1.5 第1课时 角平分线的性质及判定-【初中学霸创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(北师大版·新教材)

该教案聚焦角平分线的性质及判定核心知识点，通过“小牛修小路”的生活问题导入，联系点到直线距离，引导学生从实际情境抽象出数学问题，搭建从具体到抽象的学习支架，梳理性质与判定的探究脉络。 采用“实验—猜想—验证”教学法，折叠三角形纸片培养几何直观，引导学生自主写出逆命题并证明发展推理意识，例题与变式训练强化应用意识。助力学生理解知识联系，提升推理能力，为教师提供清晰教学流程与实践素材。

绿卡图书——走向成功的通行证 1.5 角平分线 第1课时 角平分线的性质及判定 课题 第1课时 角平分线的性质及判定 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P40-41 教学目标 1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理． 2．进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力． 3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法. 教学重难点 重点：角平分线性质定理及其逆定理的证明，运用定理解决相关问题。 难点:正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。 教学准备 课件、三角尺、等腰三角形纸片 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1. 创设情景，导入新课 展示生活中的数学问题： 有两条小河交汇形成的三角区，土壤肥沃，气候宜人，有一头小牛的家就建在小河交汇所成的角平分线上的P处。勤劳的小牛准备开垦这块土地，为了便于取水灌溉，小牛想从自己的家（P处）修建两条小路分别通向两条小河。可小牛不知道怎样修才能使两条小路最短？并且想知道它们又有怎样的数量关系？你愿意帮助小牛解决问题吗？ 师生活动：猜想：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. （板书课题：第1课时 角平分线的性质及判定） 通过问题情景，复习了点到直线的距离，并从实际问题抽象出“点到直线的距离，垂线段最短”这一数学建模，使学生学习本节知识有了一个有效的切入点.从而引导学生思考角平分线的性质，使学生感受到学习角平分线的性质是实际需要，进而引出对角平分线性质的探讨. 2.实践探究，学习新知 【探究1】探索角平分线的性质定理 师生活动： 做一做：学生拿出准备好的三角形纸片，带着问题去折叠。 1、在三角形纸片中，选定其中一个角，折出表示角平分线折痕.（把纸片对折，使角的两边叠合在一起） 2、折出表示最短距离的折痕.(把对折后的纸片继续折一次，使第一条折痕为斜边，折出一个直角三角形) 3、将折叠好的纸片展开，观察两次折叠所形成的三条折痕. 教师提问： 问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？ 问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？ 学生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主归纳总结. 【归纳总结】 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 【探究2】证明角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 师生活动：请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流．并规范书写格式. 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E． 求证：PD=PE． 证明：∵∠1=∠2，OP=OP， ∠PDO=∠PEO=90°， ∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)． 教师追问：你能用几何语言来表示角平分线的性质定理吗？ 角平分线的性质定理的几何语言表示： ∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E， ∴PD=PE. 【归纳总结】 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 【探究3】探索角平分线的判定定理 教师提问：1.你能写出上面这个定理的逆命题吗? 2.它是真命题吗?你能证明它吗? 师生活动：引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线的判定定理：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上． 【归纳总结】在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上． 【探究4】证明角平分线的判定定理 已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，且PD=PE. 求证：OP平分∠AOB. 师生活动：请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流．并规范书写格式. 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E， ∴∠ODP=∠OEP=90°． ∵PD=PE，OP=OP， ∴Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）． ∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）． ∴OP平分∠AOB． 教师追问：你能用几何语言来表示角平分线的判定定理吗？ 学生总结： 角平分线的判定定理的几何语言表示： ∵PD=PE，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴OP平分∠AOB． 【教材例题】 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且DE=DF，求DE的长. 学生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主解答.教师注意适时引导. 解：∵DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且DE=DF， ∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）. 又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°. 在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10， ∴DE=AD=×10=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 通过动手操作让学生探索角平分线的性质，提高学习兴趣，加深学生的直观印象. 引导学生分析角平分线的性质定理，知道证明时该定理的已知条件、结论，并能够画出正确的图形. 强调定理规范的书写格式，目的在于让学生在做题过程中推理严密、规范完整地解决问题. 这里设置的两个问题引导学生探索角平分线的性质的逆命题，提高学习兴趣，加深学生的直观印象，同时也为证明角平分线的判定定理奠定了基础. 掌握证明角平分线的判定定理，加深对证明角平分线的性质定理与判定定理的理解与区分. 通过例题讲解，巩固理解角平分线的判定定理，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 3.学以致用，应用新知 考点1 角平分线的性质定理 例 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝8，△ABD的面积为16，则CD的长为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 答案：B 变式训练 如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若AB＝5，BC＝6，S△ABC＝9，则DE的长为 . 答案： 考点2 角平分线的判定定理 例 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是的∠BOA的平分线．”他这样做的依据是（ ） A．角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．三角形三个内角的平分线交于同一个点 D．三角形三个内角的平分线的交点到三条边的距离相等 答案：A 变式训练 如图，已知AN⊥OB，BM⊥OA，垂足分别为N、M，OM=ON，BM与AN相交于点P，连接OP．求证：点P在∠AOB的平分线上． 证明：∵，， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴平分，即点P在的平分线上． 通过例题讲解，巩固理解段角平分线的性质及判定定理，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过变式训练巩固所学知识，灵活运用角平分线的性质定理、判定定理解决问题。 4.随堂训练，巩固新知 1.如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，且PE＝3，AP＝5，点F在边AB上运动，当运动到某一位置时△FAP面积恰好是△EAP面积的2倍，则此时AF的长是（ ） A．10 B．8 C．6 D．4 答案：B 2.如图，点P是内一点，于C，于D，且，点E在上，，，则的度数是（ ） A．50° B．55° C．45° D．60° 答案：B 3.如图,在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AD=8，AB=6，若△ACD的面积为16，则△ABC的面积为 . 答案：12 4.如图，在中，，点D是上一点，连接，于E，于F，若，则的度数是 . 答案：30° 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 这节课证明了角平分线的性质定理和判定定理，在有角的平分线（或证明是角的平分线）时，过角平分线上的点向两边作垂线段，利用角平分线的判定或性质则使问题迅速得到解决。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P44 T1—T4. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第1课时 角平分线的性质及判定 角平分线的性质定理 角平分线的判定定理 投影区 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 教学时，采用‘‘实验——猜想——验证”的课堂教学方法，适时启发诱导，让学生展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习的积极性，培养学生良好的思维方法与习惯．学生初学角平分线的性质定理和判定定理，容易将角平分线上的一点到这个角两边的距离误认为过这点垂直于角平分线的垂线段．因此在教学中应首先让学生通过画三角形纸片的折痕来充分认识这一点．学生往往不能正确区分出角平分线的性质定理和判定定理，因此要通过分析定理的题设和结论帮学生正确认识．学生习惯用于找全等三角形的方法去解决问题，而不注重利用刚学过的定理来解决，这实际上是对定理的重复证明，这一点在教学时要注意。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $