1.3 等式性质与不等式性质学案-2026届高三数学一轮复习

1.3等式性质与不等式性质　 课前学习任务 一、课标要求 1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用. 二、主干知识 1.两个实数比较大小的方法 作差法 (a，b∈R). 2.等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么　　　　；  性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么　　　　；  性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么　　　　　　　　.  3.不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔　　　　；  性质2　传递性：a>b，b>c⇒　　　　；  性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒　　　　　　；a>b，c<0⇒　　　　　　；  性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒　　　　　；  性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒　　　　　　；  性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2). 三、重点结论 1.a>b，ab>0⇒<. 2.若a>b>0，m>0，则：<；>. 基础自测 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种.(　　) (2)若>1，则b>a.(　　) (3)同向不等式具有可加性和可乘性.(　　) (4)若>，则b<a.(　　) 2.(多选)下列命题为真命题的是(　　) A.若ac2>bc2，则a>b B.若a>b>0，则a2>b2 C.若a<b<0，则a2<ab<b2 D.若a<b<0，则> 3.设M＝2a2－4a＋7，N＝a2－3a＋6，则有(　　) A.M<N B.M＝N C.M>N D.无法确定 4.若实数a，b满足0<a<2，0<b<1，则a－b的取值范围是　　　　　　　　　.  课堂核心考点 考点 一　数(式)的大小比较 例1　(1)(多选)下列不等式中正确的是(　　) A.x2－2x>－3(x∈R) B.≥(a>0，b>0) C.a2＋b2>2(a－b－1) D.<(b>a>0) (2)若a>0，b>0，则p＝与q＝abba的大小关系是(　　) A.p≥q B.p≤q C.p>q D.p<q 思维升华　比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论. (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论. (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小. 跟踪训练1　(1)已知c>1，且x＝，y＝，则x，y之间的大小关系是(　　) A.x>y B.x＝y C.x<y D.x，y的关系随c而定 (2)已知a，b∈(0，1)，记M＝ab，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是　　　　　　　　.  考点 二　不等式的基本性质 例2　(1)(多选)(2025·常州模拟)已知实数a，b，c，d满足a<b<0<c<d，则(　　) A.a＋c<b＋d B.a＋d<b＋c C.a2d2>b2c2 D.> (2)(多选)(2025·常德模拟)已知a>b>0，则下列不等式正确的是(　　) A.a2>ab B.> C.a＋b＋ln(ab)>2 D.a－>b－ 思维升华　判断不等式的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证. (2)利用特殊值法排除错误选项. (3)作差法. (4)构造函数，利用函数的单调性. 跟踪训练2　(1)(2024·西安模拟)已知a>b，c>d>0，则(　　) A.< B.a－c>b－d C.> D.< (2)(多选)若a>b>0，c>d>0，则下列结论正确的是(　　) A.ad>bc B.a(a＋c)>b(b＋d) C.< D.ac＋bd>ad＋bc 考点 三　不等式性质的综合应用 例3　(1)(多选)(2025·大庆模拟)已知实数x，y满足1<x<6，2<y<3，则(　　) A.3<x＋2y<9 B.－1<x－y<3 C.2<xy<18 D.<<6 (2)(2024·辽宁县域重点高中协作体模拟)公园的绿化率是指公园内的绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为a m2，绿化面积为b m2(0<b<a)，现对该公园再扩建2x m2，其中绿化面积为x m2，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比(　　) A.变大 B.变小 C.不变 D.不确定 思维升华　利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 (1)必须严格运用不等式的性质. (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 跟踪训练3　(1)已知2<a<3，－2<b<－1，则2a－b的取值范围是(　　) A.[6，7] B.(2，5) C.[4，7] D.(5，8) (2)手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在(0，1)之间.设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外观，则该手机“屏占比”和升级前比(　　) A.不变 B.变小 C.变大 D.变化不确定 课后巩固练习 一、单项选择题(每小题5分，共20分) 1.若a=(x+1)(x+3)，b=2(x+2)2，则下列结论正确的是(　　) A.a>b B.a<b C.a≥b D.a，b的大小关系不确定 2.已知a>b，则下列不等式一定成立的是(　　) A.< B.2a>2b C.a2>b2 D.|a|>|b| 3.(2024·沈阳模拟)已知a>b>c，且a+b+c=0，则下列结论一定正确的是(　　) A.bc>c2 B.>0 C.ab2>cb2 D.<0 4.(2024·北京大兴统考)在一次调查中，某班甲、乙、丙、丁四名同学在社区服务的月总时长之间有如下关系：甲、丙服务时长之和等于乙、丁服务时长之和，甲、乙服务时长之和大于丙、丁服务时长之和，丁的服务时长大于乙、丙服务时长之和，则这四名同学按照服务时长从大到小的顺序排列为(　　) A.甲、丁、乙、丙 B.丁、甲、乙、丙 C.丁、乙、丙、甲 D.乙、甲、丙、丁 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 5.已知c>b>a，则下列结论正确的是(　　) A.c+b>2a B.> C.> D.< 6.(2025·洛阳联考)设实数a，b满足1≤ab≤4，4≤≤9，则(　　) A.2≤|a|≤6 B.1≤|b|≤3 C.4≤a3b≤144 D.1≤ab3≤4 三、填空题(每小题5分，共10分) 7.已知0<β<α<，则α-β的取值范围是　　　　　　.  8.已知a，b为实数，则2a2+b2+1　　　　　ab+2a.(填 “>”“<”“≥”或“≤”)  四、解答题(共28分) 9.(13分)(2024·岳阳联考)已知指数函数y=在定义域内单调递减，二次函数y=ax2+bx的图象顶点的横坐标为x0. (1)求2x0+1的取值范围；(6分) (2)比较a3+b3与ab2+a2b的大小.(7分) 10.(15分)证明下列不等式： (1)已知a>b>c>d，求证：<；(7分) (2)已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>.(8分) 每小题5分，共10分 11.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b+c≤3a，则的取值范围为(　　) A.(1，+∞) B.(1，3) C.(0，2) D.(0，3) 12.已知实数x，y满足-2≤x+2y≤3，-2≤2x-y≤0，则3x-4y的取值范围为　　　　　　.  答案精析 二、主干知识 1.>　＝　< 2.b＝a　a＝c　 3.b<a　a>c　ac>bc　ac<bc a＋c>b＋d　ac>bd 四、基础自测 课堂1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2.ABD　[C中，若a＝－2，b＝－1，则a2>ab>b2，故C错误.] 3.C　[因为M＝2a2－4a＋7， N＝a2－3a＋6， 所以M－N＝(2a2－4a＋7) －(a2－3a＋6) ＝a2－a＋1＝>0，所以M>N.] 4.(－1，2) 解析　∵0<b<1，∴－1<－b<0，∵0<a<2，∴－1<a－b<2. 课堂核心考点 例1　(1)ABD　[∵x2－2x＋3 ＝(x－1)2＋2≥2>0， ∴x2－2x>－3，故A正确； ，又a，b均为正实数，∴a＋b>0，(a－b)2≥0， ∴≥0，∴≥，故B正确； ∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0， ∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误； 用作差法比较 ＝， ∵b>a>0，∴>0， ∴<，故D正确.] (2)A　[由题知p>0且q>0， ， 若a>b>0， 则>1，a－b>0， ∴>1，即p>q； 若b>a>0，则0<<1，a－b<0， ∴>1，即p>q； 若a＝b，则＝1，∴p＝q， 综上，p≥q.] 跟踪训练1　(1)C　[由题设，易知x>0，y>0，又<1，∴x<y.] (2)M>N 解析　因为M－N＝ab－a－b＋1＝(b－1)(a－1)，且a，b∈(0，1)，所以b－1<0，a－1<0， 所以M－N>0，即M>N. 例2　(1)ACD　[由a<b<0<c<d，利用不等式的同向可加性得 a＋c<b＋d，故A正确； 当a＝－2，b＝－1，c＝1，d＝2时，满足a<b<0<c<d， 此时有a＋d＝b＋c＝0，故B错误； 由a<b<0<c<d，平方可得a2>b2>0，d2>c2>0， 再利用不等式的同向同正可乘性得a2d2>b2c2，故C正确； 由a<b<0<c<d， 可得－a>－b>0，d>c>0， 再利用不等式的同向同正可乘性得－ad>－bc， 两边同除以正数－bd得>，故D正确.] (2)ABD　[对于A，∵a>b>0， ∴a2>ab，故A正确； 对于B，∵a>b>0，∴<， ∴1＋<1＋， 即0<<， ∴>，故B正确； 对于C，令a＝1，b＝，则a＋b＋ln(ab)＝1＋＋ln <2，故C错误； 对于D，易得y＝x－(x>0)为增函数，且a>b>0，故a－>b－，故D正确.] 跟踪训练2　(1)A　[对于A，，因为c>d>0， 所以d－c<0，所以<0，即<， 故选项A正确； 对于B，a>b，c>d>0，取a＝4， b＝3，c＝2，d＝1，则a－c＝b－d，故选项B错误； 对于C，a>b，c>d>0，取a＝2， b＝1，c＝6，d＝3，则，故选项C错误； 对于D，a>b，取a＝1，b＝－1，则>，故选项D错误.] (2)BCD　[对于A，取a＝2，b＝1，c＝2，d＝1，则ad＝bc，故A错误； 对于B，由a>b>0，c>d>0， 得a＋c>b＋d>0， 则a(a＋c)>b(b＋d)，故B正确； 对于C，由a>b>0，c>d>0， 得ac>bd， 且<等价于<，等价于>， 等价于ac>bd，故C正确； 对于D，(ac＋bd)－(ad＋bc) ＝(ac－ad)＋(bd－bc) ＝a(c－d)＋b(d－c) ＝(c－d)(a－b)>0， 则ac＋bd>ad＋bc，故D正确.] 例3　(1)CD　[因为2<y<3， 所以4<2y<6，因为1<x<6， 所以5<x＋2y<12，故A错误； 因为2<y<3， 所以－3<－y<－2，因为1<x<6，所以－2<x－y<4，故B错误； 因为1<x<6，2<y<3， 所以2<xy<18，故C正确； 因为2<y<3，所以1<y－1<2， 所以<<1，又1<x<6， 所以<<6，故D正确.] (2)D　[原来公园的绿化率为，扩建后公园的绿化率为， 则 ＝， 所以与的大小与a，2b的大小有关，故扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率的变化情况不确定.] 跟踪训练3　(1)D　[由题意可知 4<2a<6，1<－b<2， 所以5<2a－b<8.] (2)C　[设原来手机屏幕面积为b，整机面积为a， 则屏占比为(a>b>0)，设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量为m(m>0)，升级后屏占比为， ∵a>b>0，∴>0，即该手机“屏占比”和升级前比变大.] 课后巩固练习 1.B　[因为b－a＝2(x＋2)2 －(x＋1)(x＋3) ＝2x2＋8x＋8－(x2＋4x＋3) ＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0， 所以a<b.] 2.B　[取a＝1，b＝－2，满足a>b，显然有>，a2<b2，|a|<|b|成立，即选项A，C，D都不正确； 指数函数y＝2x为增函数，若a>b，则必有2a>2b，B正确.] 3.D　[由题知a>b>c 且a＋b＋c＝0， 则有a>0，c<0，b>c， 则bc<c2，A选项错误； b－c>0，因为b与0的大小关系未知，不能确定>0，B选项错误； a>c，当b＝0时，ab2＝cb2，C选项错误； a－b>0，c<0，<0，D选项正确.] 4.A　[设甲、乙、丙、丁四名同学的服务时长分别为a，b，c，d，a≥0， b≥0，c≥0，d≥0， 根据题意得 显然d>b，d>c， ②＋①可得a>d， 由②－①可得b>c，故a>d>b>c， 即这四名同学按服务时长从大到小的顺序排列为甲、丁、乙、丙.] 5.AB　[对于选项A，因为c>b>a，所以c＋b>2a，故选项A正确； 对于选项B，因为c>b>a， 所以c－a>c－b>0，所以>>0，故选项B正确； 对于选项C，取a＝－3，b＝－2，c＝－1，满足c>b>a，此时＝－2， ＝－，<， 故选项C错误； 对于选项D，当c＝1，b＝－1， a＝－2时，＝2，＝－， 此时>，故选项D错误.] 6.AC　[1≤ab≤4，4≤≤9，两式相乘得4≤a2≤36，所以2≤|a|≤6，A正确； 由题意得≤≤，又1≤ab≤4，两式相乘得≤b2≤1， 所以≤|b|≤1，B错误； 因为1≤a2b2≤16，4≤≤9，所以两式相乘得4≤a3b≤144，C正确； 因为1≤a2b2≤16，≤≤，所以两式相乘得≤ab3≤4，D错误.] 7. 解析　∵0<β<， ∴－<－β<0， 又0<α<，∴－<α－β<， 又β<α，∴α－β>0， 即0<α－β<. 8.≥ 解析　由题知， －(ab＋2a) ＝a2－ab＋b2＋a2－2a＋1 ＝＋(a－1)2≥0， 当且仅当a＝1且b＝2时，取等号. 9.解　(1)∵y＝在定义域R上单调递减，∴0<<1， 又∵二次函数y＝ax2＋bx顶点的横坐标x0＝－，∵0<<1， ∴－<－<0，即－<x0<0， ∴－1<2x0<0，∴0<2x0＋1<1， ∴2x0＋1的取值范围为(0，1). (2)∵a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b) ＝(a－b)(a2－b2) ＝(a－b)2(a＋b)， 又∵0<<1， ∴a>b>0或a<b<0，则 ①当a>b>0时， a3＋b3>a2b＋ab2； ②当a<b<0时， a3＋b3<a2b＋ab2. 10.证明　(1)∵a>b>c>d， ∴a>b，－d>－c， ∴a－d>b－c>0，则<. (2)∵a>b>0，c<d<0，e<0， ∴－c>－d>0， ∴a－c>b－d>0， b－a<0，c－d<0， 则 ＝ ＝>0， ∴>. 11.C　[由已知及三角形三边关系得 所以 则 两式相加得0<<4， 所以0<<2.] 12.[－7，2] 解析　设3x－4y＝ m(x＋2y)＋n(2x－y)，m，n∈R， 则 解得 所以3x－4y ＝－(x＋2y)＋2(2x－y)， 因为－2≤x＋2y≤3， －2≤2x－y≤0， 所以－3≤－(x＋2y)≤2， －4≤2(2x－y)≤0， 所以－7≤3x－4y≤2. 学科网（北京）股份有限公司 $$