1.3.2两条直线垂直的判定与夹角的求法（教学课件）数学沪教版2020选择性必修第一册

1.3.2两条直线垂直的判定与夹角的求法 第1章 坐标平面上的直线 沪教版2020选择性必修第一册·高二 学习目标 教学重点：掌握两条直线垂直的判定条件，掌握两条直线夹角的计算方法。 教学难点：斜率不存在时直线垂直的判定，夹角公式的理解与应用。 理解两直线垂直、夹角概念，掌握判定与求解方法； 能运用公式进行垂直判定与夹角计算； 体会数形结合思想，提升运算与推理能力。 课程目标 学科素养 数学抽象：垂直与夹角概念的提炼； 逻辑推理：垂直判定与夹角公式的推导； 数学运算：垂直判定、夹角计算； 直观想象：直线垂直与夹角的几何直观。 新知引入 新知引入 我们已经知道，平面上两条相交直线交得的锐角或直角叫做这两条直线的夹角．当两条直线的夹角为直角时，称这两条直线垂直． 思考：在平面直角坐标系中，给定两条相交的直线（、不同时为零）：（不同时为零） 如何根据方程判定两条直线是否垂直呢？ 新知探究 的法向量分别为、 （、不同时为零） ：（不同时为零） 新知探究 问题1：除利用法向量研究垂直问题外，还有其它方法吗？ 设两条直线的斜率分别为，则直线的方向向量分别是，， 于是， 即. 也就是说，. 追问：若其中一条直线斜率不存在呢？ 另一直线斜率为0 新知探究 在平面直角坐标系中，给定两条相交的直线（、不同时为零）,：（不同时为零），则 特别地，当时，直线与的斜率都存在，则 图示 对应 关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)　⇔_________________ l1的斜率不存在，l2的斜率为0 ⇔_____________ k1k2＝－1 l1⊥l2 典例精讲 例3：已知直线与互相垂直，求实数的值。 解：由两条直线互相垂直的充要条件，得 解得 或 例4：求经过点且与直线垂直的直线的方程。 解：因为的斜率，且，所以的斜率. 因为经过点， 所以的点斜式方程是，化简为 练习巩固 练习1：已知，试判断直线与的位置关系. 解：直线的斜率， 直线的斜率. 因为，所以直线. 变式1-1：已知三点，试判断的形状. 解：边所在直线的斜率，边所在直线的斜率 由，得即 所以是直角三角形. 练习巩固 变式1-2：判断下列各题中与是否垂直. (1)经过点；经过点 (2)的斜率为10；经过点 (3)经过点；经过点 解：(1)∵，，，∴与不垂直. (2)∵，，∴，∴. (3)由的横坐标相等得的倾斜角为，则轴.， 则轴，∴. 练习巩固 变式2-1：若直线经过点和，且与经过点斜率为的直线垂直，则实数的值为( ). . . . . 【答案】 . 变式2-2：两条相互垂直的直线l1，l2的斜率是方程x2－3x＋m－1＝0的两根，则m的值为( 　　) ．1 ．－1 ．2 ．0 【答案】 . 典例精讲 例5：已知直角三角形的斜边在轴上，且长度为8，直角顶点的坐标是.求直角边所在直线的方程。 解：根据条件可知，直角边斜率存在且不为零。 不妨设此斜率为，则所在直线的斜率为。 所以与所在的直线方程分别为. 令，得点与点的横坐标分别为 与 由，得，解得或 所以，直角边所在直线的方程为或 新知探究 问题2：如果与：是给定的两条相交直线，我们该如何求出它们的夹角呢？ 典例精讲 例6：求直角与的夹角的大小。 解：直角的一般式方程可写成,因此直线与直线的夹角的余弦值为 于是 典例精讲 例7：已知直线经过点与直线夹角为. 求直线的方程 解：设直线的一个法向量为，其中不同时为零，则的点法式方程为 根据夹角的 余弦公式，得 化简为. 所以或，此时 把或代入直线的方程，得或 所以直线的方程有两个，一个是，另一个是 练习巩固 练习3：求过点，且与直线垂直的直线． 解：设所求直线的方程为． 因为过点(－3，4)， 所以 ， 解得． 因此，所求直线的方程为 ． 与垂直的直线方程可设为． 练习巩固 练习4：已知直线经过点，直线经过点 ①若，求的值； ②若，求的值. 解：据题意， ①若，则即解得或 . 经经验，当或时，. ②若，当时，，此时，，不符合题意. 当时，的斜率存在，此时由得 解得或∴当或时，. 练习巩固 变式4：已知，四点，若顺次连接四点，试判断四边形的形状. 解：由题意知四点在坐标平面内的位置如图所示， 由斜率公式可得，， ，. 所以，由图知与不重合，所以. 由所以与不平行. 又因为，所以，故四边形为直角梯形. 小结 在平面直角坐标系中，给定两条相交的直线（、不同时为零）,：（不同时为零），则 特别地，当时，直线与的斜率都存在，则 感谢聆听 数学也是一种语言，从它的结构和内容来看，这是一种比任何国家的语言都要完善的语言．通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界的保护者在讲演． ——狄尔曼 $