1.1 第1课时 三角形内角和定理和全等三角形-【初中学霸创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(北师大版·新教材)

该教案聚焦三角形内角和定理及全等三角形判定与性质，通过撕纸、折纸等动手操作导入，从小学直观认知过渡到初中逻辑证明，搭建从具体到抽象的学习支架。 以“探究—证明—应用”为主线，引导学生通过小组合作探究内角和定理的多种证法，培养几何直观与推理能力，结合AAS判定证明强化逻辑思维，助力学生形成数学表达习惯，提升教师课堂效率，夯实几何基础。

绿卡图书——走向成功的通行证 1.1 三角形内角和定理 第1课时 三角形内角和定理和全等三角形 课题 第1课时 三角形内角和定理和全等三角形 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P2-4 教学目标 1.通过三角形撕拼方法的演示，借助基本事实和定理，能用自己的语言说出三角形内角和定理的证明思路。 2.通过小组合作交流，能从不同角度证明三角形内角和定理。 3.会用基本事实证明三角形的判定定理，掌握全等三角形的性质。 教学重难点 重点：“三角形的内角和等于180°”结论的探究与应用。 全等三角形判定的证明及性质和判定的应用。 难点：三角形的内角和定理的证明方法（添加辅助线）的讨论。 教学准备 多媒体课件、教具、三角形纸片 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 活动1： 教师提问：我们知道三角形的内角和等于180°，你还记得这个结论的探索过程吗？ 师生活动：让学生通过撕纸试着做一下，体会数学研究的乐趣，然后老师通过多媒体动画演示，验证这个结论是不是正确的。 教师：如图，当时我们是把∠A移到了∠1的位置，∠B移到了∠2的位置。 活动2： 教师：思考一下，你能通过折纸的方式证明“三角形内角和等于180°”吗？ 师生活动：教师让学生拿出事先准备好的三角形纸板，先让学生独立操作，然后小组讨论，请一位同学说一下他的方法，其他小组作补充。 答案预测： 先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图1）然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图2、图3），最后得图4所示的结果。 图1 图2 图3 图4 教师：试用自己的语言说明这一结论的证明思路。 教师：除此以外，你还有什么办法可以验证“三角形的内角和为180°”吗? 教师板书课题。 对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定困难，因此需要一个台阶，使学生逐步过渡到严格的证明。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 证明：三角形的三个内角和是180°。 学生活动：先独立思考，自己画图，并写出已知、求证和证明，完成后与同伴交流。 同学们的方法可能会有多种，教师在巡查过程中，可以请不同方法的同学去黑板上展示自己的做法。 答案预设： 已知：如图，△ABC。 求证：∠A+∠B+∠C=180°。 方法1： 证明：如图，延长BC到D，过点C作射线CE∥BA，则 ∠1=∠A（两直线平行，内错角相等）， ∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）。 ∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义）， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）。 方法2： 证明：如图，过点A作DE∥BC。 ∵DE∥BC， ∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C（两直线平行，内错角相等）。 ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°， ∴∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代换）。 其他方法： 【探究2】证明全等三角形的判别条件“AAS” 师生活动：教师引导学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条： 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行； 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等； 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）； 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）； 5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）； 在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）. 教师提问：已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？ 师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，证明全等三角形的判别条件“AAS”.教师注意适时引导. 学生总结： 已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：在△ABC 和△DEF中， ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）， ∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E). ∵∠A=∠D，∠B=∠E， ∴∠C =∠F（等量代换）. ∵BC=EF，∠B=∠E, ∴△ABC≌△DEF（ASA）.（学生板书） 【归纳结论】 三角形内角和定理：三角形内角和等于180°。 【教材例题】 例1 如图，在△ABC中，∠B=38，∠C= 62，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。 解：在△ABC中， ∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形内角和定理）。 ∵∠B= 38°，∠C=-62°， ∴∠BAC=180°－38°－62°= 80°。 ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×80°= 40°。 在△ADB中， ∠B+∠BAD+∠ADB =180°（三角形内角和定理）。 ∵∠B=38°，∠BAD=40°， ∴∠ADB=180°－38°－40°=102°。 【归纳结论】 解几何题，第一步就是在图形中准确地标注信息，教学中应引导学生将题目中的信息清晰地标注到图形中，并进一步思考：根据这些信息还可以得到哪些结论？另外，标注的顺序，可能正反映解题的顺序。教学中，注意引导学生体会这一点。 用平行线的判定定理及性质定理来推导出新的定理，让学生再次体会几何证明的严密性和数学的严谨，培养学生的逻辑推理能力。 此处证明需要添加辅助线，教师需要让学生明白添辅助线不是盲目的，而是为了证明某一结论，需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的。 得到三角形内角和定理后，自然应通过简单应用加以巩固，为此设计了例1。教学中，应鼓励学生先自主解决，然后进行对比、交流。 经过一个暑假，学生难免有所遗忘，因此，在第一课时，回顾有关内容，既是对前面学习内容的一个简单梳理，也为后续有关证明做了知识准备. 证明这个推论（AAS），可以让学生熟悉证明的基本要求和步骤，为后面的其他证明做好准备。 3.学以致用，应用新知 考点1 三角形内角和的应用 例 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，试判断△ABC的形状，并说明理由。 解：△ABC是直角三角形． 理由：∵∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3， ∴可设∠A，∠B，∠C的度数分别为x°，2x°，3x°。 在△ABC中， ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形三个内角的和等于180°）， ∴x＋2x＋3x＝180，解得x＝30。 ∴∠A＋∠B＝x°＋2x°＝3x°＝90°。 ∴∠C＝180°－90°＝90°。 ∴△ABC是直角三角形。 变式训练 如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。 解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得 ∠BAD=∠BAC=20°， 在△ABD中， ∠ADB=180°－∠B－∠BAD=180°－75°－20°=85°。 考点2 全等三角形的性质定理与判定定理 例 如图，是两个全等的三角形，图中字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ） A. 70° B. 70°或60° C. 65° D. 60° 答案：B 变式训练 如图，点B，F，C，E在一条直线上， AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是( ) A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．BF＝EC 答案：C 在学生掌握新知识的基础上，逐步灵活运用所学的知识解决问题，培养思维能力。 通过例题讲解，巩固理解全等三角形的性质定理，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过变式训练巩固所学知识，灵活运用全等三角形的判定定理解决问题。 4.随堂训练，巩固新知 1.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C等于(　　) A．45° B．60° C．75° D．90° 答案：D 2.如图，AB∥CD，AE交CD于点C，∠A＝34°，∠DEC＝90°，则∠D的度数为(　　) A．17° B．34° C．56° D．124° 答案：D 3.（1）在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°，则∠C= ； （2）在△ABC中，∠C=90°，∠B=50，则∠A= ； （3）在△ABC中，∠A=40°，∠A=2∠B，则∠C= 。 答案： （1）102°；（2）40°；（3）120°。 4.如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数。 解：∵∠A＝50°，∠B＝70°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°。 ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCD＝∠ACB＝30°。 ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD＝30°， 在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°。 5.在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数。 解：设∠B为x°，则∠A为(3x)°， ∠C为(x＋15)°，从而有 3x＋x＋(x＋15)＝180。 解得x＝33 所以3x＝99，x＋15＝48。 答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°。 5．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且AE＝DE，∠A＝∠D． （1）BE与CE相等吗？请说明理由； （2）若∠BEC＝130°，求∠EBC的度数． 解：（1）BE＝CE，理由如下： 在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（ASA）， ∴BE＝CE； （2）由（1）知，BE＝EC， ∴∠EBC＝∠ECB. ∵∠EBC+∠ECB+∠BEC＝180°，∠BEC＝130°， ∴∠EBC+∠ECB＝50°， ∴∠EBC＝25°． 学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高。 5.课堂小结，自我完善 1.证明三角形内角和定理有哪几种方法？ 2.辅助线的作法技巧. 3.三角形内角和定理的简单应用. 4.全等三角形的性质与判定. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P10 T1，T2。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第1节 三角形内角和定理 第1课时 三角形内角和定理和全等三角形 三角形内角和定理 全等三角形 提纲掣领，重点突出。 教后反思 三角形的有关知识是“空间与图形”中最为核心、最为重要的内容，它不仅是最基本的直线型平面图形，而且几乎是研究所有其他图形的工具和基础.而三角形内角和定理又是三角形中最为基础的知识，也是学生最为熟悉且能与小学、中学知识相关联的知识，同时三角形的全等的判定与性质也属于进一步学习，看似简单，但如果处理不好，会导致学生有厌烦心理，为此，本节课的设计力图实现以下特点。 1.通过折纸与剪纸等操作让学生获得直接经验，然后从学生的直接经验出发，逐步转到符号化处理，最后达到推理论证的要求。 2.充分展示学生的个性，体现“学生是学习的主人”这一主题。 3.添加辅助线是教学中的一个难点，如何添加辅助线则应允许学生展开思考并争论，展示学生的思维过程，然后在教师的引导下达成共识。 反思，更进一步提升。 1 学科网（北京）股份有限公司 $