2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第6课时：《一元二次方程及其应用》

2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第6课时 一元二次方程及其应用 一、核心知识 （一）一元二次方程的定义与一般形式 定义：只含有___________未知数，且未知数的最高次数是__________的整式方程，叫做一元二次方程。 一般形式： 。 二次项：ax²，二次项系数为________； 一次项：bx，一次项系数为__________； 常数项： 。 注意：若方程中二次项系数含字母，需保证字母取值使二次项系数不为 0，否则不是一元二次方程。 （二）一元二次方程的解法 直接开平方法：适用于形如 的方程，解得 。 配方法：将方程 ax² + bx + c = 0（a≠0）化为 的形式，步骤为： 移项：把常数项移到等号右边，得 ； 化 1：两边同时除以____________，得 ； 配方：两边加__________，即 ； 开方：转化为 求解。 公式法：对于 ax² + bx + c = 0（a≠0），当 Δ≥0 时，根为 x = 。 因式分解法：将方程化为 的形式，得解 x，核心是 思想。 （三）根的判别式（Δ = b² - 4ac） 当 Δ__________时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ__________时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ_________时，方程没有实数根； 逆用：若方程有两个不相等的实数根，则 ；若有两个相等的实数根，则 ；若没有实数根，则 。 （四）根与系数的关系（韦达定理） 对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a≠0，Δ≥0），设两根为 x₁、x₂，则： x₁ + x₂ = ； x₁·x₂ = 。 常用变形：x₁² + x₂² = ； 。 （五）一元二次方程的应用 增长率问题：若初始量为 m，平均增长率为 x，经过 n 次增长后量为 n，则列方程： ；降低率问题则为 。 利润问题：利润 = ，设涨价或降价 x 元，根据利润目标列方程。 几何问题：围绕图形的边长、面积等关系，结合图形性质列方程，注意检验解的实际意义。 握手 / 比赛问题：n 人握手（或单循环比赛）总次数为________，根据总次数列方程。 二、核心能力 题型1.定义与一般形式辨析 解题思路 紧扣 “一个未知数、最高次数 2、整式方程、a≠0” 四个条件，先化简方程再判断，注意含字母系数的情况。 题型2.一元二次方程的解法选择 解题思路 优先选简便方法，能因式分解先因式分解，能直接开平方先开平方；二次项系数为 1 且一次项系数为偶数时，优先用配方法；所有方程都可用公式法，注意 Δ 的符号。 题型3.根的判别式的应用 解题思路 先确定方程为一元二次方程（a≠0），再计算 Δ，根据根的情况列不等式（或等式）求参数取值范围，注意参数的隐含条件。 题型4.韦达定理的应用 解题思路 先验证 Δ≥0，再利用两根和、两根积的关系，结合代数式变形求值，或根据根的特征求参数。 题型4.实际应用问题 解题思路 遵循 “审→设→列→解→检→答” 步骤，找准等量关系，设合适的未知数，检验解是否符合实际意义（如长度、增长率为正，销量为整数等）。 三、易错警示 忽略二次项系数不为 0 错误：判断方程 kx² + 2x + 1 = 0 为一元二次方程时，未强调 k≠0； 提醒：涉及含字母系数的一元二次方程，首先明确二次项系数≠0。 配方时计算错误： 错误：将 x² - 4x - 1 = 0 配方时，误写为 (x - 2)² = 1（忘记常数项同步加 4）； 提醒：配方时，方程两边需同时加上一次项系数一半的平方，保持等式平衡。 判别式与韦达定理使用条件混淆： 错误：未验证 Δ≥0 就直接用韦达定理求代数式的值； 提醒：韦达定理的使用前提是方程有实数根，即 Δ≥0，需先验证再应用。 实际应用忽略解的检验： 错误：增长率问题解得 x=2.5（即 250%）未舍去，或几何问题解得边长为负数未排除； 提醒：解完方程后，需检验解是否符合实际情境，舍去不合理的解。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·安徽模拟）若关于的一元二次方程的常数项为，则的值为（   ） A. B. C. D. 2.（23-24·四川中考）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A. B. C.或 D. 3.（23-24·山东中考）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A. B. C. D. 4.（24-25·贵州模拟）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） A. B. C. D. 5.（25-26·河南月考）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（   ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断根的情况 6.（25-26·全国同步）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（   ） A. B. C.且 D.且 7.（23-24·吉林中考）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A. B. C. D. 8.（23-24·贵州中考）一元二次方程的解是（    ） A.， B.， C.， D.， 9.（25-26·广东期中）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.（25-26·贵州期中）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（    ） A. B. C. D. 11.（23-24·黑龙江模拟）某商场将进货价为元的某种服装以元售出，平均每天可售件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价元，则每天可多售件，如果每天要盈利元，每件应降价（      ） A.元 B.元 C.元 D.元 12.（25-26·辽宁月考）若关于的方程的一个根是，则另一个根及的值分别是（    ） A. B. C. D. 13.（25-26·内蒙古复习）若关于的方程有两个实数根，且两根之和不小于，则代数式化简的结果是（   ） A. B. C. D. 14.（24-25·甘肃模拟）对于任意实数，，定义新运算“”： ，例如：．若，是方程的两个实数根，则的值为（    ） A. B. C. D. 15.（23-24·湖北模拟）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实数根所在的范围是（    ） A. B. C. D.   （二）填空题（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（24-25·安徽模拟）一元二次方程化为一般形式为___________． 17.（24-25·广东中考）若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为____________． 18.（25-26·安徽月考）已知是方程的一个根，则的值为_____________．  19.（24-25·山东模拟）把方程化成的形式，则的值是_________． 20.（24-25·河南模拟）定义运算：，例如，则不解方程，判断方程的根的情况是___________． 21.（25-26·福建期中）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为______________． 22.（24-25·黑龙江中考）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则__________． 23.（24-25·山西模拟）如图，硬叶柳是杨柳科柳属直立灌木，在海拔到的 高山环境下，其叶片长度与海拔满足关系式：， 若，则硬叶柳生长的海拔为____________． 24.（25-26·四川期中）随着国家“惠民政策”的出台，某种药品原价元/瓶，经过连续两次降价后．现在仅卖元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率为____________． 25.（24-25·浙江模拟）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式，（其中，，均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：，，，，，均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个的值，使代数式的值为，则；④若，则的值不可能是．其中所有正确结论的序号是____________． （三）解答题（2023-2025 年中考真题 / 模拟题）  26.（24-25·安徽模拟）解方程： （1） （2）  27.（25-26·福建期中）设，是关于的方程的两根． （1）当时，求及的值． （2）求证：． 28.（25-26·内蒙古复习）关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 29.（25-26·甘肃模拟）已知关于的方程的两个根分别为． （1）是这个方程的解吗？请说明理由； （2）与是正数还是负数？请说明理由． 30.（23-24·山东模拟）年月日至月日，世界大学生夏季运动会在成都举行，吉祥物蓉宝成为本次大运会的“显眼包”，某电商直播间在月初以元一件的成本价购进一大批蓉宝玩偶进行销售． （1）据统计，月份该直播间共销售蓉宝玩偶件，月日大运会闭幕后，蓉宝玩偶的销量呈下滑趋势，连续两个月销量下降后，月份共计销售件，月和月这两个月销售量的月平均下降率是多少？ （2）十一国庆长假期间，该直播间决定利用降价促销的方式提高利润，每件玩偶定价元，每天可销售件，若单价每下降元，每天可多售出件，当每件玩偶定价为多少元时，每天获得的利润最大？ 31.（25-26·全国模拟）如图，用长为米的篱笆围成一面靠墙（足够长）的矩形菜地，中间用篱笆分隔为两个小矩形（平行于墙面方向分隔）： （1）设垂直于墙的边长为米，求菜地总面积与的函数关系式； （2）结合二次函数性质，求的最大值； （3）（变式）若分隔篱笆长度为米，其他条件不变，重新建立与的关系式，并分析最值变化． 32.（24-25·江苏模拟） 【方法学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决 问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ， ，所以当时，即当时，有最小值， 最小值为． 【问题解决】 （1）当为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ （2）如图，是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；图是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由． 33.（24-25·福建模拟）我们规定：当，时，由，得当且仅当时，取到等号．已知，求式子的最小值．解：令，，则由，得，当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为，根据材料，思考下列问题： （1）_____（用“”“”“”填空） （2）当，式子的最小值为_____． （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是和，求四边形面积的最小值．   34.（21-22·湖北中考）阅读材料，解答问题： 材料 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原 方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把 以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料 已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1） 直接应用： 方程的解为_______________________； （2）间接应用： 已知实数，满足：，且，求的值； （3）拓展应用： 已知实数，满足：，且，求的值． 35.（23-24·上海模拟）对于一些比较复杂的方程，可以利用函数图像来研究方程的根． 问题：探究方程的实数根的情况． 下面是小董同学的探究过程，请帮她补全： （1）设函数，这个函数的图像与直线的交点的横坐标就是方程的实数根． （2）注意到函数解析式中含有绝对值，所以可得： 当时，； 当时，__________； （3）在如图的坐标系中，已经画出了当时的函数图像，请根据中的解析式， 通过描点，连线，画出当时的函数图像． （4）画直线，由此可知的实数根有______个． （5）深入探究：若关于的方程有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为非负数，则的取值范围是________________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第6课时 一元二次方程及其应用 一、核心知识 （一）一元二次方程的定义与一般形式 定义：只含有______一个______未知数，且未知数的最高次数是______2______的整式方程，叫做一元二次方程。 一般形式： ax² + bx + c = 0（a、b、c 为常数，且a≠0） 。 二次项：ax²，二次项系数为______a______； 一次项：bx，一次项系数为______b______； 常数项： c 。 注意：若方程中二次项系数含字母，需保证字母取值使二次项系数不为 0，否则不是一元二次方程。 （二）一元二次方程的解法 直接开平方法：适用于形如 （x + m）² = n（n≥0） 的方程，解得 x = -m ± 。 配方法：将方程 ax² + bx + c = 0（a≠0）化为 （x + h）² = k 的形式，步骤为： 移项：把常数项移到等号右边，得 ax² + bx = -c ； 化 1：两边同时除以______二次项系数 a______，得 x² + (b/a) x = -c/a ； 配方：两边加______一次项系数一半的平方______，即 ； 开方：转化为 直接开平方法 求解。 公式法：对于 ax² + bx + c = 0（a≠0），当 Δ≥0 时，根为 x = 。 因式分解法：将方程化为 （mx + n）（px + q）= 0 的形式，得解 x，核心是 “降次” 思想。 （三）根的判别式（Δ = b² - 4ac） 当 Δ______>0______时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ______=0______时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ______<0______时，方程没有实数根； 逆用：若方程有两个不相等的实数根，则 Δ>0 ；若有两个相等的实数根，则 Δ=0 ；若没有实数根，则 Δ<0 。 （四）根与系数的关系（韦达定理） 对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a≠0，Δ≥0），设两根为 x₁、x₂，则： x₁ + x₂ = ； x₁·x₂ = 。 常用变形：x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ ； 。 （五）一元二次方程的应用 增长率问题：若初始量为 m，平均增长率为 x，经过 n 次增长后量为 n，则列方程： m(1 + x)ⁿ = n ；降低率问题则为 m (1 - x)ⁿ = n 。 利润问题：利润 = （售价 - 进价）× 销量 ，设涨价或降价 x 元，根据利润目标列方程。 几何问题：围绕图形的边长、面积等关系，结合图形性质列方程，注意检验解的实际意义。 握手 / 比赛问题：n 人握手（或单循环比赛）总次数为__________，根据总次数列方程。 二、核心能力 题型1.定义与一般形式辨析 解题思路 紧扣 “一个未知数、最高次数 2、整式方程、a≠0” 四个条件，先化简方程再判断，注意含字母系数的情况。 题型2.一元二次方程的解法选择 解题思路 优先选简便方法，能因式分解先因式分解，能直接开平方先开平方；二次项系数为 1 且一次项系数为偶数时，优先用配方法；所有方程都可用公式法，注意 Δ 的符号。 题型3.根的判别式的应用 解题思路 先确定方程为一元二次方程（a≠0），再计算 Δ，根据根的情况列不等式（或等式）求参数取值范围，注意参数的隐含条件。 题型4.韦达定理的应用 解题思路 先验证 Δ≥0，再利用两根和、两根积的关系，结合代数式变形求值，或根据根的特征求参数。 题型4.实际应用问题 解题思路 遵循 “审→设→列→解→检→答” 步骤，找准等量关系，设合适的未知数，检验解是否符合实际意义（如长度、增长率为正，销量为整数等）。 三、易错警示 忽略二次项系数不为 0 错误：判断方程 kx² + 2x + 1 = 0 为一元二次方程时，未强调 k≠0； 提醒：涉及含字母系数的一元二次方程，首先明确二次项系数≠0。 配方时计算错误： 错误：将 x² - 4x - 1 = 0 配方时，误写为 (x - 2)² = 1（忘记常数项同步加 4）； 提醒：配方时，方程两边需同时加上一次项系数一半的平方，保持等式平衡。 判别式与韦达定理使用条件混淆： 错误：未验证 Δ≥0 就直接用韦达定理求代数式的值； 提醒：韦达定理的使用前提是方程有实数根，即 Δ≥0，需先验证再应用。 实际应用忽略解的检验： 错误：增长率问题解得 x=2.5（即 250%）未舍去，或几何问题解得边长为负数未排除； 提醒：解完方程后，需检验解是否符合实际情境，舍去不合理的解。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·安徽模拟）若关于的一元二次方程的常数项为，则的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由常数项为，则，结合一元二次方程的定义，即可求出的值． 【解答】解：根据题意，则 一元二次方程的常数项为， ， ， ， ， ； 故选：． 2.（23-24·四川中考）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A. B. C.或 D. 【答案】A 【解析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【解答】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选 3.（23-24·山东中考）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键． 用配方法把移项，配方，化为，即可． 【解答】解：， 移项得，， 配方得，， 即， ，， ． 故选：．  4.（24-25·贵州模拟）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查估算一元二次方程的近似值．由表格数据可知当时，的值大于，当时，的值小于，因此的一个解的取值范围是． 【解答】解：由表格数据可知当时，的值大于， 当时，的值小于， 因此的一个解的取值范围是． 故选：． 5.（25-26·河南月考）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（   ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断根的情况 【答案】A 【解析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当 时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根． 通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况． 【解答】解：， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：． 6.（25-26·全国同步）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（   ） A. B. C.且 D.且 【答案】C 【解析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【解答】解：关于的一元二次方程有实数根， 二次项系数，即． 令，即， 解得． 且 故选：． 7.（23-24·吉林中考）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题 的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 【解答】解：、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； 、，解得：，故本选项符合题意； 、，，解得，故本选项不符合题意； 、，，解得，故本选项不符合题意． 故选：． 8.（23-24·贵州中考）一元二次方程的解是（    ） A.， B.， C.， D.， 【答案】B 【解析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【解答】解∶， ， 或， ，， 故选∶． 9.（25-26·广东期中）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【解答】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ，． 点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：． 10.（25-26·贵州期中）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可. 【解答】解：设矩形的宽为，则矩形的宽为， 故选： 11.（23-24·黑龙江模拟）某商场将进货价为元的某种服装以元售出，平均每天可售件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价元，则每天可多售件，如果每天要盈利元，每件应降价（      ） A.元 B.元 C.元 D.元 【答案】B 【解析】设应降价元，根据题意列写方程并求解可得答案． 【解答】设应降价元则根据题意，等量方程为： 解得：或 要尽快较少库存，舍去 故此题答案为． 12.（25-26·辽宁月考）若关于的方程的一个根是，则另一个根及的值分别是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程先求出的值，从而确定出方程，再解方程即可求出，理解方程的解并准确计算是解题的关键． 【解答】解：是方程的一个根， , ， 方程为， 解得，， 另一个根为，的值为， 故选：． 13.（25-26·内蒙古复习）若关于的方程有两个实数根，且两根之和不小于，则代数式化简的结果是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次根式化简，解题的关 键在于正确掌握相关知识． 根据一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，建立不等式推出的取值范围，再结合完 全平方公式变形，以及二次根式性质，绝对值性质化简求解，即可解题． 【解答】解：关于的方程有两个实数根， ， 两根之和不小于， ， 解得， 综上， ， ， ， 故选：．  14.（24-25·甘肃模拟）对于任意实数，，定义新运算“”： ，例如：．若，是方程的两个实数根，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义下的实数运算；由得：，由根与系数的关系得；再把所求代数式通分，整体代入即可． 【解答】解：， ， 整理得：， ，是方程的两个实数根， 即，是方程的两个实数根， ； ； 故选：．  15.（23-24·湖北模拟）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实数根所在的范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】按照提示方法，方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，根据两个函数的图象的交点位置范围，确定原方程的根的所在范围． 【解答】解：发现的根不为， 方程两边同除以，得到， 方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标， 在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象， 由图象看出，两个函数的图象交点在点和点之间， 方程的实数根所在范围是． 故选   （二）填空题（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（24-25·安徽模拟）一元二次方程化为一般形式为______________． 【答案】 【解析】把方程展开，移项、合并同类项后再根据一元二次方程的一般形式进行排列各项即可． 【解答】， 可化为：， 化为一元二次方程的一般形式为＝ 故答案为  17.（24-25·广东中考）若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为_______________． 【答案】 【解析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，解得，再根据二次项系数不为得到，则． 【解答】解：关于的一元二次方程有一个根为， ， 解得， 又， ， ， 故答案为：． 18.（25-26·安徽月考）已知是方程的一个根，则的值为_________________． 【答案】 【解析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解．【解答】解：是方程的一个根， ， 故答案为：．  19.（24-25·山东模拟）把方程化成的形式，则的值是_______5_____． 【答案】 【解析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方求出、的值，然后代值计算即可． 【解答】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：5  20.（24-25·河南模拟）定义运算：，例如，则不解方程，判断方程的根的情况是_____有两个不等实数根_______． 【答案】有两个不等实数根 【解析】本题考查新定义，解一元二次方程，理解新定义的运算，得出方程是解题的关键． 先利用新定义得到，再把方程化为一般式，进而判断判别式的符号，求解即可． 【解答】解：， ， 即， 方程有两个不等实数根， 故答案为：有两个不等实数根．  21.（25-26·福建期中）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为_______29_________． 【答案】 【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得：，，把整理可得：，再利用整体代入法求值即可． 【解答】解：方程的两根分别为和， ，， ， ． 故答案为：．  22.（24-25·黑龙江中考）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则______2027________． 【答案】 【解析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可． 【解答】解：，是关于的一元二次方程的两个根， ， ， 故答案为：．  23.（24-25·山西模拟）如图，硬叶柳是杨柳科柳属直立灌木，在海拔到的 高山环境下，其叶片长度与海拔满足关系式：， 若，则硬叶柳生长的海拔为______4.5______． 【答案】 【解析】本题考查了二次函数的应用，将代入解析式，求得，即可求解． 【解答】解：依题意，当时， 解得： 故答案为： 24.（25-26·四川期中）随着国家“惠民政策”的出台，某种药品原价元/瓶，经过连续两次降价后．现在仅卖元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率为____30%________． 【答案】 【解析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是找出题目中的等量关系． 设该种药品平均每场降价的百分率为，根据原价为元可以表示出两次降价后的价格， 结合现在仅卖元/瓶，列出关于的方程，通过解方程即可得到降价的百分率． 【解答】解：该种药品平均每场降价的百分率为， 根据题意得， 解得或， 由于是平均每次降价的百分率，所以， 故舍去， 即． 故答案为． 25.（24-25·浙江模拟）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式，（其中，，均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：，，，，，均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个的值，使代数式的值为，则；④若，则的值不可能是．其中所有正确结论的序号是______①④________． 【答案】①④/④① 【解析】本题主要考查配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法，熟练掌握配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次排除答案． 【解答】解：， ， ， ， ， ①， ， ， ， ， ；故正确； ②， ， 解得：， ；故错误； ③由题意可知：当时，方程有两个相等的实数根， ， ， ， ；故错误； ④当，即， ， ， ， ， ， ，所以的值不可能是，说法正确； 综上所述：正确的结论有①④； 故答案为①④． （三）解答题（2023-2025 年中考真题 / 模拟题）  26.（24-25·安徽模拟）解方程： （1） （2） 【答案】 ， ； 【解析】（1）方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解． （2）移项后分解因式得出，推出方程，求出方程的解即可． 【解答】（1）解：配方得：，即， 开方得： ， 则 ， ； （2） 移项得 分解因式得： ， 解得： ．  27.（25-26·福建期中）设，是关于的方程的两根． （1）当时，求及的值． （2）求证：． 【答案】，； 详见解答． 【解析】 （1） 本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． 把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可； 利用根的判别式，根与系数的关系求解即可． 【解答】（1）解：把代入方程得， ， ，即， 解方程得，，， 故，； （2） 证明：方程可化为， ， 原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ， ， ． 28.（25-26·内蒙古复习）关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】且 不存在，见解析 【解析】（1）由二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围； （2）假设存在，设方程的两根分别为、，根据根与系数的关系结合，即可得出关于的方程，解之即可得出的值，再根据的结论即可得出不存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于 【解答】（1）关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且． （3） 解：不存在，理由如下： 假设存在，设方程的两根分别为、，则，． ， ． 且， 不符合题意，舍去． 假设不成立，即不存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于  29.（25-26·甘肃模拟）已知关于的方程的两个根分别为． （1）是这个方程的解吗？请说明理由； （2）与是正数还是负数？请说明理由． 【答案】不是，理由见解答 负数，理由见解答 【解析】（1）根据方程解的含义，将代入方程，验证是否成立即可； （2）根据根与系数的关系，得到，，判断它们的符号从而确定与的符号． 【解答】（1）解：不是，理由如下： 根据方根解的含义，将代入方程可得，， ，， ， 显然不成立， 不是这个方程的解； （3） 解：与是负数，理由如下： 关于的方程的两个根分别为， 由根与系数的关系可得，，， ，， ，， ，， 与是负数． 30.（23-24·山东模拟）年月日至月日，世界大学生夏季运动会在成都举行，吉祥物蓉宝成为本次大运会的“显眼包”，某电商直播间在月初以元一件的成本价购进一大批蓉宝玩偶进行销售． （1）据统计，月份该直播间共销售蓉宝玩偶件，月日大运会闭幕后，蓉宝玩偶的销量呈下滑趋势，连续两个月销量下降后，月份共计销售件，月和月这两个月销售量的月平均下降率是多少？ （2）十一国庆长假期间，该直播间决定利用降价促销的方式提高利润，每件玩偶定价元，每天可销售件，若单价每下降元，每天可多售出件，当每件玩偶定价为多少元时，每天获得的利润最大？ 【答案】月均下降率为 当每件玩偶定价为元时，每天获得的利润最大 【解析】（1）此题主要考查了二次函数的应用，解题时要能根据题意列出利润关于售价的函数关系是关键．依据题意，设月均下降率为，可列方程，进而计算可以得解； （2）依据题意，设每件玩偶定价为元时，所获利润为元，进而可得再由二次函数的性质进行判断可以得解． 【解答】（1）解：设月均下降率为，根据题意可得， 解得（不合题意，舍去）， 所以，月均下降率为． （2） 设每件玩偶定价为元时，所获利润为元，则． 当，最大， 所以，当每件玩偶定价为元时，每天获得的利润最大． 31.（25-26·全国模拟）如图，用长为米的篱笆围成一面靠墙（足够长）的矩形菜地，中间用篱笆分隔为两个小矩形（平行于墙面方向分隔）： （1）设垂直于墙的边长为米，求菜地总面积与的函数关系式； （2）结合二次函数性质，求的最大值； （3）（变式）若分隔篱笆长度为米，其他条件不变，重新建立与的关系式，并分析最值变化． 【答案】 平方米 ，最大面积没有发生变化 【解析】（1）设垂直于墙的边长为米，则菜地的平行于墙的边的长为，即；再根据长方形的面积公式即可解答； （2）直接运用配方法求最值即可； （3）若分隔篱笆长度为米，则垂直于墙的边长为，即米， ，然后根据题意列出函数关系式并求最值，然后再比较即可． 【解答】（1）解：由垂直于围墙的边长为米， 则平行于围墙的边长为，即米， 所以菜地面积与的函数关系式为：，即 ． （2）解：，， 当时，菜地的最大面积为平方米． （3）解：若分隔篱笆长度为米， 则垂直于围墙的边长为，即米，， 所以菜地面积与的函数关系式为，即． 所以当时，菜地的最大面积为平方米，最大面积没有发生变化． 32.（24-25·江苏模拟） 【方法学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决 问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ， ，所以当时，即当时，有最小值， 最小值为． 【问题解决】 （1）当为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ （2）如图，是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；图是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】时，代数式有最小值，最小值为 当时，；当时， 【解析】（1）利用配方法解答即可求解； 利用长方形和正方形的面积公式分别表示出，进而求出，最后根据的值判 断即可求解； 本题考查了配方法，整式的运算，掌握配方法是解题的关键． 【解答】（1）解：， ， ， 当，即时，代数式有最小值，最小值为； （2）解：由题意得，，， ， 当时，，即， 当时，； 当时，，即， 当时，； 综上所述，当时，；当时，． 33.（24-25·福建模拟）我们规定：当，时，由，得当且仅当时，取到等号．已知，求式子的最小值．解：令，，则由，得，当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为，根据材料，思考下列问题： （1）___>___（用“”“”“”填空） （2）当，式子的最小值为__6___． （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是和，求四边形面积的最小值． 【答案】 【解析】（1）根据题意可知， （2）令，，则由，即可得出答案． （3）设，根据题意可得出，即可得出当且仅当，即时，，四边形面积． 【解答】（1）解：，， ， 故答案为： （2）解：令，，则由， 得 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为， 故答案为：； （3） 解：设，已知，， 则由等高三角形可知：， ， ， 四边形的面积 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 34.（21-22·湖北中考）阅读材料，解答问题： 材料 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原 方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把 以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料 已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1） 直接应用： 方程的解为_____，，，__________________； （2）间接应用： 已知实数，满足：，且，求的值； （3）拓展应用： 已知实数，满足：，且，求的值． 【答案】，，， 或 【解析】（1）利用换元法降次解决问题； （2）模仿例题解决问题即可； （3）令，，则， ，再模仿例题解决问题． 【解答】（1）解：令，则有， ， ，， 或， ，，，， 故答案为：，，，； （2） 解：， 或 ①当时，令，， 则，， ，是方程的两个不相等的实数根， ， 此时； ②当时，， 此时； 综上：或 （3） 解：令，，则，， ， 即， ，是方程的两个不相等的实数根， ， 故．  35.（23-24·上海模拟）对于一些比较复杂的方程，可以利用函数图像来研究方程的根． 问题：探究方程的实数根的情况． 下面是小董同学的探究过程，请帮她补全： （1）设函数，这个函数的图像与直线的交点的横坐标就是方程的实数根． （2）注意到函数解析式中含有绝对值，所以可得： 当时，； 当时，________________； （3）在如图的坐标系中，已经画出了当时的函数图像，请根据中的解析式， 通过描点，连线，画出当时的函数图像． （4）画直线，由此可知的实数根有___3_____个． （5）深入探究：若关于的方程有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为非负数，则的取值范围是________________． 【答案】见解答 见解答 【解析】（1）函数的图像与直线的交点的横坐标就是方程的实数根． （2）根据绝对值的性质去掉绝对值整理即可，注意的取值范围； （3）通过描点，连线，画出当时的函数图像即可； （4）根据两个函数图像交点的个数，找出方程解的个数； （5）根据两个函数图像相交产生的交点，比较交点横坐标的特征，加以分析即可求得． 【解答】（1）解：函数的图像与直线的交点的横坐标就是方程的实数根． （2） 当时，， 故答案为； （3） 如图： （4） 如题图，直线的图像与的图像有三个交点， 则可知方程的实数根有 个． 故答案为； （5） 根据题意画出图像： 可知：直线与函数的交点的横坐标，且， ， ， ， 关于的方程即有三个不相等的实数根，且这三个实数 根的和为负数，则的取值范围是， 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $