第5章一元一次方程（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材华东师大版七年级下册

第5章 一元一次方程（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知关于x的方程的解和方程的解互为相反数，则a的值是（   ） A．6 B． C． D．12 2．已知是关于的方程的解，则的值是（   ） A．5 B． C．0 D． 3．《九章算术》是中国古代的一部重要数学著作，全书共分为九章，其中“盈不足”一章记载了一道数学问题，题目大意：有人合伙买狗，每人出5钱，还差90钱；每人出50钱，刚好够．问合伙人数有多少？若设有x人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 5．点在数轴上，点所对应的数用表示，且点到原点的距离等于3，则的值为（    ） A．或1 B．或2 C．或1 D．或2 6．某同学在解关于的方程时，误将看成了，得到方程的解为，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D．4 7．下列各题中的变形属于移项且移项正确的是（ ）． A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 8．为迎接六一儿童节，某工厂要制作一批礼盒，每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成．已知工厂有17名技术工人，平均每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个，应如何分配工人才能使每天生产的A盲盒和B盲盒配套；设生产A盲盒工人x名，则以下列出的方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 9．适合的整数的值有（   ） A．4个 B．3个 C．7个 D．9个 10．直线l上有A，B，C三个点，已知，点D是的中点，且，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 11．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A．2014 B． C．2024 D． 12．规定：，，例如，；下列结论正确的是：能使，成立的的值为或；若，则；若，则；的最小值是．（    ） A． B． C． D． 2、 填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是 ． 14．父亲和女儿现在的年龄之和是91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍时，女儿的年龄是父亲现在年龄的，则父亲现在的年龄是 岁． 15．例如“已知关于的方程的解为，求关于的方程的解．”可以这样解：可得，所以．若关于的方程的解是，且式子成立，则的值为 ． 16．若关于x的方程无解，则k的取值是 ． 17．已知关于x的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数a的和是 ． 18．已知关于x的方程的解为，则关于y的方程的解是 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）解方程 (1)； (2)． 20．（8分）若一个角的余角比这个角的补角的一半小，求这个角的度数． 21．（8分）若关于x的方程的解比的解大1，求m的值． 22．（8分）如图1是2025年11月份的月历，用形如X形框覆盖月历中的日期数，每次同时覆盖5个数． (1)图1中X形框覆盖的5个数的和能等于50吗？若能，求出这五个数中最小的数；若不能，请说明理由； (2)图2是2025年12月份的月历，用同样的X形框能覆盖的五个数的和的最大值是多少？ 23．（10分）学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道计算题， 甲、乙两位同学的解答过程分别如下： 甲同学： 解方程． 解：…第①步 ……第②步 ……第③步 ……第④步 …………第⑤步 ．………第⑥步 乙同学： 解方程． 解：…第①步 ……第②步 ……第③步 ……第④步 …………第⑤步 ．………第⑥步 老师发现这两位同学的解答过程都有错误．请你帮助他们找出错误步骤，并加以改正． (1)甲同学的解答过程从第______步开始出现错误（填序号）；乙同学的解答过程从第______步开始出现错误（填序号）； (2)请写出正确的解答过程． 24．（10分）【基本感知】 如图，幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．三阶幻方是将个互不相等的数填入九个格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等． 【深入探究】 如图，小米和小粒两位同学利用方框选取日历中个数，探究“三阶幻方”分布规律． (1)小米调整如图日历中的个数的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律，调整后，部分数的位置如图所示，则________，________． (2)小粒发现“三阶幻方”每一横行、每一竖列以及两条对角线上个数的和是中间数的________倍． (3)按照如图选取日历中个数的规律，若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图所示，则是________．（用含的代数式表示） 25．（10分）为响应国家节能减排的号召，各地市先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某市的阶梯电价收费标准（每月）： 阶梯 用电量（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 一档 不超过220度的电量 0.50 二档 超过220度至420度的部分 0.55 三档 超过420度的部分 0.80 (1)小明家七月份共用电470度，求小明家七月份应缴多少电费？ (2)如果某户居民某月用电a度（），请用含a的整式表示该户居民该月应缴电费． (3)小明家九月份的电费是165元，求该月用电多少度？ 26．（10分）如图，在数轴上，点表示最大的负整数，，点在正半轴上，且． (1)点表示的数是___________，点表示的数是___________，点表示的数是___________； (2)若点在线段上，且满足，求点表示的有理数； (3)点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间是秒（）． ①当时，求的长； ②是否存在这样的值，使得？若存在，请直接写出满足条件的所有值；若不存在，请说明理由． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 一元一次方程（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知关于x的方程的解和方程的解互为相反数，则a的值是（   ） A．6 B． C． D．12 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先求出第二个方程的解，根据相反数关系得到第一个方程的解，代入第一个方程求解即可． 【详解】解：∵ 方程 的解为 ， ∴ 方程 的解为 ， 代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 2．已知是关于的方程的解，则的值是（   ） A．5 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键；将代入方程中，求解m的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：； 故选A． 3．《九章算术》是中国古代的一部重要数学著作，全书共分为九章，其中“盈不足”一章记载了一道数学问题，题目大意：有人合伙买狗，每人出5钱，还差90钱；每人出50钱，刚好够．问合伙人数有多少？若设有x人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．根据两种方式下，狗的价格不变建立方程即可得． 【详解】解：设有人， ∵每人出5钱，还差90钱， ∴狗的价格为钱， ∵每人出50钱，刚好够， ∴狗的价格为钱， ∴可列方程为． 故选：A． 4．下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解决本题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义，即只含一个未知数，且未知数的最高次数为1，判断各选项即可． 【详解】解：对于A：，未知数x的最高次数为2，不符合题意. 对于B：，含有两个未知数x和y，不符合题意. 对于C：，只含一个未知数x，且次数为1，符合题意. 对于D：，未知数x在分母中，不是一元一次方程，不符合题意． 故选：C． 5．点在数轴上，点所对应的数用表示，且点到原点的距离等于3，则的值为（    ） A．或1 B．或2 C．或1 D．或2 【答案】A 【分析】本题考查数轴，绝对值方程。根据点到原点的距离等于3，可列出绝对值方程，解方程即可． 【详解】解：点A到原点的距离等于3， ∴ 或， 解得或， 故选：A． 6．某同学在解关于的方程时，误将看成了，得到方程的解为，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是方程的解及解一元一次方程，掌握方程的解的定义是关键． 将代入看错的方程中，求解a的值． 【详解】解：∵误将看成，得到方程，且解为， ∴将代入方程：，即， ∴， ∴． 故选C． 7．下列各题中的变形属于移项且移项正确的是（ ）． A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次方程中的移项，掌握好移项的要求是关键． 移项是指将方程中的项从等号的一边移动到另一边，并改变该项的符号；根据此定义，逐一判断各选项． 【详解】解：对于选项A，，故原移项不正确； 对于选项B，只是等式右边运用了加法交换律，不属于移项； 对于选项C，属于移项，且移项正确； 对于选项D，只是运用了等式的对称性，不属于移项． 故选：C． 8．为迎接六一儿童节，某工厂要制作一批礼盒，每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成．已知工厂有17名技术工人，平均每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个，应如何分配工人才能使每天生产的A盲盒和B盲盒配套；设生产A盲盒工人x名，则以下列出的方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，理解题意是解决本题的关键． 根据题意可知分配名工人生产B盲盒，根据每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成且每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个，即可列出关于x的一元一次方程． 【详解】解：∵生产A盲盒工人x名， 则分配名工人生产B盲盒， ∵每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成且每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个， ∴， 故选D． 9．适合的整数的值有（   ） A．4个 B．3个 C．7个 D．9个 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的几何意义和数轴上两点间的距离，通过绝对值方程的几何意义，确定a的取值范围，再求整数a的个数． 【详解】解： ， 原方程可理解为数轴上表示的点到表示和的点的距离之和为8， 点和之间的距离恰好为， 表示的点必在这两点之间（含端点）， 即， 解得， a为整数， ，共4个， 故选：A． 10．直线l上有A，B，C三个点，已知，点D是的中点，且，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的有关计算和一元一次方程的应用，分类讨论是解答此题的关键．分两种情况讨论：点A在线段上或点A不在线段上，设，则，然后利用中点性质和列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ①如图，当点A在线段上时，点的顺序为B、A、C， 则， ∵点D是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，当点A不在线段上时，顺序为A、B、C， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 故选：C． 11．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A．2014 B． C．2024 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解及换元法的应用，熟练掌握换元法将新方程转化为已知形式的方程是解题的关键．通过变量代换，将关于y的方程转化为与已知关于x的方程相同的形式，利用已知解求解． 【详解】设，则方程化为， ∵已知方程的解为， ∴， 即， ∴， 故选：C． 12．规定：，，例如，；下列结论正确的是：能使，成立的的值为或；若，则；若，则；的最小值是．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值表示的几何意义及绝对值非负数的性质是解题关键．结论通过解绝对值方程验证；结论根据的范围进行化简；结论利用绝对值非负性求和；结论通过绝对值表示的几何意义求最小值即可． 【详解】解：， 或， 解得或，故正确； ， ，， ，故正确； ， ，， ，， ，故正确； ，该式表示数轴上表示数的点到表示数和的两点的距离之和， 当时，最小值为，故错误； 综上，正确的结论有． 故选：A． 2、 填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的概念，掌握好一元一次方程的定义是解题关键． 根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0． 【详解】解：根据一元一次方程的定义，，且， 解得． 故答案为：． 14．父亲和女儿现在的年龄之和是91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍时，女儿的年龄是父亲现在年龄的，则父亲现在的年龄是 岁． 【答案】63 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设女儿现在年龄是x岁，则父亲现在的年龄是岁，根据父女的年龄差不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设女儿现在年龄是x岁，则父亲现在的年龄是岁， 根据题意得：， 解得：． （岁） 即父亲现在的年龄是63岁． 故答案为：63． 15．例如“已知关于的方程的解为，求关于的方程的解．”可以这样解：可得，所以．若关于的方程的解是，且式子成立，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的解，理解其定义并运用是解题的关键．根据题意得到的值，然后化简条件式即可． 【详解】解：∵关于的方程的解是，且式子成立， ∴， ∴． 故答案为： ． 16．若关于x的方程无解，则k的取值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解一元一次方程，理解方程无解的条件是解题关键． 将方程化为标准形式，根据一次方程无解的条件，即未知数系数为零且常数项不为零，求解k的值即可． 【详解】解：， 移项得，即． 当时，方程变为，即，矛盾，方程无解， 此时． 故答案为2． 17．已知关于x的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数a的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤． 首先求解关于x的方程，得到解的表达形式，再根据解为正整数确定整数a的值，最后求和． 【详解】解： ， ， ， ， （）， ， x是正整数， ，且为整数， 或或， 解得或或， 则符合条件的所有整数a的和是， 故答案为：． 18．已知关于x的方程的解为，则关于y的方程的解是 ． 【答案】2026 【分析】本题考查一元一次方程的根的应用：通过比较两个方程的形式，直接利用已知解求解． 【详解】解：由关于x的方程，变形得． 关于y的方程为，因此， ∴，代入，得． 故答案为：2026． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （）根据解一元一次方程的步骤解答即可； 【详解】（1）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 20．（8分）若一个角的余角比这个角的补角的一半小，求这个角的度数． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角，理解其定义是解题的关键． 根据余角和补角的定义计算即可． 【详解】解：设这个角的度数为， 则有， 解得， ∴这个角的度数为． 21．（8分）若关于x的方程的解比的解大1，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了根据两方程解的关系求参数，先求解，再求解，由已知条件得出，进而求得m的值． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于x的方程比的解大1， ∴， 解得． 22．（8分）如图1是2025年11月份的月历，用形如X形框覆盖月历中的日期数，每次同时覆盖5个数． (1)图1中X形框覆盖的5个数的和能等于50吗？若能，求出这五个数中最小的数；若不能，请说明理由； (2)图2是2025年12月份的月历，用同样的X形框能覆盖的五个数的和的最大值是多少？ 【答案】(1)能，这五个数中最小的数为 (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算的应用，一元一次方程与日历问题，掌握日历中的规律是解题的关键． （1）设中间的数为，则其它个数为、、、，列方程即可求解； （2）设中间的数为，则其它个数为、、、，当时，即可求解． 【详解】（1）解：能； 设中间的数为，则其它个数为、、、，由题意得 ， 解得， ， 这五个数中最小的数为； （2）解：设中间的数为，则其它个数为、、、， 2025年12月份最大的一天是号， ， 解得， ； 故用同样的X形框能覆盖的五个数的和的最大值是． 23．（10分）学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道计算题， 甲、乙两位同学的解答过程分别如下： 甲同学： 解方程． 解：…第①步 ……第②步 ……第③步 ……第④步 …………第⑤步 ．………第⑥步 乙同学： 解方程． 解：…第①步 ……第②步 ……第③步 ……第④步 …………第⑤步 ．………第⑥步 老师发现这两位同学的解答过程都有错误．请你帮助他们找出错误步骤，并加以改正． (1)甲同学的解答过程从第______步开始出现错误（填序号）；乙同学的解答过程从第______步开始出现错误（填序号）； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)②，①； (2)见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）甲同学在第②步去分母后，忘记给加括号，导致符号错误；乙同学在第①步去分母时，右边没有乘以4，导致等式不平衡． （2）先去分母，再去括号，移项合并同类项，最后系数化为1． 【详解】（1）解：甲同学在第②步去分母后，忘记给加括号，导致符号错误；乙同学在第①步去分母时，右边没有乘以4，导致等式不平衡． 故答案为：②，①； （2）解： 两边同乘4： 得： 去括号： 合并同类项： 移项： 计算： 系数化为1： 24．（10分）【基本感知】 如图，幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．三阶幻方是将个互不相等的数填入九个格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等． 【深入探究】 如图，小米和小粒两位同学利用方框选取日历中个数，探究“三阶幻方”分布规律． (1)小米调整如图日历中的个数的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律，调整后，部分数的位置如图所示，则________，________． (2)小粒发现“三阶幻方”每一横行、每一竖列以及两条对角线上个数的和是中间数的________倍． (3)按照如图选取日历中个数的规律，若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图所示，则是________．（用含的代数式表示） 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了列代数式，等式的性质，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，，，然后求出的值即可； （）由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等即可求解； （）根据（）中规律即可求解． 【详解】（1）解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等， ∴，， 解得：，， 故答案为：，； （2）解：由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等得： “三阶幻方”每一横行、每一竖列以及两条对角线上个数的和是中间数的倍， 故答案为：； （3）解：由（）可得“三阶幻方”每一横行、每一竖列以及两条对角线上个数的和是中间数的倍， ∴， ∴， 故答案为：． 25．（10分）为响应国家节能减排的号召，各地市先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某市的阶梯电价收费标准（每月）： 阶梯 用电量（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 一档 不超过220度的电量 0.50 二档 超过220度至420度的部分 0.55 三档 超过420度的部分 0.80 (1)小明家七月份共用电470度，求小明家七月份应缴多少电费？ (2)如果某户居民某月用电a度（），请用含a的整式表示该户居民该月应缴电费． (3)小明家九月份的电费是165元，求该月用电多少度？ 【答案】(1)260元 (2)元 (3)320度 【分析】（1）根据阶梯电价收费标准进行计算即可； （2）根据阶梯电价收费标准进行计算，即可获得答案； （3）首先确定该月用电量在二档，设小明家九月份用电x度，结合题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：（元）， ∴小明家七月份应缴260元电费； （2）根据题意可得，， ∴该户居民该月应缴电费元； （3）当用电220度时，应缴电费（元）； 当用电420度时，应缴电费（元）． ∵， ∴该月用电量在二档， 设小明家九月份用电x度， 则有，解得． 答：该月用电320度． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算、列代数式、一元一次方程的应用等知识，正确理解题意是解题关键． 26．（10分）如图，在数轴上，点表示最大的负整数，，点在正半轴上，且． (1)点表示的数是___________，点表示的数是___________，点表示的数是___________； (2)若点在线段上，且满足，求点表示的有理数； (3)点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间是秒（）． ①当时，求的长； ②是否存在这样的值，使得？若存在，请直接写出满足条件的所有值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)； (3)存在或，使得． 【分析】本题主要考查了数轴上的点与有理数的对应关系、线段长度的计算、绝对值方程的求解，熟练掌握数轴上点的位置表示及线段长度的计算方法是解题的关键． （1）先确定最大负整数的点表示的数，再结合的长度求点，利用的长度求点． （2）先算的长度，根据比例分，再求点表示的数． （3）①分别求出时、的位置，再算的长；②表示出、、的位置，列绝对值方程求解． 【详解】（1）解：∵最大的负整数是， ∴点表示的数是． ∵，点在右侧， ∴点表示的数是． ∵，点在正半轴， ∴点表示的数是． 故答案为：，，； （2）解：∵点表示，点表示， ∴． ∵， ∴． ∴点表示的数是． （3）解：①当时， ∵点从出发，速度为单位/秒， ∴点表示的数是． ∵点从出发，速度为单位/秒， ∴点表示的数是． ∴． ②运动秒时，点表示的数：， 点表示的数：， 点表示的数：． ∴， ． 由，得： ， 分情况讨论： 当时， ， 解得． 当时， ， 解得． 综上，存在或，使得． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $