专题5.2 解一元一次方程（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

本讲义聚焦解一元一次方程核心知识点，从等式基本性质、方程变形规则切入，通过移项、去分母等步骤掌握解法，进而拓展含参数、含绝对值方程及实际应用，构建从基础到综合的学习支架。 资料特色在于分层设计题型，典例结合变式训练强化易错点。含参数问题培养抽象能力，含绝对值方程渗透分类讨论的推理意识，实际问题建模提升应用意识。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺，夯实基础。

专题5.2 解一元一次方程 教学目标 1.掌握等式的基本性质和方程的变形规则，能正确进行方程变形； 2.熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，能解各类基础及中档一元一次方程； 3.理解含参数一元一次方程的核心条件，能解决简单的参数问题； 4.会解含绝对值的一元一次方程，初步体会分类讨论思想； 5.能运用一元一次方程解决简单实际问题，体会建模思想。 教学重难点 重点： （1）等式基本性质的灵活应用； （2）解一元一次方程的一般步骤（去分母、去括号、移项的易错点把控）； （3）移项“变号”和去分母“不漏乘”的规则； （4）一元一次方程定义中参数的取值条件。 难点： （1）含参数一元一次方程的参数求解（如同解、整数解、无解问题）； （2）含绝对值的一元一次方程的分类讨论； （3）去分母时分子为多项式漏加括号、去括号时漏乘项或符号错误； （4）实际问题中准确提炼等量关系并转化为方程。 知识点01：等式的基本性质 性质1：等式两边同时加（或减） ，结果仍是等式（若，则）； 性质2：等式两边同时乘 ，结果仍是等式（若，则，）； 拓展：传递性（若、，则）；对称性（若，则）。 【即学即练】 1．（甘肃省白银市2025-2026学年上学期期末七年级数学试卷）下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 知识点02：方程的变形规则 1.规则1：方程两边同时加（或减） ，解不变（同等式性质1）； 2.规则2：方程两边同时乘（或除以） ，解不变（同等式性质2）。 【即学即练】 1．（24-25七年级上·河北唐山·期末）下列变形正确的是（   ） A．变形得 B．变形得 C．变形得 D．变形得 知识点03：移项、合并同类项与系数化为1 1.移项：把方程中的项 后从一边移到另一边（依据变形规则1）； 2.合并同类项：将含未知数的项和常数项分别合并，化为的形式； 3.系数化为1：方程两边同时除以未知数的 ，得解（依据变形规则2）。 【即学即练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（    ） A．可以由移项得到 B．移项后得 C．由得这种变形也叫移项 D．移项后得 知识点04：解一元一次方程的一般步骤 1.去分母：方程两边乘各分母的 （不漏乘不含分母的项，分子为多项式时加括号）； 2.去括号：按“先小后大”顺序，遵循 （括号前是负号时，括号内各项变号）； 3.移项：含未知数的项移到左边，常数项移到右边（移项必变号）； 4.合并同类项：化为的形式； 5.系数化为1：得方程的解。 【即学即练】 1．（25-26六年级上·上海闵行·月考）解方程： (1) (2) 知识点05：一元一次方程的解的情况 当时，方程有唯一解； 当且时，方程有无数解（全体实数）； 当且时，方程无解。 【即学即练】 1．（23-24七年级上·全国·期末）已知关于x的方程，为常数）有无数个解，则 知识点06：含参数的一元一次方程相关概念 1.一元一次方程定义：未知数次数为 且系数 （如中，且）； 2.常见参数问题：同解问题、整数解问题、错解求参、解与参数无关问题。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·广东深圳·月考）如果方程是关于的一元一次方程，那么的值是 ． 知识点07：含绝对值的一元一次方程解法 通过分类讨论去掉绝对值符号（分绝对值内式子大于0、等于0、小于0三种情况），转化为普通一元一次方程求解，结果需检验是否符合分类条件。 【即学即练】 1．（2025六年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)． 题型01：利用等式性质判断变形正误 方法技巧：紧扣性质2的“除数不为0”，性质1的“同时加减同一个量”；否定变形需举反例（如，当时不能得）。 【典例1】. （25-26七年级上·河南商丘·月考）下列等式变形，不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】. （25-26七年级上·广东潮州·月考）下列各式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】. （25-26七年级上·陕西西安·月考）下列运用等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．，那么 D．如果，那么 【变式3】. （25-26七年级上·甘肃平凉·期末）下列运用等式的性质进行的变形中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型02：解方程一元一次方程 方法技巧：先移项（含未知数项左、常数项右，变号），再合并同类项，最后系数化为1；步骤可灵活简化。 【典例2】. （25-26七年级上·陕西咸阳·月考）解方程：． 【变式1】. （牡丹江市初中课改联盟第一子联盟2025-2026学年上学期七年级期末考试数学试卷）解下列方程： (1)； (2)． 【变式2】. （25-26七年级上·甘肃金昌·期末）解方程： (1)； (2) 【变式3】. （25-26七年级上·广东潮州·月考）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型03：含括号的一元一次方程求解 方法技巧：先去括号（先小后大），括号前是负号时括号内各项变号；再按“移项→合并→系数化1”求解。 【典例3】. （25-26七年级上·陕西西安·月考）解方程： (1) (2)． 【变式1】. （25-26七年级上·甘肃张掖·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【变式2】. （25-26六年级上·上海普陀·月考）已知方程和方程的解相同，求m的值． 【变式3】. （25-26七年级上·河北唐山·月考）解方程： (1)； (2)． 题型04：含分母的一元一次方程求解 方法技巧：先找各分母最小公倍数，两边同乘时不漏乘不含分母的项；分子为多项式时加括号，再去括号、移项、合并、系数化1。 【典例4】. （25-26七年级上·河南商丘·月考）（1）计算：； （2）解方程：． 【变式1】. （25-26七年级上·甘肃兰州·期末）解方程：． 【变式2】. （25-26七年级上·江苏宿迁·月考）解方程： (1)； (2)． 【变式3】. （25-26七年级上·广东深圳·月考）（1）计算：； （2）解方程：． 题型05：根据一元一次方程定义求参数 方法技巧：满足两个条件：①未知数次数为1（如）；②未知数系数不为0（如）；联立求解并检验。 【典例5】. （25-26七年级上·山东青岛·月考）若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 【变式1】. （25-26七年级上·甘肃兰州·期末）已知关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【变式2】. （25-26七年级上·山东滨州·月考）已知关于x的方程是一元一次方程，方程的解是 ． 【变式3】. （25-26七年级上·重庆南川·期中）已知关于的方程是一元一次方程，则的取值是 题型06：一元一次方程的同解问题 方法技巧：先分别解两个方程（或一个用参数表示解），根据“解相同”列关于参数的方程，求解参数。 【典例6】. （25-26七年级上·山东菏泽·月考）若关于的一元一次方程的解与方程的解相同，则的值为 【变式1】. （25-26七年级上·陕西榆林·期中）若关于的方程的解与方程的解相同，则的值是 ． 【变式2】. （25-26七年级上·陕西西安·月考）已知关于x的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于x的一元一次方程的解相同，则该方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26六年级上·上海·月考）如果方程的解与方程的解相同，求的值． 题型07：利用整体代换（换元法）解同类结构一元一次方程 方法技巧：观察两个方程的结构，找出同类整式（如、等）作为整体，设为新未知数（如、）；根据已知方程的解，直接得出整体的值；再通过整体等式求解目标未知数（如），简化运算。 【典例7】. （2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（　　） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26七年级上·浙江温州·月考）若关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26七年级上·湖北黄石·月考）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解是（ ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26七年级上·湖北武汉·期中）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 题型8：含绝对值的一元一次方程求解 方法技巧：分情况讨论绝对值内式子的符号（＞0、＝0、＜0），去掉绝对值符号转化为普通方程；解得结果后检验是否符合分类条件，舍去不合理解。 【典例8】. （25-26六年级上·山东济宁·月考）若，则 ． 【变式1】. （25-26七年级上·重庆·月考）已知，，． (1)若且，求的值； (2)若且，求的值． 【变式2】. （2025七年级上·全国·专题练习）解方程： 【变式3】. （25-26七年级上·山东枣庄·期中）阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理可以表示5与之差的绝对值，同时也可以理解为5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． 根据材料利用绝对值的几何意义在数轴上探究下面的问题： 【初步探究】 （1）表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离； （2）若，则值为 ； 【拓展探究】 （3）求使成立的的值； （4）求使成立的所有整数的个数． 题型9：一元一次方程的解与参数无关问题 方法技巧：将方程整理为形式，令参数的系数为0（如），常数项相等（如），联立求未知常数。 【典例9】. （25-26七年级上·山东东营·月考）【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题，“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x，y看作字母，把a看作系数合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，其中，则． 【知识应用】 （1）当_____，_____时，关于x的多项式不含项和项． （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值． 【知识拓展】 （3）元旦快到了，某商场计划购进甲、乙两种学习机共30台进行销售，甲种学习机每台进价600元，每台售价920元；乙种学习机每台进价400元，销售利润率为（利润率=100%）．购进学习机后，商场决定：每售出一台甲种学习机，返还顾客现金b元，乙种学习机售价不变．设购进甲种学习机x台，当销售完这30台学习机的利润与x的取值无关时，求出此时b的值及售完这30台学习机获得的利润． 【变式1】. （25-26七年级上·江西抚州·期中）知识回顾： 七年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“关于x，y的代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即 原式，所以，则． 理解应用： (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，则______； (2)已知：． ①计算：； ②当m取何值时，的值与n的取值无关． 【变式2】. （22-23七年级下·安徽六安·期中）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴， 解得：． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值； （2）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值； 【解决实际问题】请利用上述问题中的数学方法解决下面问题： 初春是感冒的多发季，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，已知甲型号口罩每箱进价为800元，乙型号口罩每箱进价为600元，该医药公司决定，决定购进两种口罩共20箱，有多种购进方案．现销售一箱甲型口罩，利润率为，乙型口罩的售价为每箱1000元．为了尽快完成销售，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金m元，甲型口罩售价不变，要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，求m的值． 【变式3】. （24-25七年级上·安徽亳州·期中）已知，数轴上的点M在原点右边，与原点的距离为7个单位长度，点N在原点左边，点M、N相距9个单位长度． (1)若点M、N在数轴上所表示的数分别为m，n，则_________，_________； (2)情境：有一个玩具火车如图所示，放置在数轴上，左右两端点A、B分别对应数a、b，现将玩具火车沿数轴左右水平移动，当端点A所对应的数为b时，端点B所对应的数为m；当端点B所对应的数为a时，端点A所对应的数为n，则玩具火车的长为_________个单位长度； (3)探究：在（2）的条件下，当火车匀速向右以每秒3个单位长度运动，同时点P和点Q分别从N、M出发，以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值与它们的运动时间无关？（表示P，Q两点之间的距离；表示两点之间的距离．）若存在，请分别求出k和的值；若不存在，请说明理由． 题型10：整体思想解一元一次方程 方法技巧：将含未知数的整式（如、）看成整体，先移项合并，再求解整体的值，最后求未知数（简化运算）。 【典例10】. （25-26七年级上·广西南宁·月考）阅读材料并解答下列问题： “整体思想”是中学数学的一种重要思想方法，运用其解决问题，可以使复杂问题简单化．我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则． (1)把看成一个整体，合并的结果是 ． (2)已知，求代数式的值． (3)把看成一个整体，运用“整体思想”解方程：． 【变式1】. （24-25七年级下·山西临汾·月考）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务． 整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规方法不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如：已知，求的值，可将作为一个整体代入，则原式． 任务： (1)如图，若，求长方形与的面积差． (2)当时，代数式的值为；当时，求代数式的值（用含的代数式表示）． (3)A，B两地相距60千米，某日，甲从地出发前往地，同时，乙从地出发前往地．已知甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过2小时，甲、乙两人相遇．若经过小时，甲、乙两人相距20千米，请直接写出的值． 【变式2】. （25-26七年级上·河北邢台·月考）阅读理解：我们知道．．类似的，我们可以把看成一个整体，则．"整体思想"是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，运用“整体思想”解方程： (2)已知，则_______． (3)已知，则________． 【变式3】. （25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）阅读理解：我们知道，．类似的，我们可以把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)尝试应用：已知，则________． 在解一元一次方程时，有时根据方程的特点，巧妙利用“整体思想”，可以达到简化计算的效果． 例如：在解方程时，把看作一个整体． 令，原方程变为， 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得， 故，解得． (2)请用同样的方法解方程：； (3)已知关于的方程的解为，则方程的解为________． 一、单选题 1．若是方程的解，则a的值是（   ） A． B．5 C．1 D． 2．下列式子中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．一艘轮船在某河流中往返航行于，两码头之间，该船顺流航行全程需小时，逆流航行全程需小时．已知水流速度为每小时千米，求，两码头间的距离．若设，两码头间距离为千米，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 4．下列各式运用等式的基本性质变形正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．若与的解相同，则k的值为（   ） A．8 B．2 C． D．6 二、填空题 6．若关于x的一元一次方程的解是，则m的值为 ． 7．已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是 ． 8．方程变形为，是根据等式的性质一，在等式两边同时 ． 9．若方程是关于x的一元一次方程，那么方程的解是 ． 10．已知关于的方程，无论取何值方程恒成立，则的个位数字是 ． 三、解答题 11．已知关于x的方程是一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程的解与关于x的方程的解互为相反数，求n的值． 12．如果两个方程的解相差1，则称解较小的方程为另一个方程的“前置方程”．例如：方程是方程的前置方程． (1)判断方程是否为方程的前置方程，并说明理由； (2)若关于的方程是关于的方程的前置方程，求的值． 13．小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为． (1)求a的值； (2)求原方程的解． 14．解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4) 15．新定义：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”．例如：方程的解是，方程的解是．因为，所以方程与方程是“值3方程” (1)下列方程中：①；②；③ _____和_____为“值1方程”，_____和_____为“值6方程”（填写序号）． (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 解一元一次方程 教学目标 1.掌握等式的基本性质和方程的变形规则，能正确进行方程变形； 2.熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，能解各类基础及中档一元一次方程； 3.理解含参数一元一次方程的核心条件，能解决简单的参数问题； 4.会解含绝对值的一元一次方程，初步体会分类讨论思想； 5.能运用一元一次方程解决简单实际问题，体会建模思想。 教学重难点 重点： （1）等式基本性质的灵活应用； （2）解一元一次方程的一般步骤（去分母、去括号、移项的易错点把控）； （3）移项“变号”和去分母“不漏乘”的规则； （4）一元一次方程定义中参数的取值条件。 难点： （1）含参数一元一次方程的参数求解（如同解、整数解、无解问题）； （2）含绝对值的一元一次方程的分类讨论； （3）去分母时分子为多项式漏加括号、去括号时漏乘项或符号错误； （4）实际问题中准确提炼等量关系并转化为方程。 知识点01：等式的基本性质 性质1：等式两边同时加（或减）同一个数或整式，结果仍是等式（若，则）； 性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），结果仍是等式（若，则，）； 拓展：传递性（若、，则）；对称性（若，则）。 【即学即练】 1．（甘肃省白银市2025-2026学年上学期期末七年级数学试卷）下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查等式的基本性质； 根据等式的基本性质，逐一判断各选项的变形是否正确． 【详解】解：A、 ，两边同乘2得 ， A错误； B、 ，则，， B正确； C、当 时， 恒成立，但 与 不一定相等，C错误； D、，两边同乘6得 ， D错误， 故选：B． 知识点02：方程的变形规则 1.规则1：方程两边同时加（或减）同一个数或整式，解不变（同等式性质1）； 2.规则2：方程两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，解不变（同等式性质2）。 【即学即练】 1．（24-25七年级上·河北唐山·期末）下列变形正确的是（   ） A．变形得 B．变形得 C．变形得 D．变形得 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，熟练根据等式的性质将等式进行变形是解题的关键．注意：移项要变号，去括号时括号外的因数要与括号内的每一项分别相乘，去分母时等式两边每一项都要乘以分母的最小公倍数． 根据去分母、去括号、移项、合并同类项，化系数为“1”的法则进行变形即可作答． 【详解】解：A： 变形得，故A错误，不符合题意； B：变形得，故B错误，不符合题意； C：变形得，故C错误，不符合题意； D：变形得，故D正确，符合题意； 故选：D． 知识点03：移项、合并同类项与系数化为1 1.移项：把方程中的项改变符号后从一边移到另一边（依据变形规则1）； 2.合并同类项：将含未知数的项和常数项分别合并，化为的形式； 3.系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数，得解（依据变形规则2）。 【即学即练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（    ） A．可以由移项得到 B．移项后得 C．由得这种变形也叫移项 D．移项后得 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照解一元次方程的步骤移项，化系数为1一一判断即可． 【详解】解：．可以由移项得到，原计算步骤不正确，故该选项不符合题意； ．移项后得，原计算步骤不正确，故该选项不符合题意； ．由得这种变形叫作化系数为1，原计算步骤不正确，故该选项不符合题意； ．移项后得，原计算步骤正确，故该选项符合题意； 故选：D． 知识点04：解一元一次方程的一般步骤 1.去分母：方程两边乘各分母的最小公倍数（不漏乘不含分母的项，分子为多项式时加括号）； 2.去括号：按“先小后大”顺序，遵循乘法分配律（括号前是负号时，括号内各项变号）； 3.移项：含未知数的项移到左边，常数项移到右边（移项必变号）； 4.合并同类项：化为的形式； 5.系数化为1：得方程的解。 【即学即练】 1．（25-26六年级上·上海闵行·月考）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行解方程即可； （2）按照去分母，去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去分母得 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 知识点05：一元一次方程的解的情况 当时，方程有唯一解； 当且时，方程有无数解（全体实数）； 当且时，方程无解。 【即学即练】 1．（23-24七年级上·全国·期末）已知关于x的方程，为常数）有无数个解，则 【答案】1 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出一个关于、的一元一次方程是解此题的关键．先整理方程得出，根据已知得出，，求出、的值即可． 【详解】解：， ， ， 关于的方程，为常数）有无数个解， ，， 解得：，， ， 故答案为：1． 知识点06：含参数的一元一次方程相关概念 1.一元一次方程定义约束：未知数次数为1且系数不为0（如中，且）； 2.常见参数问题：同解问题、整数解问题、错解求参、解与参数无关问题。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·广东深圳·月考）如果方程是关于的一元一次方程，那么的值是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义及绝对值，根据一元一次方程的定义，未知数的最高次数为 1，且系数不为零解答即可． 【详解】解：由于方程是关于 的一元一次方程， 因此 且， 由得或， 解得或， 又因为， 所以， 故． 故答案为：1． 知识点07：含绝对值的一元一次方程解法 通过分类讨论去掉绝对值符号（分绝对值内式子大于0、等于0、小于0三种情况），转化为普通一元一次方程求解，结果需检验是否符合分类条件。 【即学即练】 1．（2025六年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】此题考查了解绝对值方程，根据绝对值的性质化简求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得或； （2）， ， 解得或． 题型01：利用等式性质判断变形正误 方法技巧：紧扣性质2的“除数不为0”，性质1的“同时加减同一个量”；否定变形需举反例（如，当时不能得）。 【典例1】. （25-26七年级上·河南商丘·月考）下列等式变形，不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的基本性质，需注意分母不能为零的情况，根据等式的基本性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍成立， ∴ A和B正确； ∵ 等式两边同时乘以同一个数，等式仍成立， ∴ C正确； ∵ 等式两边同时除以同一个数时，该数不能为零，但k可能为零， ∴ D不一定正确． 故选：D． 【变式1】. （25-26七年级上·广东潮州·月考）下列各式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质，逐一判断各选项的变形是否正确即可． 【详解】解：对于A，，两边加5得，正确； 对于B，，两边除以a时a可能为0，分母不能为零，变形不一定正确； 对于C，，两边乘6得，而非，错误； 对于D，，两边乘4得，而非，错误； 故选：A． 【变式2】. （25-26七年级上·陕西西安·月考）下列运用等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质，同时注意等式两边同时乘或除以同一个不为零的数，等式仍成立． 【详解】解：由等式的性质：等式两边同时加、减、乘或除以（除数不为零）同一个数，等式仍成立， 选项A：与分别加c和减c，不符合等式的性质1，故该选项不符合题意； 选项B：由，得，即，故该选项不符合题意； 选项C：当时，恒成立，但与不一定相等，故该选项不符合题意； 选项D：由，等式两边同时除以，等式成立，故该选项符合题意； 故选D． 【变式3】. （25-26七年级上·甘肃平凉·期末）下列运用等式的性质进行的变形中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立．根据等式基本性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，原结论正确，该选项不符合题意； B、若，则，原结论正确，该选项不符合题意； C、若，则，原结论正确，该选项不符合题意； D、若，则需要时，才成立，原结论错误，该选项符合题意． 故选：D． 题型02：解方程一元一次方程 方法技巧：先移项（含未知数项左、常数项右，变号），再合并同类项，最后系数化为1；步骤可灵活简化。 【典例2】. （25-26七年级上·陕西咸阳·月考）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程．熟悉去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为等一元一次方程的解法，是解题的关键． 按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的计算顺序依次计算即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：． 故答案为：． 【变式1】. （牡丹江市初中课改联盟第一子联盟2025-2026学年上学期七年级期末考试数学试卷）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的求解： （1）移项、合并同类项、系数化为1即可； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】. （25-26七年级上·甘肃金昌·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解题步骤是解此题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果； （2）根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果． 【详解】（1）解：去括号可得：， 移项并合并同类项可得：， 系数化为1可得：； （2）解：去分母可得：， 去括号可得：， 移项并合并同类项可得：， 系数化为1可得：． 【变式3】. （25-26七年级上·广东潮州·月考）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解： ∴ 解得：； （2）解： ∴ ∴ 解得：； （3）解： ∴ ∴ ∴ 解得：； （4）解： ∴ ∴ ∴ ∴ 解得： 题型03：含括号的一元一次方程求解 方法技巧：先去括号（先小后大），括号前是负号时括号内各项变号；再按“移项→合并→系数化1”求解。 【典例3】. （25-26七年级上·陕西西安·月考）解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． （1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 【变式1】. （25-26七年级上·甘肃张掖·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握去分母与去括号是解题的关键． （1）根据去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可求解； （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 【变式2】. （25-26六年级上·上海普陀·月考）已知方程和方程的解相同，求m的值． 【答案】16 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，先解方程得到，再根据两个方程的解相同，把代入方程中，求出m的值即可． 【详解】解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， ∵方程和方程的解相同， ∴把代入方程得， 解得． 【变式3】. （25-26七年级上·河北唐山·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ． 题型04：含分母的一元一次方程求解 方法技巧：先找各分母最小公倍数，两边同乘时不漏乘不含分母的项；分子为多项式时加括号，再去括号、移项、合并、系数化1。 【典例4】. （25-26七年级上·河南商丘·月考）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数的混合运算和解一元一次方程．熟悉乘方运算、除法运算、绝对值的化简的方法，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为等一元一次方程的解法，是解题的关键． （1）根据有理数混合运算的顺序：先计算乘方，再计算除法，最后计算减法，同时正确化简绝对值并得到答案． （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的计算顺序依次计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：． 【变式1】. （25-26七年级上·甘肃兰州·期末）解方程：． 【答案】 【分析】题目主要考查解一元一次方程的方法步骤，熟练掌握是解题关键． 根据解一元一次方程的方法步骤求解即可． 【详解】解： 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 方程的两边都除以，得：． 【变式2】. （25-26七年级上·江苏宿迁·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤． （1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得 【变式3】. （25-26七年级上·广东深圳·月考）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先计算乘方，再计算括号里的乘法，然后计算括号里的减法，再计算除法，最后计算加法即可； （2）方程依据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求出未知数的值即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 去分母，方程两边同时乘以6，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 未知数的系数化为1，得：， ∴该方程的解为：． 题型05：根据一元一次方程定义求参数 方法技巧：满足两个条件：①未知数次数为1（如）；②未知数系数不为0（如）；联立求解并检验。 【典例5】. （25-26七年级上·山东青岛·月考）若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 【答案】4或2 【分析】本题考查一元一次方程的概念，掌握该知识点是解题的关键．根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为1且系数不为零，因此需满足且． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴且， 由，得或， 当时，， 当时，， ∴的值为或． 故答案为：4或2． 【变式1】. （25-26七年级上·甘肃兰州·期末）已知关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫作一元一次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， 解得， 故答案为：0． 【变式2】. （25-26七年级上·山东滨州·月考）已知关于x的方程是一元一次方程，方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义和解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 首先根据一元一次方程的定义，x的指数必须为1且系数不为0，由此求出m的值，再将m的值代入方程得到方程，进而求解出x． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴，且， ∴，且， ∴， 当时，方程为， 解得：， 故答案为：． 【变式3】. （25-26七年级上·重庆南川·期中）已知关于的方程是一元一次方程，则的取值是 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为且系数不为，由此确定 的值． 【详解】∵方程 是一元一次方程， ∴， 解得；解得， ∴． 故答案为：． 题型06：一元一次方程的同解问题 方法技巧：先分别解两个方程（或一个用参数表示解），根据“解相同”列关于参数的方程，求解参数。 【典例6】. （25-26七年级上·山东菏泽·月考）若关于的一元一次方程的解与方程的解相同，则的值为 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解求参数，掌握知识点是解题的关键． 先求出方程的解，再将解代入方程，求解的值即可． 【详解】解：解方程，得． 将代入方程，得， 即， 整理得， 解得． 故答案为：． 【变式1】. （25-26七年级上·陕西榆林·期中）若关于的方程的解与方程的解相同，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了方程的解，解一元一次方程，先求出方程的解，再将解代入方程，求解的值即可． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 将代入，得：， 即， 整理得， 解得． 故答案为：2． 【变式2】. （25-26七年级上·陕西西安·月考）已知关于x的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于x的一元一次方程的解相同，则该方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的定义和一元一次方程的同解问题，根据一元一次方程的定义，求出a的值，再代入方程求解，利用解相同求出b，从而得到解． 【详解】∵ 方程 为一元一次方程， ∴ 且 ， ∴且， ∴ ， 代入方程，得 ，即 ， ∴， 又 ∵ 该方程的解与方程 的解相同， ∴ 将 代入第二个方程，得： ， 解得：， ∴ ， 故该方程的解为 ． 故选：D． 【变式3】. （25-26六年级上·上海·月考）如果方程的解与方程的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了已知方程的解，求参数，解一元一次方程等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出方程的解，将解代入方程，求出的值． 【详解】解：方程， 解得：， 将代入， 得， 解得：． 题型07：利用整体代换（换元法）解同类结构一元一次方程 方法技巧：观察两个方程的结构，找出同类整式（如、等）作为整体，设为新未知数（如、）；根据已知方程的解，直接得出整体的值；再通过整体等式求解目标未知数（如），简化运算。 【典例7】. （2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，将两个方程化为相同的形式，根据的解求出y的值即可． 【详解】解：方程可化为，方程可化为， 根据题意，得， 解得． 故选：C． 【变式1】. （25-26七年级上·浙江温州·月考）若关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了换元法解一元一次方程，设，则方程可转化为．由方程 的解为 ，可得方程的解为，进而可求得y的值．熟练掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：设，则方程可转化为， ∵ 方程的解为， ∴方程的解为， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 【变式2】. （25-26七年级上·湖北黄石·月考）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，整体的思想，掌握知识是解决问题的关键．将第二个方程中的视为整体，利用第一个方程的解，可得，进而求解． 【详解】解：∵关于x的方程的解为， 关于y的方程， 即， 解得 故选：D． 【变式3】. （25-26七年级上·湖北武汉·期中）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了换元法解一元一次方程，将方程中的视为整体，与已知方程对比，利用整体代换求解． 【详解】解：在方程中， 设，则方程化为， 又∵方程的解为， ∴，即， ∴， ∴． 故选：C． 题型8：含绝对值的一元一次方程求解 方法技巧：分情况讨论绝对值内式子的符号（＞0、＝0、＜0），去掉绝对值符号转化为普通方程；解得结果后检验是否符合分类条件，舍去不合理解。 【典例8】. （25-26六年级上·山东济宁·月考）若，则 ． 【答案】或6 【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的意义，方程可化为，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或6． 故答案为：或6． 【变式1】. （25-26七年级上·重庆·月考）已知，，． (1)若且，求的值； (2)若且，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查绝对值定义、代数式求值，根据题中要求，分类讨论确定字母的值是解决问题的关键． （1）先由绝对值定义求出，再由且，得到，且，从而确定，代入代数式计算即可得到答案； （2）先由绝对值定义求出，再由且，分类讨论确定满足条件的，确定三种情况：；；，代入代数式计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ，， ，， 即或，， ， 与异号， ， ，且， 则， ； （2）解： ，，， ，，， 即或，，， ， ， ， ， 当，，时，，，不符合要求，舍去； 当，，时，，，符合要求； 当，，时，，，不符合要求，舍去； 当，，时，，，符合要求； 当，，时，，，不符合要求，舍去； 当，，时，，，符合要求； 当，，时，，，不符合要求，舍去； 当，，时，，，不符合要求，舍去； 综上所述，有三种情况能使，且： 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，的值为或． 【变式2】. （2025七年级上·全国·专题练习）解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据绝对值的意义逐步化简即可． 【详解】解：， ， 或， 所以或（不合题意，舍去）， 则， 或， 或（不合题意，舍去）， 或． 【变式3】. （25-26七年级上·山东枣庄·期中）阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理可以表示5与之差的绝对值，同时也可以理解为5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． 根据材料利用绝对值的几何意义在数轴上探究下面的问题： 【初步探究】 （1）表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离； （2）若，则值为 ； 【拓展探究】 （3）求使成立的的值； （4）求使成立的所有整数的个数． 【答案】（1）；（2）1或；（3）；（4）所有整数的个数为6个 【分析】本题考查数轴上两点间的距离公式．绝对值的意义等知识． （1）根据两点间的距离公式，进行作答即可； （2）根据绝对值的意义得出或，解方程即可求解． （3）根据绝对值的意义得出则或，解方程即可求解． （4）根据两点间的距离，得到在之间时，，即可得出结论． 【详解】解：（1）表示数轴上与所对应的两点之间的距离． 故答案为：； （2） 则或， 解得：或， 故答案为：1或； （3） 则或， 解，无解； 解，解得：； （4）表示到之间的距离与到2之间的距离的和为5， ∵到2之间的距离为5， ∴在之间， ∴这样的整数x有，即所有满足条件的整数的个数为6个，． 题型9：一元一次方程的解与参数无关问题 方法技巧：将方程整理为形式，令参数的系数为0（如），常数项相等（如），联立求未知常数。 【典例9】. （25-26七年级上·山东东营·月考）【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题，“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x，y看作字母，把a看作系数合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，其中，则． 【知识应用】 （1）当_____，_____时，关于x的多项式不含项和项． （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值． 【知识拓展】 （3）元旦快到了，某商场计划购进甲、乙两种学习机共30台进行销售，甲种学习机每台进价600元，每台售价920元；乙种学习机每台进价400元，销售利润率为（利润率=100%）．购进学习机后，商场决定：每售出一台甲种学习机，返还顾客现金b元，乙种学习机售价不变．设购进甲种学习机x台，当销售完这30台学习机的利润与x的取值无关时，求出此时b的值及售完这30台学习机获得的利润． 【答案】（1），1；（2）；（3），售完这30台学习机获得的利润为7200元 【分析】本题主要考查了整式加减运算，解一元一次方程，弄清题意是解本题的关键． （1）先合并同类项，再根据多项式不含项和项，列出方程解答即可； （2）先求，根据多项式的值与y的取值无关可知：化简后的多项式含有y的项的系数之和为0，列出方程解答即可； （3）先求出甲乙的每台利润，然后表示出总的利润，进行合并同类项，再根据利润与x的取值无关，得到关于b的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：（1） ， ∵关于x的多项式不含项和项． ∴， 解得， 故答案为：，； （2）∵，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得； （3）由题意得，乙的每台利润为：（元）， 甲的每台利润为：（元）， ∴总利润为： ， ∵利润与x的取值无关， ∴，解得，此时利润为元． 【变式1】. （25-26七年级上·江西抚州·期中）知识回顾： 七年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“关于x，y的代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即 原式，所以，则． 理解应用： (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，则______； (2)已知：． ①计算：； ②当m取何值时，的值与n的取值无关． 【答案】(1)3 (2)①；② 【分析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值，多项式及解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为 0 ，进而即可求解； （2）①列算式后，去括号，合并同类项即可； ②根据题意得出关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∵关于x的多项式的值与x的取值无关， ∴， 解得：． （2）解：① ． ②因为的值与的取值无关， 所以， 解得：． 【变式2】. （22-23七年级下·安徽六安·期中）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴， 解得：． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值； （2）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值； 【解决实际问题】请利用上述问题中的数学方法解决下面问题： 初春是感冒的多发季，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，已知甲型号口罩每箱进价为800元，乙型号口罩每箱进价为600元，该医药公司决定，决定购进两种口罩共20箱，有多种购进方案．现销售一箱甲型口罩，利润率为，乙型口罩的售价为每箱1000元．为了尽快完成销售，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金m元，甲型口罩售价不变，要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，求m的值． 【答案】【理解应用】（1）；（2）；【解决实际问题】 【分析】理解应用：（1）根据题目信息列出关于m的方程，解方程即可； （2）先求出的值，然后再根据的值与x的取值无关，列出关于m的方程，解方程即可； 解决实际问题：设购进a箱甲型口罩，销售完20箱口罩后获得利润为W元，则购进箱乙型口罩，根据不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，列出方程，解方程即可． 【详解】理解应用： 解：（1）∵关于x的多项式的值与x的取值无关， ∴， 解得：； （2）∵，， ∴的值与x无关， 则， 解得：， 解决实际问题： 设购进a箱甲型口罩，销售完20箱口罩后获得利润为W元，则购进箱乙型口罩， 则有： ∵不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同， ∴W的值与a无关， 即， ． 【点睛】本题主要考查了整式加减的应用，解题的关键是理解题意，列出代数式，准确计算． 【变式3】. （24-25七年级上·安徽亳州·期中）已知，数轴上的点M在原点右边，与原点的距离为7个单位长度，点N在原点左边，点M、N相距9个单位长度． (1)若点M、N在数轴上所表示的数分别为m，n，则_________，_________； (2)情境：有一个玩具火车如图所示，放置在数轴上，左右两端点A、B分别对应数a、b，现将玩具火车沿数轴左右水平移动，当端点A所对应的数为b时，端点B所对应的数为m；当端点B所对应的数为a时，端点A所对应的数为n，则玩具火车的长为_________个单位长度； (3)探究：在（2）的条件下，当火车匀速向右以每秒3个单位长度运动，同时点P和点Q分别从N、M出发，以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值与它们的运动时间无关？（表示P，Q两点之间的距离；表示两点之间的距离．）若存在，请分别求出k和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)7，； (2)3； (3)存在，k的值为1，的值为6． 【分析】本题考查了数轴的动点问题，两点间的距离，数轴上的点与数的关系，多项式的无关计算，熟练掌握动点运动的规律和多项式的无关计算是解题的关键． （1）根据题意得，再结合数轴的性质计算，即可得到答案； （2）小火车的长度为，根据题意列方程计算，即可得到答案； （3）设火车运动的时间为t秒，根据数轴的性质，分别的、PQ，并代入到，将t的系数为零计算即可． 【详解】（1）根据题意，得， ∵点N在原点左边，点M、N相距9个单位长度 ∴， 故答案为：7，； （2）设玩具火车的长为， ∴ 根据题意，得， ∴ 将代入到，得， ∴， 故答案为：3； （3）设火车运动时间为t秒 ∵火车匀速向右以每秒3个单位长度运动，且， ∴ ∵点P和点Q同时分别从N、M出发，以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动， ∴， ∴， 当时，，即与它们的运动时间无关， ∴存在常数k使得的值与它们的运动时间无关，，． 题型10：整体思想解一元一次方程 方法技巧：将含未知数的整式（如、）看成整体，先移项合并，再求解整体的值，最后求未知数（简化运算）。 【典例10】. （25-26七年级上·广西南宁·月考）阅读材料并解答下列问题： “整体思想”是中学数学的一种重要思想方法，运用其解决问题，可以使复杂问题简单化．我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则． (1)把看成一个整体，合并的结果是 ． (2)已知，求代数式的值． (3)把看成一个整体，运用“整体思想”解方程：． 【答案】(1) (2)14 (3) 【分析】本题主要考查了整式的加减，已知式子的值，求代数式的值，解一元一次方程． （1）把看成一个整体，合并同类项即可； （2）由已知可得，整体代入，计算即可； （3）把看成一个整体，去分母，移项，合并同类项，可得，即可求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴ ． ∴代数式的值为． （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】. （24-25七年级下·山西临汾·月考）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务． 整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规方法不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如：已知，求的值，可将作为一个整体代入，则原式． 任务： (1)如图，若，求长方形与的面积差． (2)当时，代数式的值为；当时，求代数式的值（用含的代数式表示）． (3)A，B两地相距60千米，某日，甲从地出发前往地，同时，乙从地出发前往地．已知甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过2小时，甲、乙两人相遇．若经过小时，甲、乙两人相距20千米，请直接写出的值． 【答案】(1)8 (2) (3)当的值为小时或小时，两人相距20千米， 【分析】本题考查的是整式的加减运算的应用，方程的应用，整体思想法，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先表示长方形A与B的面积差为：，再化简，再整体代入计算即可； （2）由条件得到，再把代入可得，再整体代入计算即可； （3）由2小时相遇可得，再分两种情况：当两人相遇前，相距20千米，当两人相遇后，相距20千米，再列式计算即可． 【详解】（1）解：∵长方形A与B的面积差为： ， ∵， ∴原式． （2）解：当时，代数式的值为m， ∴， ∴， 当时， ∴ ； （3）解：由题意可得：， ∴， 当两人相遇前，相距20千米， （小时）， 当两人相遇后，相距20千米， （小时）， 综上：当的值为小时或小时，两人相距20千米， 【变式2】. （25-26七年级上·河北邢台·月考）阅读理解：我们知道．．类似的，我们可以把看成一个整体，则．"整体思想"是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，运用“整体思想”解方程： (2)已知，则_______． (3)已知，则________． 【答案】(1) (2)24 (3) 【分析】（1）根据解一元一次方程的基本步骤解答即可； （2）由，得即，代入解答即可； （3）由，得，整体代入计算即可． 本题考查了解一元一次方程，求代数式的值，整体思想的应用，熟练掌握解方程，求代数式的值是解题的关键． 【详解】（1）解：， 解得． （2）解：由，得即， 故， 故原式． （3）解：由，得， ． 【变式3】. （25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）阅读理解：我们知道，．类似的，我们可以把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)尝试应用：已知，则________． 在解一元一次方程时，有时根据方程的特点，巧妙利用“整体思想”，可以达到简化计算的效果． 例如：在解方程时，把看作一个整体． 令，原方程变为， 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得， 故，解得． (2)请用同样的方法解方程：； (3)已知关于的方程的解为，则方程的解为________． 【答案】(1)24 (2) (3) 【分析】本题主要考查代数式的求值及解一元一次方程，关键是根据题意利用整体思想进行求解问题． （1）由得到，再整体代入求值； （2）仿照题中所给方法解方程即可； （3）将看作一个整体，观察可得两个方程的系数一样，则两个方程的解相同，即，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． 故答案为：24． （2）解：令， 原方程变为， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 故， 解得． （3）解：∵将方程中的替换为，即可得到方程， ∴， 解得． 一、单选题 1．若是方程的解，则a的值是（   ） A． B．5 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了已知方程的解求参数，将代入方程中，得到关于a的方程，求解即可． 【详解】解：∵ 是方程的解， ∴， 即， ∴， 故选：A． 2．下列式子中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的定义，判断时需确保式子为方程，且满足“一元”和“一次”的条件． 根据一元一次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为的方程）判断各选项． 【详解】解：A中没有未知数， 不是一元一次方程； B中没有等号， 不是方程； C中未知数的最高次数为2， 不是一次方程； D中只有一个未知数，且次数为1， 是一元一次方程． 故选：D． 3．一艘轮船在某河流中往返航行于，两码头之间，该船顺流航行全程需小时，逆流航行全程需小时．已知水流速度为每小时千米，求，两码头间的距离．若设，两码头间距离为千米，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查一元一次方程的应用，列方程解应用题的关键是找出题目中的等量关系． 设，两码头间距离为千米，可得：顺流速度为千米/小时，逆流速度为千米/小时，则静水船速=；静水船速=，因为静水船速是固定不变的，即可列出方程． 【详解】解：设，两码头间距离为千米，则由题意得，， 故选：D． 4．下列各式运用等式的基本性质变形正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查等式的基本性质，熟练掌握等式的性质是解题关键． 等式两边同时加、减、乘或除以同一个数（除数不为0），等式仍成立,逐项验证变形是否正确． 【详解】解：A、若，两边同除以2，得，故该选项正确； B、若，两边同除以3，得，故该选项错误； C、若，两边同乘以，得，故该选项错误； D、若，两边同加1，得，故该选项错误． 故选：A． 5．若与的解相同，则k的值为（   ） A．8 B．2 C． D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了同解方程，解一元一次方程，先解方程求出的值，再代入方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 将代入∶ ∴， ∴， ∴ ． 故的值为2． 故选B． 二、填空题 6．若关于x的一元一次方程的解是，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，解题关键是将方程的解代入原方程，建立关于未知数的等式求解． 将方程的解代入原方程，通过解一元一次方程求的值 【详解】∵是关于的一元一次方程的解， ∴把代入方程，得， ∴． 故答案为． 7．已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，未知数的次数是1，且一次项的系数不为0的整式方程叫作一元一次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 8．方程变形为，是根据等式的性质一，在等式两边同时 ． 【答案】加上 【分析】本题考查了等式的性质． 根据等式的性质一，等式两边同时加上同一个整式，等式仍然成立．原方程变形时，在两边同时加上，即可得到变形后的方程． 【详解】解：方程， 两边同时加上，得， 整理得． 故答案为：加上． 9．若方程是关于x的一元一次方程，那么方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义，未知数的指数为1且系数不为0，列方程求的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴且， 解得且， ∴， 将代入方程，得， 解得． 故答案为：． 10．已知关于的方程，无论取何值方程恒成立，则的个位数字是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一元一次方程的解，数字类规律探索等知识点，解题的关键是找到的幂的个位数字的规律． 由方程恒成立条件，得系数相等和常数项相等，求出m和n的值，再计算，然后求其2026次幂的个位数字，通过3的幂的个位循环周期确定． 【详解】解：因为方程恒成立， 所以，， 解得，， 所以， 因为的幂的个位数字周期为：即个位，个位，个位，个位，依此循环．余，对应个位数字为． 故答案为：9． 三、解答题 11．已知关于x的方程是一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程的解与关于x的方程的解互为相反数，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，方程的解，根据定义，方程的解，列式计算． （1）根据是关于x的一元一次方程，得到，，，求得m的值即可． （2）先求得的解，根据一元一次方程的解与的解互为相反数，求得解，代入求得n的值即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 解得：； （2）解：当时，关于的方程为：， 解得：； 因为两个方程解互为相反数， 所以将代入， 得， 解方程，得． 12．如果两个方程的解相差1，则称解较小的方程为另一个方程的“前置方程”．例如：方程是方程的前置方程． (1)判断方程是否为方程的前置方程，并说明理由； (2)若关于的方程是关于的方程的前置方程，求的值． 【答案】(1)方程是方程的前置方程，见解析 (2) 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，理解题意是解题的步骤． （1）求出两个方程的解，利用“前置方程”的定义判断即可； （2）分别表示出两个方程的解，根据“前置方程”的定义列出关于、的方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】（1）解：方程是方程的“前置方程”， 理由：解方程，得， 解方程，得， ∵， ∴方程是方程的“前置方程”； （2）解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于的方程是关于的方程的“前置方程”， ∴， ∴， ∴． 13．小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为． (1)求a的值； (2)求原方程的解． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的错解问题． （1）根据“方程右边的忘记乘12”得到小明去分母后的方程，进而将代入求解即可； （2）得到正确的方程，进而根据解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 去分母得， ∵小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12， ∴小明去分母后的方程应为， ∵求出的解为， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴方程为， 两边乘12，得， 去括号得， 整理得， 移项合并同类项得， 系数化为1得． 14．解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． （4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （3）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （4）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 15．新定义：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”．例如：方程的解是，方程的解是．因为，所以方程与方程是“值3方程” (1)下列方程中：①；②；③ _____和_____为“值1方程”，_____和_____为“值6方程”（填写序号）． (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值． 【答案】(1)①和②，①和③ (2)或 【分析】本题考查了新定义问题的应用，一元一次方程求解及解绝对值方程． （1）先分别求解三个方程的解，然后根据“值Q方程”的定义，计算两个方程解的差的绝对值，若绝对值为1，则这两个方程为“值1方程”；若绝对值为6，则这两个方程为“值6方程”； （2）先分别求解方程和的解，根据题意，两个方程解的差的绝对值为2，可列出关于a的绝对值方程，求解即可得到a的值． 【详解】（1）解：方程①：，解得； 方程②：，解得； 方程③：，解得， ∵，， ∴①和②为“值1方程”，①和③为“值6方程”， 故答案为：①和②，①和③． （2）解：由方程，解得， 由方程，解得， 由题意得，即， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上所述，或． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $