等式性质及不等式性质与基本不等式 导学案-2026届高三数学一轮复习

枣庄三中新城校区高三年级数学学练案（第2练） 主备人： 姜玉豹 使用日期：2025.8 第二节 等式性质及不等式性质与基本不等式 自主学习【查】 【学习目标】 1.掌握等式性质. 2.会比较两个数的大小. 3.理解不等式的性质，并能简单应用. 4.了解基本不等式的推导过程. 5.会用基本不等式解决简单的最值问题. 6.掌握基本不等式及其常见变形. 7.会求与基本不等式有关的恒(能)成立问题. 8.理解基本不等式在实际问题中的应用. 9.掌握基本不等式在其他知识中的应用. 【自学评价】 1.两个实数比较大小的方法 作差法： (a，b∈R). 2.等式的性质 性质1　对称性： ；性质2　传递性： ；性质3　可加(减)性： ； 性质4　可乘性： ；性质5　可除性： . 3.不等式的性质 性质1　对称性： ；性质2　传递性： ；性质3　可加性： ； 性质4　可乘性： ； ；性质5　同向可加性： ； 性质6　同向同正可乘性： ；性质7　同正可乘方性： . 4.基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件： . (2)等号成立的条件： .(3)其中叫做 ，叫做 . 5.利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么 . (2)已知x，y都是正数，如果和x+y等于定值S，那么 . 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”. 研学探究【研】 典型例题1已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立. 典型例题2一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为万元和万元，这家公司应该把仓建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？ 典型例题3一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是小于，等于，还是大于？为什么？ 典型例题4设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，求的最大面积及相应的值. 典型例题5若正数a,b满足ab＝a＋b＋3.求ab的取值范围. 训练提升【练】 1. 用不等号“>”或“<”填空: (1)如果,,那么______; (2)如果,,那么____; (3)如果,那么____; (4)如果,那么____. 2. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3.已知，，求证. 4. 用不等式或不等式组表示下面的不等关系: (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位:m)从地面算起不能超过4m; (2)a与b的和是非负实数; (3)如图,在一个面积小于的矩形地基的中心位置上 建造一个仓库,仓库的四周建成绿地,仓库的长L(单位m) 大于宽W(单位:m)的4倍. 5. 已知，，求的范围. 6. 已知、，求证：. 7. 已知都是正数，且. 求证：（1）； （2）. 8. 已知，求的最大值. 9. （1）已知，求的最小值； （2）求的最大值. 10. 已知，求证：的最大值是. 11．高考真题(2025·全国二卷)不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 12. 多选题·原创题(2026·枣庄三中原创模拟)已知，则（ ） A. ≥2ab B. C. D. 13.高考真题(2025·上海)设，则的最小值为 ． 师生总结【结】课标考试要求： 1. 2. 3. 4. 参考答案 研学探究【研】 典型例题1时，. 证明如下： ， . 典型例题2设，，当时，，，，， ，，两项费用之和为. 当且仅当时，即当时等号成立. 即应将这家仓库建在距离车站处，才能使两项费用之和最小，且最小费用为万元. 典型例题3由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则， 再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，，， ，当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即.因此，顾客购得的黄金大于. 典型例题4如图，设，由矩形的周长为，可知.设，则，，，，，.在中，由勾股定理得，即，解得，所以. 所以的面积. 由基本不等式与不等式的性质，得， 当且仅当时，即当时，的面积最大，面积的最大值为. 典型例题5由于，所以有，即，所以. 训练提升【练】 1.①. > ②. < ③. < ④. < 2.B 3.因为.所以，.于是，即. 由，得. 4. (1);(2);(3) 5. 6.， ，即. 7.（1），，， 由于当且仅当，即时取等号，但，因此不能取等号，； （2），，，当且仅当时取等号， 但，因此不能取等号，. 8. 9.（1）；（2）. 10.，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最大值是. 11.高考真题 C 12.多选题·原创题 AC 13.高考真题 4 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $