1.1 第4课时 多边形的外角和-【初中学霸创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(北师大版·新教材)

该教案聚焦多边形外角和定理，通过五边形广场跑步的生活情境导入，衔接内角和知识，引导学生从具体问题抽象出外角概念，构建从已知到未知的学习支架。 以生活情境培养数学眼光，通过五边形到n边形外角和推导渗透转化思想发展数学思维，例题与变式训练强化数学语言应用。助力学生提升推理能力与应用意识，为教师提供结构化教学流程，提升课堂效率。

绿卡图书——走向成功的通行证 1.1 三角形内角和定理 第2课时 多边形的外角和 课题 第4课时 多边形的外角和 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P8-9 教学目标 【知识与技能】 经历探索多边形的外角和公式的过程;会应用公式解决问题； 【过程与方法】 培养学生把未知转化为已知进行探究的能力，在探究活动中，进一步发展学生的说理能力与简单的推理能力． 【情感态度与价值观】 让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满着探索和创造． 教学重难点 重点：多边形外角和定理的探索和应用。 难点：灵活运用公式解决简单的实际问题；转化的数学思维方法的渗透． 教学准备 多媒体课件、三角板 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 展示生活中的数学问题：（多媒体演示） 清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，如图所示. 教师提问： （1）小明每从一条小路转到下一条小路时，身体转过的角是哪个角？ （2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？ （3）在上图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的结果吗？你是怎样得到的？ 师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。 引出课题：带着这些问题，今天我们就来研究——多边形的外角和. （板书课题：第4课时 多边形的外角和） 通过创设生活情境，激发学生学习兴趣，通过问题的探究，可以为本节课的顺利进行做好铺垫，自然地引出本节课题。 2.实践探究，学习新知 【探究1】多边形的外角和 教师提问：把上面的问题抽象为数学问题，如图.解决上面情境中的问题. 学生活动：学生先独立思考，再自主解答，最后小组合作讨论交流。 学生总结：上面的问题中，小明跑步方向改变的角共有5个，分别是∠1、∠2、∠3、∠4、∠5. ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的求解如下： ∵∠1＋∠EAB＝180°，∠2＋∠ABC＝180°， ∠3＋∠BCD＝180°，∠4＋∠CDE＝180°， ∠5＋∠DEA＝180°， ∴∠1＋∠EAB＋∠2＋∠ABC ＋∠3＋∠BCD＋∠4＋∠CDE＋∠5＋∠DEA＝900°. ∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°， 即 ∠EAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEA＝540°. ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝900°－540°＝360°. 教师引导：大家可以把各外角剪下来拼在一起，总结得到的结论. 教师点拨：其实，对于任意的多边形，在平面内任取一点，将一支铅笔的一端放在这一点上，绕该点转动铅笔，使铅笔所在的直线依次平行于多边形的各条边，也可以验证结论. 教师追问：你的思路与小明一样吗？与同伴交流. 上述问题中，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5分别是五边形的外角，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的和是五边形的外角和.你能用文字语言描述其概念吗？ 引出概念： 1.多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角． 2.多边形的外角和：在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和． 【探究2】多边形的外角和定理 教师提问： 1.如果广场的形状是六边形、八边形，那么结果会怎样？请用小明的方法计算六边形、八边形的外角和. 2.类似探究多边形的内角和的方法，由三角形、四边形、五边形…的外角和开始探究； 3.你能猜测一下，多边形的外角和是多少度吗？尝试证明一下. 师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主证明n边形的外角和为360°.教师注意适时引导. 证明：n边形的外角和为360°. 证明：如图所示，作n边形A1A2A3…An. ∠1+∠2+∠3+…∠n =（∠1+∠AnA1A2）+（∠2+∠A1A2A3）+（∠3+∠A2A3A4）+…+（∠n+∠An-1AnA1）－180°·（n－2） =180°·n－180°·（n－2）=360°. 所以，n边形的外角和为360°. 【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下： 多边形的外角和定理：多边形的外角和都等于360°. 【例题讲解】 例5 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？ 解：设这个多边形是n边形， 则它的内角和是(n－2)·180°，外角和等于360°. 根据题意，得(n－2)·180°＝3×360°. 解得n＝8. 所以，这个多边形是八边形. 鼓励学生找到多种方法，发散学生的思维，有利于深入领会转化的本质，也让学生体验数学活动充满探索和解决问题方法的多样性，通过交流，让学生用自己的语言清楚地表达解决问题的过程，可以提高学生的语言表达能力. 本例是运用多边形外角和公式解决简单的问题，同时结合内角和公式，目的是巩固学生对多边形外角和定理的掌握，教师应注意及时纠正学生解题过程中出现的问题. 3.学以致用，应用新知 考点1 多边形的外角和 例 如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面图形，则的值为（ ） A．180° B．360° C．540° D．720° 答案：B 变式训练 若一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 答案：D 考点2 多边形外角和的实际应用 例 “花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．如图是窗棂中的部分图案．若∠1＝∠2＝75°，∠3＝∠4＝65°，则∠5＝　 　°． 答案：80 变式训练 如图，某人从点A出发沿直线前进5m到达点B后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5m，到达点C后，又向左旋转α，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了60m，则每次旋转的角度α为 　 　． 答案：30° 考点3 多边形内角和与外角和的综合应用 例 一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是（ ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．十边形 答案：A 变式训练 图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若a⊥b，则n的值是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 答案：B 通过例题讲解，巩固理解多边形的外角和定理，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过变式训练巩固所学知识，灵活运用多边形的外角和定理解决问题。 4.随堂训练，巩固新知 1.将正六边形与正方形按如图所示摆放，公共顶点为O，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数是（　　） A．30° B．32° C．35° D．40° 答案：A 2.如图，在五边形ABCDE中，AB∥ED，∠1，∠2，∠3分别是∠ABC，∠BCD，∠CDE的外角，则∠1+∠2+∠3的度数为（　　） A．180° B．210° C．240° D．270° 答案：A 3.如图所示，第四套人民币中菊花1角硬币，则该硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为 　 　． 答案：40° 4.一个多边形如果内角都相等，并且满足其一个内角的度数是其相对应外角度数的整数倍，就称这个多边形为“整数多边形”，已知一个“整数多边形”一个内角的度数是其相对应外角度数的5倍，求这个“整数多边形”的边数． 解：设这个“整数多边形”的一个外角度数为x，则它的一个内角的度数为5x，由题意，得 ． 解得． ∴这个“整数多边形”的边数为． 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 1.多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角． 2.多边形的外角和：在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和． 3.多边形的外角和定理：多边形的外角和都等于360°. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P11 T7—T9。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第4课时 多边形的外角和 一、多边形的外角和 二、多边形的外角和定理 投影区 内容 应用 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 本节课的设计突出对多边形的外角和公式的探究与推导过程，探究过程既有类比前一节课的方法，又有承接多边形内角和的新方法；既是新知识的学习过程，又是旧知识的拓展过程。相信这样的设计一定能够达到教学目标的三个维度的要求。 另外，可以考虑增加一些课堂中的习题量，以帮助学生巩固新知识。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $