精品解析：海南省三亚市第四中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷

三亚市第四中学2025-2026学年度第一学期12月月考 高一年级数学试题 考试时间：120 分钟：命题人： 第I卷（选择题） 一、单项选择题本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算易得. 【详解】由题意，得，所以， 又，则. 故选：B. 2. 已知命题，，命题，，则（ ） A. p是假命题，q是真命题 B. p是真命题，q是假命题 C. p和q都是真命题 D. p和q都是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题与特称量词命题的含义，结合反例判定命题的真假即可. 【详解】对于命题，存在，，所以命题p是真命题； 对于命题q，当时，，所以命题q是假命题. 故选：B. 3. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的函数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的定义和分段函数的单调性解答. 【详解】对于A，因为，所以此函数是偶函数，所以A错误； 对于B，因为，所以此函数是奇函数， 因为，所以在是单调递增，所以B正确； 对于C，因为的定义域是，所以此函数为非奇非偶函数，所以C错误； 对于D，因为是反比例函数，在单调递减，所以D错误. 故选：B 【点睛】 4. 若函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数有意义列出不等式组求出定义域. 【详解】由函数，得，解得， 所以的定义域为. 故选：D 5. 函数与，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程得到直线为增函数，又，可排除D选项. 【详解】对于A，C，由于函数是增函数，图象应该呈上升趋势，所以A，C错误； 对于B，又由指数函数的性质可得，故D错误； 故选：B 6. 已知函数.对于，都有成立，求的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件判断出在上单调递减，再根据的解析式列出不等式组，求解即可. 【详解】因为对于，都有成立， 所以函数在上单调递减， 故，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 7. 已知函数在区间单调递增，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，可得，，根据条件，可得，根据的单调性，分析即可得答案. 【详解】因为在上单调递增， 所以，即， 因为，所以， 因为在上单调递增， 所以， 因为函数在区间单调递增， 所以，即. 故选：D 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再由解析式及对数函数、复合函数的单调性判断的单调性，应用奇偶性、单调性解不等式即可. 【详解】由解析式知，函数的定义域为， 且， 所以在上为奇函数，且为连续函数， 由在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 结合奇函数的对称性，在上单调递增， 由， 所以不等式的解集为. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数与的图像如图所示，则实数的值可能为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】AC 【解析】 【分析】由对数函数、幂函数的性质判断即可. 【详解】由图像结合对数函数的性质可知，则D错误； 由图像可知函数为奇函数，则B错误，AC正确； 故选：AC 10. 下列命题中正确的是（    ） A. 若函数满足，则4 B. 函数且的图象恒过定点 C. 命题：“”的否定是“” D. 若函数，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数值判断A；求出函数图象所过定点判断B；利用全称量词命题的否定判断C；求出解析式判断D. 【详解】对于A，函数中，取，得，A正确； 对于B，当时，，函数的图象恒过定点，B正确； 对于C，命题：“”的否定是“”，C错误； 对于D，令，则，则， 因此，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的图象过定点 C. 偶函数 D. 当时，函数的最大值是0 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用指数函数单调性可得A；代入计算即可得B；利用偶函数定义判断可得C；利用函数单调性可得D. 【详解】A：当时，在上单调递减，则在上单调递减， 当时，在上单调递增，则在上单调递增， 故在上的单调性与的取值有关，故A错误； B：，故的图象过定点，故B正确； C：， 由，则，， 故为偶函数，故C正确； D：当时，，令， 则在上单调递减，故， 即当时，函数的最大值是，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知定义在上的函数的值域是，则函数的值域是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象的关系，结合值域的定义分析即可 【详解】函数的图象向左平移3个单位得到的图象， 因此函数值域为， 则函数的值域是. 故答案为：. 13. 若函数的图像不经过第二象限，求实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，依题意可得当时即可. 【详解】因为在定义域上单调递增， 又的图像不经过第二象限， 所以当时，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 14. 若直线与函数图像有两个公共点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据和分类讨论，作出函数的图象与直线，由它们有两个交点得出的范围． 【详解】时，作出函数的图象，如图，此时在时，， 而，因此与函数的图象只有一个交点，不合题意； 时，作出函数的图象，如图，此时在时，， 若与函数的图象有两个交点，则，解得． 综上所述，. 故答案为：. 四、解答题共77分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 15. 已知集合． （1）求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或； （2）； （3）或. 【解析】 【分析】（1）解一元一次不等式、一元二次不等式求集合，再由并运算求结果； （2）由包含关系列不等式求参数范围； （3）由交集结果列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由题设或， 所以或； 【小问2详解】 由，则，可得； 【小问3详解】 由，则或，可得或. 16. （1）计算：； （2）计算：； （3）已知，，用a，b表示． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用分数指数幂与指数运算计算可得； （2）根据对数运算法则计算可得结果； （3）根据对数换底公式及对数运算法则计算可得结果； 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）． 17. 已知是定义在上的奇函数，当时，. （1）求的解析式和单调区间，并画出简图； （2）讨论方程的根的个数. 【答案】（1），单调增区间为和，无单调递减区间，作图见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的性质，结合奇函数的性质，可得答案. （2）根据（1）的图象，结合函数与方程的关系，可得答案. 小问1详解】 由函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 由函数是定义在上的奇函数，则，且函数的图象关于原点对称， 由当时，，则，可得， 所以， 可得函数的单调增区间为和，无单调递减区间. 所以列表如下： 故可作图如下： 【小问2详解】 由（1）的图可得方程的根如下： 当时，函数的图象与直线存在唯一交点，故方程存在唯一实数根； 当时，函数的图象与直线存在两个交点，故方程存在两个实数根； 当时，函数的图象与直线存在三个交点，故方程存在三个实数根. 18. 已知函数是定义域为(－2，2)的奇函数，且． （1）求a，b的值； （2）判断函数f(x)在(－2，2)上的单调性，并用定义证明； （3）若函数f(x)满足＞0，求m的取值范围． 【答案】（1）或，. （2）单调增函数，证明见解析. （3） 【解析】 【分析】（1）根据，即可求得结果； （2）利用单调性的定义，作差、定号，即可判断和证明函数单调性； （3）根据函数奇偶性以及（2）中所得单调性，结合函数定义域，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 因为是定义在(－2，2)的奇函数，故可得，则； 因为，故可得，解得或； 综上所述：或，. 【小问2详解】 是(－2，2)上的单调增函数，证明如下： 由（1）可知：，不妨设， 则，即， 故是上的单调增函数，即证. 【小问3详解】 ＞0等价于， 是奇函数，故可得， 由可知，是单调增函数，故 即，解得或 又的定义域为，则，且 解得，且. 综上所述：. 19. 俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱．对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”． （1）函数，求的“偏差”； （2）函数，若的“偏差”为2，求的值； （3）函数，若的“偏差”取最小值，求的值，并求出“偏差”的最小值． 【答案】（1）3 （2） （3）时，函数与的“偏差”取最小值. 【解析】 【分析】（1）写出解析式，结合，求出值域，可得偏差为3； （2），利用和的函数性质，通过分类讨论，由“偏差”值得到的值； （3）结合所给条件，可得函数与的“偏差”为，结合绝对值不等式，求出即可得. 【小问1详解】 （1）， 因为，所以， 则， 所以函数与的“偏差”为. 【小问2详解】 令， ∵，∴是单调减函数，∴ 由题意，，，且. 当，即时，，解得或，不符合； 当，即时，，或， 解得或（舍） 所以 【小问3详解】 ， 因为，所以， 由，则， 令，即，解得， 故当且仅当时，有. 故当的值为时，函数与的“偏差”取最小值. 【点睛】函数新定义问题，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三亚市第四中学2025-2026学年度第一学期12月月考 高一年级数学试题 考试时间：120 分钟：命题人： 第I卷（选择题） 一、单项选择题本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，命题，，则（ ） A. p假命题，q是真命题 B. p是真命题，q是假命题 C. p和q都是真命题 D. p和q都是假命题 3. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的函数为（　　） A. B. C. D. 4. 若函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 函数与，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数.对于，都有成立，求取值范围（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间单调递增，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数与的图像如图所示，则实数的值可能为（ ） A. B. C. D. 3 10. 下列命题中正确是（    ） A. 若函数满足，则4 B. 函数且的图象恒过定点 C. 命题：“”的否定是“” D. 若函数，则 11. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的图象过定点 C. 偶函数 D. 当时，函数的最大值是0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知定义在上的函数的值域是，则函数的值域是______. 13. 若函数的图像不经过第二象限，求实数的取值范围为___________． 14. 若直线与函数图像有两个公共点，则实数的取值范围是__________. 四、解答题共77分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 15. 已知集合． （1）求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 16. （1）计算：； （2）计算：； （3）已知，，用a，b表示． 17. 已知是定义在上的奇函数，当时，. （1）求的解析式和单调区间，并画出简图； （2）讨论方程的根的个数. 18. 已知函数是定义域为(－2，2)的奇函数，且． （1）求a，b的值； （2）判断函数f(x)在(－2，2)上单调性，并用定义证明； （3）若函数f(x)满足＞0，求m的取值范围． 19. 俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱．对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”． （1）函数，求的“偏差”； （2）函数，若的“偏差”为2，求的值； （3）函数，若的“偏差”取最小值，求的值，并求出“偏差”的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $