2026年中考数学第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第4课时：《数的开方与二次根式》

2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第4课时 数的开方与二次根式 一、核心知识 （一）数的开方 1.平方根： 定义：如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根，记作____________（a≥0）。 性质：正数有______两个______平方根，它们互为相反数；0 的平方根是______0______；负数______没有______平方根。 开平方：求一个数平方根的运算，与平方互为______逆运算______。 2.算术平方根： 定义：正数 a 的______正______的平方根叫做 a 的算术平方根，记作根号 a（a≥0），0 的算术平方根是 0。 性质： 算术平方根的结果一定是非负数，≥0（a≥0） 。 3.立方根： 定义：如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根，记作____________（a 为任意实数）。 性质：正数的立方根是______正数______，负数的立方根是______负数______，0 的立方根是 0 ； 。 开立方： 求一个数立方根的运算，与立方互为逆运算 。 （二）二次根式 1.定义： 形如 （a______≥0______）的式子叫做二次根式，其中 a 是 被开方数 ，二次根号下的数必须是 非负数 。 2.最简二次根式： 条件 1：被开方数中不含能开得尽方的______因数或因式______； 条件 2：被开方数中不含_______分母_____； 条件 3：分母中不含______根号______。 3.核心性质： 性质 1： （a≥0） ； 性质 2： ； 性质 3： （a≥0，b≥0） ； 性质 4： （a≥0，b>0） 。 4.运算法则： 加减法：先将二次根式化为______最简二次根式______，再合并被开方数相同的二次根式； 乘法： （a≥0，b≥0） ； 除法： （a≥0，b>0） ； 混合运算：遵循 先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内 的顺序，可运用整式运算公式（如平方差、完全平方公式）。 二、核心能力 题型1.平方根、算术平方根与立方根的计算 解题思路 紧扣定义和性质，注意平方根与算术平方根的区别（算术平方根为非负），立方根符号与原数一致，先化简再计算。 题型2.二次根式有意义的条件 解题思路 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式（组），求解字母取值范围；若含零指数幂，需同时满足底数不等于0。 题型3.二次根式的化简 解题思路 利用性质化简含平方的根式，结合数轴或字母取值范围判断绝对值内式子的符号；分母有理化时，利用平方差公式消除分母根号。 题型4.二次根式的混合运算 解题思路 先将所有根式化为最简二次根式，乘法运算可巧用公式简化，加减运算只合并同类二次根式，避免非同类根式直接加减。 题型5.二次根式的估值 解题思路 找到被开方数相邻的两个完全平方数，确定根式的整数部分，再估算小数部分；复杂估值可先化简再判断范围。 题型6.二次根式非负性的应用 解题思路： 多个非负数相加为 0 时，每个非负数均为 0，列方程求解字母的值。 三、易错警示 混淆平方根与算术平方根 错误：认为 的平方根是 ±4（忽略=4，实际求 4 的平方根）； 提醒：先化简根式，再区分 “平方根”（）和 “算术平方根”（），算术平方根一定非负。 二次根式化简忽略符号 错误：化简 时，直接得 x-3（未考虑 x<3 的情况）； 提醒：，需根据字母取值范围或数轴判断 a 的符号，再去掉绝对值。 运算顺序或法则错误 错误：+ = （非同类二次根式直接相加）、 = （违反乘法法则条件）； 提醒：非同类二次根式不能直接加减，二次根式乘法需保证被开方数非负。 分母有理化不彻底 错误：化简 时，只给分子乘 - 1（未用平方差公式）； 提醒：分母含±时，分子分母同乘，消除分母根号。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（23-24·云南模拟）下列等式正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据算术平方根，平方根，二次根式的加减计算选择即可，本题考查了平方根，算术平方根，二次根式的加减，熟练掌握定义个性质是解题的关键． 【解答】 ，错误，不符合题意； 不是同类二次根式，无法计算，不符合题意； ，正确，符合题意； ，错误，不符合题意；  故选．  2.（24-25·福建中考）若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定的取值范围，进而选出正确选项． 【解答】解：要使在实数范围内有意义， 需满足被开方数， 解得． 符合． 故选：． 3.（25-26·辽宁月考）已知，用含的代数式表示，这个代数式是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据题意可知正好是和的积，因此可得． 【解答】， ， 故选：．  4.（24-25·陕西模拟）的立方根是（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据立方根进行求解即可． 【解答】的立方根是， 故选．  5.（21-22·辽宁中考）下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分别化简二次根式判断即可． 【解答】、无解，故该项错误，不符合题意； 、，故该项错误，不符合题意； 、，故该项正确，符合题意； 、，故该项错误，不符合题意； 故选：．  6.（24-25·江苏模拟）若 ，则下列各式正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】此题考查了二次根式的分母有理化和无理数的估算．先利用分母有理化化简二次根式，再进行无理数估算即可． 【解答】解：； ， ， 即； 故选：． 7.（24-25·江西模拟）若最简二次根式与能合并，则的值可以是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了最简二次根式及同类二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 根据能合并的二次根式是同类二次根式，即化为最简二次根式后被开方数相同，据此列方程求解即可． 【解答】解：最简二次根式与能合并， ， 解得：． 故选：  8.（24-25·湖南模拟）若，则关于的大小，以下说法正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了比较二次根式的大小，分别求出，进而即可判断求解，掌握二次根式的大小比较方法是解题的关键 【解答】解：，，， ， ， 故选： 9.（24-25·四川中考）若，则的平方根是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 【解答】解：， ， ，得：， 的平方根是； 故选：． 10.（23-24·河北模拟）已知，则的平方根为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了二次根式的加减，算术平方根，平方根； 根据二次根式的加减求出，然后根据算术平方根和平方根的关系得出答案． 【解答】解：， ， 的平方根为， 故选：．  11.（23-24·河北模拟）设，其中，，则的值为（      ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了二次根式乘法运算；先利用乘法分配律展开，再利用二次根式乘法法则进行运算，代值运算即可求解；掌握是解题的关键． 【解答】解： ， 当，时， ； 故选：． 12.（24-25·广东模拟）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为和，则阴影部分的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为，大正方形的边长为，故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即，解答即可． 本题考查了算术平方根的应用，面积的计算，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长． 【解答】解：根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为，大正方形的边长为， 故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即， 故选．  13.（23-24·河北模拟）若 ，则（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式混合运算，熟练掌握完全平方公式及化简求值是解题的关键．根据完全平方公式将变形为，再代入，的值求解即可． 【解答】解：，， ， ， ， 故选：．  14.（23-24·湖南模拟）已知，则化简的结果为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查二次根式的性质与化简，根据绝对值的性质得，即，所以，，再根据二次根式的性质化简即可．掌握二次根式的性质及绝对值的意义是解题的关键．也考查了完全平方公式的应用． 【解答】解， ， ， ，， ． 故选：． 15.（25-26·四川月考）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”．即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为，三角形的面积为，则．已知在中，，那么的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；由题意易得，然后代入题中所给公式即可求解． 【解答】解：由题意得：， ； 故选：． 11.（23-24·河北模拟）设，其中，，则的值为（      ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了二次根式乘法运算；先利用乘法分配律展开，再利用二次根式乘法法则进行运算，代值运算即可求解；掌握是解题的关键． 【解答】解： ， 当，时， ； 故选：． 12. （24-25·广东模拟）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为和，则阴影部分的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为，大正方形的边长为，故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即，解答即可． 本题考查了算术平方根的应用，面积的计算，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长． 【解答】解：根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为，大正方形的边长为， 故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即， 故选．  13.（23-24·河北模拟）若 ，则（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式混合运算，熟练掌握完全平方公式及化简求值是解题的关键．根据完全平方公式将变形为，再代入，的值求解即可． 【解答】解：，， ， ， ， 故选：．  14.（23-24·湖南模拟）已知，则化简的结果为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查二次根式的性质与化简，根据绝对值的性质得，即，所以，，再根据二次根式的性质化简即可．掌握二次根式的性质及绝对值的意义是解题的关键．也考查了完全平方公式的应用． 【解答】解， ， ， ，， ． 故选：． 15.（25-26·四川月考）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”．即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为，三角形的面积为，则．已知在中，，那么的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；由题意易得，然后代入题中所给公式即可求解． 【解答】解：由题意得：， ； 故选：．  （二）填空题（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（25-26·甘肃模拟）的平方根是________，的立方根是________． 【答案】, 【解析】根据平方根及立方根的定义计算即可得到结果． 【解答】解：∵ ， ∴ 的平方根为； ∵ ，的立方根为， 则的立方根为． 故答案为：；． 17.（25-26·甘肃期中）若有意义，则能取的最小整数值是____1__________． 【答案】 【解析】根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案． 【解答】解：有意义， ， ， 能取得最小整数为 故答案为： 18.（24-25·黑龙江中考）若式子有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】本题主要考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．分式有意义的条件：分母不为零． 根据二次根式以及分式有意义，得出关于的不等式，解出即可得出的取值范围． 【解答】解：要使式子有意义， 即， ． 故答案为：． 19.（24-25·吉林中考）计算：________． 【答案】 【解析】本题考查的是二次根式的加减运算，先化简，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：， 故答案为：．  20.（24-25·四川模拟）若最简二次根式与可以合并，则______−16________． 【答案】 【解析】根据最简二次根式与可以合并，判定二式是同类二次根式，得到，解答即可． 本题考查了最简二次根式，同类二次根式，求代数式的值，熟练掌握定义是解题的关键． 【解答】解：最简二次根式与可以合并 最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得， ． 故答案为：．  21.（25-26·全国模拟）已知，则________0________． 【答案】 【解析】本题考查二次根式的运算，分式的求值，将分式变形后，代值计算即可． 【解答】解： ； ， ， 原式； 故答案为：0  22.（25-26·浙江模拟）已知，则______． 【答案】 【解析】设原式中的，从而使原式结构变得简单，这样应用二次根式的相关运算法则化简变形即可求得的值，使问题得到解决 【解答】设，则 可化为：， ， 两边同时平方得：，即：， ，解得：， 故答案为 23.（24-25·四川模拟）已知代数式，其中为的小数部分，则的值为__________． 【答案】 【解析】本题考查分式的化简求值，无理数的估算，二次根式性质，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先化简分式，再估算求出，再代入求值即可． 【解答】解： = ， ，为的小数部分， ， ， 故答案为：． 24.（24-25·广东中考）将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数，则表示的数是____________________ 【答案】 【解析】根据数的排列方法可知，第一排：个数，第二排个数．第三排个数，第四排个数，…第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算． 【解答】解：表示第排从左向右第个数，可以看出奇数排最中间的一个数都 是， ， ， 则所表示的数是， 故答案为． 25.（24-25·湖南模拟）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为现已知的三边长分别为，，，则的面积为________________. 【答案】 【解析】根据题目中的面积公式可以求得的三边长分别为，，的的面积，从而可以解答本题． 【解答】如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为 的三边长分别为，，， 的面积为： 故答案为   （三）解答题（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（23-24·安徽模拟）计算：． 【答案】 【解析】原式利用立方根定义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值． 【解答】解： ． 27.（24-25·北京中考）计算：． 【答案】 【解析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算绝对值，化简二次根式，计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值并进行乘法计算，再进行加减计算即可． 【解答】解： ． 28.（23-24·新疆模拟）计算： 【答案】 【解析】分别利用负整指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的性质化简，再进行计算即可． 【解答】解：   29.（23-24·江苏中考）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】本题主要考查了分式的化简求值，先对括号里面的通分，再利用平方差公式展开，最后约分，然后再代入的值代入计算，并利用二次根式的性质化简． 【解答】解： = ， 当时，原式．  30.（24-25·陕西模拟）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给数值代入计算． 【解答】解： ； 当时，原式．  31.（24-25·江苏模拟）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】本题考查的是分式的化简求值及二次根式的化简，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式 ， 当时， 原式 ．  32.（24-25·福建模拟）定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． （1）判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； （2）若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，； （3）若是完整根式，证明：一定是完全平方数． 【答案】是的完整平方根，奸恶计息 ， 见解答 【解析】（1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； 【解答】（1）解：（1）是的完整平方根， 理由如下： 即． 是的完整平方根． （2）的完整平方根是， ． ． ，，，都是整数， ，． （3）是完整根式， 不妨设，其中，都是整数． 由得，，． ． ，都是整数， 为完全平方数． 一定是完全平方数． 33. （23-24·江苏中考） 小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽． 提出问题 销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？ 分析问题 某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有个籽，每列有个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为，均为正整数，，，如图所示． 小明设计了如下三种铲籽方案． 方案：图是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全 部籽的路径总长为________； 方案：图是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案：图是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长． 解决问题 在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价． 【答案】分析问题：方案：；；；方案；方案；解决问题：方案路径最短，理由见解析 【解析】分析问题：方案：根据题意列出代数式即可求解；方案：根据题意列出代数式即可求解；方案：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为，根据题意得一共有列，行，斜着铲相当于有条线段长，同时有个，即可得出总路径长； 解决问题：利用作差法比较三种方案即可． 题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键． 【解答】解：方案：根据题意每行有个籽，行上相邻两籽的间距为， 每行铲的路径长为， 每列有个籽，呈交错规律排列， 相当于有行， 铲除全部籽的路径总长为， 故答案为：；；； 方案：根据题意每列有个籽，列上相邻两籽的间距为， 每列铲的路径长为， 每行有个籽，呈交错规律排列，， 相当于有列， 铲除全部籽的路径总长为， 故答案为：； 方案：由图得斜着铲每两个点之间的距离为， 根据题意得一共有列，行， 斜着铲相当于有条线段长，同时有个， 铲除全部籽的路径总长为：； 解决问题 由上得：， 方案的路径总长大于方案的路径总长； ， ， 当时， ， ， 方案铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗．  34.（24-25·山西模拟）阅读下列材料，并完成相应的任务 数形结合解决二次根式求和问题 求两个二次根式的和，通常将二次根式化为最简二次根式，然后观察是否能合并同类二次根式，若能则合并，若不能则直接写出结果．但有一些二次根式并不能化为最简二次根式，如何进行求和运算？ 下面我们讨论一种新的方法——数形结合法 【例题】求的最小值 【答案】两点之间线段最短 【解析】本题考查了两点之间线段最短、矩形的判定与性质、勾股定理，二次根式的运算； 熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 根据两点之间线段最短即可得解； 作交的延长线于，则四边形为矩形，得出，，求 出，，再由勾股定理计算即可得解； 仿照材料给出的方法计算即可得解． 【解答】解：材料中的依据为：两点之间线段最短； 解：如图：作交的延长线于， 则， 四边形为矩形， ， ，，， ，， ； 解：，将和分别作为的两条直角边，如图所示， ，，， ，将和分别作为的两条 直角边，如图所示，，，则， 将与如图所示放置，使点与点重合，与在一条直线上，则 的最小值为线段的长， 作交的延长线于， 则， 四边形为矩形， ， ，，， ，， ； 的最小值为． 35.（24-25·四川模拟）阅读理解：对于任意正实数、，， ， ，只有当时，等号成立． 结论：在（、均为正实数）中，若为定值，则，只有当 时，有最小值． （1）根据上述内容，填空：若，只有当___2____时，有最小值，最小值为___4____． （2）探索应用：如图，已知、，为双曲线上的任意一点，过点作轴于点，轴于点．求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状． （3）实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共元；二是燃油费，每千米为元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为．设该汽车运输的路程为千米，求当为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低平均每千米的运输成本是多少？ 【答案】； 四边形面积的最小值为，此时四边形为菱形 当时，该汽车平均每千米的运输成本最低，且最低平均每千米的运输成本为元． 【解析】（1）根据题目给出的结论，可知当，即时，有最小值； （2）若设，则，利用题目给出的结论，可知当，即时，有最小值，可求出点，，的坐标，从而判断四边形的形状； （3）根据题意得出该汽车平均每千米的运输成本为： ，再利用题目给出的结论，求出结果即可． 【解答】（1）解：根据题意得：， 即， 当时，有最小值， 即， 解得：或（舍去）， 即当时，有最小值 （2）解：设，则，， ，， ，， ， ， ，即， 有最小值， 此时有最小值 只有当时，即时，等号成立． 四边形面积的最小值为 此时，，，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （3） 解：设该汽车运输的路程为千米，则该汽车平均每千米的运输成本为： ， ， ， 即， 只有当时，等号成立， 此时， 解得：，负值舍去， 当时，的最小值为， 当时，该汽车平均每千米的运输成本最小，且最小值为（元）． 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第4课时 数的开方与二次根式 一、核心知识 （一）数的开方 1.平方根： 定义：如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根，记作_________（a≥0）。 性质：正数有____________平方根，它们互为相反数；0 的平方根是_______；负数____________平方根。 开平方：求一个数平方根的运算，与平方互为_________。 2.算术平方根： 定义：正数 a 的________的平方根叫做 a 的算术平方根，记作根号 a（a≥0），0 的算术平方根是 0。 性质： 。 3.立方根： 定义：如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根，记作________（a 为任意实数）。 性质：正数的立方根是___________，负数的立方根是__________，0 的立方根是 ； 。 开立方： 。 （二）二次根式 1.定义： 形如 （a___________）的式子叫做二次根式，其中 a 是 ，二次根号下的数必须是 。 2.最简二次根式： 条件 1：被开方数中不含能开得尽方的____________； 条件 2：被开方数中不含_______； 条件 3：分母中不含___________。 3.核心性质： 性质 1： ； 性质 2： ； 性质 3： ； 性质 4： 。 4.运算法则： 加减法：先将二次根式化为____________，再合并被开方数相同的二次根式； 乘法： ； 除法： ； 混合运算：遵循 的顺序，可运用整式运算公式（如平方差、完全平方公式）。 二、核心能力 题型1.平方根、算术平方根与立方根的计算 解题思路 紧扣定义和性质，注意平方根与算术平方根的区别（算术平方根为非负），立方根符号与原数一致，先化简再计算。 题型2.二次根式有意义的条件 解题思路 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式（组），求解字母取值范围；若含零指数幂，需同时满足底数不等于0。 题型3.二次根式的化简 解题思路 利用性质化简含平方的根式，结合数轴或字母取值范围判断绝对值内式子的符号；分母有理化时，利用平方差公式消除分母根号。 题型4.二次根式的混合运算 解题思路 先将所有根式化为最简二次根式，乘法运算可巧用公式简化，加减运算只合并同类二次根式，避免非同类根式直接加减。 题型5.二次根式的估值 解题思路 找到被开方数相邻的两个完全平方数，确定根式的整数部分，再估算小数部分；复杂估值可先化简再判断范围。 题型6.二次根式非负性的应用 解题思路： 多个非负数相加为 0 时，每个非负数均为 0，列方程求解字母的值。 三、易错警示 混淆平方根与算术平方根 错误：认为 的平方根是 ±4（忽略=4，实际求 4 的平方根）； 提醒：先化简根式，再区分 “平方根”（）和 “算术平方根”（），算术平方根一定非负。 二次根式化简忽略符号 错误：化简 时，直接得 x-3（未考虑 x<3 的情况）； 提醒：，需根据字母取值范围或数轴判断 a 的符号，再去掉绝对值。 运算顺序或法则错误 错误：+ = （非同类二次根式直接相加）、 = （违反乘法法则条件）； 提醒：非同类二次根式不能直接加减，二次根式乘法需保证被开方数非负。 分母有理化不彻底 错误：化简 时，只给分子乘 - 1（未用平方差公式）； 提醒：分母含±时，分子分母同乘，消除分母根号。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（23-24·云南模拟）下列等式正确的是（    ） A. B. C. D. 2.（24-25·福建中考）若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（    ） A. B. C. D. 3.（25-26·辽宁月考）已知，用含的代数式表示，这个代数式是（    ） A. B. C. D. 4.（24-25·陕西模拟）的立方根是（  ） A. B. C. D. 5.（21-22·辽宁中考）下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 6.（24-25·江苏模拟）若 ，则下列各式正确的是（    ） A. B. C. D. 7.（24-25·江西模拟）若最简二次根式与能合并，则的值可以是（   ） A. B. C. D. 8.（24-25·湖南模拟）若，则关于的大小，以下说法正确的是（    ） A. B. C. D. 9.（24-25·四川中考）若，则的平方根是（    ） A. B. C. D. 10.（23-24·河北模拟）已知，则的平方根为（    ） A. B. C. D.  11.（23-24·河北模拟）设，其中，，则的值为（      ） A. B. C. D. 12.（24-25·广东模拟）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为和，则阴影部分的面积为（    ） A. B. C. D. 13.（23-24·河北模拟）若 ，则（   ） A. B. C. D. 14.（23-24·湖南模拟）已知，则化简的结果为（    ） A. B. C. D. 15.（25-26·四川月考）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”．即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为，三角形的面积为，则．已知在中，，那么的面积为（    ） A. B. C. D. 11.（23-24·河北模拟）设，其中，，则的值为（      ） A. B. C. D. 12.（24-25·广东模拟）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分 别为和，则阴影部分的面积为（    ） A. B. C. D.  13.（23-24·河北模拟）若 ，则（   ） A. B. C. D. 14.（23-24·湖南模拟）已知，则化简的结果为（    ） A. B. C. D. 15.（25-26·四川月考）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”．即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为，三角形的面积为，则．已知在中，，那么的面积为（    ） A. B. C. D. （二）填空题（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（25-26·甘肃模拟）的平方根是________，的立方根是_______． 17.（25-26·甘肃期中）若有意义，则能取的最小整数值是__________． 18.（24-25·黑龙江中考）若式子有意义，则的取值范围是__________． 19.（24-25·吉林中考）计算：________． 20.（24-25·四川模拟）若最简二次根式与可以合并，则_____________．  21.（25-26·全国模拟）已知，则_____________． 22.（25-26·浙江模拟）已知，则____． 23.（24-25·四川模拟）已知代数式，其中为的小数部分，则的值为_______． 24.（24-25·广东中考）将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数，则表示的数是__________________ 25.（24-25·湖南模拟）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为现已知的三边长分别为，，，则的面积为____________. （三）解答题（2023-2025 年中考真题 / 模拟题）  26.（23-24·安徽模拟）计算：． 27.（24-25·北京中考）计算：． 28.（23-24·新疆模拟）计算： 29.（23-24·江苏中考）先化简再求值：，其中． 30.（24-25·陕西模拟）先化简，再求值：，其中． 31.（24-25·江苏模拟）先化简，再求值：，其中． 32.（24-25·福建模拟）定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． （1）判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； （2）若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，； （3）若是完整根式，证明：一定是完全平方数． 33.（23-24·江苏中考） 发现问题 小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽． 提出问题 销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？ 分析问题 某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有个籽，每列有个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为，均为正整数，，，如图所示． 小明设计了如下三种铲籽方案． 方案：图是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲______行，则铲除全 部籽的路径总长为______； 方案：图是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案：图是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长． 解决问题 在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．   34.（24-25·山西模拟）阅读下列材料，并完成相应的任务 数形结合解决二次根式求和问题 求两个二次根式的和，通常将二次根式化为最简二次根式，然后观察是否能合并同类二次根式，若能则合并，若不能则直接写出结果．但有一些二次根式并不能化为最简二次根式，如何进行求和运算？ 下面我们讨论一种新的方法——数形结合法 【例题】求的最小值 35.（24-25·四川模拟）阅读理解：对于任意正实数、，， ， ，只有当时，等号成立． 结论：在（、均为正实数）中，若为定值，则，只有当 时，有最小值． （1）根据上述内容，填空：若，只有当_______时，有最小值，最小值为______． （2）探索应用：如图，已知、，为双曲线上的任意一点，过点作轴于点，轴于点．求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状． （3）实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共元；二是燃油费，每千米为元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为．设该汽车运输的路程为千米，求当为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低平均每千米的运输成本是多少？ 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $