第04讲 一元二次方程的解法（4个知识点+8个题型+思维导图+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材沪科版

第04讲 一元二次方程的解法 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 知识点1 ：直接开方法 直接开平方法（基础） 例：形如（a≠0）的一元二次方程： 当＞0时，则x1=，x2= -，此时方程有两个不相等的实数根； 当＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当＜0时，则方程无实数根. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）解方程：． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 知识点2 ：配方法 配方法（基础） 配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解. 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 1）移项：将常数项移到等号右边,含未知数的项移到等号左边； 2）二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式； 4）求解：若q≥0时，直接用直接开平方法求解. 【即时训练】 3．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）用配方法解方程时，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程过程如下： ① ② ③ ④ ⑤ (1)小明解方程过程中，从　　步开始出现错误；（填序号） (2)请利用配方法正确解方程． 知识点3 ：公式法 公式法 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出. 【补充说明】求根公式的使用条件： 【即时训练】 5．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）解方程：． 6．（24-25八年级下·安徽六安·专题练习）解方程：． 知识点4 ：因式分解法 因式分解法 依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0. 步骤： 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 【易错易混】利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0. 【即时训练】 7．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）解方程：． 8．（24-25八年级下·安徽黄山·期中）下面是小昊同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．…第一步 移项，合并同类项，得．…第二步 系数化为1，得．…第三步 任务： (1)小昊的解法从第_______步开始出现错误； (2)此题的正确结果是_______． (3)用因式分解法解方程：． 【题型1 直接开方法解一元二次方程】 例1．方程的根是（   ） A． B． C． D． 例2．下列方程中可用直接开平方法求解的是(　　) A． B． C． D． 变式1．方程的正根为 ． 变式2．解方程：． 变式3．用直接开方法解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型2 配方法解一元二次方程】 例1．用配方法解一元二次方程时，将方程化为的形式，则n的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 例2．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．用配方法解方程，首先移项得，然后配方，化简得，再通过降次转化为两个一元一次方程求解，那么这里的值为 ． 变式2．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 变式3．用配方法解方程：． 【题型3 公式法解一元二次方程】 例1．若一个一元二次方程的根为， 则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 例2．在用求根公式求一元二次方程的根时，佳琪正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 变式1．以为根的一元二次方程是 ． 变式2．解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 变式3．用公式法解方程：． 【题型4 因式分解发解一元二次方程】 例1．方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 例2．方程的解是（　　） A． B． C． D． 变式1．方程的解是 ． 变式2．用因式分解方法解方程：． 变式3．阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字乘法． （2）例：解方程． 解：，，或，，． 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：__________，__________． ②解方程：． ③直接写出方程的解． 【题型5 用指定方法解一元二次方程】 例1．请用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）； (4)（公式法）． 例2．用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）． (2)（配方法）． (3)（公式法）． (4)（因式分解法）． 变式1．用指定方法解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法）； (3)（公式法）． 变式2．解下列方程：（有指定方法必须用指定方法） (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)． (4)． 变式3．用指定方法解下列一元二次方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 【题型6 配方法的应用】 例1．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（） A．2028 B． C．2024 D． 例2．对于多项式，由于，所以有最小值3，则代数式的最小值是 ． 变式1．例如：代数式，因为，所以当时，的最小值是2；则当 时，代数式有最小值，最小值为 ． 变式2．配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________． (2)求代数式的最值； 变式3．阅读理解：我们一起来探究代数式的值，探究一：当时，代数式的值为6，当时，代数式的值为11，可见，代数式的值随x的值的变化而变化． 探究二：把代数式进行变形，如：，可得：当_____时，代数式有最小值，最小值为_____． 请回答下列问题： (1)请补充完成探究二，直接在横线处填空； (2)当取何值时，代数式有最大值，最大值为多少? (3)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，问：当为多少米，围成长方形花园的面积有最大值，最大面积是多少? (4) 【题型7 换元法解一元二次方程】 例1．已知一元二次方程的两根分别为、1，则方程的两根分别为（    ）． A．、1 B．、3 C．、 D．无法确定 例2．若关于x的一元二次方程两根分别为，，则关于x的一元二次方程的两根分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 变式1．关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是 ． 变式2．降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 变式3．阅读并解答问题： 解方程时，可以把看作一个整体， 设，则， 原方程化为，解方程，得，． 当时，，，即； 当时，，，即． 综上所述，原方程的解为，，，． 解答问题： (1)在由原方程得到方程的过程中，利用换元的方法达到了降次的目的，体现了______的数学思想； (2)解方程：． 【题型8 一元二次方程新定义解法】 例1．定义一种运算“☆”为：☆，则☆的解是（   ） A． B． C． D． 例2．定义新运算：．例如：．则关于x的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 变式1．对于实数，，定义运算“”：，例如：．根据此定义，则方程的根为 ． 变式2．定义新运算：对于任意实数m、n都有．例如：．根据以上定义解决问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 变式3．对于实数，，定义一种运算“☆”，都有．如． (1)若，则______； (2)若，求的值． 1．已知关于的一元二次方程配方成的形式，且该方程的一个根为，求的值为（    ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．0 D．3 3．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，这种方法称为“降次法”，这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 5．有下列方程：①；②；③，则解上述方程较适合的方法为（   ） A．①直接开平方法，②因式分解法，③配方法 B．①因式分解法，②因式分解法，③直接开平方法 C．①公式法，②直接开平方法，③因式分解法 D．①直接开平方法，②公式法，③因式分解法 6．已知实数，满足，且为整数，设，则的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．已知是实数，且满足则的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 8．若，则 ． 9．一个三角形的两边长分别是8和7，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是 ． 10．关于的方程的解是，（、、均为常数，）． 问题： （1）关于的方程的根是 ； （2）关于的方程的根为 ． 11．对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如，则方程的解为 ． 12．定义：方程中含有根号，且被开方数含有未知数的方程叫做无理方程，比如：对于无理方程，可类比分式方程来解： ①第一步，等式两边同时平方，转化为整式方程，即； ②第二步，解整式方程，即； ③检验，是原方程的解． 仿照上述过程，可求出方程的解为 ． 13．对于实数m，n，定义一种新运算“※”如下： （1）若，，则 ； （2）若，则实数x的值为 ． 14．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．若关于的方程是“邻根方程”，令，则的最大值是 ． 15．定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”，例如：是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是 ；（填序号） ①；②；③． （2）若方程是“自然方程”，m的值为 ． 16．已知关于x的方程的解与的解相同，则 ． 17．解方程： (1)． (2)． 18．解方程： (1)； (2)． 19．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴， ∴当时，的最小值是4． (1)【类比探究】求代数式的最小值； (2)【举一反三】利用一面长度为的墙，用长的篱笆，怎样围成一个面积最大的矩形场地？最大面积是多少？ 20．某数学小组在解方程时，将视为一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得，；当时，，解得，．故原方程的解为，，，． (1)上述解方程的方法所体现的数学思想是________． A．类比思想    B．转化思想    C．数形结合思想    D．分类讨论思想 (2)请你运用该小组的方法解方程：． 21．小强同学用配方法推导一元二次方程的求根公式时的部分过程如下． 移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， …… (1)请你帮小强同学完成剩余的推导过程． (2)用公式法解一元二次方程． 22．阅读下面的材料：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则． 原方程可化为． ． ． ． 解得． 当时，． 当时，． 原方程有四个根是：． 以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题． (1)解方程：． (2)已知实数满足，试求的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 一元二次方程的解法 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 知识点1 ：直接开方法 直接开平方法（基础） 例：形如（a≠0）的一元二次方程： 当＞0时，则x1=，x2= -，此时方程有两个不相等的实数根； 当＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当＜0时，则方程无实数根. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法的运算步骤是解题的关键．先通过移项将方程变形为平方项单独在一边的形式，再利用直接开平方法求解一元二次方程． 【详解】解：， ， 或， ，． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程的方法和步骤是解此题的关键． 利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 解得， 即，； （2） 解得 即，； （3） 解得 即，． 知识点2 ：配方法 配方法（基础） 配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解. 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 1）移项：将常数项移到等号右边,含未知数的项移到等号左边； 2）二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式； 4）求解：若q≥0时，直接用直接开平方法求解. 【即时训练】 3．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）用配方法解方程时，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 使用配方法解一元二次方程，通过移项和添加常数项完成配方，得到完全平方形式． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程过程如下： ① ② ③ ④ ⑤ (1)小明解方程过程中，从　　步开始出现错误；（填序号） (2)请利用配方法正确解方程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程． （1）根据等式的性质判断②错误； （2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：小明解方程过程中，从②步开始出现错误， 故答案为：②； （2）解： ． 知识点3 ：公式法 公式法 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出. 【补充说明】求根公式的使用条件： 【即时训练】 5．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题的关键． 利用求根公式进行解方程即可． 【详解】解：， 判别式， 则， 解得，． 6．（24-25八年级下·安徽六安·专题练习）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法和步骤是解题关键．利用公式法解方程即可． 【详解】解：， 其中，，，， ， ， 解得：， 知识点4 ：因式分解法 因式分解法 依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0. 步骤： 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 【易错易混】利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0. 【即时训练】 7．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 解得：． 8．（24-25八年级下·安徽黄山·期中）下面是小昊同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．…第一步 移项，合并同类项，得．…第二步 系数化为1，得．…第三步 任务： (1)小昊的解法从第_______步开始出现错误； (2)此题的正确结果是_______． (3)用因式分解法解方程：． 【答案】(1)一 (2)， (3)， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据解题过程结合等式的性质即可解答； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得：小昊的解法从第一步开始出现错误； （2）解： ∴或 ∴，； （3）解： ∴或 ∴，． 【题型1 直接开方法解一元二次方程】 例1．方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一元二次方程的解法，解题关键是直接开方会得到正负两个值，然后分别求解即可．通过直接开平方的方法求解方程，得到两个根． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，， 当时，， ∴方程的根为， 故选：A． 例2．下列方程中可用直接开平方法求解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程．直接开平方法适用于形如 (其中 为常数)的方程，可直接取平方根求解．选项A符合此形式，其他选项需先配方或因式分解，不能直接使用开平方法． 【详解】解：∵直接开平方法要求方程为 的形式，选项A：，符合条件，可直接开平方求解； 选项B：，需配方，且判别式为负，无法直接开平方； 选项C：，需因式分解，非直接开平方形式； 选项D：，需配方成 后才能开平方，非直接可用． ∴ 只有选项A可用直接开平方法求解． 故选：A． 变式1．方程的正根为 ． 【答案】 【分析】本题考查直接开平方法解一元二次方程，先求出方程的两个根，然后选取正根即可． 【详解】解：， 开方得， 解得或， 故正根为． 故答案为：． 变式2．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．运用直接开方法求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 开方，得， 解得，． 变式3．用直接开方法解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)； (4)，． 【分析】本题主要考查了开平方法解一元二次方程，方程变形后利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程来求解即可． 【详解】（1）解：， 开方得：或， 解得：，； （2）解：， 方程变形得：， 开方得：，； （3）解：， 方程变形为：， 方程开方得：， 解得：； （4）解：， 方程变形得：， 开方得：， 解得：，． 【题型2 配方法解一元二次方程】 例1．用配方法解一元二次方程时，将方程化为的形式，则n的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤，即通过移项、配方将方程化为完全平方式． 【详解】解：对进行配方， 移项得， 配方：， 即，故． 故选：C． 例2．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．通过移项和添加一次项系数一半的平方完成配方，即可求解． 【详解】解：∵ 移项得， 配方：两边加1（一次项系数2的一半的平方），得 即 故选B． 变式1．用配方法解方程，首先移项得，然后配方，化简得，再通过降次转化为两个一元一次方程求解，那么这里的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键 根据配方法，一次项系数的一半即为b的值，据此即可解答． 【详解】解：， 移项得， 配方时，加上一次项系数8的一半的平方，即 ，得： ，即 ． 因此，b的值为4． 故答案为4． 变式2．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 两边同除以3，得 移项，得 配方，得，即 两边开平方，得，即或 ∴，； （2）解： 两边同除以2，得 移项，得 配方，得，即 两边开平方，得，即或． ∴，． 变式3．用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】此题主要考查利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的步骤是解题的关键．根据配方法将方程变形，写出完全平方的形式，即可求解． 【详解】解：配方，得， 即．                两边开平方，得 ， 即，或， ，． 【题型3 公式法解一元二次方程】 例1．若一个一元二次方程的根为， 则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式， 通过比较给定根表达式与求根公式，确定二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值，从而得到方程． 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为 ， 给定根为， ∴，故， ，故， 又， ∴，代入，得，即，故， 因此方程为， 即， 故选：C． 例2．在用求根公式求一元二次方程的根时，佳琪正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 根据求根公式的结构，比较给定表达式，直接确定系数a、b、c的值，即可得到原方程． 【详解】解：∵求一元二次方程的根时，佳琪正确地代入了a，b，c得到， ∴，，， ∴ 原方程为 ． 故选：B 变式1．以为根的一元二次方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，熟练掌握求根公式式解题的关键． 通过对比给定的求根公式与标准求根公式，确定一元二次方程的系数，从而得到方程． 【详解】解：给定的求根公式为，标准求根公式为， 对比可得：，因此， ，因此， 根号内部表达式为，得， 因此一元二次方程为，即 故答案为：． 变式2．解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； （）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； 本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程的步骤． 【详解】（1），，， ， ∴， ∴，； （2），，， ， ∴， ∴，． 变式3．用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法解一元二次方程． 利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ，． 【题型4 因式分解发解一元二次方程】 例1．方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，将方程移项后，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 解得， 故选：C． 例2．方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 先移项，再根据因式分解法解一元二次方程求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴或， ∴方程的解为． 故选：C． 变式1．方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程．移项，然后利用因式分解法求解． 【详解】解： 移项得， ∴， ∴或， 解得，． 故答案为：，． 变式2．用因式分解方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法．提取公因式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解： 解：， ∴或， ∴，． 变式3．阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字乘法． （2）例：解方程． 解：，，或，，． 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：__________，__________． ②解方程：． ③直接写出方程的解． 【答案】①，②③， 【分析】本题考查了因式分解以及运用因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （3）由（1）（2）得，直接作答①； ②③先把一个多项式分解成两个多项式相乘的形式，再令每个因式为0，进行计算，即可作答． 【详解】解：由（1）（2）得 （3）①； ； 故答案为：，； ②． ∴， ∴， ∴或； ③， ∴， ∴或， ∴，． 【题型5 用指定方法解一元二次方程】 例1．请用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）； (4)（公式法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查解一元二次方程， （1）先移项，再直接开方即可求解； （2）等式两边同时乘以2，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开方即可求解； （3）移项，提取公因式即可求解； （4）确定的值，再运用判定根的情况，若，则，否则无解，由此即可求解． 【详解】（1）解：（直接开平方法） 移项得，， 直接开方得，， ∴， ∴； （2）解：（配方法） 等式两边同时乘以2得，， 等式两边同时加4得，， ∴， 直接开方得，， ∴， ∴； （3）解：（因式分解法） 等式右边提取公因式2得，， 移项得，， 提取公因式得，， ∴或， 解得，； （4）解：（公式法） ，， ∴， ∴． 例2．用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）． (2)（配方法）． (3)（公式法）． (4)（因式分解法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，熟记各类解法是解题的关键. （1）开平方法需要转化成的形式，再根据平方根的定义求解，若则方程无解； （2）配方法的关键是要把二次项系数化为以后，两边都加上一次项系数一半的平方，再运用开平方法求解; （3）公式法的核心是利用二次公式：，适用于所有有实数根的一元二次方程求解； （4）因式分解法需要把左边化成因式的积，右边为的形式再求解. 【详解】（1）解： 移项，得， ∴ ， 解得． （2） 移项，得， 配方，得，即， ， ∴． （3） ， ， ∴． （4） 把方程左边因式分解，得， 或， ∴． 变式1．用指定方法解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法）； (3)（公式法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1） 解得，； （2） ∴ 解得，； （3） ，， ∴ 解得，． 变式2．解下列方程：（有指定方法必须用指定方法） (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)． (4)． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了配方法、公式法．因式分解法解一元二次方程．熟练掌握配方法、公式法．因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法进行求解即可； （2）利用公式法进行求解即可； （3）利用因式分解法进行求解即可； （4）整理到一般式后再利用因式分解法进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 解得，； （2）解：， ， ， 解得，，； （3）解：， ， 或， 解得，； （4）解：， 整理得，， ， 或， 解得，． 变式3．用指定方法解下列一元二次方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据直接开平方法解一元二次方程； （2）根据配方法解一元二次方程； （3）根据公式法解一元二次方程； （4）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴， 解得：； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：， ∵， ， ∴， 解得：； （4）解：， ∴， ∴或， 解得：． 【题型6 配方法的应用】 例1．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（） A．2028 B． C．2024 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是关键． 先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此求出、的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程， ∴移项得， 配方得，即， 与比较，得，， ∴， 故选：B． 例2．对于多项式，由于，所以有最小值3，则代数式的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，通过配方法将二次代数式转化为完全平方式与常数项的和，利用完全平方式的非负性求最小值． 【详解】解：∵ ∵ ∴ ∴代数式的最小值是． 故答案为：． 变式1．例如：代数式，因为，所以当时，的最小值是2；则当 时，代数式有最小值，最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，先整理，因为对于任意实数x都有，故当时，代数式有最小值，最小值为，即可作答． 【详解】解：由题意可得： ∵对于任意实数x都有 ∴ ∴当时，代数式有最小值，最小值为． 故答案为：． 变式2．配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________． (2)求代数式的最值； 【答案】(1)， (2)最小值为，无最大值； 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质—偶次方．熟练掌握配方法是关键． （1）依据题意，由配方即可得到本题答案； （2）依据题意，先提出，再配方即可求最值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：2；1． （2）由题意得， ， ∵， ∴当时，有最小值，无最大值． 变式3．阅读理解：我们一起来探究代数式的值，探究一：当时，代数式的值为6，当时，代数式的值为11，可见，代数式的值随x的值的变化而变化． 探究二：把代数式进行变形，如：，可得：当_____时，代数式有最小值，最小值为_____． 请回答下列问题： (1)请补充完成探究二，直接在横线处填空； (2)当取何值时，代数式有最大值，最大值为多少? (3)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，问：当为多少米，围成长方形花园的面积有最大值，最大面积是多少? (4) 【答案】(1)， (2)，最大值为 (3)时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是 【分析】本题主要考查代数式的运用，配方法求最值，掌握配方法是解题的关键． （1）根据平方数的非负性，可得，则当时，取得最小值，由此即可求解； （2）根据材料提示，运用配方法得到代数式，，结合（1）的方法即可求解； （3）设，则，则有，结合（1）的方法即可求解． 【详解】（1）解：∵，则， ∴当时，取得最小值， ∴当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：，； （2）解：代数式变形得， ∵，则， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴当时，代数式有最大值，最大值为； （3）解：四边形是长方形， ∴设，则， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是，． 【题型7 换元法解一元二次方程】 例1．已知一元二次方程的两根分别为、1，则方程的两根分别为（    ）． A．、1 B．、3 C．、 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，设在方程中，，根据题意可得关于t的一元二次方程的两根分别为、1，则或，据此求解即可． 【详解】解：设在方程中，， ∴方程可整理为，即变形为关于的方程， ∵关于x的一元二次方程的两根分别为、1， ∴关于t的一元二次方程的两根分别为、1， ∴或， 解得或， ∴方程的两根分别为、3， 故选：B． 例2．若关于x的一元二次方程两根分别为，，则关于x的一元二次方程的两根分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，关键是将新方程转化为已知方程的形式． 通过换元法，将新方程转化为原方程的形式，利用已知根求解． 【详解】解：设，则方程变为． ∵原方程的两根为和， ∴方程的两根为和． ∴或， 解得：，． 故选：B． 变式1．关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】此题主要考查利用整体代换思想解方程．熟练掌握该知识点是关键；通过观察方程结构，可将第二个方程中的看作一个整体，则该整体的值应等于第一个方程的解，从而求出的值． 【详解】解：关于的方程的解是，，，均为常数，， 方程变形为， 即此方程中或， 解得或． 故答案为：，． 变式2．降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． （2）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴可以将看成一个整体，设， 则，原方程可化为， ∴ 解得，． 当时，，解得 当时，，解得． （2）解：∵， ∴可以将看成一个整体，设， 原方程可化为， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得 当时，， ∴， ∴， 解得． 综上：． 变式3．阅读并解答问题： 解方程时，可以把看作一个整体， 设，则， 原方程化为，解方程，得，． 当时，，，即； 当时，，，即． 综上所述，原方程的解为，，，． 解答问题： (1)在由原方程得到方程的过程中，利用换元的方法达到了降次的目的，体现了______的数学思想； (2)解方程：． 【答案】(1)转化 (2)或 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握利用换元法解一元二次方程的方法是解题的关键. （1）根据换元法解一元二次方程的过程及意义，即可得出结论； （2）设，则原方程可化为，解方程求出值，进而得出的值. 【详解】（1）解：在原方程得到方程的过程中，利用了换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想． 故答案为：转化． （2）设，则原方程可化为， 解之得：，， 当 时，无解； 当 时，， 解得：，． ∴原方程的解为或． 【题型8 一元二次方程新定义解法】 例1．定义一种运算“☆”为：☆，则☆的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据运算定义，将方程转化为代数式，得到一元二次方程，然后因式分解求解． 【详解】∵ ☆ ∴ ☆ ∴ ☆ ∴ ∴ 或 ∴ 或 故方程的解为， 故选：D． 例2．定义新运算：．例如：．则关于x的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查定义新运算，解一元二次方程，掌握新定义的运算是解决问题的关键．根据新运算的定义列出方程进行求解即可． 【详解】解：根据定义的新运算，得， ， 解得：，， 故选：A． 变式1．对于实数，，定义运算“”：，例如：．根据此定义，则方程的根为 ． 【答案】， 【分析】根据题意的新运算即可将改为关于x的一元二次方程，解出方程即可． 【详解】根据题意可知， ∴，即． ∴ ∴． 【点睛】本题考查新定义下的实数运算及解一元二次方程．理解题意是解答本题的关键． 变式2．定义新运算：对于任意实数m、n都有．例如：．根据以上定义解决问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）直接根据新运算得到一元二次方程，解方程即可求解； （2）根据新运算可得，再解出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 整理得， 解得； （2）解：∵，， ∴， 整理得， 开方得， 解得：． 变式3．对于实数，，定义一种运算“☆”，都有．如． (1)若，则______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据新定义的运算法则得到关于的方程，即可求解； （2）根据新定义的运算法则得到关于的方程，即可求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）， ， 整理得， ， ， ，． 1．已知关于的一元二次方程配方成的形式，且该方程的一个根为，求的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据方程的一个根为得到，再得到，配方即可得到答案 【详解】解：∵方程的一个根为， ∴代入得， 即， ∴， ∴ 即 ∴ ∵关于的一元二次方程配方成的形式， ∴ 故选 B. 2．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】D 【分析】本题考查配方法的应用，已知字母的值，求代数式的值．通过配方法将方程化为完全平方形式，确定和的值，即可得的值． 【详解】解：∵ , ∴, ∴, ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，这种方法称为“降次法”，这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，先求得，代入即可得出答案． 【详解】∵ ， ∴ ∴ ∴ 又 ∵ ， ∴ ∴ 故选 B. 4．已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键． 通过变量替换，令，将新方程转化为原方程形式，利用已知解求解关于的方程． 【详解】令，则方程化为, ∵方程的解为，， ∴或， ∴或， 解得或 ∴新方程的解为， 故选：A． 5．有下列方程：①；②；③，则解上述方程较适合的方法为（   ） A．①直接开平方法，②因式分解法，③配方法 B．①因式分解法，②因式分解法，③直接开平方法 C．①公式法，②直接开平方法，③因式分解法 D．①直接开平方法，②公式法，③因式分解法 【答案】D 【分析】本题主要考查灵活选用解一元二次方程的方法，根据所给方程式的结构特征选取适当的方法即可． 【详解】解：①运用直接开平方法求解比较合适； ②运用公式法求解比较合适； ③运用因式分解法求解比较合适． 故选：D． 6．已知实数，满足，且为整数，设，则的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，将原方程变为，再转化为关于的一元二次方程，求解即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：或， 故选：A． 7．已知是实数，且满足则的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求整式的值，解一元二次方程；设，由配方得，解一元二次方程，即可求解；能熟练解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设，则有 ， ， 解得：，（舍去）， ， 故选：A． 8．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查利用换元法解一元二次方程，解题关键是要根据方程的特点灵活选用合适的方法．设，把原方程变形并求得的值，结合是非负数，即可得出答案． 【详解】解：设，则原方程为， 整理得， ∴， 解得， ∵是非负数， ∴． 故答案为：2． 9．一个三角形的两边长分别是8和7，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是 ． 【答案】20或27 【分析】此题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 已知方程利用因式分解法求出解，得到第三边长，分类讨论求出三角形的周长即可． 【详解】解：方程， 分解因式得：， 解得：或， 当时，， ∴三角形的周长为：； 当时，， ∴三角形的周长为：； 综上所述，三角形的周长是20或27． 故答案为：20或27． 10．关于的方程的解是，（、、均为常数，）． 问题： （1）关于的方程的根是 ； （2）关于的方程的根为 ． 【答案】 ， ， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题的关键． （1）将看作整体，由题意可知再求解即可； （2）仿照（1）计算即可． 【详解】解：（1）∵方程的解是，， ∴设，则可化为， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：，． （2）设，则可化为， 即， ∵关于x的方程的解是，， ∴，，即， ∴， 解得：． 故答案为：，． 11．对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如，则方程的解为 ． 【答案】或3 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，以及解一元二次方程的方法和步骤．根据题目所给新定义，列出方程求解即可． 【详解】解：， ， ∴，即， 解得：， 故答案为：或3． 12．定义：方程中含有根号，且被开方数含有未知数的方程叫做无理方程，比如：对于无理方程，可类比分式方程来解： ①第一步，等式两边同时平方，转化为整式方程，即； ②第二步，解整式方程，即； ③检验，是原方程的解． 仿照上述过程，可求出方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程，解一元二次方程，将无理方程转化为有理方程是解题的关键． 按照题干中的步骤，先等式两边同时平方，再进行解方程，最后验根即可， 【详解】解：按照上述过程可将等式两边同时平方，转化为整式方程 即 ， 解整式方程得，， 将检验，代入，不符合题意，舍去，符合题意， 即是原方程的解， 故答案为． 13．对于实数m，n，定义一种新运算“※”如下： （1）若，，则 ； （2）若，则实数x的值为 ． 【答案】 3 2 【分析】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）由，再利用新定义的运算法则列式计算即可； （2）分两种情况：当时，当时，再列方程求解即可． 【详解】解：（1）当，，可知， ∴． （2）当时，， 即． 解得．（舍去）； 当时，， 解得（舍去）， ∴x的值为2． 14．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．若关于的方程是“邻根方程”，令，则的最大值是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查一元二次方程的知识，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义．根据“邻根方程”的定义求出，代入进行配方求出最大值即可． 【详解】解：设、是方程的两根， 解得，， ∵原方程是“邻根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为9． 故答案为：9． 15．定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”，例如：是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是 ；（填序号） ①；②；③． （2）若方程是“自然方程”，m的值为 ． 【答案】 ② 2或0/0或2 【分析】本题考查解一元二次方程，含绝对值的方程，有理数的运算： （1）利用“自然方程”定义判断即可； （2）利用因式分解法表示出方程的解，根据“自然方程”定义确定出m的值即可． 【详解】解：① ， ∴， ∴， 则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意； ② ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该方程是“自然方程”； ③ ∴， ∴， 则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意； 故答案为：② （2）， ∴， ∴， ∴， ∵方程是“自然方程”， ∴， ∴或0． 故答案为：2或0 16．已知关于x的方程的解与的解相同，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查解一元二次方程以及一元二次方程的解，利用因式分解法求出方程的解，然后把代入方程可得即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得，，， 把代入方程得，， 故答案为：1． 17．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法进行计算，即可解答； （2）利用因式分解法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： 或 ，； （2）解： 或 ． 18．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）利用直接开平方法解方程； （2）利用公式法解方程． 【详解】（1）解：， 直接开平方得： 或 ， 解得：，； （2）解：， ∵ ，，， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得：，． 19．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴， ∴当时，的最小值是4． (1)【类比探究】求代数式的最小值； (2)【举一反三】利用一面长度为的墙，用长的篱笆，怎样围成一个面积最大的矩形场地？最大面积是多少？ 【答案】(1)3 (2)当垂直于墙的一边的长为，平行于墙的一边的长为时，围成的矩形面积最大，最大为． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟知配方法是解题的关键． （1）仿照题意利用配方法求解即可； （2）设垂直于墙的一边的长为，则平行于墙的一边的长为，则矩形的面积为，据此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值是3； （2）解：设垂直于墙的一边的长为，则平行于墙的一边的长为， ∴矩形的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴当时，矩形的面积最大，最大值为， 当时，，此时符合题意， 答：当垂直于墙的一边的长为，平行于墙的一边的长为时，围成的矩形面积最大，最大值为． 20．某数学小组在解方程时，将视为一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得，；当时，，解得，．故原方程的解为，，，． (1)上述解方程的方法所体现的数学思想是________． A．类比思想    B．转化思想    C．数形结合思想    D．分类讨论思想 (2)请你运用该小组的方法解方程：． 【答案】(1)B (2)， 【分析】本题考查了数学思想的识别以及换元法解方程． （1）通过将视为一个整体，设，将原方程转化为关于t的方程，再求解t，最后求解x，这种将复杂问题转化为简单问题的方法体现了转化思想； （2）运用换元法，设，将原方程转化为关于t的方程，求解t后再求解a． 【详解】（1）解：题目中将视为一个整体， 设，将原方程转化为关于t的方程， 再求解t，最后求解x，这种将复杂问题转化为简单问题的方法体现了转化思想． 故选：B． （2）解：设，则原方程可化为， ∴， 解得，， ①当时，，即， 此时，方程无实数解， ②当时，，即， ∴， 解得，， 故原方程的解为，． 21．小强同学用配方法推导一元二次方程的求根公式时的部分过程如下． 移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， …… (1)请你帮小强同学完成剩余的推导过程． (2)用公式法解一元二次方程． 【答案】(1)详见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练运用配方法和公式法解方程， （1）根据配方法的步骤求解即可； （2）根据公式法解方程即可． 【详解】（1）解：移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， 整理得， ∵，， ∴， ∴； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴，． 22．阅读下面的材料：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则． 原方程可化为． ． ． ． 解得． 当时，． 当时，． 原方程有四个根是：． 以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题． (1)解方程：． (2)已知实数满足，试求的值． 【答案】(1)， (2)5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）设，则，整理，得，解关于y的一元二次方程，然后解关于x的一元二次方程即可求解； （2）设，则，整理得，解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：设，则， 整理得， 解得， 当时，即， 解得； 当时，即， 解得； ∴原方程的解为，； （2）解：设，则， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $