第5章一元一次方程（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材华东师大版七年级下册

第5章 一元一次方程（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知方程是一元一次方程，则的值为（   ） A．2 B． C． D．无法确定 2．相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．就是我们今天的幻方．三阶幻方是最简单的幻方．由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方、在如图所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．则这个“幻方”中的的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．2026年春节即将到来，八年级一班同学准备制作中国结装饰教室．若每名同学制作7个中国结，总数比原计划多了20个；若每名同学制作5个中国结，总数比原计划少了60个．设八年级一班有x名同学，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．按如图所示的运算程序，若输出的结果是1，则输入的m值是（　　） A．1 B． C． D．1或 5．若关于x的一元一次方程和的解相同，则m的值为（   ） A．2 B．3 C． D．1 6．小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此求得的解为，方程正确的解为（   ） A． B．13 C．4 D．5 7．若关于x的方程的解是正整数，则所有满足条件的正整数m的和为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．计算时，嘉琪不小心把一个运算符号写错，结果得到21，则他写错的是哪个数前面的符号（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 9．已知m，n为常数，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．已知一个两位数，交换十位数字和个位数字后得到新数，新数比原数大45，若关于x的方程的所有整数解分别为，，…，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．12 D．2 11．定义运算：，例如：，，若，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 12．如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且，则下列结论中： ①；②；③；④．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解 ． 14．如图，点C把线段分成两部分，其比为，点P是的中点，，则 ． 15．小深、小圳约定同时从各自家里出发前往植物园大门口集合“拾秋”，已知小深家、小圳家分别位于植物园正东方向、处，小深、小圳的步行速度分别为、，先到达大门口的人停下等待另一人到达，则小深与小圳相距不超过的时间共计 小时． 16．在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为3．点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴上同时向负半轴运动，运动时间为 秒时，、、三点中恰有一点为另外两点的中点． 17．如图，记钟面上刻度为3的点为C，在某天的到之间，当钟面角的两条边时针、分针所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的平分线时，求出此时对应的时刻为1点 分． 18．在数轴上A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达，第2次从点向右移动6个单位长度到达点，第3次从向左移动9个单位长度到达点，…按照这种规律进行下去，第n次移动到达点，如果点与原点的距离为20，那么n的值为 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．(8分)解方程 (1) (2) 20．(8分)某食品加工厂计划生产一批礼盒装的蛋黄酥，每盒需搭配3块大蛋黄酥和6块小蛋黄酥．已知制作1块大蛋黄酥需要0.06千克面粉，制作1块小蛋黄酥需要0.03千克面粉．工厂目前储备了5400千克面粉，为了尽可能生产出最多的礼盒，应该分别用多少千克面粉制作大、小蛋黄酥？ 21．(8分)现定义一种新运算：，定义的内容被遮盖住了，请观察下列式，并回答下列问题： ； ； (1)请补全定义内容：______（用含，的代数式表示） (2)当时，求的值． (3)若，，比较与的大小，并说明理由． 22．(8分)阅读材料，回答下列问题： 问题：怎样将循环小数0.8表示成分数？ 设① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ (1)根据材料，判断_______有理数；（填“是”或“不是”） (2)从步骤①到步骤②，变形的依据是_______；从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是______； (3)类比上述探究过程，请你将表示成分数的形式． 23．(10分)购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．下表是两款空调的部分基本信息： 匹数 能效等级 售价/元 每小时耗电 2 1级 3000 2 3级 2600 目前市场上电价是0.5元，空调综合费用空调的售价电费．某校准备购置一批空调，每间教室装2台，每台空调1年使用的时间约为． (1)如果买1级能效空调1台，1年的综合费用为______元． (2)数学兴趣小组发现，随着空调的安全使用年限不同，不同购买方案费用也不相同，设这两款空调的安全使用年限均为x年，当x取什么值时，每台1级能效空调和每台3级能效空调的综合费用相等？ (3)学校图书馆也准备安装空调，若这两款空调的安全使用年限均为10年，你觉得若购买一台空调，买哪种空调更合算，请通过计算说明理由． 24．(10分)综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用黑色和白色两种正方形地砖拼成图案铺设长方形绿化路． 【项目设计】 图案拼接规则：用形状、大小完全相同的黑色和白色正方形进行拼接，使图案之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片． 图案构建：运用拼接规则得到第1个、第2个、第3个图案，如下图所示． 【规律发现】 第5个图案中黑色正方形的个数为 ① ，黑、白两种正方形的总个数为 ② ． 第n个图案中黑色正方形的个数为 ③ ，黑、白两种正方形的总个数为 ④ ． （用含n的代数式表示） 【项目实施】 （1）将上述分析中横线上所缺的内容补充完整． ①______；②______；③______；④______． （2）每块正方形地砖的边长为，用第n个图案铺设的长方形绿化路的长为，这条小路用了多少块黑色地砖？ 25．(10分)如图，数轴上、、三点分别表示的数为、4、7，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． (1)填空：___________；___________； (2)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为10； (3)若点表示的数为，当取最小值时，求此时点表示的数；此时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，、同时开始运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点N到点、点的距离之和？ 26．(10分)定义：如图1，在的内部画射线，射线把分成两个角，分别为和，若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“3等分线”． (1)若，射线为的“3等分线”，则的度数为_____； (2)①如图2，已知，射线是的三等分线，且将分成的两个角中，有一个角与互余，求的度数； ②在①的条件下，当时，射线从开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当射线与重合时，两条射线同时停止运动．在两条射线运动过程中，当恰好是的“3等分线”时，求运动时间的值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 一元一次方程（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知方程是一元一次方程，则的值为（   ） A．2 B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义，x的次数必须为1且系数不为零，据此求得m的值即可． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴，且， 由，得， 当时，，系数为零，不符合条件； 当时，，符合条件， ∴m的值为． 故选：B． 2．相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．就是我们今天的幻方．三阶幻方是最简单的幻方．由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方、在如图所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．则这个“幻方”中的的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据“每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等”，分别列出等式，，然后求出结果即可． 【详解】解：如图，设另外三个圆圈中的数分别为x，y，z， ∵每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴每个小三角形各顶点上数字之和相等， ∴，整理得，解得：； ，整理得：， 把代入得：， 解得：； 故选：C． 3．2026年春节即将到来，八年级一班同学准备制作中国结装饰教室．若每名同学制作7个中国结，总数比原计划多了20个；若每名同学制作5个中国结，总数比原计划少了60个．设八年级一班有x名同学，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据计划量是相等的去建立等式解答即可． 【详解】解：根据题意得. 故：A． 4．按如图所示的运算程序，若输出的结果是1，则输入的m值是（　　） A．1 B． C． D．1或 【答案】A 【分析】本题考查了程序框图与求代数式的值，解一元一次方程等知识；根据输出结果是1得两个关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：若m为非负数，则，解得：，符合题意； 若m为负数，则，解得：，不符合题意； 综上，； 故选：A． 5．若关于x的一元一次方程和的解相同，则m的值为（   ） A．2 B．3 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，先分别求出两个方程的解，令其相等，即可求解． 【详解】解：解方程得， 解方程得， ∵ 两方程解相同， ∴ = 3， 解得. 故选：C． 6．小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此求得的解为，方程正确的解为（   ） A． B．13 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握其运算规则是解题的关键．根据小明错误去分母得到的方程，将代入求出的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：∵小明去分母时，左边的1没有乘以10， ∴错误方程为：， 将代入错误方程， ， 解得， 那么原方程为：， 那么， 解得， ∴方程正确的解为， 故选：B． 7．若关于x的方程的解是正整数，则所有满足条件的正整数m的和为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程方程的解，首先解方程，将原方程转化为关于x的表达式，再根据解为正整数确定m的可能值，最后求和． 【详解】解： ， 两边同乘3，得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， ∴， ∵关于x的方程的解是正整数，m是正整数， ∴或， 解得 或 ， ∴满足条件的 为2和4，和为 ， 故选：C． 8．计算时，嘉琪不小心把一个运算符号写错，结果得到21，则他写错的是哪个数前面的符号（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减、解一元一次方程，通过差值分析符号改变的影响，快速定位目标数字． 计算正确算式的结果为，实际得到21，相差36．写错一个运算符号相当于改变某个数字的符号，只有将偶数前的负号改为正号才能使总和增加2倍该数值，从而求得该偶数为18． 【详解】解： ， 实际得到21，差值， 设写错的数字为n，其原本符号为s（n为奇数时，n为偶数时）， 改变符号后，总和变化为． 若n为奇数，，则，（舍去）． 若n为偶数，，则， ∴． ∴写错的是18前面的符号． 故选：D． 9．已知m，n为常数，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据一元一次方程的解求参数． 将代入方程，化简后得到关于k的等式，由等式对任意k成立，可得k的系数和常数项均为零，从而求出m和n的值，再计算． 【详解】解：∵总是的解， 代入方程：， 化简得， 两边同乘6得：， 即， 移项得：， 即， ∵该式对任意k成立， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 10．已知一个两位数，交换十位数字和个位数字后得到新数，新数比原数大45，若关于x的方程的所有整数解分别为，，…，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．12 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值、一元一次方程，由两位数交换数字后差45得出b与a的关系，代入方程求整数解，得到三个解后求绝对值表达式的最小值． 【详解】∵原数=，新数=， ∴， 即， ∴， ∵a为1至9的整数，b为0至9的整数， ∴a可取1，2，3，4，对应，7，8，9． 方程， 代入，得， ∴， 当时，；时，；时，不是整数；时，． ∴整数解为，，，即． ∴． 当y取2时，和最小为． ∴最小值为5． 故选：A． 11．定义运算：，例如：，，若，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查新运算，解方程，根据新运算的定义，分和两种情况讨论，分别解方程求x的值即可． 【详解】解：∵， ∴①当时，， ∴， ∵，， ∴； ②当时，，解得； 故选：D． 12．如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且，则下列结论中： ①；②；③；④．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值化简，整式的加减应用，等式性质应用的知识﹒由数轴可得，，根据，得到，即可得到，故①错误；根据变形为，故②正确；根据得到，故③正确；根据，化简得故④错误，问题得解﹒ 【详解】解：由数轴可得，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②正确； ∵ ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误﹒ 故选：B 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，理解两个方程之间的关系是关键．通过换元法，将视为整体，得出方程，进而求出方程的解即可． 【详解】解：设，则关于的方程化为． 已知关于的方程的解为， 因此，即， 解得． 故答案为：． 14．如图，点C把线段分成两部分，其比为，点P是的中点，，则 ． 【答案】36 【分析】本题考查了线段中点的定义，一元一次方程的应用，根据线段之间的关系得出等量关系列方程是解题的关键． 设，，然后表示出，再根据线段中点的定义表示出，再根据列方程求出，从而得解． 【详解】解：， 设，， ， 点是的中点， ， ， ， 解得， ． 故答案为：36． 15．小深、小圳约定同时从各自家里出发前往植物园大门口集合“拾秋”，已知小深家、小圳家分别位于植物园正东方向、处，小深、小圳的步行速度分别为、，先到达大门口的人停下等待另一人到达，则小深与小圳相距不超过的时间共计 小时． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设时间（单位：h），植物园大门口为数轴原点，正东方向为正方向，表示两人距离，分运动阶段求距离不超过的时间区间，计算总时长即可． 【详解】解：设时间（单位：h），植物园大门口为数轴原点，正东方向为正方向．， 小深的位置为，小圳的位置为，则小深在时到达门口并停止运动，小圳在时到达门口， 当时，两人距离， 令， 解得或， ∴在阶段，当时，两人相距不超过， 但小深在时到达门口并停止运动，此时位置固定为0， 当时，两人距离， 令， 解得， 小圳在时到达门口， ∴当时，小深与小圳相距不超过， 因此，总时长为（小时）． 故答案为：． 16．在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为3．点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴上同时向负半轴运动，运动时间为 秒时，、、三点中恰有一点为另外两点的中点． 【答案】2.4或12 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴上两点之间的距离及动点问题，需要分情况讨论，不要漏掉．根据题意可知运动秒后，点的位置为，点的位置为，点的位置为，根据点运动后的位置，利用数轴上两点之间的距离列出方程，分别求解三种情况下恰有一点为另外两点的中点的时间． 【详解】解：∵在数轴上点表示数，点表示数，点、点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度的速度在数轴上同时向负半轴运动， ∴点一定在点的左边， 运动秒后，点的位置为，点的位置为，点的位置为， 当点为点和点的中点时，有，解得； 当点为点和点的中点时，有，解得（不符合题意，舍去）； 当点为点和点的中点时，有，解得； 故答案为：或12． 17．如图，记钟面上刻度为3的点为C，在某天的到之间，当钟面角的两条边时针、分针所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的平分线时，求出此时对应的时刻为1点 分． 【答案】或 【分析】此题考查了一元一次方程的应用和角平分线的定义，分四种情况讨论：利用方程求出答案即可． 【详解】解：由题意可知：当时间为时，钟面角 ，时间为3点时，钟面角，所以（此时皆为初始状态），如图所示， 所以，在某天的到之间，当钟面角的两条边时针、分针 所在射线与射线 中恰有一条是另两条射线所成角的平分线时，可把题意理解为射线 是以每分钟的速度在转动，射线 是以每分钟的速度在转动，同时出发，设它们转动的时间为分钟，则可分四种情况讨论： 当射线 在射线 的左侧，且满足射线 平分 时，即，则有， 解得 （不合题意，舍去）； 当射线 在 内部，且满足射线 平分时，即 ，则有，解得，此时对应的时刻为1点分； 当射线在外部，且满足射线 平分时，即： ，则有，解得， 此时对应的时刻为1时分； 当射线 在 外部，且满足射线 平分 时，即，则有 ， 解得（不符合题意，舍去）． 综上所述：当钟面角的两条边时针 、分针 所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的平分线时，对应的时刻为1点分或1点分 故答案为：或 18．在数轴上A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达，第2次从点向右移动6个单位长度到达点，第3次从向左移动9个单位长度到达点，…按照这种规律进行下去，第n次移动到达点，如果点与原点的距离为20，那么n的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了数轴中的规律探究，根据移动规律，当n为奇数时，点的坐标为；当n为偶数时，点的坐标为．由点与原点的距离为20，列出方程求解． 【详解】解：当n为奇数时，点的坐标为，则，即，解得，． 当n为偶数时，点的坐标为，则，即，解得，，不是整数，舍去． ∴n的值为13． 故答案为：13． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．(8分)解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤和方法是解题的关键． （1）分别去括号、移项、合并同类项，系数化为1即可； （2）分别去分母、移项、合并同类项，系数化为1即可． 【详解】（1）解： 解得； （2）解：方程左右两边同时乘以6，得 解得． 20．(8分)某食品加工厂计划生产一批礼盒装的蛋黄酥，每盒需搭配3块大蛋黄酥和6块小蛋黄酥．已知制作1块大蛋黄酥需要0.06千克面粉，制作1块小蛋黄酥需要0.03千克面粉．工厂目前储备了5400千克面粉，为了尽可能生产出最多的礼盒，应该分别用多少千克面粉制作大、小蛋黄酥？ 【答案】为了尽可能生产出最多的礼盒，应该分别用2700千克面粉制作大蛋黄酥，用2700千克面粉制作小蛋黄酥 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设生产个礼盒，根据每盒需搭配3块大蛋黄酥和6块小蛋黄酥，制作1块大蛋黄酥需要0.06千克面粉，制作1块小蛋黄酥需要0.03千克面粉，制作大蛋黄酥和小蛋黄酥的面粉共5400千克，列方程求解即可． 【详解】解：设生产个礼盒，由题意得： 化简，得： 解得： 生产大蛋黄酥需要面粉（千克） 生产小蛋黄酥需要面粉（千克） 答：为了尽可能生产出最多的礼盒，应该分别用2700千克面粉制作大蛋黄酥，用2700千克面粉制作小蛋黄酥． 21．(8分)现定义一种新运算：，定义的内容被遮盖住了，请观察下列式，并回答下列问题： ； ； (1)请补全定义内容：______（用含，的代数式表示） (2)当时，求的值． (3)若，，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) ，理由见解析 【分析】本题考查了新定义运算、一元一次方程的求解及代数式的大小比较，解题的关键是根据已知运算例推导新运算的表达式，再结合规则计算或比较． （1）观察已知运算式的结构，拆分得出的代数式； （2）代入新运算表达式列方程，求解； （3）分别表示出、的代数式，计算的差值，根据差值符号比较大小． 【详解】（1）解：观察，， 得． 故答案为：． （2）解：由新运算， ． 由， 解得． 答：的值为． （3）解：； ． ． 因，故，即． 答：． 22．(8分)阅读材料，回答下列问题： 问题：怎样将循环小数0.8表示成分数？ 设① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ (1)根据材料，判断_______有理数；（填“是”或“不是”） (2)从步骤①到步骤②，变形的依据是_______；从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是______； (3)类比上述探究过程，请你将表示成分数的形式． 【答案】(1)是 (2)等式的基本性质；合并同类项和等式的基本性质 (3) 【分析】本题考查无限循环小数转化为分数的运用，运用一元一次方程的运用，解答时根据等式的性质变形建立方程是解答的关键． （1）根据材料求得的判断即可； （2）根据等式的性质解答即可； （3）仿照材料解法，根据题意设，两边同时乘以，可得，解方程即可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴是有理数； 故答案为：是 （2）解：从步骤①到步骤②，变形的依据是等式的基本性质； 从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是合并同类项和等式的基本性质． 故答案为：等式的基本性质；合并同类项和等式的基本性质． （3）解：设， 两边同时乘以，得， ∴ ∴， 解得：．即． 23．(10分)购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．下表是两款空调的部分基本信息： 匹数 能效等级 售价/元 每小时耗电 2 1级 3000 2 3级 2600 目前市场上电价是0.5元，空调综合费用空调的售价电费．某校准备购置一批空调，每间教室装2台，每台空调1年使用的时间约为． (1)如果买1级能效空调1台，1年的综合费用为______元． (2)数学兴趣小组发现，随着空调的安全使用年限不同，不同购买方案费用也不相同，设这两款空调的安全使用年限均为x年，当x取什么值时，每台1级能效空调和每台3级能效空调的综合费用相等？ (3)学校图书馆也准备安装空调，若这两款空调的安全使用年限均为10年，你觉得若购买一台空调，买哪种空调更合算，请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)当时，每台1级能效空调和每台3级能效空调的综合费用相等 (3)买1级能效空调更合算，计算说明见解析 【分析】此题考查了有理数的混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确表示出空调综合费用． （1）根据空调综合费用空调的售价＋电费列式求解即可； （2）根据题意列出方程求解即可； （3）分别求出使用10年1级能效空调和3级能效空调的综合费用，然后比较求解即可． 【详解】（1）解：（元） ∴如果买1级能效空调1台，1年的综合费用为4500元， 故答案为：； （2）解：由题意得， 解得 答：当时，每台1级能效空调和每台3级能效空调的综合费用相等； （3）解：买1级能效空调更合算，理由如下： 1级能效空调综合费用为； 3级能效空调综合费用为； ∵， ∴买1级能效空调更合算． 24．(10分)综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用黑色和白色两种正方形地砖拼成图案铺设长方形绿化路． 【项目设计】 图案拼接规则：用形状、大小完全相同的黑色和白色正方形进行拼接，使图案之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片． 图案构建：运用拼接规则得到第1个、第2个、第3个图案，如下图所示． 【规律发现】 第5个图案中黑色正方形的个数为 ① ，黑、白两种正方形的总个数为 ② ． 第n个图案中黑色正方形的个数为 ③ ，黑、白两种正方形的总个数为 ④ ． （用含n的代数式表示） 【项目实施】 （1）将上述分析中横线上所缺的内容补充完整． ①______；②______；③______；④______． （2）每块正方形地砖的边长为，用第n个图案铺设的长方形绿化路的长为，这条小路用了多少块黑色地砖？ 【答案】（1）16；55；；；（2）这条小路用了241块黑色地砖． 【分析】本题考查了规律型－图形的变化类．解题的关键是通过归纳与总结，得到其中的规律． （1）找出数量上的变化规律即可求解，从而推出一般性的结论； （2）先找到规律求得共有80个图案，再利用（1）中得到的代数式列出方程可求解． 【详解】解：（1）第1个图案黑色方块的个数为，黑、白两种方块的总个数为块； 第2个图案黑色方块的个数为，黑、白两种方块的总个数为块； 第3个图案黑色方块的个数为，黑、白两种方块的总个数为块； ， 第个图案中黑色方块的个数为，黑、白两种方块的总个数为， ∴第5个图案中黑色方块的个数为，黑、白两种方块的总个数为块， 故答案为：16；55；；； （2）第1个图案长有3个正方形； 第2个图案长有5个正方形； 第3个图案长有7个正方形； ， 第个图案长有个正方形， ∵长为， ∴有个正方形， ∴，解得， ∴共有80个图案， ∴共有黑色方块的个数为， 答：这条小路用了241块黑色地砖． 25．(10分)如图，数轴上、、三点分别表示的数为、4、7，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． (1)填空：___________；___________； (2)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为10； (3)若点表示的数为，当取最小值时，求此时点表示的数；此时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，、同时开始运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点N到点、点的距离之和？ 【答案】(1)；； (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查整式的加减运算，绝对值与数轴的综合应用，解决此题时，能够熟练掌握绝对值的性质是解决此题的关键． （1）根据绝对值的意义即可； （2）设点表示的数为，依题意，得再根据绝对值的意义分三种情况讨论即可； （3）若点表示的数为，当取最小值时，，设经过的时间为，再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵三点分别表示的数为， ∴， 故答案为：；； （2）解：∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴设点表示的数为， ∵动点到点、点的距离之和为10， ∴， 当时，，， ， 解得； 当时，，， ，此情况不成立，舍去； 当时，，， ， 解得； ∴当经过或秒时，动点到点、点的距离之和为10； （3）解：若点表示的数为，当取最小值时，， 设经过的时间为，则点表示的数为4， 点、表示的数分别为，， 点、之间的距离为， 点到点、点的距离和， 当时，，， ，即， 解得在取值范围内，成立； 时，，， ，即，解得， 不在取值范围内，舍去； 当时，，， 即 解得在取值范围内，成立； 所以经过或秒时，点、点之间的距离正好等于点N到点、点的距离之和． 26．(10分)定义：如图1，在的内部画射线，射线把分成两个角，分别为和，若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“3等分线”． (1)若，射线为的“3等分线”，则的度数为_____； (2)①如图2，已知，射线是的三等分线，且将分成的两个角中，有一个角与互余，求的度数； ②在①的条件下，当时，射线从开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当射线与重合时，两条射线同时停止运动．在两条射线运动过程中，当恰好是的“3等分线”时，求运动时间的值． 【答案】(1)或 (2)①或；②的值分别为，，， 【分析】（1）根据的“3等分线”，分别求出； （2）①分、两种情况，分别求出； ②分、两种情况，运动时间的值． 【详解】（1）解：，射线为的“3等分线”， 所以，或， 故答案为：或． （2）①解：设将分成的两个角中较小的角为，则另一个角为， 则， 当时，， ∴， ∴． 当时， ， ， ∴． 综上所述，或； ②解：如图， ∵的度数小于， ∴． 根据题意，，， 有两条三等分线， ∴或． 当时，（秒）， ∴运动9秒与重合， 若， ∴， 解得：． 若， ∴． 解得：． 当时，（秒）， ∴运动18秒与重合， 若 ∴ 解得：． 若 ∴ 解得： 综上所述，的值分别为，，，． 【点睛】本题考查了几何图形中角度计算问题，与余角、补角有关的计算，几何问题(一元一次方程的应用)，角n等分线的有关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $