第一章 第三讲 等式性质与不等式性质-【衡中学案】2026年高考数学一轮总复习学案

确；当a∥b时，则2(x+1)=x2,解得x=1±5，即必要性不成 名师讲坛·素养提升 立，故B错误：当x=-1+3时，不满足2(x+1)=x2,所以 一、抽象命题间充要条件的判定 a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误.故选C. 变式训练 方法2 必要不充分由题意可知9→r军p,∴P是q的必要不充分 例：B不等式x2-5x<0的解集A={x10<x<5},由lx-11<1 条件 得-1<x-1<1,其解集B={x0<x<2},则集合B是A的真二、突破双变量“存在性或任意性"问题 子集，所以“x2-5x<0”是“1x-11<1”的必要不充分条件，故[引申1] 选B 当x∈[0,3]时，fx)min=f0)=0, 方法3 例：C解法一（集合法）：设全集U={(x,y)Ix∈R,y∈R},集合 当xe[1,2]时，g(x)=g(1)= 2-m, A=(x,y)lx≠y},B=(x,y)Icosx≠cosy,则A的补集C= {(x,y)Ix=y},B的补集D={(x,y)I cos x=cosy},显然C 由)≥x)得0≥行-m,所以m≥行 D,所以B军A,故“x≠y”是“c0sx≠c0sy”的必要不充分条件. [引申2] 解法二（等价转化法）：x=y→cosx=cosy,而cosx=cosy台x =y,故“x=y”是“cosx=cosy”的充分不必要条件，故“x≠y” [子-h10,+）当xe[0,3]时)=f3)=h10, 是“cosx≠cosy”的必要不充分条件. 变式训练 当xe[1,2]时，g()n=g(2)= 4-m, 1.A因为p是9的必要不充分条件，则g曰7p,但p台q,其 由)≥g)得n10≥壬-m, 等价命题为p一9，但g台p,所以p是g的充分不必要 条件 所以m≥子-h0. 2.B根据向量数量积分析可知(a+b)·(a-b)=0等价于1a[引申3] =b1,结合充分、必要条件分析判断.因为(a+b)·(a-b)= a2-b2=0,可得a2=b2,即1al=Ib1,可知(a+b)·(a-b)=0 [3-h10,+x）当xe0,3]时)=3)=h10, 等价于lal=lbl,若a=b或a=-b可得lal=Ib1,即(a+b) ·(a-b)=0,可知必要性成立：若(a+b)·(a-b)=0,即Ial 当xe[1,2]时，8)=g1)=号-m, =1b1,无法得出a=b或a=-b,例如a=(1,0),b=(0,1),满 由x)≥g()=,得1n10≥2-m,所以m≥号-n10. 足lal=1b1,但a≠b且a≠-b,可知充分性不成立；综上所述， 变式训练 “(a+b)·(a-b)=0”是“a=b且a=-b”的必要不充分条 D不妨设f(1)=g(x2)=a,.e1-e=lnx2+1=a,.x1= 件.故选B. n(a+e),2=e-l,故x-x2=ln(a+e)-e-l(a>-e).令 3B由（分）<1知x>0,所以p对应的x的范围为(0，+， Aa)=ln(e+e)-e,则r(a)=。-e,易知'(a)在 由logx<0知0<x<1,所以q对应的x的范围为(0,1)，显然 (-e,+∞)上是减函数，且h'(0)=0,故h(a)在a=0处有最 (0,1)(0,+∞)，所以p是q的必要不充分条件 考点3 大值，即-%的最大值为1-日 例：(1)[0,3](2)[9，+0)(1)由x2-8x-20≤0，得-2≤x 第三讲等式性质与不等式性质 ≤10，所以P=xl-2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件， ,1-m≤1+m, 知识梳理·双基自测 知SCP,则1-m≥-2，所以0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，知识梳理 1+m≤10， 知识点一 x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]. >=< (2)由已知可得P={xl-2≤x≤10}，因为P是7S的必要知识点二 不充分条件，所以S是P的必要不充分条件，所以xeP→xeSb=aa=c 且xeS台xeP.所以[-2,10][1-m,1+m].所以知识点三 -m≤-2或-m<-2, b<a azc a+c>b+e ac >be ac <be a+e>b+d ac>bd 1+m>101+m≥10. :a”>b" 所以m≥9，即m的取值范围是[9，+o). 双基自测 变式训练 1.(1)×(2)×(3)×(4)V(5)×(6)V(7)V 2.A因为M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=a2-2a+3=(a (1)3(2)(3,+】 (1)由已知可得A=B,则x=2是方 -1)2+2>0,所以M>N.故选A. 程征=1的解，解得6=2 3.(-m,0)由已知，得-号<a<受，-牙<-B<号，所以-m (2)若A是B的充分不必要条件，则A军B, a-B<T,又a<B,所以a-B<0,故-T<a-B<0. 所以6>0，且大<2，所以6>2， 4.B如取a=4,b=3,c=2,d=-4,此时a+d<b+c,故A错误； a+c>b+c>b+d,故B正确；如取a=4,b=-1,c=-2,d= 则6的取值范用是（分，+） -3,此时ad<bc,故C错误；如取a=4,b=-1,c=-2,d= -3,此时ac<bd,故D错误.故选B. —427— 5.Cx,yeR,且x>y>0,则<，imx与simy的大小关系 于是A+“=3解得 不确定，（分）‘<（分）广，即（行）广-（分）广<0，nx+ny 4-λ=2， 5 u= 2, 与0的大小关系不确定，故选C 3x+2=x-0+3x+ 考点突破·互动探究 .-1<x-y<4,2<x+y<3 考点1 例1：ADx2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0， <(-<25<+)<5 x2-2x>-3,故A正确； a+b-a"b-ab2=a2(a-b)+b(b-a) 01(x-y)+2（无+37< 25- =(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b). :(a-b)2≥0，a+b的符号不确定 故3+2的取值范圈是（号，9）】 a+b与ab+ab2的大小不确定，故B错误； 变式训练 a2+62-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0， a2+b≥2(a-b-1),故C错误； 1.Ac由日<石<0，可知6<a<0因为a+b<0,ab>0,所以 d-8-(合-古)=(a-ba+6)- 1 ab +6<0,沾>0，所以。十6<品故A正确：因为b<a<0,所以 =(a-b)a+6+1） -b>-a>0.故-b>1al,即1al+b<0,故B错误；因为b<a ab >0,故D正确 例2：B解法一：易知a,b,c都是正数， <0,。<石<0，则-立>方>0，所以a-日>6-方故 b3In 4 C正确：因为b<a<0,可得b2>a2>0,而y=lnx在定义域(0， a 4ln 3 =logs164<1,所以a>b; +o)上为增函数，所以lnb2>lna2,故D错误 名-g-lns104>1,所以6>，即c<6<a 2.(-60,30)(4,240)因为15<b<36,所以-72<-2b< -30.又12<a<60,所以12-72<a-2b<60-30,即-60<a 解法二：构造函数fx)=n, -2b<30.因为12<a<60,所以144<a2<3600,又15<b<36. 则f'(x)=1-lnx 所以6<<5所以若<号<30即4<号<240，即a 、15 x21 由f'(x)>0,得0<x<e; 2的取值范围是(-60,30)，云的取值范围是(4,240). 由f'(x)<0,得x>e. .fx)在(0，e)上为增函数，在(e,+o)上为减函数. 名师讲坛·素养提升 ∴.f3)>f(4)>f(5),即a>b>c. 变式训练 考点2 1.< ln2+ln5、n2 ①因为0<1og2<1,所以可得lg2= 角度1 In3+In5>In 3 例1：AB因为a>b,所以a-b>0,故A正确：因为a>b,且指数 logs2 logs2 +1 logs 10 1g3<1og3+1ig,15=logs10:②由①可得log,2<1og510→ 函数y=2在R上单调递增，所以2“>2，故B正确；若c< 0,则ac<bc,故C错误；当a=1,b=-2时，a2<b,故D 号c等哈等号 In 3+In 5>In 3' 错误. 5 例2：ACD因为x>y>z,x+y+z=0, 所以x>0,2<0,y的符号无法确定 In 5+ln3 25m8=6,a=log3 2.A.-1.3=ln3<3-ln5ln5_ 由题意得x>z,若y<0,则xy<0<z,故A不成立； 因为y>z,x>0,所以xy>xz,故B成立： 39 3 In 3 +in'5 n 5 In8 因为x>y,z<0,所以xz<2,故C不成立； 当1yl=0时，xlyl=lyz,故D不成立. a5t加马n百n百6，由以上知a最水结合 角度2 选项可知选A 例：AC因为1≤x≤2,3≤y≤5， 所以4≤x+y≤7，-2≤-x≤-1,1≤y-x≤4， 第四讲 基本不等式 所以x+y的取值范围为[4,7]，y-x的取值范围为[1,4]，故 知识梳理·双基自测 A正确，B错误； 知识梳理 因为1≤x≤2,3≤y≤5， 所以≤10,≤≤兮≤宁 知识点一 11 2 y 1.a>0,b>0 所以灯的取值范周为[3.10]，产的取值范围为[与号]，故算术平均数 2.a=b 几何平均数 C正确，D错误 知识点二 [引申] :1.x=y [解析]设3x+2y=A(x-y)+u(x+y), 双基自测 即3x+2y=(入+u)x+（4-入)y, 1.(1)×(2)×(3)×(4)× —428—名师点拨： [引申2]把本例中，x∈[0,3改为]x∈[0,3 对于含量词的命题中求参数的取值范围的问 其他条件不变，则实数m的取值范围是 题，可根据命题的含义，利用函数值域（或最值） 3xE[0,3]是指代x)在[0,3]上有-个函 解决。 数值即最大值. 【变式训练】 已知函数f(x)=e-e,g(x)=lnx+1,若对于Hx, 3×E[0,3]是指代x)在[0,3]上有一个 ∈R,3x2∈(0，+o),使得f(x)=g(x2),则x1- 函数值即最大值. x,的最大值为 () [引申3]把本例中，Vx∈[0,3]，3x∈[1,2]改 A.e B.1-e 为]x,∈[0,3，Vx,∈[1,2]，其他条件不变，则实数 C.1 D.1- e m的取值范围是 Vxe[1,2]是指x)在[1,2]上的每-个 温馨提示：复习至此，请完成练案[2 函数值即最大值： 第三讲 等式性质与不等式性质 008 知识梳理·双基自测 年 知识梳理 a>61 同向可加性 知识点一 两个实数比较大小的方法 c>d] 计 ra-b>Oa b, 作差法{a-b=0-a b,(a,b∈R) 衡 同向同正 a>b>01 la-b<Oa 可乘性 学 c>d>0] 知识点二 等式的性质 性质1对称性：如果a=b,那么 性质2传递性：如果a=b,b=c,那么 a>b>0= 可乘方性 a,b同 性质3可加（减）性：如果a=b,那么a±c= (neN,n≥1) 为正数 b±C; 性质4可乘性：如果a=b,那么ac=bc; a>b>0=9a>6 性质5可除性：如果a=6,c≠0，那么名=号 可开方性 a,b同为正数 (neN,n≥2) 知识点三 不等式的基本性质 归纳拓展 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b台 S 1a>6ob>0=2行 传递性 axb,b>c → 可加性 axbe 台 2a<0<-片<行 a>bl 3a>6>0.d>c>0-2>号 c>0] 注意c 可乘性 4.若a>b>0,m>0,则2<6+m:名>6-m(6-m>0)为 a>b 的符号 aa+m'a a-m c<0 双基自测 3.(必修1习题2.1T5改编)若-7<a<B<牙，则 题组一走出误区 α-B的取值范围是 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或题组三走向高考 “×”) 4.(2022·上海卷)已知实数a,b,c,d满足：a>b>c> (1)a=b←台ac=bc. ( d,则下列选项中正确的是 () (2)若分>1，则a>ba ( A.a+d>b+c B.a+c>b+d (3)若a>b,则ac2>bc2 C.ad be D.ac bd (4)若ac2<bc2,则a<b. )5.(2016·北京卷)已知x,yeR,且x>y>0,则 (5)若a>b则a2>b2 ( (6)若a>b则a3>b3. ( 1<1< .( (7)0<a<x<b或a<x<b<0=6<元<a A.1-1>0 题组二走进教材 B.sin x-sin y >0 2.（必修1习题2.1T3(2)改编)设M=2a(a-2), c(2)广-（广<0 N=(a+1)(a-3),则有 ( A.M>N B.M≥N D.In x+In y>0 C.M<N D.M≤N 考点突破·互动探究 点 角度2利用不等式的性质求范围问题 比较代数式的大小一自主练透 例1.（多选题）下列不等式中正确的是 例0官， B.y-xe[2,3] A.x2-2x>-3(x∈R) C.xy∈[3,10] 亭[}] B.a3+b3za2b+ab2(a,bER) C.a2+b2>2(a-b-1) [引申]在本例中把条件改为-1<x-y<4,2< 总 D.若a>b>0,则a2-b>1-1 x+y<3,求3x+2y的取值范围. a b 2若a=g36=4c 学 e=则 本题易犯以下错误，先求出x、y的范围，再求 3x+2y的范围，由于多次用不等式性质扩大了 009 A.a<b<c B.c<b<a 变量的取值范围，正确的解法是把xy和十y看 C.c<a<b D.b<a<c 作一个整体，用它们来表示3x什2y,再求出它的 名师点拨：比较两实数大小的方法 范围. 1.作差（商）法：作差（商）三变形三→判断， 2.构造函数法：利用函数的单调性比较大小 3.中间量法：利用中间量法比较两式大小，一般选 名师点拨： 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但 取“0”或“1”作为中间量， 应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多 春点己 次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解 不等式的性质及应用一多维探究 决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的 等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 角度不等式的性质 例1，（多选题）(2024·张家口模拟)若a>6,则下列 【变式训练 不等式中正确的有 ( 1.(角度1)（多选题）(2024·长沙调研)若<< a B.2°>26 0,则下列不等式中正确的是 ( A.a-b>O 11 A. a+b<ab B.lal+b>0 C.ac >be D.a2>62 2.（多选题)已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不 C.a- b-b 1 1 D.In a2>In 62 等式不成立的是 ( )2.(角度2)已知12<a<60,15<b<36,则a-2b的取 A.xy>yz B.xy>xz 值范围为 ,云的取值范围为 C.x>yz D.xlyl >lylz 名师#坛·素手提升 “糖水不等式”的应用 例：中含茶被经令【变式训维 溶解后，糖水会更甜.根据这个生活常识，你能提炼出 1.依据糖水不等式可得出log2 log1s10(用 一个不等式吗？试给出证明. “<”或“>”填空)；并写出上述结论所对应的一个 [解析]因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变 糖水不等式 大，所以提炼出的不等式为6+m>:,其中a>6>0,m a m 2.已知55<84,134<85.设a=log3,b=l0g5,c= >0.下面用作差比较法给出证明，6+m-6。 a+m a 1og138,则 () a(b+m)-b(a+m)m(a-b .因为a,b,m都是正 A.a<b<c B.b<a<c a(a+m) a(a+m 数，且a>b,所以a+m>0,a-b>0.所以m(a-b) C.b<c<a D.c<a<b a(a+m) 0,即6+m>6 温馨提示：复习至此，请完成练案[3 a+m a 第四讲 基本不等式 010 知识梳理·双皇自测 度 知识梳理 (2)d≤((a,6eR).(当且仅当a=b时取等 号) 知识点一 基本不等式√ab≤a+b 均值定 计 ≤4+(a,beR).(当且仅当a=b时 2 理) 衡 取等号)》 中 1.基本不等式成立的条件： 、 学 2.等号成立的条件：当且仅当 时等号 (4)b+4≥2(a,b同号).（当且仅当a=b时取等号）. b 案 L 成立； 3其中2叫做正数，6的 (5) √ab 上+ s√adsa+b 2 ≤ C+B（u,b>0当且 a b 叫做正数a,b的 仅当a=b时取等号). 知识点二利用基本不等式求最大、最小 值问题 双基自测 1.如果x,y∈(0，+)，且y=P(定值)， 题组一 走出误区 那么当 时，x+y有最小值2√P.(简记： 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或 “积定和最小”) “×”) 2.如果x,y∈(0，+∞)，且x+y=S(定值)， (1)不等式42+2≥2b与“+≥√品有相同的成 那么当=y时，有最大值子（简记“和定积 2 立条件 最大”) (2)y=x+的最小值是2. () 归纳拓展 (3)函数f(x)=sin2x+.4 +in的最小值等于4 常用的几个重要不等式 (1)a+b≥2√ad(a>0,b>0).(当且仅当a=b时 取等号) 4)”>0且>0"是号+兰≥2”的充要条件（）