1.2 第3课时 等边三角形的判定及含30 角的直角三角形的性质-【初中学霸创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(北师大版·新教材)

该教案聚焦等边三角形的判定与含30°角直角三角形的性质，通过展示生活中交通安全警示标志图片导入，引导学生观察等边三角形特点，衔接等腰三角形知识，搭建从旧知到新知的学习支架。 此资料以实践探究为核心，通过拼摆三角尺让学生自主发现含30°角直角三角形性质，培养几何直观与空间观念，引导学生规范证明提升推理能力，例题与变式训练强化应用意识，助力学生深化理解，也为教师提供高效教学支持。

绿卡图书——走向成功的通行证 1.2 等腰三角形 第3课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形 课题 第3课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P18-20 教学目标 1．知识目标： 理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30º角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。 2．能力目标： ①经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维． ②经历实际操作，探索含有30º角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力； ③在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力。 3．情感与价值观目标 ①积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． ②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心. 教学重难点 重点：①等边三角形判定定理的发现与证明. ②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明. 难点：①含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明. ②引导学生全面、周到地思考问题. 教学准备 课件、三角尺、等腰三角形纸片 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1. 创设情景，导入新课 展示生活中的数学问题： 欣赏几组图片(课件展示): 同学们这几幅图是我们生活中常见的交通安全警示标志. 教师提问： (1)图中的三角形有什么特点？ (2)等边三角形与等腰三角形有什么关系？ (3)等边三角形有哪些特点？ (4)一个三角形满足什么条件时是等边三角形呢？ 师生活动：先让学生观察，给学生1分钟思考的时间，然后找学生回答。教师可让同学代表充分发表自己的看法。 在老师的引导下，一般学生都能得出等边三角形的性质；对于等边三角形的判别，学生可能会出现多种情况，如直接从等边三角形性质出发，当然也可能有学生考虑分步进行，先确定它是等腰三角形，再增补条件，确定它是等边三角形。这时教师可以适时提出问题：如果在已知一个三角形是等腰三角形的基础上，如何确定它是等边三角形呢？ （板书课题：第3课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形） 通过生活中的图片引入等边三角形，来激发学生学习数学的兴趣，并提出等边三角形的判定问题。在明确重点的同时，激发学生的求知欲，精美的图片非常吸引学生,使学生很自然地进入本节的学习，进而顺利引入新课。 2.实践探究，学习新知 【探究1】探究等边三角形的判定方法 师生活动：学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件. 教师提问： 问题1：除了三边相等的三角形是等边三角形，还有其他的判定方法吗？你能证明吗？ 问题2：一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形? 问题3：你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?把你的证明思路与同伴交流. 问题4：完成表格. 名称 性质 判定 等边三角形 问题5：总结等边三角形的判定方法. 师生活动：学生积极思考，通过老师的点拨，学生多能探究出： 顶角是60°的等腰三角形是等边三角形； 底角是60°的等腰三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形； 三条边都相等的三角形是等边三角形. 教师追问：前两个定理的形式相近，能否用更简捷的语言描述这个结论吗? 学生总结：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 【归纳总结】 名称 性质 判定 等边三角形 等边三角形三条边都相等 三条边都相等的三角形是等边三角形 等边三角形三个角都是60° 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 【探究2】探究含30°角的直角三角形的性质 教师提问：我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形：含30°角的直角三角形。拿出三角板，做一做： 用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗? 在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由． 师生活动：在学生小组合作的基础上，经过动手操作讨论分析，自主探究结论.教师注意适时引导. 学生一般可以得出下面两种图形： 其中图（1）是等边三角形，学生根据此图可以得出BD=AB，从而得出：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 教学过程中，教师应注意引导学生说明为什么所得到的三角形是等边三角形. 教师追问：如何用几何语言表示上述定理？ 几何语言：如图，在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴BC＝. 你能证明这个定理吗？ 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°． 求证：BC=AB． 分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD． 证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠B=60°. 延长BC至D，使CD=BC，连接AD(如图所示)． ∵∠ACB=90°∴∠ACB=90° ∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)． ∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)． ∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)． ∴BC=BD=AB． 教师追问：该定理的作用是什么？ 学生总结：该定理可以用来证明线段之间的倍数关系，也可以求线段的长度。 【教材例题】 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半． 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°，CD是腰AB上的高. 求证：CD=AB. 师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主证明.教师注意适时引导. 证明：在△ABC中，∵AB=AC ，∠B=15°， ∴∠ACB=∠B=15°（等边对等角）. ∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°. ∵CD是腰AB上的高， ∴∠ADC=90°. ∴CD=AC（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）. ∴CD=AB. 等边三角形的判定方法是本节课的重点。通过对不同的三角形加“边”或“角”两方面不同的条件，使学生体会、融合等边三角形的性质和判定的有关知识。条件加在不同的位置也要分情况讨论，这样在探究过程中充分体现了分类的作用，这对学生提高对数学思想方法的认识起到了渗透作用。 让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． “直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”是本课的难点，在难点的突破上主要采取两种方法：（1）通过三角尺操作的实践活动，（2）对问题的分步引导的方法。这样在难点的突破更具有直观性和可操性。 通过例题讲解，巩固理解“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的性质，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 3.学以致用，应用新知 考点1 等边三角形的判定 例 下列条件不能得到等边三角形的是（ ） A．有一个内角是60°的锐角三角形 B．有一个内角是60°的等腰三角形 C．顶角和底角相等的等腰三角形 D．腰和底边相等的等腰三角形 答案：A 变式训练 如图，已知OA＝a，P是射线ON上一动点，∠AON＝60°，当OP＝ 时，△AOP为等边三角形． 答案：a 考点2 含30°角的直角三角形的性质 例 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是高．若AD＝2，则BD＝ . 答案：8 变式训练 已知：如图△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4 cm．求BC的长． 解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝30°. ∵AB⊥AD， ∴BD＝2AD＝2×4＝8（cm）， ∠B+∠ADB＝90°， ∴∠ADB＝60° ∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝60°， ∴∠DAC＝30°， ∴∠DAC＝∠C， ∴DC＝AD＝4 cm ∴BC＝BD+DC＝8+4＝12（cm）． 通过例题讲解，巩固理解等边三角形的判定定理和含30°角的直角三角形的性质定理，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过变式训练巩固所学知识，在学生掌握新知识的基础上，逐步灵活运用所学的知识解决问题，培养思维能力。 4.随堂训练，巩固新知 1.如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为点D，则AD与BD之比为 A．2 ：1 B．3 ：1 C．4 ：1 D．5 ：1 答案：B 2.如图，△ABC是等边三角形，AB＝10，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（ ） A．5 B．6 C．8 D．10 答案：A 3.如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 答案：D 4.如图，在△ABC中，∠B=60°，D是BC延长线上一点，过D作DE⊥AB于E，交AC于F，若CD=CF. 求证：△ABC是等边三角形 证明：∵DE⊥AB，∴∠BED=∠AEF=90°， ∵∠B=60°，∴∠D=30°. ∵CD=CF，∴∠D=∠CFD=30°（等边对等角）， ∴∠C=∠CFD+∠D=30°+30°=60°， ∴∠A=60°，∴△ABC是等边三角形. 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 1.三角形的判定方法： 三边相等的三角形是等边三角形. 三个内角都等于60°的三角形是等边三角形. 有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 2.等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半. 3.直角三角形中，如果一个锐角等于30º那么它所对的直角边等于斜边的一半. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P21T8、P22T9. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第3课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形 一、等边三角形的判定定理 二、含30°角的直角三角形的一个性质 投影区 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 本节课，难点在于探究两个定理：“在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”和“直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”，由于设计了三角板操作的实践活动，有效地突破了难点，因而，课堂学生思维非常灵活，方法多样，取得较好的效果。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $