1.3 第2课时 直角三角形全等的判定-【初中学霸创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(北师大版·新教材)

该教案聚焦直角三角形全等的“HL”判定定理，通过校园舞台背景的实际问题导入，复习一般三角形全等判定方法，引导学生思考直角三角形特殊条件，搭建从旧知到新知的学习支架。 特色采用“问题驱动—实践探究—推理证明”模式，小组合作作图培养几何直观与空间观念（数学眼光），勾股定理转化证明HL发展推理能力（数学思维），滑梯例题体现模型意识（数学语言）。助力学生深化理解，提升教师教学效率。

绿卡图书——走向成功的通行证 1.3 直角三角形 第2课时 直角三角形全等的判定 课题 第2课时 直角三角形全等的判定 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P28-30 教学目标 1．知识目标： ①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性 ②利用“HL’’定理解决实际问题 2．能力目标： ①进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力． 教学重难点 教学重点：理解并掌握三角形全等的判定方法 —“斜边、直角边”定理。 教学难点：经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”解决有关问题。 教学准备 教师准备：课件、多媒体；学生准备：三角尺 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1. 创设情景，导入新课 展示生活中的数学问题： 学校文艺汇演的舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量. 教师提问： 1.如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？ 2.工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？ （板书课题：第2课时 直角三角形全等的判定） 从学生熟悉的校园舞台背景中给出关于直角三角形全等的问题情境，让学生感受到数学就在身边，激发学生学习兴趣。 这里因为工具的限制为HL定理的引入作了很好铺垫，通过问题驱动的方式为后面验证的过程埋下伏笔。 2.实践探究，学习新知 【探究1】如图1，已知∠CAB =∠DBA，要使△ACB≌△BDA，还需要添加什么条件？请说明理由. 师生活动：在学生解答问题时，教师鼓励学生思考不同的方法，并由学生展示不同的解决方案，说明依据. 教师引导：如果有学生提出添加条件BC = AD，那么教师可引导学生观察这两边与∠CAB和∠DBA的位置关系，分析这种方法是否可行，从而转入下一环节；如果没有学生提出这种添加方法，教师也可以主动提出. 【归纳总结】 （1）可以通过添加AC = BD，利用三角形全等条件SAS说明两个三角形全等；（2）可以添加∠C =∠D，利用三角形全等条件AAS说明两个三角形全等；（3）可以添加∠CBA =∠DAB，依据ASA说明两个三角形全等. 【探究2】做一做（小组合作完成） 已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.已知：如下图，线段a，c（a<c），直角α. 求作：Rt△ABC，使∠C=∠α，BC=a，AB=c. 学生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主作图. （1）作∠MCN=∠α=90°.（2）在射线CM上截取CB=a. （3）以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A. （4）连接AB，得到Rt△ABC. 教师提问： 小组比较作出的直角三角形是否全等，由此你是否能发现判定直角三角形全等的一种“特有”方法？尝试用规范的数学语言概括你的发现.并证明它的正确性. 【归纳总结】 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 【探究3】证明：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 师生活动： 1.分析该命题的条件和结论. 2.先画出图形，再依据图形用符号语言写出“已知”和“求证”. 已知：如图，在△ABC与△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′. 求证：△ABC≌△A′B′C′. 学生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主证明.教师适时引导. 证明：在△ABC中， ∵∠C=90°， ∴BC2=AB2-AC2（勾股定理）. 同理，B′C′2=A′B′2-A′C′2. ∵ AB=A′B′，AC=A′C′， ∴ BC=B′C′. ∴ △ABC≌△A′B′C′（SSS）. 【归纳总结】 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.（简写为“斜边、直角边”或“HL”）. 符号语言：如图， 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∵AB=A′B′，AC=A′C′， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）. 【教材例题】 如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F 的大小有什么关系？ 教师点拨：引导学生从下面角度观察、思考，分析直角三角形的特性和HL定理使用的条件. （1）∠ABC和∠DFE分别在哪两个三角形中？这两个三角形属于哪类三角形？ （2）在Rt△ABC和Rt△DEF中有哪些分别相等的量？ （3）∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？为什么？ 解：根据题意，可知 ∠BAC =∠EDF = 90°, BC =EF，AC =DF. ∴Rt△BAC≌Rt△EDF（HL）. ∴∠B =∠DEF（全等三角形的对应角相等） . ∵∠DEF +∠F =90°（直角三角形的两锐角互余）， ∴∠B +∠F =90°. 本活动具有一定的开放性，学生在添加条件的过程中，回顾一般三角形全等的条件，为探索HL定理活动的展开做铺垫. 要求学生依据给定的线段a，c，用尺规作出直角三角形，通过与同伴交流，比较大家所作出的三角形是否能够重合，获得判断直角三角形全等的特殊条件. 通过“HL”定理的推导渗透转化的思想，体验从特殊到一般的思维方式，发展合情推理与演绎推理的能力，并使学生在数学学习中体验数学推理证明的乐趣，培养学生严谨的治学态度和创造性的解决问题的能力。 通过例题讲解，巩固强化“斜边、直角边（HL）”这一特定的判别方法在实际问题中的应用，培养学生的应用意识，体会数学模型思想。一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 3.学以致用，应用新知 考点 斜边、直角边定理 例 如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则需要添加的一个条件是 . 答案：AC＝AD或BC＝BD 变式训练 如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O． （1）求证：△ABC≌△DCB； （2）△OBC是何种三角形？证明你的结论 证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°， AC＝BD，BC为公共边， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）. （2）△OBC是等腰三角形， ∵Rt△ABC≌Rt△DCB， ∴∠ACB＝∠DBC， ∴OB＝OC， ∴△OBC是等腰三角形． 通过例题讲解，巩固理解使用“HL”判定直角三角形，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过变式训练巩固所学知识，灵活运用“HL”定理解决问题。 4.随堂训练，巩固新知 1.下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A．两个锐角对应相等 B．一个锐角和斜边对应相等 C．两条直角边对应相等 D．一条直角边和斜边对应相等 答案：A 2.如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝ A．28° B．59° C．60° D．62° 答案：B 3.如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝ ，△ABC与△APQ全等． 答案：5或10 4.如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，EF过点C，BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，BE＝DF．求证：Rt△BCE≌Rt△DCF． 证明：如图，连接AC， 在Rt△ABC和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）， ∵BE⊥EF，DF⊥EF， ∴∠BEC＝∠DFC＝90°， 在Rt△BCE和Rt△DCF中， ， ∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）． 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 直角三角形全等的判定定理： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释： （1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P31T3—T5. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第2课时 直角三角形全等的判定 “斜边、直角边”定理 投影区 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 本节教学重点是掌握直角三角形全等的条件，并能用之解决实际问题，难点是能有条理地进行简单推理，在教学时，我采用了以下两种方法来抓住重点，突破难点，效果较好。 1、合作探究，生生互助。在探究直角三角形全等的条件时，让学生经历“建模—说理—验证”合作学习，归纳得出“HL”判定方法；通过“议一议、练一练、想一想”，深化理解“HL”；为了学生掌握，我以“问题—模型—归纳—应用”模式，使学生感受生活与教学的联系。这样，既符合教学规律，又培养学生推理应用能力，既能抓住重点，又提高了教学效率。 2、适时点拨，突破难点。在“HL”应用推理时，我以“示范—思考—讨论—小结—验证”为线索，设计演示、训练、点评、归纳、总结。这样既符合学生认识水平，也易于接受，又突破难点。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $