2.2.2椭圆的性质（教学课件）数学沪教版2020选择性必修第一册

2.2.2椭圆的性质 第二章 圆锥曲线 学习目标 教学重点：掌握椭圆的几何性质，能结合标准方程分析性质并应用。 教学难点：椭圆性质与方程的综合应用，含参数椭圆的性质讨论。 理解椭圆核心几何性质，性质与标准方程的关联； 能运用椭圆性质解决图像分析、参数求解等问题； 深化数形结合思想，提升几何直观与代数转化能力。 课程目标 学科素养 数学抽象：椭圆性质概念提炼与规律总结； 逻辑推理：性质与方程内在关联的推导； 数学运算：椭圆性质相关计算与参数求解； 直观想象：椭圆性质几何直观感知与应用； 数学建模：利用椭圆性质解决实际情境中的图形问题。 新知引入 定义 图形 方程 焦点 之间的关系 (c,0)、(c,0) (0,c)、(0,c) a2=b2+c2 分母哪个大，焦点就在哪一根坐标轴上 平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆 新知探究 思考1：前面我们已经得到了椭圆的标准方程，类比前面研究思路，下面我们需要研究什么问题呢？ 研究椭圆的 几何性质（范围、形状、大小、对称性和特殊点等）. 下面我们用椭圆方程来研究椭圆的几何性质. 新知探究 问题1：观察椭圆的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 椭圆上的点都在一个特定的矩形内，因此横坐标和纵坐标的取值都在某个关于原点对称的闭区间内. 由方程，可知 ∴ 即. 同理有，即. 说明椭圆位于直线围成的矩形框里. 新知探究 问题1：它具有怎样的对称性？观察椭圆的形状，椭圆是关于什么对称的？ 椭圆关于轴、轴、原点都对称 追问：如何利用方程说明椭圆的对称性？ 设是椭圆上的任意一点 则关于轴的对称点为 结合椭圆方程可知，在椭圆上 ∴椭圆关于轴对称，同理可得椭圆关于轴、原点对称 新知探究 问题1：椭圆上哪些点比较特殊？为什么？如何得到这些点坐标？ 令，得. 因此，是椭圆与轴的两个交点. 同理，令，得. 因此，是椭圆与轴的两个交点. 椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点. 线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 新知探究 我们利用椭圆得范围、对称性及顶点就可以画出一个椭圆得草图，例如： 辨析1：画出下列椭圆的草图： （1）； （2） 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 y 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 y 1 2 3 4 5 -1 -5 -2 -3 -4 x 1 2 3 4 5 -1 -5 -2 -3 -4 x A1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 问题2：两个椭圆扁平程度不同，有什么量可以用来刻画变扁平程度吗？ 新知探究 如图，椭圆的长半轴长为, 半焦距为. 越接近，椭圆越扁平； 类似地，保持不变，改变的大小， 则越接近，椭圆越扁平 保持长半轴长不变, 改变椭圆的半焦距. 当，扩大或缩小相同倍数时， 椭圆的形状不变 保持不变, ，扩大或缩小相同倍数. 新知探究 我们把椭圆焦距与长轴长的比称为椭圆离心率，用表示，即 因为，所以. 越接近，越接近，就越小，因此椭圆越扁平；反之，越接近，越接近，越接近，这时椭圆就越接近于圆. 注：①当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. ②因为在椭圆中，，所以. 练习巩固 解：（1）把化为标准方程为， 于是 因此，椭圆的离心率， 椭圆的 因此，椭圆的离心率 ∵，∴椭圆更接近圆 辨析2：比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更接近于圆？为什么？ （1）与； （2）与； 练习巩固 解：（2）把化为标准方程为， 于是 因此，椭圆的离心率， 椭圆的 因此，椭圆的离心率 ∵，∴椭圆更接近圆 辨析2：比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更接近于圆？为什么？ （1）与； （2）与； 新知探究 练习巩固 辨析3：判断正误. (1)椭圆的长轴长等于.( ) (2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为.( ) (3)椭圆的离心率越小，椭圆越圆.( ) (4)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称.( ) 【答案】×,√,√,√. 辨析4：椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是( ). . 5,3,0.8 B. 10,6,0.8 C. 5,3,0.6 D. 10,6,0.6 【答案】. 典例精讲 解：将给定的椭圆方程化为标准方程 这里，，. 所以，椭圆的长轴和短轴的长分别是10和6，离心率，两个焦点在轴上， 它们的坐标分别是和， 四个顶点的坐标分别是 例3：求椭圆的长轴和短轴的长、离心率以及焦点和顶点的坐标。 练习巩固 练习1：求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 解：把原方程化为标准方程为， 于是， 因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是和，离心率， 两个焦点坐标分别是和， 四个顶点坐标分别是，，和. 练习巩固 变式1：已知椭圆，设椭圆与椭圆的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆的焦点在轴上. (1)求椭圆的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆的方程，并研究其性质. 解：（1）由椭圆可得， 其长半轴长为10，短半轴长为8， 焦点坐标为，， 离心率. 练习巩固 变式1-1：已知椭圆，设椭圆与椭圆的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆的焦点在轴上. (2)写出椭圆的方程，并研究其性质. 解：（2）椭圆. 性质：①范围：， ②对称性：关于轴、轴、原点对称； ③顶点：长轴端点，，短轴端点，； ④焦点：，； ⑤离心率： 练习巩固 变式1-2：求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)长轴长是10，离心率是； (2)在轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 解：（1）设椭圆方程为或. 由已知得，. 又∵，∴. ∴. ∴椭圆方程为或. 练习巩固 变式1-2：求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)长轴长是10，离心率是； (2)在轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 解：（2）依题意可设椭圆方程为. 如图所示，为一等腰直角三角形，为斜边的中线(高)， 且，，则， ， 故所求椭圆的方程为. 练习巩固 练习2：已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点.若，且，则的离心率为（ ）. . B. C. D. 【答案】. 变式2：已知，是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆的内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】. 典例精讲 例4：我国发射的第一颗人造地球卫星，它的运行轨道是以地球的中心 为一个焦点的椭圆，椭圆长轴的两个端点分别为近地点和远地点，如图所示．卫星在近地点与 地球表面的距离约为，在远地点与地球表面的距离约为，地球中心与在同一直线上．已知地球的半径约为．以为单位，建立适当的平面直角坐标系， 求卫星轨道的方程．（结果精确到） 解：如图，以卫星轨道的中心为原点，线段所在的直线为轴， 方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系。因焦点在轴正半轴上，可设地球的中心为，所求卫星轨道的方程为 典例精讲 设是与地球表面的两个交点，因为 所以 从而 因此，所求卫星轨道的方程为 典例精讲 例5：设直线与椭圆方程分别为与，当为何值时，它们满足下列关系： （1）直线与椭圆有且只有一个公共点； （2）直线与椭圆有两个公共点； （3）直线与椭圆没有公共点。 解：如图，当变化时，方程表示的是斜率为2的一组平行线。由直线的方程得，代入椭圆的方程后整理得 此一元二次方程根的判别式 典例精讲 由此可知： （1）当，即时，直线与椭圆只有一个公共点。 （2）当，即时，直线与椭圆有两个公共点。 （3）当，即或时，直线与椭圆没有公共点。 练习巩固 直线与椭圆位置关系的判定方法 (1)将直线方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数(或)，得到关于(或)的一个一元二次方程． (2)利用一元二次方程根的判别式，根据，还是即可判断方程组解的个数，从而得出直线与椭圆的交点情况． 辨析5：判断正误. (1)过椭圆外一点只能作一条直线与椭圆相切.( ) (2)直线与椭圆不一定相交.( ) (3)过点的直线有且仅有一条与椭圆相切.( ) (4)直线与椭圆只有一个交点直线与椭圆相切.( ) × × √ √ 练习巩固 辨析2：求下列直线和椭圆的交点坐标： （1），； （2）， 解：（1）联立，消去，得，即，代入，得， 所以与的交点坐标为 （2）联立，得，即或，代入得或 所以与的交点坐标为或 练习巩固 练习3：已知直线，椭圆试问当取何值时，直线与椭圆：(1)有两个公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)没有公共点. 解：联立方程组消去，得.① 方程①的判别式. (1)当即时，方程①有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线与有两个公共点. (2)当即时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线与有且仅有一个公共点. (3)当即或时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解.这时直线与没有公共点. 练习巩固 练习3：已知直线，椭圆试问当取何值时，直线与椭圆：(1)有两个公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)没有公共点. 解：联立方程组消去，得.① 方程①的判别式. (1)当即时，方程①有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线与有两个公共点. (2)当即时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线与有且仅有一个公共点. (3)当即或时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解.这时直线与没有公共点. 练习巩固 练习4：经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，求线段的长. 解：由题意知，直线斜率.∴直线方程为 联立方程，消去可得 设，则有. ∴ 练习巩固 变式4-1：已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点. (1)求椭圆的方程；(2)若，求的最大值. 解：(1)由题意得， 所以椭圆的方程为 (2)设直线的方程为 由得，所以，. 所以. 当，即直线过原点时，最大，最大值为. 练习巩固 变式4-2：已知椭圆有两个顶点,过其焦点的直线与椭圆交于两点，若，求直线的方程. 解：因为椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为， 由已知得，，所以. 所以椭圆方程为. 当直线垂直于轴时与题意不符， 故设直线的方程为，联立椭圆方程，化简， 得. 练习巩固 变式4-2：已知椭圆有两个顶点,过其焦点的直线与椭圆交于两点，若，求直线的方程. 解：设,则，. . 由已知得，解得. 所以直线的方程为或. 小结 小结 直线与椭圆位置关系的判定方法 (1)将直线方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数(或)，得到关于(或)的一个一元二次方程． (2)利用一元二次方程根的判别式，根据，还是即可判断方程组解的个数，从而得出直线与椭圆的交点情况． 注：①线段长度 ②点差法:利用弦的端点在椭圆上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入椭圆方 程,然后作差,可以构造出中点坐标和斜率的关系. 感谢聆听 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事非。 ——华罗庚 类比焦点在x轴上椭圆几何性质，得到焦点在y轴上的椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0) 范围 |x|≤a，|y|≤b 顶点 (±a，0)，(0，±b) ( ，0)，(0， ) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 短轴长＝ ，长轴长＝ 焦点 (±c，0) (0，±c) 焦距 2c 对称性 对称轴：x轴与y轴，对称中心：原点 对称轴： ,对称中心： 离心率 e＝eq \f(c,a) e＝ 类比焦点在x轴上椭圆几何性质，得到焦点在y轴上的椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0) 范围 |x|≤a，|y|≤b 顶点 (±a，0)，(0，±b) ( ，0)，(0， ) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 短轴长＝ ，长轴长＝ 焦点 (±c，0) (0，±c) 焦距 2c 对称性 对称轴：x轴与y轴，对称中心：原点 对称轴： ,对称中心： 离心率 e＝eq \f(c,a) e＝ $