精品解析：黑龙江省绥化市青冈县哈尔滨师范大学青冈实验中学校2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷

哈师大青冈实验中学2025—2026学年度期末考试 高一数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合的交集运算可得结果. 【详解】，， 所以. 故选：A. 2. 2025年10月24日，全国人大常委会通过决定，将10月25日设立为台湾光复纪念日．台湾是中国不可分割的一部分，这一历史事实无可辩驳．那么“小明是台湾人”是“小明是中国人”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的概念进行判断. 【详解】因为“小明是台湾人”可以推出“小明是中国人”，“小明是中国人”不能推出“小明是台湾人”， 所以“小明是台湾人”是“小明是中国人”的充分不必要条件． 故选：A 3. 幂函数在上是减函数，则的值为（ ） A. 4或 B. C. 或1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据函数是幂函数得到，求得的值，再代入验证. 【详解】因为函数是幂函数，所以， 解得：或， 当时，，满足函数在区间是减函数， 当时，，满足函数在区间是减函数. 故选：C 4. 已知函数 ，则（ ） A. 其最小正周期为，最小值为0 B. 其最小正周期为，最小值为0 C. 其最小正周期为，最大值为 D. 其最小正周期为，最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】首先将拆分为两个函数，通过它们的最小正周期得到的最小正周期，由倍角公式将进行变形，通过二次函数的性质求得最值. 【详解】因为的最小正周期为，的最小正周期为， 所以的最小正周期为. ， 由二次函数的性质知，当时，取得最大值，为； 当时，取得最小值，为. 故选：C. 5. 已知函数且，对任意的，且时，满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得函数在上单调递增，结合二次函数、对数函数及复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为对任意的，且时，满足， 所以函数在上单调递增， 令，其图象的开口向上，对称轴为， 则在上单调递增， 当时，为单调递减函数， 由复合函数的单调性可知函数在单调递减，不满足题意； 当时，为单调递增函数， 由复合函数的单调性可知函数在单调递增， 又因为函数在上单调递增， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 6. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是（ ） A B. C. 2 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】通过平移得到，再利用对称性列方程，即可求解. 【详解】函数的图象向左平移个单位后， 得到的函数， 因为曲线关于直线对称， 所以，， 解得：，， 因为，令，得，所以的最小值是. 故选：B. 7. 已知奇函数在定义域上单调递减，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质及函数单调性求解不等式即得. 【详解】由奇函数在定义域上单调递减，得， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 8. 已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知，再利用中间量，根据与之间的关系求出的取值范围，即可判断a、b、、之间的关系. 【详解】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 函数的最小值为4 B. 不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是 C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. “”为假命题的充要条件为 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，结合对勾函数单调性可判断A，通过，分类讨论可判断B，利用抽象函数法则求定义域判断C，由命题的否定转化为不等式恒成立，看作关于的不等式恒成立即可判断D. 【详解】对于A，令，可得， 由对勾函数单调性可知在单调递增， 所以在上的最小值为，即的最小值为，故A错误； 对于B，当时，恒成立； 当时，要使不等式对一切实数x都成立，则， 解得，所以实数的取值范围是，故B正确； 对于C，函数的定义域为则， 所以函数的定义域为，故C正确， 对于D，由题意知为真命题， 则在时恒成立， 令，只需， 则，解得，故D正确. 故选：BCD 10. 已知，且，则（ ） A. 最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AB，利用基本不等式即可判断；对于C，利用常数代换法结合基本不等式即可判断；对于D，平方后利用基本不等式求最值，然后开方即可判断． 【详解】对于A，由基本不等式得， 所以，即，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，， 当且仅当时取等号，所以无最大值，最小值为，故B错误； 对于C，， 而，当且仅当即时成立， 此时，故最小值为9，故C正确； 对于D，设，，则，其中， 由不等式，也即， 当且仅当，即时成立，此时， 故最大值为，而非最小值，故D错误． 故选：AC． 11. 已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D. 当时，曲线与有4个交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数的解析式判断A；求出的值判断B；利用平移变换求解判断C；作出图形判断D. 【详解】观察函数的图象，得，最小正周期，解得， 由，得，而，则， 对于A，，故A正确； 对于B，由，得， 则或， 解得或， 又，则，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，在同一坐标系内作出函数与在上的图象， 如图，作出符合题意的图形， 观察图象得，两个函数图象有4个交点，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数是上的偶函数，且在上的图象如图所示，则不等式的解集是______ 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数作出函数在上的图象，再利用分类讨论解不等式得或，从而可写出不等式的解集. 【详解】解不等式可得：或， 再由函数是上的偶函数，作出函数在上的图象，如图所示： 则的解集为，的解集为， 结合或， 可得不等式的解集为， 故答案： 13. 已知函数，若曲线与直线在区间上有且仅有2个交点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】化简函数，令，得到，结合余弦函数的性质，得到这2个交点的横坐标分别为，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数 ， 令，因为，可得， 因为曲线与直线在区间上有且仅有2个交点， 则曲线与直线在区间上有且仅有2个交点， 则这2个交点的横坐标分别为，则， 解得，即实数的取值范围为 故答案为： 14. 已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】考虑，和三种情况，得到前两种不合要求，分析出为方程的正实根，故，求出. 【详解】①，要想，即， 故，解得，不满足，舍去； ②，，，要想， 需满足在恒成立， 但的图象为抛物线，它的开口向上，故矛盾，舍去； ③，当时，，； 当时，，， 考虑的解，因为，故此方程必有两个不同的解，， 而，故此方程有且仅有一个正实根， 故为方程的正实根，故，故， 故答案为：． 四、解答题：本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点在圆上，且点在第一象限，点在第二象限. （1）当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积； （2）设，当，点的纵坐标为时，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆心角，应用扇形面积公式计算求解即可； （2）先由已知得进而得出，，最后应用诱导公式计算求解即可. 【小问1详解】 设圆心角为，弧长为l，弓形的面积为S． 因为，圆O的半径为，所以， 所以，， 所以． 【小问2详解】 设，由题知， 于是，， ． 即． 16. 已知，分别是定义域为R的奇函数和偶函数，且，其中是自然对数的底数. （1）求的值； （2）已知，求实数的取值范围； 【答案】（1）1； （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性定义列式求出，再利用指数运算计算即得. （2）利用指数函数单调性及对数函数单调性求解不等式. 【小问1详解】 由，分别是定义域为R的奇函数和偶函数，且， 得，即，解得， 所以. 【小问2详解】 函数在R上单调递增，在R上单调递减，则函数在R上单调递增， 而，则不等式， 当时，得，则；当时，得，则， 所以的取值范围是或. 17. 已知函数. （1）求的最小正周期及对称中心坐标； （2）已知函数在区间上的最大值为1，最小值为，求的取值范围. 【答案】（1）最小正周期为，对称中心坐标为， （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再根据周期公式以及正弦函数的对称中心求解； （2）求出的范围，结合正弦函数的图象可得. 【小问1详解】 因为， 所以的最小正周期， 令，，解得，， 所以的对称中心的坐标为，； 【小问2详解】 当时，， 因函数在区间上的最大值为1，最小值为， 则在上的最大值为1，最小值为， 因，结合正弦函数图象可知，，得， 所以的取值范围为. 18. 已知函数，. （1）若函数在上存在零点，求实数的取值范围； （2）当时，若存在，对任意的，都有，求实数的取值范围； （3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据零点存在定理，以及函数单调性，列出不等式，求出参数范围即可； （2）根据双变量恒成立的性质，判断函数最值之间的关系，根据函数性质，判断在所给区间上的最值，列出不等式，求出参数范围即可； （3）根据双变量恒成立的性质，判断两个函数在给定区间上的值域的包含关系，对参数进行分类讨论，列出不等式，求出参数范围即可. 【小问1详解】 的对称轴是， 在区间上减函数， 当在上存在零点，则有，即，解得， 故实数的取值范围为； 【小问2详解】 由题意可得，当存在，对任意的，都有时，等价于， 由（1）可知的对称轴是，根据二次函数对称性可知， 当时，，则， 故，解得，即的取值范围为. 【小问3详解】 若对任意，总存在，使成立， 只需函数的值域为函数值域的子集. 当时，，的值域为， 下面求，的值域， ①当时，，不合题意，故舍； ②当时，的值域为， 只需，即，解得； ③当时，的值域为， 只需要，即，解得； 综上所述，实数的取值范围为. 19. 已知函数是奇函数． （1）求m的值； （2）求证：函数在上是增函数； （3）不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据恒成立求的值. （2）利用函数单调性的定义，结合函数的单调性证明. （3）利用函数的单调性，先把问题转化为在上恒成立.再利用二次函数在给定区间上的最小值非负求的取值范围. 【小问1详解】 因为函数为奇函数， 所以恒成立， 所以 因为对任意上式恒成立，所以， 所以. 因为对任意恒成立，所以. 【小问2详解】 因为，定义域为. 设， 所以 . 因为，且在上单调递增，所以，又， 所以， 即，也就是. 所以函数在上单调递增. 【小问3详解】 因为， 所以， 又函数在上单调递增，所以在上恒成立. 设，， 当即时，在上单调递增，所以， 由，所以； 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，由，所以. 当即时，在上单调递减，所以， 由，所以. 综上所述，，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大青冈实验中学2025—2026学年度期末考试 高一数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 2025年10月24日，全国人大常委会通过决定，将10月25日设立为台湾光复纪念日．台湾是中国不可分割的一部分，这一历史事实无可辩驳．那么“小明是台湾人”是“小明是中国人”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 幂函数在上是减函数，则的值为（ ） A. 4或 B. C. 或1 D. 4. 已知函数 ，则（ ） A. 其最小正周期为，最小值为0 B. 其最小正周期为，最小值为0 C. 其最小正周期，最大值为 D. 其最小正周期为，最大值为 5. 已知函数且，对任意的，且时，满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 6 7. 已知奇函数在定义域上单调递减，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是( ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 函数的最小值为4 B. 不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是 C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. “”为假命题的充要条件为 10. 已知，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 11. 已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D. 当时，曲线与有4个交点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数是上偶函数，且在上的图象如图所示，则不等式的解集是______ 13. 已知函数，若曲线与直线在区间上有且仅有2个交点，则的取值范围为______. 14. 已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值为______． 四、解答题：本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，单位圆与轴正半轴交点为点，点在圆上，且点在第一象限，点在第二象限. （1）当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积； （2）设，当，点的纵坐标为时，求的值. 16. 已知，分别是定义域为R的奇函数和偶函数，且，其中是自然对数的底数. （1）求值； （2）已知，求实数的取值范围； 17. 已知函数. （1）求最小正周期及对称中心坐标； （2）已知函数在区间上的最大值为1，最小值为，求的取值范围. 18. 已知函数，. （1）若函数在上存在零点，求实数的取值范围； （2）当时，若存在，对任意的，都有，求实数的取值范围； （3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 19. 已知函数是奇函数． （1）求m的值； （2）求证：函数在上是增函数； （3）不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $