专题01 一元一次方程含参问题（高效培优专项训练）数学新教材华东师大版七年级下册

专题01 一元一次方程含参问题 题型一：根据一元一次方程的定义求参数 题型二：根据方程解的定义求参数（含正/负/零解限定） 题型三：根据方程解的情况（唯一解、无解、无数解）求参数 题型四：含参方程的同解问题求参数 题型五：根据两个方程解的特定关系（相反数、倒数、倍数等）求参数 题型六：含参方程的错解还原问题求参数 题型七：含绝对值的一元一次方程求参数 题型八：一元一次方程含参新定义问题 题型一：根据一元一次方程的定义求参数 方法技巧：整理为axᵏ+b=0标准形式，列条件：k=1、a≠0、单未知数，解不等式（组）。 1．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的特点是解题的关键． 根据一元一次方程的定义即可求得，一元一次方程的定义：只含有一个未知数(元)，并且未知数的指数是(次)的整式方程叫做一元一次方程． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴二次项系数， 解得， 当时，一次项系数，满足条件． 故答案为：． 2．（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）是一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义，未知数x的指数必须为1且系数不为0，由此列出条件求解． 【详解】解：因为是一元一次方程， 所以，， 所以． 故答案为． 3．（25-26七年级上·河南许昌·月考）若是一元一次方程，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的未知数的次数为1是解题的关键． 根据一元一次方程的定义，未知数的次数必须为1，且系数不为零，即可求解m的值． 【详解】解：∵是一元一次方程， ∴未知数x的次数为1，即， ∴， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·广西崇左·月考）若关于x的方程是一元一次方程，则a，b应满足什么条件？ 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义． 若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．据此可得出关于的方程，以及，从而求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：且． 所以a，b应满足且． 5．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）已知关于x的方程是一元一次方程，则k的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的概念．根据一元一次方程是只有一个未知数且未知数的次数是1的方程可知，的系数应为0，x的系数应不为0，列出关系式求解即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， 故答案为：1． 6．（25-26七年级上·广西南宁·月考）若关于x的方程是一元一次方程，则k的值为（    ）. A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 一元一次方程要求一次项系数不为0，未知数最高次幂为1，据此计算即可． 【详解】解：方程是一元一次方程， 则 解得，且， 当时，一次项系数，满足条件， 因此的值为1， 故选：C． 题型二：根据方程解的约束条件求参数（含正/负/零解限定） 方法技巧：代入已知解得参数方程，求解后按限定条件筛选。 7．（21-22七年级上·江苏盐城·期末）已知为整数，且方程的解是正整数，则 ． 【答案】，，， 【分析】此题考查了一元一次方程的解，表示出方程的解是解本题的关键．表示出方程的解，由为整数，方程的解为正整数求出的值即可． 【详解】解：方程移项合并得：， 解得：， 由为整数，且方程的解为正整数，得到，，，， 解得：，，，． 故答案为：，，，． 8．（25-26七年级上·重庆开州·月考）已知关于x的一元一次方程的解是正整数，则所有符合条件的整数a的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的正整数解， 先解方程得到，由解是正整数可知是6的正因数，从而求出所有符合条件的整数，再求它们的和． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并得， 解得， ∵方程的解是正整数， ∴是正整数， ∴是6的正因数，即， 对应， 所有符合条件的整数为， 它们的和为， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·重庆·月考）已知为整数，关于的方程的解为非负整数．求满足条件的值的和 ． 【答案】 【分析】本题主要考查方程的整数解，先求出含有参数的方程的解，并列举出它是整数的所有可能性，再求出的整数值，最后求出这些值之和即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∵为整数，方程的解为非负整数， ∴是非负整数， ∴或或， 解得：或（不符合题意舍去）或， ∴符合条件的值的和为． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·陕西西安·月考）若关于的方程的解是整数，则非负整数的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解与参数的关系，关键是将方程变形后利用整除性求解．通过解方程得到的表达式，根据解为整数确定的可能值． 【详解】解：方程 可化为 ，即 ， ， 为整数，且为非负整数， ，且是的正因数， ，，， ，，． 故选：D． 11．（25-26七年级上·重庆·期中）若关于的方程有非负整数解，且关于的多项式是二次三项式，则所有满足条件的非负整数的值之积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，多项式的概念，根据方程有非负整数解，得出是的倍数，且；再根据多项式是二次三项式，得出且；从而得到为和，求积即可． 【详解】解：， 解得， 是非负整数， ，即，且是整数，故是的倍数， 又 是非负整数， 可能为，，，， 多项式是二次三项式， 二次项系数，即， 一次项系数，即， 因此，满足条件的为和， 其积为， 故答案：． 12．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知关于的方程的解是正整数，且是正整数，则满足条件的值为 ． 【答案】1或3 【分析】本题考查一元一次方程的解，正整数的性质，掌握好一元一次方程的解法是解题关键． 先解方程得到 ，然后根据 是正整数且 是正整数，得出 必须是 5 的正因数，从而求出 的值． 【详解】解：， 两边同乘 4 得：， 展开得：， 整理得：， ∴ ． ∵ 是正整数且 是正整数， ∴ 必须是 5 的正因数． 又∵5 的正因数有 1 和 5． 当 时，，此时 ； 当 时，，此时 ． ∴满足条件的 值为 1 或 3． 故答案为：1或3． 题型三：根据方程解的情况（唯一解、无解、无数解）求参数 方法技巧：化简为ax=b，按a≠0（唯一解）、a=0且b=0（无数解）、a=0且b≠0（无解）判断。 13．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）阅读：关于的方程在不同的条件下解的情况如下：（1）当时，有唯一解；（2），时，有无数解；（3）当，时，无解．请你根据以上知识作答：已知关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解，将方程整理得：，结合题意得出，求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， ∵关于x的方程无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·重庆·期末）如果关于x的方程有唯一解，那么实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次方程的解，根据方程有解确定出a的范围即可． 【详解】解：∵关于的方程有解， ∴， ∴； 故选：D． 15．（24-25六年级上·上海·期末）如果，那么关于x的方程的解有（   ） A．只有一个解 B．只有一个解或无解 C．只有一个解或无数个解 D．无解 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义．此题属于易错题，学生往往忽略了这一情况．需要对的取值进行分类讨论：和两种情况． 【详解】解：当，时，方程有无数个解； 当，时，方程只有一个解． 综上所述，方程的解只有一个解或无数个解． 故选：C． 16．（25-26七年级上·广西崇左·月考）若关于x的方程与均无解，求代数式的值． 【答案】9 【分析】本题考查了一元一次方程的解的情况求参数，代数式求值，先根据方程与均无解，求出m，n的值，再将m，n代入式子求解即可 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 因为方程无解， 所以， 所以，． 解方程， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 因为方程无解， 所以， 所以， 所以 17．（23-24六年级下·上海·月考）阅读下面的材料： 讨论关于的方程的解的情况． ①若，则方程有唯一解； ②若，则方程化为，方程有无数个解； ③若，则方程无解． 请根据以上讨论的启示，讨论关于的方程的解的情况． 【答案】时，则方程有唯一解；时，方程有无数个解；时，则方程无解． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先移项和合并同类项得到，再仿照题意求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ①若，即时，则方程有唯一解； ②若，即时，则方程化为，方程有无数个解； ③若，即时，则方程无解． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）已知方程． (1)当取何值时，方程无解？ (2)当取何值时，方程有无穷多个解？ (3)当取何值时，方程有唯一解？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，化简绝对值等知识．熟练掌握一元一次方程的解，解一元一次方程，化简绝对值是解题的关键． （1）由题意知，方程整理得，，当，且时，方程无解，计算求解即可； （2）由题意知，当，且时，方程有无穷多个解，计算求解即可； （3）把代入，得，然后根据，，化简绝对值，然后求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：， 整理得，， 由题意知，当，且时，方程无解， 解得， ∴当时，方程无解； （2）解：由题意知，当，且时，方程有无穷多个解， 解得， ∴当时，方程有无穷多个解； （3）解：把代入，得， 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得， ∴当时，方程有唯一解． 题型四：含参方程的同解问题求参数 方法技巧：先解无参方程得公共解，代入含参方程；或用参数表示两解，令其相等求解。 19．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若关于的方程的解也是方程的解，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了解一元一次方程及同解方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 先由和得出，，再将解代入中，即可求得n的值． 【详解】解：由可得：， 由可得：， ∵关于的方程的解也是方程的解， ∴把代入得：， 解得：． 故答案为：5． 20．（24-25七年级上·江苏盐城·月考）若方程的解也是方程的解，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同解方程．由方程得到，代入方程即可求解． 【详解】解：解方程得，， 把代入方程得， ， ∴， 故答案为：2． 21．（21-22七年级下·湖南长沙·月考）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，则______； (3)若关于的方程的解也是关于的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数和正整数的值． 【答案】(1)1 (2)5 (3)， 【分析】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解立信方程的意义是解此题的关键． （1）根据“立信方程”的定义解答即可； （2）根据，可得，再代入，即可求解； （3）先根据方程，得出的取值，再根据方程，得出的取值，最后根据相同的解，即可确定的值． 【详解】（1）解： ， 将，代入得， ， 故答案为：1； （2）解：∵ ∴ ∴，代入得， ， ， 故答案为：5； （3）解：由，得， ∵的值为整数， ∴为整数，且取正整数， ∴或或 当时，； 当时，； 当时，； ∵ ∴ ∴， ∵的值为整数， ∴或或， 当时，； 当时，； 当时，； ∵方程的解也是关于的方程的解， ∴，． 22．（24-25六年级上·上海·月考）欢欢在解关于x的方程时，对“”移项时没有变号，得出的解为． (1)求a的值； (2)若关于x的方程与的解相同，求t的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． （1）按照欢欢的方法移项后，可得出，代入，可求出的值， （2）可由（1）中原方程为，解之即可得，再代入求解即可． 【详解】（1）解：按照欢欢的方法移项得：， 将代入得：， 解得：， （2）解：（1）中原方程为， 解得：． 因为关于x的方程与的解相同， 将代入得： ， 解得：． 23．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程． (1)当为何值时，该方程与的解相同？ (2)佳佳同学在解这个方程，去分母时忘记给右边的乘分母的最小公倍数，最终解得，求这个方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解答本题的关键． （1）首先求出方程的解，然后代入求解即可； （2）首先将代入，求出，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得． 将代入， 得， 解得； （2）解：由题意，将代入， 得， 解得． 将代入， 得， 解得， 所以这个方程正确的解为． 24．（2025七年级上·湖北武汉·专题练习）如果关于的方程与的解相同，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，绝对值，把第一个方程的解代入第二个方程是解题的关键． 先解第一个方程求出x的值，再将x代入第二个方程求解，进而得到的值． 【详解】解：解方程， 两边同乘6得， 解得：． 将代入，得， 即， 解得：， 所以：． 故答案为：． 题型五：根据两个方程解的特定关系（相反数、倒数、倍数等）求参数 方法技巧：参数表示两解，按关系列等式，验证解的有效性（如倒数不为0）。 25．（25-26七年级上·河南许昌·月考）方程的解与关于的方程的解互为倒数，求的值． 【答案】 【分析】题目主要考查解一元一次方程及倒数的定义，熟练掌握解一元一次方程的解法是解题关键． 根据题意得出的解为，然后求出倒数代入求解即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得． ∵的倒数是， ∴将代入方程， ∴， 解得． 26．（25-26七年级上·宁夏固原·月考）关于的方程与的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程解的综合应用；先把两个方程的解表示出来，再根据相反数的定义，让两个解相加等于0，计算求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， ∵解互为相反数， ∴ ， ， ． 27．（25-26七年级上·福建莆田·月考）已知是关于x的一元一次方程． (1)求a的值，并求解上述一元一次方程； (2)若上述方程的解是关于x的方程的解2倍，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次方程的定义和绝对值等知识点，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． （1）根据一元一次方程的定义得出，，求出，得出方程为，再根据等式的性质求出方程的解即可； （2）先解出，代入即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：，， 且， ， 将代入方程，得 ， 解得 ， 答：a的值是，方程的解是； （2）由题意得：， 将代入方程．得 ， 解得：， 答：k的值是2． 28．（24-25七年级上·重庆忠县·期末）设为有理数，已知关于的一元一次方程． (1)若方程与已知方程的解相同，求的值； (2)若关于的方程的解比已知方程的解大，求已知方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． （1）先求出方程的解为，再将代入已知方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得； （2）先求出两个方程的解，再根据关于的方程的解比已知方程的解大可得一个关于的一元一次方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ∵方程与方程的解相同， ∴将代入方程得：， 解得． （2）解：， ， 解得， ， ， ， 解得， ∵关于的方程的解比方程的解大， ∴， 解得， ∴， 所以已知方程的解为． 29．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·月考）我们规定：如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么称这两个方程互为“和解方程”． 例如：方程的解为，方程的解为， 因为与2互为相反数，所以方程与方程互为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)下列方程与互为“和解方程”的有______．（只填序号） ①    ②    ③ (2)已知关于的方程与方程互为“和解方程”，求的值； (3)已知关于的方程与方程互为“和解方程”，求的值． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解得应用，读懂题意，正确理解和解方程的概念并根据概念列出方程是解题的关键． （1）求出方程的解，再根据和解方程的意义得出即可； （2）分别求出“和解方程”与的解，根据解互为相反数，建立新的一元一次方程，求解即可． （3）分别求出“和解方程”与的解，根据解互为相反数，建立新的一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：方程的解为， ①的解为， ②的解为， ③的解为， ∵因为与1互为相反数， ∴方程与方程互为“和解方程”， 故选：②． （2）解：∵方程，解得， ∵，解得， ∵方程与是“和解方程”， ∴， 解得． （3）解：∵方程，解得， ∵，解得， ∵方程与方程互为“和解方程”， ∴， 解得：． 30．（25-26七年级上·湖南长沙·月考）若关于x的方程的解与关于y的方程的解满足关系式，则称方程与方程互为“双梅方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程互为“双梅方程”． (1)请通过计算判断方程与方程是否互为“双梅方程”； (2)若关于x，y的两个方程与方程互为“双梅方程”，求m的值； (3)关于x，y的两个方程与方程，若对于任何数m，都使得它们都不互为“双梅方程”，求n的值． 【答案】(1)否 (2)的值为或 (3) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，理解题意掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）分别求出方程与方程的解，再计算出，即可得出答案； （2）分别求出方程与方程的解，再根据即可列出关于的一元一次方程，解出方程即可得出答案； （3）分别求出方程与方程的解，再根据若对于任何数m，都使得它们都不互为“双梅方程”，则可列出关于的一元一次方程，解出方程即可求解． 【详解】（1）解：， 解得． ， 解得． 因为， 所以方程与方程不互为“双梅方程”； （2）解：，     ， 解得 ， 解得， 因为关于x，y的两个方程与方程互为“双梅方程”， 所以， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上，的值为或； （3）解：， 解得， ， 解得， 要使对于任意实数，都有，即无解， 需让表达式与无关（否则随变化可能取到2)． 故令的系数为零：，即． 此时，，满足题意， 所以，． 题型六：含参方程的错解还原问题求参数 方法技巧：错解代入错误方程求中间值，结合正确方程修正参数。 31．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）小马虎同学解方程去分母时，方程右边的忘记乘6，因而求出的解为，试求的值并求方程正确的解． 【答案】， 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是熟练运用一元一次方程的解法． 根据题意可知是方程的解即可求出a的值，再代入原方程解方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵由根据题意可得是方程的解， ∴， 化简，得：， 解得， ∴原方程为：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， ∴原方程正确的解为． 32．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）小马虎在解关于x的方程时，误将“”看成了“”，得方程的解为．求原方程的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，根据题意可得是方程的解，据此把代入到方程中求出a的值，进而解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，是方程的解， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得． 33．（25-26七年级上·安徽亳州·月考）已知算式“”． (1)小欣将数字“5”抄错了，所得结果为，则小欣把“5”错写成了________． (2)小马不小心把运算符号“”错看成了“+”，则小马的计算结果比原题的正确结果大多少？ 【答案】(1)8 (2)43 【分析】本题主要考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用等知识点，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）将数字“5”改成x，然后根据题意列关于x的方程求解即可；． （2）分别计算出正确运算结果和小马的运算结果，然后再作差即可解答． 【详解】（1）解：将数字“5”改成x ， 由题意可得：， ． 所以把“5”错写成了“8”． （2）解：原题正确结果； 小马的结果：， 所以结果比原题的正确结果大． 34．（23-24七年级下·湖南衡阳·月考）某同学在解关于的方程时，误将“”看成“”，从而得到方程的解为，则原方程正确的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确的运算． 由题意，将代入得，，求出后代入方程，计算求解即可． 【详解】解：由题意，将代入得，， 解得：， 将代入得，， 解得：， 故选：D． 35．（25-26七年级上·湖南邵阳·月考）小马虎在解决关于x的方程时，误将“”看成了“”，得方程的解为，则原方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把代入得出方程，求出，得出原方程为，求出方程的解即可． 【详解】解：∵小马虎在解决关于x的方程时，误将“”看成了“”，得方程的解为， ∴把代入得出方程， 解得：， 即原方程为， 解得． 故答案为：． 36．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）小文在解关于x的方程时，误将看作，得方程的解为，a的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查一元一次方程的解、解一元一次方程等知识点，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 将代入方程得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：小文误将方程写为，解得， 将代入方程得：， ∴，解得：． 故答案为5． 题型七：含绝对值的一元一次方程求参数 方法技巧：c≥0拆为两方程，c<0无解；确保系数≠0，检验增根。 37．（25-26七年级上·山东德州·月考）阅读下列解题过程并解答类似的题目． 解方程： 解：由，得 ①若，得 ②若，得 所以原方程的解是或 (1)解方程 (2)若方程的解也是方程的解，求m的值 【答案】(1)或 (2)m的值是或 【分析】本题主要考查绝对值方程及一元一次方程的解法，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键； （1）仿照题中所给方法进行求解即可； （2）先得出方程的解，然后再代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由得， ①若，则； ②若，则 所以原方程的解是或． （2）解：由，得， ①若，则； ②若，则． 所以的解是或． 当时，，解得； 当时，，解得． 所以m的值是或． 38．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）若，则 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了解绝对值方程． 根据绝对值的性质，将方程转化为两个一元一次方程求解． 【详解】解：原方程可化为， 则或， 解得：或． 故答案为：3或． 39．（25-26七年级上·吉林·期末）对于有理数，，，我们规定：． 例如：． 【知识运用】（1）①计算：________． ②若，求的值． 【综合运用】（2）若，求的值． 【知识迁移】（3）若，则的值为________． 【知识拓展】（4）当有且只有三个不相等的解时，直接写出的值． 【答案】 （1）① 1；② 3或；（2）3或；（3）4或2；（4）1 【分析】本题主要考查了新定义运算、含有绝对值的方程、解一元一次方程等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据新定义运算法则求解即可；②根据新定义运算法则列出关于的方程，求解即可； （2）根据新定义运算法则列出关于的方程，求解即可； （3）根据新定义运算法则列出关于的方程，求解即可； （4）由题意得，得到或，根据方程有且只有三个不相等的解可知有一个绝对值方程为0，继而分类讨论求解即可． 【详解】解：（1）①∵， ， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴，即， ∴的值为或； （2）解：∵， ， ， ∴或， ∴或， ∴的值为或； （3）解：∵， ， ， 或， ∴或， 故答案为：或； （4）解：∵， ， 或， 或， 原方程存在三个不等解， 或， ，， ∴， ， ， 或， 或或（符合题意）， ∴的值为1． 40．（25-26七年级上·江西吉安·期中）如图1，点在数轴上分别表示实数，则两点之间的距离可以表示为． (1)观察图2： 数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ； (2)理解： 数轴上表示和的两点和之间的距离是多少？如果，那么的值是多少？ (3)运用：当代数式取最小值时，相应的的取值范围是什么？当代数式取最小值时，相应的的值是多少？ 【答案】(1) (2)，或 (3)， 【分析】本题考查数轴上两点之间距离表示方法、解方程及绝对值的几何意义等知识，熟记绝对值性质及数轴上两点之间距离表示方法是解决问题的关键． （1）利用材料中，数轴上两点之间的距离表示方法，代值计算即可得到答案； （2）用数轴上两点之间的距离的表示方法得到，再解绝对值方程及一元一次方程即可得到答案； （3）由绝对值的几何意义，求出不同范围内、的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：点在数轴上分别表示实数，则两点之间的距离可以表示为， 数轴上表示和的两点之间的距离是； 数轴上表示和的两点之间的距离是； 故答案为：； （2）解：数轴上表示和的两点和之间的距离是； ， ∴或， 解得或； （3）解：代数式表示数对应的点到数和表示的点的距离之和， 当时，数对应的点到数和表示的点的距离之和大于， 当时，数对应的点到数和表示的点的距离之和等于， 当时，数对应的点到数和表示的点的距离之和大于， 综上所述，， 即代数式的最小值为，此时，的取值范围是； 代数式表示数对应的点到数、和表示的点的距离之和， 当时，数对应的点到数、和表示的点的距离之和大于， 当时，数对应的点到数、和表示的点的距离之和大于， 当时，数对应的点到数、和表示的点的距离之和等于， 当时，数对应的点到数、和表示的点的距离之和大于， 当时，数对应的点到数、和表示的点的距离之和大于， 综上所述，， 即代数式的最小值为，此时，． 41．（23-24七年级上·贵州贵阳·月考）如图，在数轴上我们可以用两数之差的绝对值来表示两数所在位置的距离，数与数的距离为．数轴上，，三个点，回答下列问题： (1)点到点的单位长度是；点到点的单位长度是_____； (2)数轴上有一非负整数，使，写出的值； (3)有数轴上的数，使，写出所代表的数． 【答案】(1)， (2)，， (3)或 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，化简绝对值，解绝对值方程； （1）根据数轴上两点距离计算即可求解； （2）根据题意可得在和之间，且为非负数，结合数轴，即可求解； （3）分两种情况讨论，当在的左侧时，当在的右侧时，分别化简绝对值，再解方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据数轴可得表示的数是：，表示的数为，表示的数为， 所以点到点的单位长度是；点到点的单位长度是， 故答案为：，． （2）∵表示到和距离等于的数， ∵，即在和之间， ∴非负整数为：，，； （3）解：∵表示到和的距离等于的数， 当在的左侧时，， ∴ 解得： 当在的右侧时， ∴ 解得： 综上所述，所代表的数为或 42．（25-26七年级上·山东临沂·期中）定义一种新运算“”，对任意两数x，y，当时，；当时，． (1)当时， 求的值； (2)当 时，求的值； (3)当时， 求y的值． 【答案】(1)3 (2) (3)或或3 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的加、减法运算，绝对值，解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由，结合当时，，代入数据计算即可作答． （2）根据新定义，先计算，再计算即可； （3）要进行分类讨论，即当时，当时，这两种情况，然后进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴； （3）解：∵， 当， 即时，， ∴或， ∴或，   当， 即时，， ∴或， ∴ (舍去) 或，   ∴y的值为或或3． 题型八：一元一次方程含参新定义问题（如“差解方程”“美好方程”等） 方法技巧：理解新定义，转化为解的关系，按常规含参问题求解。 43．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”．例如：的解为，而，则方程是“差解方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)已知关于的一元一次方程是“差解方程”，则______； (2)已知关于的一元一次方程是“差解方程”，则______； (3)已知关于的一元一次方程和都是“差解方程”．求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义问题． （1）先求出方程的解，由“差解方程”的意义得到关于m的方程，解之即可求得m； （2）先求出方程的解，由“差解方程”的意义得到关于a，b的等式，整体求出，再整体代入所求代数式中即可求值； （3）先求出两个方程的解，由“差解方程”的意义分别得到关于m，n的等式，整体求出，再整体代入所求代数式中即可求值． 【详解】（1）解：解关于的一元一次方程，得， 由于是“差解方程”， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）解：解关于的一元一次方程，得：， 由于关于的一元一次方程即是“差解方程”， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：18； （3）解：解，得， 由题意得：， 解得：； 解，得， 由题意得：， 解得：， ∴ ． 44．（25-26七年级上·全国·课后作业）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“美好方程”． 例如：方程的解为，方程的解为．因为，即这两个方程的解之和为，所以这两个方程互为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”． (2)若关于的方程与方程互为“美好方程”，求的值． (3)若方程与方程互为“美好方程”，求关于的方程的解． 【答案】(1)方程与方程互为“美好方程” (2) (3) 【分析】（1）求出这两个方程的解，再根据“美好方程”的定义进行判断即可； （2）求出这两个方程的解，再根据“美好方程”的定义列出关于的方程求解即可； （3）根据“美好方程”的定义求出的值，再求解关于的方程即可． 【详解】（1）解：解方程，得． 解方程，得． ∵， ∴方程与方程互为“美好方程”． （2）解：解关于的方程，得． 解方程，得． ∵关于的方程与方程互为“美好方程”， ∴， 解得． （3）解：解方程，得． 解关于的方程，得． ∵方程与关于的方程互为“美好方程”， ， 解得． 将代入， 得， 解得． 【点睛】本题考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程的求解方法，理解“美好方程”的定义是正确解答的关键． 45．（25-26七年级上·全国·期末）一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，若关于x的方程的解是，则称这个三位数是方程的“协调数”，称方程是这个三位数的“协调方程”．如：三位数200，因为方程的解是，所以200就是方程的协调数，方程就是200的协调方程．请根据上述材料，解决下列问题：请判断263是否是某个方程的协调数，方程是否是某个三位数的协调方程，并说明理由． 【答案】263是方程的“协调数”，理由见解析；不是某个三位数的协调方程，理由见解析 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题目中给出的新概念是解题的关键． 理解“协调数”和“协调方程”的定义，然后通过方程的解判断是不是“协调数”和“协调方程”． 【详解】解：263是方程的“协调数”，理由如下： 在三位数263中，，，，方程，即，解得，故263是方程的协调数； 不是某个三位数的协调方程，理由如下： ，该方程的解为，若该方程是协调方程，则， 因为c是个位数字，其应为整数， 故c不可能为， 所以不是某个三位数的协调方程． 46．（25-26七年级上·浙江温州·月考）定义：如果关于x的一元一次方程的解满足，我们就称这个方程为“梅合方程”．例如：方程的解为满足，方程为“梅合方程”． (1)若关于x的一元一次方程的解为，问：该方程是“梅合方程”吗？ (2)若关于x的一元一次方程是“梅合方程”，求a的值． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题考查对新定义“梅合方程”的理解与应用．首先需要明确“梅合方程”的定义：若一元一次方程的解满足，则该方程称为“梅合方程”．解题的关键是根据定义判断或构造满足条件的方程，并结合方程的解进行计算． （1）已知方程和解，需结合“梅合方程”的定义验证是否满足； （2）给出“梅合方程”的条件，要求参数的值，需结合解的定义建立等式求解． 【详解】（1）解：关于x的一元一次方程的解为， ，解得， 方程为：，对比标准形式， ，， ，而方程的解，两者相等， 该方程是“梅合方程”； （2）解：方程为：，对比标准形式， ，， 关于x的一元一次方程是“梅合方程”， ， 将代入，可得， 解得：． ． 47．（25-26七年级上·湖南湘西·月考）已知一个关于的一元一次方程（，为常数），若这个方程的解恰好为或，则称这个方程为“幸福方程”．例如：的解为，而，则方程是“幸福方程”． (1)下列方程是“幸福方程”的打“”，不是“幸福方程”的打“”；     ①（      ） ②（      ） (2)若关于的方程是“幸福方程”，求的值； (3)若关于的方程是“幸福方程”，求关于的方程的解． 【答案】(1)； (2)或 (3)当时，；当且时，无解；当且时， 【分析】本题考查了新概念的理解，一元一次方程，正确理解题中的新概念，利用分类讨论的思想解题是关键． （1）根据“幸福方程”的概念，逐一判断即可； （2）根据“幸福方程”的概念，分类列方程，逐一解出即可； （3）根据“幸福方程”的概念，列出式子，分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：①解，可得，，，，，故方程不是“幸福方程”； ②解，可得，将变形可得，，故方程是“幸福方程”， 故答案为：；； （2）解：解，可得， 关于的方程是“幸福方程”， 或， 解得或； （3）解：解，可得， 关于的方程是“幸福方程”， 或， ①当时， 可化简为， 则， ②当， 可化简为， 变形可得， 当时，等式左边等于0，等式右边等于，故该方程无解； 当时，； 综上可得，当时，；当且时，无解；当且时，． 48．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）新定义：若关于x的一元一次方程的解是，一个关于y的方程有解满足，则称关于y的方程为这个一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，以为一元一次方程的“景元方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号______． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请求出a的值； (3)如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)② (2)95或97 (3)16 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题目中定义的“景元方程”，通过解一元一次方程的方法求解． （1）先求出一元一次方程的解，再解方程和，根据“景元方程”的定义去判断； （2）解出方程的解，一元一次方程的解是，分类讨论，令，求出a的值； （3）解一元一次方程，得，由，得到，把它代入关于y的方程即可求出结果． 【详解】（1）解：一元一次方程的解是， 方程的解是， ， ①不是“景元方程”，不符合题意； 方程的解是或， 当时，， ②是“景元方程”，符合题意， 故答案为：②； （2）解：∵方程， 即或， 解得或， 方程的解为或， 一元一次方程的解为， 若，， 则， 解得， 若，， 则， 解得， 综上，a的值是95或97； （3）解：方程， 解得， ， ， ， ， ， ， 分母m不能为0， ， 即， ， ∴． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元一次方程含参问题 题型一：根据一元一次方程的定义求参数 题型二：根据方程解的定义求参数（含正/负/零解限定） 题型三：根据方程解的情况（唯一解、无解、无数解）求参数 题型四：含参方程的同解问题求参数 题型五：根据两个方程解的特定关系（相反数、倒数、倍数等）求参数 题型六：含参方程的错解还原问题求参数 题型七：含绝对值的一元一次方程求参数 题型八：一元一次方程含参新定义问题 题型一：根据一元一次方程的定义求参数 方法技巧：整理为axᵏ+b=0标准形式，列条件：k=1、a≠0、单未知数，解不等式（组）。 1．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 2．（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）是一元一次方程，则的值为 ． 3．（25-26七年级上·河南许昌·月考）若是一元一次方程，则m的值为 ． 4．（25-26七年级上·广西崇左·月考）若关于x的方程是一元一次方程，则a，b应满足什么条件？ 5．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）已知关于x的方程是一元一次方程，则k的值为 ． 6．（25-26七年级上·广西南宁·月考）若关于x的方程是一元一次方程，则k的值为（    ）. A．0 B． C．1 D． 题型二：根据方程解的约束条件求参数（含正/负/零解限定） 方法技巧：代入已知解得参数方程，求解后按限定条件筛选。 7．（21-22七年级上·江苏盐城·期末）已知为整数，且方程的解是正整数，则 ． 8．（25-26七年级上·重庆开州·月考）已知关于x的一元一次方程的解是正整数，则所有符合条件的整数a的和为 ． 9．（24-25七年级下·重庆·月考）已知为整数，关于的方程的解为非负整数．求满足条件的值的和 ． 10．（25-26七年级上·陕西西安·月考）若关于的方程的解是整数，则非负整数的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 11．（25-26七年级上·重庆·期中）若关于的方程有非负整数解，且关于的多项式是二次三项式，则所有满足条件的非负整数的值之积是 ． 12．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知关于的方程的解是正整数，且是正整数，则满足条件的值为 ． 题型三：根据方程解的情况（唯一解、无解、无数解）求参数 方法技巧：化简为ax=b，按a≠0（唯一解）、a=0且b=0（无数解）、a=0且b≠0（无解）判断。 13．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）阅读：关于的方程在不同的条件下解的情况如下：（1）当时，有唯一解；（2），时，有无数解；（3）当，时，无解．请你根据以上知识作答：已知关于的方程无解，则的值为 ． 14．（24-25七年级上·重庆·期末）如果关于x的方程有唯一解，那么实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25六年级上·上海·期末）如果，那么关于x的方程的解有（   ） A．只有一个解 B．只有一个解或无解 C．只有一个解或无数个解 D．无解 16．（25-26七年级上·广西崇左·月考）若关于x的方程与均无解，求代数式的值． 17．（23-24六年级下·上海·月考）阅读下面的材料： 讨论关于的方程的解的情况． ①若，则方程有唯一解； ②若，则方程化为，方程有无数个解； ③若，则方程无解． 请根据以上讨论的启示，讨论关于的方程的解的情况． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）已知方程． (1)当取何值时，方程无解？ (2)当取何值时，方程有无穷多个解？ (3)当取何值时，方程有唯一解？ 题型四：含参方程的同解问题求参数 方法技巧：先解无参方程得公共解，代入含参方程；或用参数表示两解，令其相等求解。 19．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若关于的方程的解也是方程的解，则的值为 ． 20．（24-25七年级上·江苏盐城·月考）若方程的解也是方程的解，则 ． 21．（21-22七年级下·湖南长沙·月考）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，则______； (3)若关于的方程的解也是关于的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数和正整数的值． 22．（24-25六年级上·上海·月考）欢欢在解关于x的方程时，对“”移项时没有变号，得出的解为． (1)求a的值； (2)若关于x的方程与的解相同，求t的值． 23．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程． (1)当为何值时，该方程与的解相同？ (2)佳佳同学在解这个方程，去分母时忘记给右边的乘分母的最小公倍数，最终解得，求这个方程正确的解． 24．（2025七年级上·湖北武汉·专题练习）如果关于的方程与的解相同，那么的值是 ． 题型五：根据两个方程解的特定关系（相反数、倒数、倍数等）求参数 方法技巧：参数表示两解，按关系列等式，验证解的有效性（如倒数不为0）。 25．（25-26七年级上·河南许昌·月考）方程的解与关于的方程的解互为倒数，求的值． 26．（25-26七年级上·宁夏固原·月考）关于的方程与的解互为相反数，求的值． 27．（25-26七年级上·福建莆田·月考）已知是关于x的一元一次方程． (1)求a的值，并求解上述一元一次方程； (2)若上述方程的解是关于x的方程的解2倍，求k的值． 28．（24-25七年级上·重庆忠县·期末）设为有理数，已知关于的一元一次方程． (1)若方程与已知方程的解相同，求的值； (2)若关于的方程的解比已知方程的解大，求已知方程的解． 29．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·月考）我们规定：如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么称这两个方程互为“和解方程”． 例如：方程的解为，方程的解为， 因为与2互为相反数，所以方程与方程互为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)下列方程与互为“和解方程”的有______．（只填序号） ①    ②    ③ (2)已知关于的方程与方程互为“和解方程”，求的值； (3)已知关于的方程与方程互为“和解方程”，求的值． 30．（25-26七年级上·湖南长沙·月考）若关于x的方程的解与关于y的方程的解满足关系式，则称方程与方程互为“双梅方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程互为“双梅方程”． (1)请通过计算判断方程与方程是否互为“双梅方程”； (2)若关于x，y的两个方程与方程互为“双梅方程”，求m的值； (3)关于x，y的两个方程与方程，若对于任何数m，都使得它们都不互为“双梅方程”，求n的值． 题型六：含参方程的错解还原问题求参数 方法技巧：错解代入错误方程求中间值，结合正确方程修正参数。 31．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）小马虎同学解方程去分母时，方程右边的忘记乘6，因而求出的解为，试求的值并求方程正确的解． 32．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）小马虎在解关于x的方程时，误将“”看成了“”，得方程的解为．求原方程的解． 33．（25-26七年级上·安徽亳州·月考）已知算式“”． (1)小欣将数字“5”抄错了，所得结果为，则小欣把“5”错写成了________． (2)小马不小心把运算符号“”错看成了“+”，则小马的计算结果比原题的正确结果大多少？ 34．（23-24七年级下·湖南衡阳·月考）某同学在解关于的方程时，误将“”看成“”，从而得到方程的解为，则原方程正确的解为（   ） A． B． C． D． 35．（25-26七年级上·湖南邵阳·月考）小马虎在解决关于x的方程时，误将“”看成了“”，得方程的解为，则原方程的解为 ． 36．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）小文在解关于x的方程时，误将看作，得方程的解为，a的值为 ． 故答案为5． 题型七：含绝对值的一元一次方程求参数 方法技巧：c≥0拆为两方程，c<0无解；确保系数≠0，检验增根。 37．（25-26七年级上·山东德州·月考）阅读下列解题过程并解答类似的题目． 解方程： 解：由，得 ①若，得 ②若，得 所以原方程的解是或 (1)解方程 (2)若方程的解也是方程的解，求m的值 38．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）若，则 ． 39．（25-26七年级上·吉林·期末）对于有理数，，，我们规定：． 例如：． 【知识运用】（1）①计算：________． ②若，求的值． 【综合运用】（2）若，求的值． 【知识迁移】（3）若，则的值为________． 【知识拓展】（4）当有且只有三个不相等的解时，直接写出的值． 40．（25-26七年级上·江西吉安·期中）如图1，点在数轴上分别表示实数，则两点之间的距离可以表示为． (1)观察图2： 数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ； (2)理解： 数轴上表示和的两点和之间的距离是多少？如果，那么的值是多少？ (3)运用：当代数式取最小值时，相应的的取值范围是什么？当代数式取最小值时，相应的的值是多少？ 41．（23-24七年级上·贵州贵阳·月考）如图，在数轴上我们可以用两数之差的绝对值来表示两数所在位置的距离，数与数的距离为．数轴上，，三个点，回答下列问题： (1)点到点的单位长度是；点到点的单位长度是_____； (2)数轴上有一非负整数，使，写出的值； (3)有数轴上的数，使，写出所代表的数． 42．（25-26七年级上·山东临沂·期中）定义一种新运算“”，对任意两数x，y，当时，；当时，． (1)当时， 求的值； (2)当 时，求的值； (3)当时， 求y的值． 题型八：一元一次方程含参新定义问题（如“差解方程”“美好方程”等） 方法技巧：理解新定义，转化为解的关系，按常规含参问题求解。 43．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”．例如：的解为，而，则方程是“差解方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)已知关于的一元一次方程是“差解方程”，则______； (2)已知关于的一元一次方程是“差解方程”，则______； (3)已知关于的一元一次方程和都是“差解方程”．求代数式的值． 44．（25-26七年级上·全国·课后作业）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“美好方程”． 例如：方程的解为，方程的解为．因为，即这两个方程的解之和为，所以这两个方程互为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”． (2)若关于的方程与方程互为“美好方程”，求的值． (3)若方程与方程互为“美好方程”，求关于的方程的解． 45．（25-26七年级上·全国·期末）一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，若关于x的方程的解是，则称这个三位数是方程的“协调数”，称方程是这个三位数的“协调方程”．如：三位数200，因为方程的解是，所以200就是方程的协调数，方程就是200的协调方程．请根据上述材料，解决下列问题：请判断263是否是某个方程的协调数，方程是否是某个三位数的协调方程，并说明理由． 46．（25-26七年级上·浙江温州·月考）定义：如果关于x的一元一次方程的解满足，我们就称这个方程为“梅合方程”．例如：方程的解为满足，方程为“梅合方程”． (1)若关于x的一元一次方程的解为，问：该方程是“梅合方程”吗？ (2)若关于x的一元一次方程是“梅合方程”，求a的值． 47．（25-26七年级上·湖南湘西·月考）已知一个关于的一元一次方程（，为常数），若这个方程的解恰好为或，则称这个方程为“幸福方程”．例如：的解为，而，则方程是“幸福方程”． (1)下列方程是“幸福方程”的打“”，不是“幸福方程”的打“”；     ①（      ） ②（      ） (2)若关于的方程是“幸福方程”，求的值； (3)若关于的方程是“幸福方程”，求关于的方程的解． 48．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）新定义：若关于x的一元一次方程的解是，一个关于y的方程有解满足，则称关于y的方程为这个一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，以为一元一次方程的“景元方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号______． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请求出a的值； (3)如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请直接写出的值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $