ∴， ①当在之间时，， ∴，解得， ∴点表示的数为， 此时； ②当在点右边时， ∴，解得， ∴点表示的数为， 此时， 综上，点P表示的数为或，n的值为或． 题型二：数轴上两个动点的相遇问题 方法技巧：根据运动方向(同向/相向)表示两动点坐标，相遇时坐标相等，即，列方程求解。 【典例2】. （25-26七年级上·河南郑州·期中）甲、乙两车早上7时20分分别从A，B两城市出发，沿两城间的同一公路相向而行，8时40分两车相遇，相遇时，甲车走的路程是乙车走的路程的． (1)求甲、乙两车相遇前平均每小时各行全程的几分之几？ (2)相遇后，两车继续按原速度前进．乙车在途中某地遇雾（一直到A地有雾），遇雾后速度降为原速度的；甲车从A城起至走完全程的时遇雨（雨一直下至到达B地），速度降为原速度的，结果乙车到达A城与甲车到达B城的时间相同，试问乙车什么时候遇雾？ 【答案】(1)甲车每小时行全程的，乙车每小时行全程的 (2)乙车在早上8时44遇雾 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． （1）设两车相遇前甲车平均每小时行驶全程的x，则乙车平均每小时行驶全程的，根据两车相遇用时小时，即可得出关于x的一元一次方程，解方程求出x的值，由此即可得出结论； （2）设乙车遇雾时，行驶了全程的s，根据两车的速度以及两车同时到达，即可得出关于s的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：设两车相遇前甲车平均每小时行驶全程的x，则乙车平均每小时行驶全程的， 8时40分7时20分小时， 由已知得：， 解得：， ∴， 答：两车相遇前甲车平均每小时行驶全程的，乙车平均每小时行驶全程的． （2）解：设乙车遇雾时，行驶了全程的s， 由已知得：， 解得：， 乙车遇雾时所走的时间为（小时）， 此时时间为时，即为8时44分； 答：乙车在早上8时44分遇雾． 【变式1】. （24-25七年级上·湖南永州·月考）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则． (1)问题提出：如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______． (2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（） ①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______； ②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并求出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 【答案】(1)15 (2)①；②当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7 (3)所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示运动后的点所表示的数． （1）由A表示的数为，点B表示的数为13，即得； （2）①t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为； ②根据题意得：，即可解得，相遇点所表示的数为； （3）由已知返回途中，P表示的数是，Q表示的数是，即得： ，可解得，第二次相遇点所表示的数为：． 【详解】（1）解：∵A表示的数为，点B表示的数为13， ∴； （2）①t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为； ②根据题意得：， 解得， 相遇点所表示的数为；                               答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7． （3）由已知得：P运动5秒到B，Q运动秒到A， 返回途中，P表示的数是，Q表示的数是， 根据题意得：， 解得， 第二次相遇点所表示的数为：， 答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1． 【变式2】. （24-25七年级上·山西朔州·期末）综合与实践 如图，数轴上有，，三点，分别表示数，，10．甲，乙两只电子蚂蚁分别从，两点同时出发相向而行，甲的速度为2个单位长度/秒，乙的速度为3个单位长度/秒． (1)求甲，乙运动多少秒相遇，并直接写出相遇点在数轴上对应的数是多少． (2)当甲运动到位于，两点之间，且甲到，，三点的距离之和为32个单位长度时，甲立即调头沿原路返回，速度不变且掉头的时间忽略不计．问：甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由． (3)若电子蚂蚁从点处出发，沿数轴向右运动，在运动过程中，蚂蚁到点和点的距离的中点分别记为点和点，请说明点和点的距离是否会发生变化． 【答案】(1)甲、乙两只电子蚂蚁运动6秒，在数轴上的相遇 (2)甲调头5秒后甲、乙在数轴上再次相遇，相遇点为：； (3)点和点的距离不会发生变化，值为11． 【分析】本题考查数轴的综合应用，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式、一元一次方程的应用是解题关键． （1）可设x秒后甲与乙相遇，根据甲与乙的路程和为30，可列出方程求解即可； （2）设t秒后甲到A，B，C三点的距离之和为32个单位，求出调头时间，秒后甲、乙两只电子蚂蚁相遇，列方程即可求解； （3）分点D在点B、C之间和点D在点C右侧两种情况，结合中点意义讨论求解即可． 【详解】（1）解：设x秒后甲，乙两只电子蚂蚁相遇，根据题意得： ， 解得， ， ． ∴甲、乙两只电子蚂蚁运动6秒，在数轴上的相遇； （2）解：t秒时，甲在之间时：， 解得； 所以5秒后甲到A、B、C三点的距离之和为32个单位； 此时甲开始调头，秒后甲、乙两只电子蚂蚁相遇，根据题意得， 解得，， 即甲又回到点A， 所以甲调头5秒后甲、乙在数轴上再次相遇，相遇点为：； （3）解：①当点D在点B、C之间时，如图， ∵到点和点的距离的中点分别记为点和点， ∴， ∴ 又 ∴； ②点D在点C右侧时，如图， ∵到点和点的距离的中点分别记为点和点， ∴， ∴ ∵， ∴， 综上，点和点的距离不会发生变化，值为11． 【变式3】. （25-26七年级上·吉林长春·月考）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b．A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则． 问题提出： (1)填空：如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为4，两点之间的距离______，线段的中点表示的数为______． (2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒， ①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为______；点Q表示的数为______； ②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段上做往复运动，当P、Q两点第二次相遇时，请直接写出所需要的时间． 【答案】(1)12， (2)①；② (3)6秒 【分析】本题为数轴上动点问题，考查了绝对值的几何意义，列代数式，一元一次方程的应用，中点定义等知识，理解题意，用含t的式子表示运动后点表示的数是解题关键． （1）根据绝对值的意义即可求出，根据中点定义即可求出线段的中点表示的数为； （2）①根据题意即可得到点P表示的数为，点Q表示的数为； ②根据P、Q两点相遇时得到方程，即可求出解得，P、Q两点相遇，此时相遇点表示的数为1． （3）根据第一次相遇与第二次相遇两个点的路程之和都是12，速度不变，即可得到从第一次相遇到第二次相遇时间不变，还是3秒，即可求出总用时为6秒． 【详解】（1）解：，线段的中点表示的数为． 故答案为：； （2）解：①点P表示的数为，点Q表示的数为． 故答案为：12，； ②当P、Q两点相遇时， 解得， ． 答：求当时，P、Q两点相遇，此时相遇点表示的数为1； （3）解：由（2）得，P、Q两点从开始运动到第一次相遇共用时3秒，当按照原来的速度继续运动，当各自到达线段的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段上做往复运动，第二次相遇时路程之和为12个单位， 所以P、Q两点从第一次相遇到第二次相遇用时仍然为3秒． 所以总用时为秒． 题型三：数轴上两个动点的追及问题 方法技巧：同向运动时，根据“路程差初始距离”，即，列方程求解。 【典例3】. （24-25七年级上·重庆大足·期末）如图，数轴上有两点，，点O是线段上的一点，． (1)若点C是线段上一点，且满足，求的长； (2)若动点分别从同时出发，向右运动，点P的速度为，点Q的速度为．设运动时间为． ①当为何值时，； ②当点Q经过点O时，动点M从点O出发，以的速度也向右运动．当点M追上点P后立即返回，以的速度向点Q运动，遇到点Q后再立即返回，以的速度向点P运动，当点再次追上点时，点停止运动．请直接写出运动时间的值． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的几何应用，熟练运用分类讨论思想以及正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出点A表示的数是8，点B表示的数是，因为C是线段上一点，且满足，故，解出； （2）①先分别表示，结合点A表示的数是8，点B表示的数是，则点表示的数为，点Q表示的数为，因为，所以，解得 ②先算出当点Q经过点O时，动点M从点O出发时，则，此时点表示的数为，因为当点M追上点P后立即返回，以的速度向点Q运动，遇到点Q后再立即返回，以的速度向点P运动，所以分别算出每个过程的时间，再运算加法，即可作答． 【详解】（1）解：∵，点O是线段上的一点，． ∴，， ∴点A表示的数是8，点B表示的数是， ∵点C是线段上一点，且满足， ∴， 即， 解得， （2）解：∵动点分别从同时出发，向右运动，点P的速度为，点Q的速度为．设运动时间为． ∴， 由（1）得点A表示的数是8，点B表示的数是， ∴点表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴， 当， 解得， 或当， 解得（舍去） 综上：时，则． ②由（1）得点A表示的数是8，点B表示的数是， 当点Q经过点O时，动点M从点O出发时，则， 此时点表示的数为， ∵动点M从点O出发，以的速度也向右运动．当点M追上点P时， ∴设这个过程需要时间为， 则， 解得； 此时点表示的数为，点Q表示的数为， ∵点M追上点P后立即返回，以的速度向点Q运动，遇到点Q时， 设这个过程需要时间为， 则， 解得， 此时点Q表示的数为，点表示的数为， ∵遇到点Q后再立即返回，以的速度向点P运动，当点再次追上点时，点停止运动． 设这个过程需要时间为， 则， 解得， 故． 【变式1】. （19-20七年级上·辽宁大连·期末）我们知道：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离．如图1，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为20，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动．设运动时间为t秒． (1)①A，B两点间的距离 ； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ，点Q表示的数为 ； (2)求当t为何值时，点P追上点Q，并写出追上点C所表示的数； (3)求当t为何值时， ； 拓展延伸：如图2，若点P从点A出发，点Q从点M出发，其它条件不变，在线段上是否存在点M，使点P在线段上运动且点Q在线段上运动的任意时刻，总有？若存在，请求出点M所表示的数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①30；②，； (2)时点P追上点Q，此时C点表示的数是80； (3)或；拓展延伸：点M所表示的数是8． 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值、一元一次方程的应用等知识点，根据题目给出的条件、找出合适的等量关系列出方程是解题的关键． （1）①利用题目中给出的距离公式求解即可；②直接根据题意列代数式即可； （2）当点P追上点Q时，多运动30个单位长度，据此列方程求解即可； （3）P、Q两点相距时，可能在相遇前也可能在相遇后，据此分两种情况解答即可；拓展延伸：根据两点间距离公式，找出等量关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：①． 故答案为30． ②点P表示的数为：，点Q表示的数为：． 故填：，． （2）解：依题意得，，解得：． 此时，C点表示的数是． （3）解：当相遇前，P、Q两点相距时，由题意可得： ，解得：； 当相遇后，P、Q两点相距时，由题意可得： ，解得：． 所以，当或时，． 拓展延伸： ∵， ∴，即，解得：． ∴所以点M所表示的数是． 【变式2】. （24-25七年级上·江苏扬州·月考）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离表示为． 【综合运用】已知点、、为数轴上三个点，表示的数分别是，，，满足，且为的倒数． (1)______，______，______； (2)若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发也沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为秒． ①用含的式子表示：秒后，点表示的数为______； ②当时，求的值． (3)在（2）的条件下，、出发的同时，动点从点出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点追上点后立即返回沿数轴负方向运动．求点追上点后再经过几秒，？ 【答案】(1)，13，7 (2)①；②或6； (3)点M追上点Q后再经过2秒或秒，． 【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性，倒数的定义即可解答； （2）①根据题意直接列出代数式即可； ②由，结合两点间的距离公式即可得到关于t的方程，求解即可； （3）点M未追上点Q时，表示出点M表示的数，根据点M追上点Q时，点M，Q表示的数相同，可求出运动的时间和此时点M表示的数，从而可求出点M返回沿负方向运动时所表示的数，根据两点间的距离公式，根据可列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵a为的倒数， ∴， ∵，，且， ∴，， ∴，． 故答案为：，13，7； （2）解：①当运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为． 故答案为：； ②当时，， ∴， 解得或6； （3）解：点M未追上点Q时，点M表示的数为， 当点M追上点Q时，， 解得， 即当它们运动2秒时，点M追上点Q，此时点M表示的数为， ∵点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动， ∴点M表示的数为， 当时，， ∴， 解得或， ∴，， ∴点M追上点Q后再经过秒或2秒，． 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，列代数式，数轴上两点间的距离，一元一次方程解决实际问题，掌握绝对值的几何意义，熟练运用方程思想是解题的关键． 【变式3】. （25-26七年级上·山东聊城·月考）已知，，且分别是点在数轴上对应的数． (1)________，_______； (2)若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发也沿数轴正方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，设运动的时间为秒（）， 用含的式子表示：秒后，点表示的数为________，点表示的数为________； 当时，求的值． (3)在（）的条件下，出发的同时，动点从点出发沿数轴正方向运动，速度为每秒个单位长度，点追上点后立即返回沿数轴负方向运动．求点追上点后再经过几秒，？ 【答案】(1)，； (2) ，； 的值为或； (3)点追上点后再经过秒或秒，． 【分析】本题主要考查非负数的性质、列代数式、一元一次方程的应用，能够根据已知条件得出运动后表示的数，利用两点间的距离公式列出方程是解题关键 （）根据非负数的性质即可求解； （）由（）可知，点表示的数为，点表示的数为，运动的时间为秒，根据题意即可得到点表示的数； 由用含的式子表示，再根据即可求解； （）由运动时间为秒，则点表示的数为，以此可求出相遇的时间为秒，当点向数轴负半轴运动后，点对应的数为，再根据列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：由（）可知，点表示的数为，点表示的数为， ∵动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发也沿数轴正方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度， ∴秒后，点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； ， ∵， ∴， ∴或， ∴的值为或； （3）解：∵动点从点出发沿数轴正方向运动，速度为每秒个单位长度， ∴点表示的数为， 当点追上点时，， 解得：， 此时点对应的数为， 此后，点向数轴负半轴运动，点对应的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得：或，则或， ∴点追上点后再经过秒或秒，． 题型四：数轴动点与线段中点结合问题 方法技巧：表示动点坐标，利用中点公式，结合线段关系列方程。 【典例4】. （24-25七年级上·吉林·期末）【初探】如图①，数轴上点A，B分别表示数，4，线段的中点C表示的数是多少？请你完善下面两名同学的解法． 小聪：由题得：线段； ∵点C是的中点， ∴． ∴点C表示的数是 ； 小明：设点C表示的数是x，根据可列方程 ； 【延伸】如图②，数轴上点A，B分别表示数a，b，用含a，b的式子表示线段的中点C所表示的数． 【应用】如果数轴上点A，B分别表示数，4，点P，Q分别从点A，B两点同时出发，设P，Q运动时间为t． ①当点P，点Q都以每秒2个单位长度的速度分别沿数轴向左，向右运动，2秒后的中点M表示的数为 ，t秒后的中点M表示的数为 ； ②当点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点Q以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，的中点E表示的数为 （用含t的代数式表示）；当t= 秒时，点E与点B重合． 【答案】初探：1；；延伸：C点表示的数：；应用：①1，1；②；． 【分析】本题考查一元一次方程，数轴上的动点问题，数轴上两点的距离，线段的中点，线段的长度，掌握知识点是解题的关键． (初探)根据数轴上两点的距离，即可解答； (延伸)设点C表示的数是x，则，推导出，则，即可解答． (应用)①先求出可得到，则点P表示的数为，推导出，即可解答； ②可得到，则点P表示的数为，推导出，即可解答． 【详解】解：(初探)小聪：由题得：线段； ∵点C是的中点， ∴． ∴点C表示的数是； 小明：设点C表示的数是x，根据可列方程； 故答案为：1；． (延伸)设点C表示的数是x，则， ∵点C是的中点， ∴， ∴， 解得． (应用)①由题意，得 ∴，点P表示的数为， ∵点M是的中点， ∴， ∴点M表示的数是． ∴2秒后的中点M表示的数为1，t秒后的中点M表示的数为1． 故答案为：1，1． ② ∴，点P表示的数为， ∵点E是的中点， ∴， ∴点E表示的数是． 当点E与点B重合时，点E表示的数是4， 即，解得． 故答案为：；． 【变式1】. （25-26七年级上·重庆长寿·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒 【综合运用】 (1)填空： A、B两点间的距离 ，线段的中点C表示的数为 ； (2)求当t为何值时，； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)10，3 (2)1或3 (3)不会变化， 【分析】本题考查数轴上点的性质、列代数式、绝对值方程，熟练运用方程思想是解决本题的关键． 根据数轴上两点之间的距离公式和中点公式计算即可； 先表示出t秒后点P和点Q表示的数，再利用数轴上两点之间的距离公式计算即可； 根据中点公式，表示出点M和点N，再利用数轴上两点之间的距离公式计算即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为，点B表示的数为8， ； 根据题意，C表示的数为 故答案为：10，3； （2）解：根据题意，t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为， ， ， ， 当时，解得， 当时，解得， 的值为1或3； （3）解：∵点M为的中点，点N为的中点， 点M表示的数为，点N表示的数为， ， 点P在运动过程中，线段的长度不会变化， 【变式2】. （25-26七年级上·江苏·假期作业）【知识准备】 若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为． （1）在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为c，点D对应的数为d，且有，则的中点N所对应的数为 ； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，t为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为 ． ②在（2）的条件下，若E是最靠近Q的五等分点，F为的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】（1）1.5；（2）当时，的中点所对应的数为10；（3）①；②当时,定值为 【分析】本题主要考查了数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的等分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． （1）先由非负数的性质求出，，进而可得的中点N所对应的数； （2）首先依题意求出点P所表示的数为，点Q所表示的数为，然后根据的中点所对应的数为10，得，由此解出t即可； （3）①依题意可得出M对应的数；②由（2）可知：点P所表示的数为，点Q所表示的数为，再求出点E所表示的数为，点F所表示的数为，进而求出，，从而得．然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴，， ∵点N是的中点， ∴的中点N所对应的数为：， 故答案为：1.5； （2）由题意可得，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 解得， ∴当时，的中点所对应的数为10； （3）①根据题意：五等分点公式：点M对应的数为：； 故答案为：； ②由题意，得点E表示的数为，点F所表示的数为， ∴， ∴， 当时，，不是定值， 当t时，，是定值， 当时，，不是定值， ∴当时，存在定值，为． 【变式3】. （25-26七年级上·湖南长沙·月考）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律；若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离为：，线段的中点表示的数为．已知，点A、B、O在数轴上对应的数为a、b、0，且满足， (1)直接写出_____；线段的中点表示的数为_____； (2)设点C在数轴上对应的数x，当时，直接写出x的值_____． (3)点M、N分别从A、B出发，同时向左匀速运动，M的速度为每秒1个单位长度，N的速度为每秒3个单位长度，设运动的时间为t秒． ①当t为何值时，M、N、O三点中恰好有一点是另外两点的中点？ ②若点P为线段的中点，Q为线段的中点，M、N在运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，t为何值时，有最小值？最小值是多少？ 【答案】(1)， (2)或 (3)①或或；②的长度是变化的，时，取得最小值，最小值是5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，两点之间距离，中点公式，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）根据绝对值和平方的非负性列方程求解出的值，再利用两点间的距离公式即可解答； （2）分点C在点A在左侧或点B在右侧，两种情况讨论即可； （3）①根据题意得到点M表示的数为，点N表示的数为，则线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为，分点是线段的中点，点是线段的中点，点是线段的中点，三种情况讨论即可；②结合中点公式求得点P和点Q，利用两点之间的距离表示出，根据点M和点N表示出，则有，结合分类讨论求得对应的最小值即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 解得：，， ，线段的中点表示的数为， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴点C在点A在左侧或点B在右侧， 当点C在点A在左侧时，， ∵， ∴，解得； 当点C在点B在右侧时，， ∵， ∴，解得； 综上，x的值为或， 故答案为：或； （3）解：①根据题意得到点M表示的数为，点N表示的数为， 则线段的中点表示的数为， 线段的中点表示的数为， 线段的中点表示的数为， 当点是线段的中点时， 则，解得； 当点是线段的中点时， 则，解得； 当点是线段的中点时， 则，解得； 综上，当t为或或时，M、N、O三点中恰好有一点是另外两点的中点； ②的长度是变化的，时，取得最小值，最小值是5， 由①知线段的中点表示的数为，即点P表示的数为， ∵线段的中点表示的数为，即点Q表示的数为， ∴， ∵， ∴； 当时，， 当时，取得最小值，最小值为； 当时，； 当时，， 当时，取得最小值，最小值为； ∴当时，取得最小值，最小值是5． 题型五：双射线旋转的角度关系（含平行、垂直、相遇）问题 方法技巧：设旋转时间为(单位：秒)，用“旋转速度”表示旋转角度，分相遇前/后、平行/垂直等情况，结合平行线性质或角度和差关系列一元一次方程，注意旋转反向的临界条件。 【典例5】. （24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图①是某校艺术节搭建的舞台．从上面看，舞台上面有三根铁架，且三根铁架在同一平面内．如图②，是两根互相平行的铁架，且铁架与两边的铁架，互相垂直，在两个铁架的处分别设置了一盏可以沿着水平面不断匀速旋转的射灯，灯光打开时，处光线射向点处光线与的夹角为．两灯同时开始旋转，光线绕射灯顺时针旋转．光线绕射灯逆时针旋转．当两灯射出的光线与铁架重合时立即反向旋转．旋转中常常出现交叉照射．若点处射出的光线每秒旋转，点处射出的光线每秒旋转，设旋转时间为秒． (1)当旋转时间为秒时，求的度数； (2)如图③，若两灯射出的光线，第一次与边相交于一点时，此时，请求出旋转时间的值； (3)当旋转时间秒时，直接写出时的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意得出，过点作，进而根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）设射线交于点，分两种情况讨论，当时，顺时针旋转，当时，逆时针旋转，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：∵， ∴． 如图，过点作， ∴． ∵, ∴． ∴． 又∵， ∴． 解得：, （3）解：如图，设射线交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时，顺时针旋转， ∴， ∴， 解得：． 当时，逆时针旋转， ∴， ∴， 解得：． 综上所述，或． 【变式1】. （24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，点A、O、B都在直线上，射线绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转（当其中一条射线与起始位置叠合时，两条射线停止旋转），旋转时间为t（单位：秒） (1)当秒时， °． (2)当t为 时，，第一次相遇． (3)当t为何值时，求出t的值． 【答案】(1)120 (2)12秒 (3)秒，18秒或30秒 【分析】本题考查一元一次方程的应用，角的运算，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． （1）当秒时，求出，可得； （2）根据第一次相遇得：，即可解得答案； （3）分三种情况列方程，可解得答案． 【详解】（1）解：当秒时，， ， 故答案为：120 ； （2）解：根据题意得：，解得：， ∴当为12秒时，第一次相遇； 故答案为：12 秒； （3）解：当相遇前，， 解得：； 当相遇后，且不在下方时，， 解得：； 当旋转到下方时，， 解得：； ∴当为 6 或 18 或 30 时，． 【变式2】. （24-25七年级下·山西忻州·期末）综合与探究：如图，直线，的顶点在直线上，． (1)如图1，当时， °， °．（用含的代数式表示） (2)在（1）的条件下，若是的倍，判断与的位置关系，并说明理由． (3)如图2，当与重合时，交于点，将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，得到射线，同时，将射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动．设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，见解析 (3)存在，的值为或 【分析】本题考查平行线的性质及应用，垂直的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）根据平行线的性质，即可求解． （2）根据是的倍，结合（1），得出方程，解得，进而求得，即可得证； （3）分两射线相遇前平行和相遇后平行两种情况讨论，分别画出图形，根据条件以及平行线的性质列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：；．． （2）． 理由：由题意，得， 解得， 即， ， ． （3）存在．分以下两种情况： ①如图1，，． ， ． ， ，解得； ②如图2，， ， ， ，解得． 综上所述，的值为或． 【变式3】. （24-25七年级下·湖北·期中）某市为了美化某景点，在两条笔直的景观道，上分别放置了两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转；灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒旋转，灯每秒旋转，已知这两条景观道是平行的，即． (1)如果灯先旋转16秒，A灯才开始旋转，当A灯旋转4秒时，两灯发出的光束和到达如图所示的位置，请判断与的位置关系并说明理由． (2)如果灯先旋转12秒，A灯才开始旋转，当灯发出的光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时，请直接写出A灯转动的时间． (3)若两灯同时旋转，A灯发出的光束逆时针旋转至然后回转到时，两灯同时停止旋转，在此期间所在直线与所在直线能否互相垂直？如果能，请求出此时A灯旋转的时间；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)3秒，58秒，93秒，118秒 (3)能垂直，A灯旋转秒或45秒 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，解决此题的关键是分类讨论、由平行的性质列出每种情况的等量关系； （1）求出，，根据得，即可得出结论； （2）先计算出第一次到达需要时间，设A灯旋转时间为t秒，分类讨论列出一元一次方程，再分情况讨论求解即可； （3）设A灯旋转秒时，分类列出一元一次方程讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ∵， ， ， ． （2）设A灯旋转时间为秒，灯光束第一次到达需要（秒）， ，即． 由题意可知，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行， ①，解得； ②，解得； ③，解得； ④，解得； ⑤，解得（不符合题意，舍去）； 综上所述，满足条件的的值为3秒，58秒，93秒，118秒． （3）设A灯旋转秒时，与互相垂直， ①，解得； ②，解得； 即当A灯旋转秒或45秒时，与互相垂直． 题型六：三角板旋转中的角度关系问题 方法技巧：利用三角板固定角(、、、)，表示旋转后角的和差，列方程求解。 【典例6】. （24-25七年级上·广东茂名·期末）【知识技能】 （1）如1图，把一副三角尺拼接在一起，其中与直线重合，，，则的度数为_______； 【数学理解】 （2）如2图，三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺都在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，当平分时，求出时间的值； 【深入探究】 （3）如3图，若三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺同时也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，在旋转过程中，两块三角尺都在直线的上方．当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在；t的值为21或25 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的变化，角平分线的定义，角的计算，利用三角板的特殊角，分清运动的情形是解题的关键． （1）根据平角的定义求解即可； （2）先求出旋转角，再除以转动速度即可； （3）分当在左侧和当在右侧两种情形，结合图形分别求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴； 故答案为：； （2）当边平分时， ∵， ∴， ∴旋转角为：， ∴； （3）存在，理由是： 当在左侧时， 根据旋转可知：， ， ∵， ∴， 解得：； 当在右侧时， ， ， ， ， ； 综上：的值为21或25． 【变式1】. （24-25七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 活动情境： 数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． 问题情境： （1）老师将三角尺和三角尺按如图所示摆放在直线上，边落在直线上，，已知，则______°； 合作探究： （2）奋进小组将图中三角尺绕点C按逆时针方向进行旋转，当边首次落在直线上时则停止旋转．若三角尺以每秒的速度旋转，旋转时间为t秒，请你帮忙解答下列问题： ①当______秒时，边落在边上； ②当平分时，_____秒； ③当______秒时，停止旋转． 深度探究： （3）腾飞小组受奋进小组的启发，继续在上图的基础上进行旋转探究：同时将三角尺和三角尺绕点C旋转，三角尺以每秒的速度逆时针旋转，三角尺以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时，两三角尺都停止旋转． 提出问题：求t为何值时，？ 【答案】（1）75；（2）①5②10.5③12；（3）t为3秒或4.5秒时， 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算、与角平分线有关的角度的计算、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键． （1）由计算即可得到答案； （2）由（1）得，，当边落在边上，刚好旋转的度数为的度数，因此；先求出旋转的角度，再根据时间路程速度，进行计算即可求解；③根据题意列式计算即可； （3）分两种情况：边与边相遇前；边与边相遇后，列方程进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ， 故答案为：； （2）解：由（1）得，， 当边落在边上，刚好旋转的度数为的度数， 三角尺绕点逆时针旋转的速度为以每秒， ， 故答案为：5； 当边平分时，画出图如图所示， 边平分， ， 旋转角度为， ， 故答案为：10.5； ③由题意可得，， 故答案为：； （3）解：由（1）可知，两个三角尺旋转前，，边旋转的角度为，边旋转的角度为， 边与边相遇前，可得：， 解得：； 边与边相遇后，可得：， 解得：， 为3或4.5秒时，． 【变式2】. （24-25七年级下·浙江湖州·期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按图放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为G，F），设旋转时间为．            在旋转过程中，若边，求t的值； 如图③，若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请求出当边时t的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据角平分线的定义并结合平行线的性质计算即可得解； （2）①由平行线的性质结合题意求出，从而可得，解方程即可；②分两种情况，分别列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：如图， ， 因为， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； （2）解：如图中， ， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； ⅰ.如图，当时，延长交于点I， 因为， 所以， 因为，， 所以， 所以， 所以； ⅱ.如图中，当时，延长交于点J， 因为， 所以， 因为，， 所以 所以， 所以， 综上所述，满足条件的t的值为或． 【变式3】. （24-25七年级上·河北唐山·期末）一直角三角板从边与直线重合的位置（如图1）开始围绕点O按顺时针方向旋转，旋转速度为每秒2度，设旋转时间为t秒． (1)当在直线上方时． ①______°（用含t的代数式表示）； ②当时，猜想与的数量关系，并说明理由； ③当t为何值时，的度数是度数的3倍： (2)当三角板围绕点O按顺时针方向旋转一周的过程中，若直线将分成两部分时，直接写出满足条件的所有t的值． 【答案】(1)①；②，理由见解析；③ (2)或或或 【分析】本题考查了角度的和差计算，角平分线的定义及一元一次方程的应用，解题关键是熟练掌握相关知识并灵活运用． （1）①根据旋转的性质求解即可； ②当时，，，求得，可得结论； ③分为当在直线上方时及当在直线下方时．两种情况求解即可； （2）分为当射线 将分成两部分时及当射线 将分成两部分时，按此两种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：①绕点O按顺时针方向旋转，旋转速度为每秒2度， ， 故答案为：； ②，理由如下： 当时，， ， ， ； ③当在直线上方时． ， , , , 解得：， 当在直线下方时． 此时， , , 解得：， 此时当与直线重合，不符合题意． 综上所述，； （2）如图，当射线 将分成两部分时， 若， ， ， ， 解得：， 若， ， 解得：， 如图，当射线 将分成两部分时， 若， ， ， ， 解得：， 若， ， 解得：， 综上所述，的值为或或或 题型七：数轴上多个动点的综合问题(含分类讨论) 方法技巧：分运动阶段(相遇前/后、追及前/后)讨论，逐个表示动点坐标，结合距离、中点等条件列方程，检验解的合理性。 【典例7】. （24-25七年级上·重庆九龙坡·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且A，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)点运动到线段的中点时，它所表示的数是_____． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点在数轴上表示的数为，动点从点出发，沿数轴向右匀速运动，动点，，同时出发． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②动点、运动到点时则立即返回以原速度向点运动，动点运动到点时又立即以原速度向点运动，点不停地以原速度往返于点与点之间．当动点运动到秒时，动点、、三点同时停止运动，则点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度? 【答案】(1) (2)（2）①当点运动秒时，点追上点；②点运动秒或秒或秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，根据题意，正确列一元一次方程是解题的关键． （1）先得到点表示的数，再列式计算即可得到答案； （2）①根据问题中的等量关系，正确列出方程，解方程即可； ②根据点与点间的距离为个单位长度，分四种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且A，两点间的距离为， 点表示的数为：， 点运动到线段的中点时，它所表示的数是， 故答案为：； （2）解：①根据题意得， 解得：， 当点运动秒时，点追上点； ②， （秒）， 当时， 点在点右侧，点与点间的距离为个单位长度， ， 解得：； 点在点左侧，点与点间的距离为个单位长度， ， 解得：； （秒）， 当时， ， 解得：； ， （秒）， 当点，运动秒时，点运动到点， 此时点运动到的点表示的数为， 当时， ， 解得：； 综上，点运动秒或秒或秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度． 【变式1】. （24-25七年级上·河南郑州·期末）已知数轴上有三点，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且满足，点在数轴上对应的数为，且是方程的解． (1)数轴上点表示的数分别为_______、_______、_______； (2)如图1，若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点同时出发，经过多少秒时，之间的距离恰好等于？ (3)如图2，若动点同时从出发，向右匀速运动，同时动点从点出发，向左匀速运动．已知点的速度是个单位长度/秒，点的速度是点速度的倍，点的速度是点速度的倍少个单位长度．经过秒时，三点中恰好有一点为其余两点的中点．请直接写出的值． 【答案】(1)；； (2)秒或秒 (3) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，解题的关键是用含字母的式子表示相关点所表示的数． （1）由，得，，解，得，即表示的数为； （2）设运动时间为秒，根据点，之间的距离恰好等于，得，即可解得答案； （3）运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 ，分三种情况列方程并检验可得答案． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，即表示的数为， 故答案为：；；； （2）设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为， 点，之间的距离恰好等于， ， 即或， 解得或， 经过秒或秒时，点，之间的距离恰好等于； （3）根据题意，点的运动速度为每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度， 运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 ， 若为的中点，则， 解得 若为的中点，则， 解得(舍去) 若为的中点，则， 解得(此时点的速度为，不符合题意，舍去)； 综上所述，的值为 【变式2】. （24-25七年级上·山西晋中·期末）综合与实践 已知数轴上有A、B、C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足，点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解 (1)数轴上点A、B、C表示的数分别为________、________、________； (2)如图1，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，当t为何值时，P、Q之间的距离恰好等于8个单位长度？ (3)如图2，若动点P、Q两点同时从A、B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动，已知点P的速度是点R的速度的6倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒时，P、Q、R三点恰好有其中一点为其余两点的中点．请直接写出动点R的运动速度． 【答案】(1)，30，10 (2)22秒或18秒 (3)动点R的运动速度为个单位/秒或10个单位/秒或个单位/秒 【分析】（1）由，得，解得，即可得到答案； （2）由题意易得P表示的数为，Q表示的数为，可得，即可解得答案； （3）设动点R的运动速度为v个单位/秒，则P的速度是个单位/秒，Q的速度是个单位/秒，运动5秒后，P表示的数为；Q表示的数为，R表示的数为，分三种情况列方程可解得答案． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴A表示的数是，B表示的数是30； 解方程得， ∴C表示的数为10； 故答案为：，30，10； （2）解：由题意得：P表示的数为，Q表示的数为， ∵P、Q之间的距离恰好等于8个单位长度， ∴， 即或， 解得或； ∴经过22秒或18秒时，P、Q之间的距离恰好等于8个单位长度； （3）解：设动点R的运动速度为v个单位/秒，则P的速度是个单位/秒，Q的速度是个单位/秒，则有： 运动5秒后，P表示的数为；Q表示的数为，R表示的数为， 若P为中点，则， 解得； 若Q为的中点，则， 解得； 若R为中点，则， 解得； ∴动点R的运动速度为个单位/秒或10个单位/秒或个单位/秒． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用及数轴上的动点问题，解题的关键是读懂题意，列出方程及分类讨论思想的应用． 【变式3】. （25-26七年级上·辽宁鞍山·月考）已知数轴上从左向右依次有A，B，C三点，且A，B两点表示的数x满足，点C与B点的距离是2． (1)请写出A，B，C三点所表示的数，A：______；B：______；C：______； (2)动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度向右动，设点P移动的时间为t． ①当点P运动到点B时，点Q从点C出发以每秒1个单位的速度向右运动，求点P出发几秒钟与点Q相遇？ ②定义：已知点M，N，E为数轴上任意三点，若点M到点N的距离（用表示）是它到点E的距离（用表示）的3倍，即，则称点M是的3倍点，若点M到点E的距离是它到点N的距离的3倍，即，则称点M是的3倍点．求运动多久时．点P是A和C的3倍点． 【答案】(1)、3、5 (2)①点P出发5秒钟与点Q相遇；②运动1秒或3秒或6秒时，点P是A和C的3倍点 【分析】本题主要考查了绝对值、数轴上的点、数轴上两点间的距离、动点问题等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由题意可得：点A、B、C分别表示、3、5； （2）①由题意可知：点P表示的数为，点P到达点B所用时间为秒，点Q表示的数为，再列方程求解即可；②当点P是的3倍点时，即；当点P是的3倍点时，即，据此分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上从左向右依次有A，B，C三点，且A，B两点表示的数x满足，点C与B点的距离是2， ∴点A、B、C分别表示、3、5； （2）解：①由题意可知：点P表示的数为，点P到达点B所用时间为秒， ∴点Q表示的数为， 则， 解得：， ∴点P出发5秒钟与点Q相遇； ②当点P是的3倍点时，即， ， 解得：或； 当点P是的3倍点时，即， ， 解得：（不合题意舍去）或； 综上所述， 或或， 答：运动1秒或3秒或6秒时，点P是A和C的3倍点． 题型八：动点与动角的交叉综合问题 方法技巧：分别表示动点对应线段长度和动角角度，根据题干数量关系列方程，分类讨论临界情况。 【典例8】. （24-25七年级上·广东惠州·期末）综合运用： “数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图1，数轴上的点A表示的数为a，B表示的数为b，且．点C是线段AB的中点． 【问题解决】 （1）若动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点M，N同时出发，当点N到达点A时，两动点的运动同时停止．设运动时间为t秒，则： ①点M、N表示的数分别是______、______（用含t的代数式表示）； ②若在运动过程中，存在，请求出t的值． 【方法迁移】 （2）我们发现角的很多运算方法和线段一样，如图2，，平分．射线从出发，以每秒的速度绕点O顺时针旋转，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转．射线，同时出发，当到达时，运动同时停止．设旋转时间为t秒，若在运动过程中，存在某些时刻，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍，请求出所有符合题意的t的值． 【答案】（1）①，；②当或时，；（2）当t的值为16或或32时，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍． 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性、数轴上的动点问题、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）①先根据绝对值的非负性确定a、b的值，进而确定点A、B表示代数，结合数轴用t表示出M、N表示的数即可； ②先根据题意表示出，，再说明，然后根据列绝对值方程求解即可； （2）先根据角平分线的定义求得，再表示出，，再说明，然后再分或两种情况解绝对值方程即可． 【详解】（1）①解：∵， ∴， ∴点A表示的数为，B表示的数为8， ∵点C是线段的中点， ∴点C表示的数是． 设运动时间为t秒， 则：点M表示的数为：；点N表示的数为：； 故答案为：；； ②∵点M表示的数为：；点N表示的数为：； ∴，， ∵， ∴，即， ∵当点N到达点A时，两动点的运动同时停止． ∴； 当时，有， 解得：； 当时，有， 解得：． 综上，当或时，； （2）解：∵，平分． ∴， 由题意可得：， ∴，， ∵当到达时，运动同时停止． ∴； ①当时，， 当时，有， 解得：； 当时，有， 解得：； ②当时，， 当时，有， 解得：，不符合题意； 当时，有， 解得：． 综上，当t的值为16或或32时，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍． 【变式1】. （24-25七年级上·甘肃白银·期末）【模型建立】 （1）如图1，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D，E分别是和的中点，若，求的长； 【模型应用】 （2）若把（1）中的“点C为线段上的一个动点”改为“点C在直线上”，其他条件不变，求的长（请画出图形，并说明理由）； 【模型迁移】 （3）如图2，已知，过的内部任一点C画射线，，分别平分和，求的度数，并猜想与的大小关系（不需要说明理由）． 【答案】（1）；（2）的长是8；（3） 【分析】（1）由、可得，再根据点D，E分别是和的中点可得、，然后根据求解即可； （2）分点C在点A的右边和左边两种情况，分别根据线段的中点与和差关系求出的长即可； （3）由、分别平分和可得、，进而得到，然后代入数据即可解答，同时得到与的关系． 【详解】（1）解：，， ． 点D，E分别是和的中点， ，， ． （2）解：分两种情况： ①如图，当点C在点A的右边时，由（1）得． ②如图，当点C在点A的左边时，． ，点D是的中点， ． 点E是的中点， ， ． 综上所述，的长是8． （3）解：猜想：．理由如下： ，分别平分和， ，， ． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义、线段的中点、线段的和差运算、角的和差运算、角平分线等知识点，审清题意、弄清角和角、线段与线段之间的关系成为解题的关键． 【变式2】. （25-26七年级上·河南南阳·月考）综合与实践 【特例感知】 （1）如图1，线段，为线段上的一个动点，分别是和的中点． ①若，则线段 ． ②若，则线段 ． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图2，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 【拓展探究】 （3）如图3，在内部，，，且，，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 【答案】（1）①9；②9；（2）；（3） 【分析】本题主要考查线段中点的计算，角平分线的定义相关的计算，理解图示，掌握中点的定义，数形结合分析思想是解题的关键． （1）①根据线段中点的定义得到，由得到，即可求解；②方法同①； （2）根据角平分线的定义得到，由，得到，由此即可求解； （3）根据角平分线的定义得到，则 ，由即可求解． 【详解】解：（1）①， ， ∵分别是和的中点， ， ， ， 故答案为：9； ②同理，， 故答案为：9； （2）∵，是内部的一条射线，射线平分，射线平分， ， ， ， ∴的度数为； （3） ，， ， ∵在内部，，， ， ． 【变式3】. （25-26七年级上·广东揭阳·月考）类比思想和分类讨论思想是初中数学学习中常用的数学思想，小明在学习了第四章《基本平面图形》的相关知识后，认为解决线段和角的问题是对这两种思想的一种体现。如图①，已知线段，点C为直线上的一个动点，点D、E分别是和的中点． 【分类讨论】（1）若，可画图分析并写出： ①当点C在线段上时，______； ②当点C在的延长线上时，______． 【类比分析】（2）若，请说明不论m取何值（m小于20）的长不变，即______； 【知识迁移】（3）如图②，已知，过平面内任一点C画射线，满足（n小于70），若、分别平分和，请求出的度数，并写出你发现的结论． 【答案】（1）10,10（2）不变，（3），不论（小于）取何值，不变 【分析】本题主要考查了线段的中点，线段的和差，角平分线的定义，角的和差， 对于（1），①根据可得答案；②根据可解； 对于（2），结合（1）分两种情况讨论，并求出值即可； 对于（3），分射线在内部和外部两种情况讨论，再结合角的和差得出答案． 【详解】解：（1）①如图所示，当点C在线段上时， ∵， ∴， ∴； ②如图所示，当点C在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴； 故答案为：10，10； （2）①如图所示，当点C在线段上时， ∵， ∴， ∴； ②如图所示，当点C在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴． ∴不论m取何值，的长不变； （3）当射线在内部时， ∵， ∴． ∵分别平分， ∴， ∴； 当射线在外部时， ∵， ∴． ∵分别平分， ∴， ∴． 可知不论取何值，不变． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元一次方程解决动点与动角问题 题型一：数轴上单个动点的位置与距离问题 题型二：数轴上两个动点的相遇问题 题型三：数轴上两个动点的追及问题 题型四：数轴动点与线段中点结合问题 题型五：双射线旋转的角度关系（含平行、垂直、相遇）问题 题型六：三角板旋转中的角度关系问题 题型七：数轴上多个动点的综合问题(含分类讨论) 题型八：动点与动角的交叉综合问题 题型一：数轴上单个动点的位置与距离问题 方法技巧：设运动时间为(单位：秒)，用含的式子表示动点坐标，结合数轴两点距离公式列一元一次方程。 【典例1】. （24-25七年级上·湖北恩施·月考）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移2个单位长度，得到点C．若点C到A、B两个点的距离相等，则a的值为（    ） A．0 B． C． D．1 【变式1】. （24-25七年级上·全国·期末）如图，数轴上的线段，，点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是7，若线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动． (1)问运动多少秒时，点B与D重合？ (2)问运动多少秒时，的长度为8？ 【变式2】. （25-26七年级上·江苏泰州·月考）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴” 素材1 如图，将一条数轴在原点 O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”． 图中点A表示， 点B表示12， 点C表示24， 点 D表示36，我们称点 A与点 D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为 ． 素材2 动点 P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点 B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点 B与点 C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点 C后立刻恢复初始速度． 问题解决 探索 1 动点 P从点 A运动至点 B需要多少时间？ 探索 2 动点P从点A出发，运动 t秒至点B和点C之间时，求点 P表示的数 （用含 t的代数式表示）； 【变式3】. （25-26七年级上·江西宜春·月考）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题． 若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是4，则n的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有_____个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为2，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点A的距离等于点P到点B的距离的2倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 综上，点P表示的数为或，n的值为或． 题型二：数轴上两个动点的相遇问题 方法技巧：根据运动方向(同向/相向)表示两动点坐标，相遇时坐标相等，即，列方程求解。 【典例2】. （25-26七年级上·河南郑州·期中）甲、乙两车早上7时20分分别从A，B两城市出发，沿两城间的同一公路相向而行，8时40分两车相遇，相遇时，甲车走的路程是乙车走的路程的． (1)求甲、乙两车相遇前平均每小时各行全程的几分之几？ (2)相遇后，两车继续按原速度前进．乙车在途中某地遇雾（一直到A地有雾），遇雾后速度降为原速度的；甲车从A城起至走完全程的时遇雨（雨一直下至到达B地），速度降为原速度的，结果乙车到达A城与甲车到达B城的时间相同，试问乙车什么时候遇雾？ 【变式1】. （24-25七年级上·湖南永州·月考）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则． (1)问题提出：如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______． (2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（） ①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______； ②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并求出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 【变式2】. （24-25七年级上·山西朔州·期末）综合与实践 如图，数轴上有，，三点，分别表示数，，10．甲，乙两只电子蚂蚁分别从，两点同时出发相向而行，甲的速度为2个单位长度/秒，乙的速度为3个单位长度/秒． (1)求甲，乙运动多少秒相遇，并直接写出相遇点在数轴上对应的数是多少． (2)当甲运动到位于，两点之间，且甲到，，三点的距离之和为32个单位长度时，甲立即调头沿原路返回，速度不变且掉头的时间忽略不计．问：甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由． (3)若电子蚂蚁从点处出发，沿数轴向右运动，在运动过程中，蚂蚁到点和点的距离的中点分别记为点和点，请说明点和点的距离是否会发生变化． 【变式3】. （25-26七年级上·吉林长春·月考）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b．A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则． 问题提出： (1)填空：如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为4，两点之间的距离______，线段的中点表示的数为______． (2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒， ①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为______；点Q表示的数为______； ②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段上做往复运动，当P、Q两点第二次相遇时，请直接写出所需要的时间． 所以总用时为秒． 题型三：数轴上两个动点的追及问题 方法技巧：同向运动时，根据“路程差初始距离”，即，列方程求解。 【典例3】. （24-25七年级上·重庆大足·期末）如图，数轴上有两点，，点O是线段上的一点，． (1)若点C是线段上一点，且满足，求的长； (2)若动点分别从同时出发，向右运动，点P的速度为，点Q的速度为．设运动时间为． ①当为何值时，； ②当点Q经过点O时，动点M从点O出发，以的速度也向右运动．当点M追上点P后立即返回，以的速度向点Q运动，遇到点Q后再立即返回，以的速度向点P运动，当点再次追上点时，点停止运动．请直接写出运动时间的值． 【变式1】. （19-20七年级上·辽宁大连·期末）我们知道：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离．如图1，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为20，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动．设运动时间为t秒． (1)①A，B两点间的距离 ； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ，点Q表示的数为 ； (2)求当t为何值时，点P追上点Q，并写出追上点C所表示的数； (3)求当t为何值时， ； 拓展延伸：如图2，若点P从点A出发，点Q从点M出发，其它条件不变，在线段上是否存在点M，使点P在线段上运动且点Q在线段上运动的任意时刻，总有？若存在，请求出点M所表示的数；若不存在，请说明理由． 【变式2】. （24-25七年级上·江苏扬州·月考）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离表示为． 【综合运用】已知点、、为数轴上三个点，表示的数分别是，，，满足，且为的倒数． (1)______，______，______； (2)若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发也沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为秒． ①用含的式子表示：秒后，点表示的数为______； ②当时，求的值． (3)在（2）的条件下，、出发的同时，动点从点出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点追上点后立即返回沿数轴负方向运动．求点追上点后再经过几秒，？ 【变式3】. （25-26七年级上·山东聊城·月考）已知，，且分别是点在数轴上对应的数． (1)________，_______； (2)若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发也沿数轴正方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，设运动的时间为秒（）， 用含的式子表示：秒后，点表示的数为________，点表示的数为________； 当时，求的值． (3)在（）的条件下，出发的同时，动点从点出发沿数轴正方向运动，速度为每秒个单位长度，点追上点后立即返回沿数轴负方向运动．求点追上点后再经过几秒，？ 题型四：数轴动点与线段中点结合问题 方法技巧：表示动点坐标，利用中点公式，结合线段关系列方程。 【典例4】. （24-25七年级上·吉林·期末）【初探】如图①，数轴上点A，B分别表示数，4，线段的中点C表示的数是多少？请你完善下面两名同学的解法． 小聪：由题得：线段； ∵点C是的中点， ∴． ∴点C表示的数是 ； 小明：设点C表示的数是x，根据可列方程 ； 【延伸】如图②，数轴上点A，B分别表示数a，b，用含a，b的式子表示线段的中点C所表示的数． 【应用】如果数轴上点A，B分别表示数，4，点P，Q分别从点A，B两点同时出发，设P，Q运动时间为t． ①当点P，点Q都以每秒2个单位长度的速度分别沿数轴向左，向右运动，2秒后的中点M表示的数为 ，t秒后的中点M表示的数为 ； ②当点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点Q以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，的中点E表示的数为 （用含t的代数式表示）；当t= 秒时，点E与点B重合． 【变式1】. （25-26七年级上·重庆长寿·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒 【综合运用】 (1)填空： A、B两点间的距离 ，线段的中点C表示的数为 ； (2)求当t为何值时，； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【变式2】. （25-26七年级上·江苏·假期作业）【知识准备】 若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为． （1）在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为c，点D对应的数为d，且有，则的中点N所对应的数为 ； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，t为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为 ． ②在（2）的条件下，若E是最靠近Q的五等分点，F为的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【变式3】. （25-26七年级上·湖南长沙·月考）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律；若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离为：，线段的中点表示的数为．已知，点A、B、O在数轴上对应的数为a、b、0，且满足， (1)直接写出_____；线段的中点表示的数为_____； (2)设点C在数轴上对应的数x，当时，直接写出x的值_____． (3)点M、N分别从A、B出发，同时向左匀速运动，M的速度为每秒1个单位长度，N的速度为每秒3个单位长度，设运动的时间为t秒． ①当t为何值时，M、N、O三点中恰好有一点是另外两点的中点？ ②若点P为线段的中点，Q为线段的中点，M、N在运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，t为何值时，有最小值？最小值是多少？ 题型五：双射线旋转的角度关系（含平行、垂直、相遇）问题 方法技巧：设旋转时间为(单位：秒)，用“旋转速度”表示旋转角度，分相遇前/后、平行/垂直等情况，结合平行线性质或角度和差关系列一元一次方程，注意旋转反向的临界条件。 【典例5】. （24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图①是某校艺术节搭建的舞台．从上面看，舞台上面有三根铁架，且三根铁架在同一平面内．如图②，是两根互相平行的铁架，且铁架与两边的铁架，互相垂直，在两个铁架的处分别设置了一盏可以沿着水平面不断匀速旋转的射灯，灯光打开时，处光线射向点处光线与的夹角为．两灯同时开始旋转，光线绕射灯顺时针旋转．光线绕射灯逆时针旋转．当两灯射出的光线与铁架重合时立即反向旋转．旋转中常常出现交叉照射．若点处射出的光线每秒旋转，点处射出的光线每秒旋转，设旋转时间为秒． (1)当旋转时间为秒时，求的度数； (2)如图③，若两灯射出的光线，第一次与边相交于一点时，此时，请求出旋转时间的值； (3)当旋转时间秒时，直接写出时的值． 【变式1】. （24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，点A、O、B都在直线上，射线绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转（当其中一条射线与起始位置叠合时，两条射线停止旋转），旋转时间为t（单位：秒） (1)当秒时， °． (2)当t为 时，，第一次相遇． (3)当t为何值时，求出t的值． 【变式2】. （24-25七年级下·山西忻州·期末）综合与探究：如图，直线，的顶点在直线上，． (1)如图1，当时， °， °．（用含的代数式表示） (2)在（1）的条件下，若是的倍，判断与的位置关系，并说明理由． (3)如图2，当与重合时，交于点，将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，得到射线，同时，将射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动．设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【变式3】. （24-25七年级下·湖北·期中）某市为了美化某景点，在两条笔直的景观道，上分别放置了两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转；灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒旋转，灯每秒旋转，已知这两条景观道是平行的，即． (1)如果灯先旋转16秒，A灯才开始旋转，当A灯旋转4秒时，两灯发出的光束和到达如图所示的位置，请判断与的位置关系并说明理由． (2)如果灯先旋转12秒，A灯才开始旋转，当灯发出的光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时，请直接写出A灯转动的时间． (3)若两灯同时旋转，A灯发出的光束逆时针旋转至然后回转到时，两灯同时停止旋转，在此期间所在直线与所在直线能否互相垂直？如果能，请求出此时A灯旋转的时间；如果不能，请说明理由． 即当A灯旋转秒或45秒时，与互相垂直． 题型六：三角板旋转中的角度关系问题 方法技巧：利用三角板固定角(、、、)，表示旋转后角的和差，列方程求解。 【典例6】. （24-25七年级上·广东茂名·期末）【知识技能】 （1）如1图，把一副三角尺拼接在一起，其中与直线重合，，，则的度数为_______； 【数学理解】 （2）如2图，三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺都在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，当平分时，求出时间的值； 【深入探究】 （3）如3图，若三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺同时也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，在旋转过程中，两块三角尺都在直线的上方．当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】. （24-25七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 活动情境： 数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． 问题情境： （1）老师将三角尺和三角尺按如图所示摆放在直线上，边落在直线上，，已知，则______°； 合作探究： （2）奋进小组将图中三角尺绕点C按逆时针方向进行旋转，当边首次落在直线上时则停止旋转．若三角尺以每秒的速度旋转，旋转时间为t秒，请你帮忙解答下列问题： ①当______秒时，边落在边上； ②当平分时，_____秒； ③当______秒时，停止旋转． 深度探究： （3）腾飞小组受奋进小组的启发，继续在上图的基础上进行旋转探究：同时将三角尺和三角尺绕点C旋转，三角尺以每秒的速度逆时针旋转，三角尺以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时，两三角尺都停止旋转． 提出问题：求t为何值时，？ 【变式2】. （24-25七年级下·浙江湖州·期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按图放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为G，F），设旋转时间为．            在旋转过程中，若边，求t的值； 如图③，若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请求出当边时t的值． 【变式3】. （24-25七年级上·河北唐山·期末）一直角三角板从边与直线重合的位置（如图1）开始围绕点O按顺时针方向旋转，旋转速度为每秒2度，设旋转时间为t秒． (1)当在直线上方时． ①______°（用含t的代数式表示）； ②当时，猜想与的数量关系，并说明理由； ③当t为何值时，的度数是度数的3倍： (2)当三角板围绕点O按顺时针方向旋转一周的过程中，若直线将分成两部分时，直接写出满足条件的所有t的值． 题型七：数轴上多个动点的综合问题(含分类讨论) 方法技巧：分运动阶段(相遇前/后、追及前/后)讨论，逐个表示动点坐标，结合距离、中点等条件列方程，检验解的合理性。 【典例7】. （24-25七年级上·重庆九龙坡·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且A，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)点运动到线段的中点时，它所表示的数是_____． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点在数轴上表示的数为，动点从点出发，沿数轴向右匀速运动，动点，，同时出发． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②动点、运动到点时则立即返回以原速度向点运动，动点运动到点时又立即以原速度向点运动，点不停地以原速度往返于点与点之间．当动点运动到秒时，动点、、三点同时停止运动，则点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度? 【变式1】. （24-25七年级上·河南郑州·期末）已知数轴上有三点，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且满足，点在数轴上对应的数为，且是方程的解． (1)数轴上点表示的数分别为_______、_______、_______； (2)如图1，若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点同时出发，经过多少秒时，之间的距离恰好等于？ (3)如图2，若动点同时从出发，向右匀速运动，同时动点从点出发，向左匀速运动．已知点的速度是个单位长度/秒，点的速度是点速度的倍，点的速度是点速度的倍少个单位长度．经过秒时，三点中恰好有一点为其余两点的中点．请直接写出的值． 【变式2】. （24-25七年级上·山西晋中·期末）综合与实践 已知数轴上有A、B、C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足，点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解 (1)数轴上点A、B、C表示的数分别为________、________、________； (2)如图1，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，当t为何值时，P、Q之间的距离恰好等于8个单位长度？ (3)如图2，若动点P、Q两点同时从A、B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动，已知点P的速度是点R的速度的6倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒时，P、Q、R三点恰好有其中一点为其余两点的中点．请直接写出动点R的运动速度． 【变式3】. （25-26七年级上·辽宁鞍山·月考）已知数轴上从左向右依次有A，B，C三点，且A，B两点表示的数x满足，点C与B点的距离是2． (1)请写出A，B，C三点所表示的数，A：______；B：______；C：______； (2)动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度向右动，设点P移动的时间为t． ①当点P运动到点B时，点Q从点C出发以每秒1个单位的速度向右运动，求点P出发几秒钟与点Q相遇？ ②定义：已知点M，N，E为数轴上任意三点，若点M到点N的距离（用表示）是它到点E的距离（用表示）的3倍，即，则称点M是的3倍点，若点M到点E的距离是它到点N的距离的3倍，即，则称点M是的3倍点．求运动多久时．点P是A和C的3倍点． 题型八：动点与动角的交叉综合问题 方法技巧：分别表示动点对应线段长度和动角角度，根据题干数量关系列方程，分类讨论临界情况。 【典例8】. （24-25七年级上·广东惠州·期末）综合运用： “数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图1，数轴上的点A表示的数为a，B表示的数为b，且．点C是线段AB的中点． 【问题解决】 （1）若动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点M，N同时出发，当点N到达点A时，两动点的运动同时停止．设运动时间为t秒，则： ①点M、N表示的数分别是______、______（用含t的代数式表示）； ②若在运动过程中，存在，请求出t的值． 【方法迁移】 （2）我们发现角的很多运算方法和线段一样，如图2，，平分．射线从出发，以每秒的速度绕点O顺时针旋转，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转．射线，同时出发，当到达时，运动同时停止．设旋转时间为t秒，若在运动过程中，存在某些时刻，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍，请求出所有符合题意的t的值． 【变式1】. （24-25七年级上·甘肃白银·期末）【模型建立】 （1）如图1，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D，E分别是和的中点，若，求的长； 【模型应用】 （2）若把（1）中的“点C为线段上的一个动点”改为“点C在直线上”，其他条件不变，求的长（请画出图形，并说明理由）； 【模型迁移】 （3）如图2，已知，过的内部任一点C画射线，，分别平分和，求的度数，并猜想与的大小关系（不需要说明理由）． 【变式2】. （25-26七年级上·河南南阳·月考）综合与实践 【特例感知】 （1）如图1，线段，为线段上的一个动点，分别是和的中点． ①若，则线段 ． ②若，则线段 ． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图2，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 【拓展探究】 （3）如图3，在内部，，，且，，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 【变式3】. （25-26七年级上·广东揭阳·月考）类比思想和分类讨论思想是初中数学学习中常用的数学思想，小明在学习了第四章《基本平面图形》的相关知识后，认为解决线段和角的问题是对这两种思想的一种体现。如图①，已知线段，点C为直线上的一个动点，点D、E分别是和的中点． 【分类讨论】（1）若，可画图分析并写出： ①当点C在线段上时，______； ②当点C在的延长线上时，______． 【类比分析】（2）若，请说明不论m取何值（m小于20）的长不变，即______； 【知识迁移】（3）如图②，已知，过平面内任一点C画射线，满足（n小于70），若、分别平分和，请求出的度数，并写出你发现的结论． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $