1.4 第1课时 垂直平分线的性质及判定-【初中学霸创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(北师大版·新教材)

该教案聚焦线段垂直平分线的性质及判定定理，通过“湖边修观光车车站”的生活问题导入，引导学生回顾七年级相关知识，搭建新旧知识联系的学习支架，自然引入新课。 此资料以探究式教学为主，引导学生经历“探索-猜测-证明”过程，通过多种证法（如SAS、HL）培养推理意识，结合实际例题与变式训练提升应用意识，助力学生发展几何直观，也为教师提供清晰教学思路，提升课堂效率。

绿卡图书——走向成功的通行证 1.4 线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质及判定 课题 第2课时 线段垂直平分线的性质及判定 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P33-34 教学目标 1.知识与技能 （1）要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理，能够利用这两个定理解决一些问题； （2）能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理. 2.过程与方法 （1）经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力； （2）体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神； （3）学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 3.情感态度及价值观 （1）积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲； （2）在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心. 教学重难点 重点：能够证明线段的垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论． 难点：（1）写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题并证明它． （2）用尺规作线段垂直平分线． 教学准备 教师准备：课件、多媒体；学生准备：三角尺 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1. 创设情景，导入新课 展示生活中的数学问题： 中卫金沙岛风景优美，其中薰衣草园、玫瑰园让不少游客流连忘返，为了方便游客旅行，计划在湖边修一个观光车车站，使它到薰衣草园和玫瑰园的距离相等，观光车车站应建在什么位置? A熏衣草园 B玫瑰园 1.所建观光车车站满足什么条件？ 2.满足这个条件的点在什么地方？为什么？ 3.你是怎么知道这个结论的？ 师生活动：学生回忆讨论,得出结论：观光车车站应建在线段AB的垂直平分线与在A，B一侧的河岸边的交点上． 教师追问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?” （板书课题：第1课时 线段垂直平分线的性质及判定） 通过问题情景，引导学生回顾七年级学习的线段的垂直平分线，从而引入本节课的主题——线段的垂直平分线. 2.实践探究，学习新知 【探究1】证明线段的垂直平分线的性质定理 师生活动：教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题。通过讨论和思考，引导学生分析并写出已知、求证的内容。 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点． 求证：PA=PB． 教师点拨：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等． 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC，PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS)． ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)． 【归纳总结】 线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 【探究2】线段的垂直平分线的判定定理 教师提问： ①你能分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……，那么……”的形式吗？ ②你能写出上面这个定理的逆命题吗?最后再把它的逆命题写出来. ③它是真命题吗?如果是，请你加以证明. 师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主证明.教师注意引导学生分析证明线段的垂直平分线的判定定理. 归纳总结有如下三种证法： 证法一： 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上． 证明：如图，过点P作已知线段AB的垂线PC, ∵PA=PB，PC=PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)． ∴AC=BC， 即P点在AB的垂直平分线上． 证法二：如图，取AB的中点C，过PC作直线． ∵AP=BP，PC=PC.AC=CB， ∴△APC≌△BPC(SSS)． ∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)． 又∵∠PCA+∠PCB=180°， ∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB. ∴P点在AB的垂直平分线上． 证法三：如图，过P点作∠APB的平分线． ∵AP=BP，∠1=∠2，PC=PC， △APC≌△BPC(SAS)． ∴AC=BC，∠PCA=∠PCB (全等三角形的对应角相等，对应边相等)． 又∵∠PCA+∠PCB=180°，∴∠PCA=∠PCB=90° ∴P点在线段AB的垂直平分线上． 【归纳总结】 定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 【教材例题】 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC. 求证：直线AO垂直平分线段BC． 师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主证明.教师注意适时引导. 证明：∵AB=AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 同理，点O在线段BC的垂直平分线上. ∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）. 通过讨论和思考，引导学生分析并写出已知、求证的内容，并自主证明结论，进一步培养和发展学生的理解能力与推理证明能力． 引导学生对性质定理进行逆向思考，提出猜想，然后加以证明.告诉学生这是获得新的结论的常用方法. 通过例题讲解，巩固强化“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”这一定理在实际问题中的应用，培养学生的应用意识。一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 3.学以致用，应用新知 考点1 线段垂直平分线的性质定理 例 如图，在△ABC中，直线DE是线段AC的垂直平分线，若AE＝3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为（ ） A．26 B．16 C．19 D．22 答案：C 变式训练 如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E． （1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？ （2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数． 解：（1）△CDE的周长为10． ∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线， ∴AD＝CD，BE＝CE， ∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10； （2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线， ∴AD＝CD，BE＝CE， ∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE， 又∵∠ACB＝125°， ∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°， ∴∠ACD+∠BCE＝55°， ∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°． 考点2 线段垂直平分线的判定定理 例 下列条件中,不能判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分线的是（ ） A. CA=CB，DA=DB B. CA=CB，CD⊥AB C. CA=DA，CB=DB D. CA=CB，CD过AB中点 答案：C 变式训练 在△ABC中，AD垂直平分BC，点E在BC的延长线上，且满足AB+BD= DE，求证:点C在线段AE垂直平分线上. 证明:∵AD垂直平分BC， ∴BD=DC，AB=AC. 又∵AB+BD=DE, ∴AC+DC= DE. 又∵DE= DC+CE， ∴AC=CE. ∴点C在线段AE的垂直平分线上. 通过例题讲解，巩固理解线段垂直平分线的性质及判定定理，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过变式训练巩固所学知识，灵活运用垂直平分线的性质定理、判定定理解决问题。 4.随堂训练，巩固新知 1.如图，AB的垂直平分线MN交AC于点D，AC＝10，BC＝6，则△BCD的周长为（ ） A．6 B．10 C．16 D．18 答案：C 2.如图，四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．AC，BD是筝形的对角线．下列结论正确的是 (填序号)． ①∠DAB=∠DCB； ②∠ABC=∠ADC； ③BD 平分∠ABC； ④BD 垂真平分 AC． 答案：①③④ 3.如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D，M．求证：点M在的垂直平分线上． 证明：连接CM， ∵DM是AC的垂直平分线， ∴AM=CM， ∴∠A=∠MCA， ∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°，∠MCA+∠MCB=90°， ∴∠MCB=∠B， ∴CM=BM， ∴点M在BC的垂直平分线上. 4.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，且BE＝AC． （1）求证：AD⊥BC； （2）若∠C＝70°，求∠BAC的度数． 解：（1）证明：如图，连接AE， ∵EF是AB的垂直平分线， ∴BE＝AE， ∵BE＝AC， ∴AE＝AC， ∵D为线段CE的中点， ∴AD⊥BC； （2）∵AE＝BE， ∴∠B＝∠BAE， ∵∠AEC是△ABE的外角， ∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝2∠B， ∵AE＝AC， ∴∠AEC＝∠C＝2∠B， ∵∠C＝70°， ∴∠B＝35°， ∵∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣35°﹣70°＝75°． 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P37 T1—T6. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第1课时 线段垂直平分线的性质及判定 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的判定 投影区 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 在这一节中，我们作为老师要善于引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，先得出猜想，然后再进行证明，要求学生掌握证明的基本要求和方法，注意数学压想方法的强化和渗透． 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $