黑龙江省哈尔滨市道里区2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷（五四制）

2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市道里区八年级（上）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.一个三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形第三边长可能是(    ) A. 3cm B. 5cm C. 7cm D. 11cm 4.一种花粉颗粒直径约为米，将数据用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 5.如果把中的x和y都扩大为原来的5倍，那么分式的值(    ) A. 扩大为原来的4倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的5倍 6.人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是(    ) A. 两点之间线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 7.如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，要使得≌，不能添加的条件是(    ) A. B. C. D. 8.一张正方形纸片按图中方式经过两次对折，并在如图位置上剪去一个小正方形，打开后是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在第1个中，，，在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个，在边上取一点E，延长到，使，得到第3个，…按此做法继续下去，则第2026个三角形中以为顶点的底角度数是(    ) A. B. C. D. 10.如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇P，Q铺设燃气管道.在两个城镇之间有一个生态保护区长方形，燃气管道不能穿过该区域.下列四种铺设管道路径的方案： 方案1： 过点P作于点E，连接EC，CQ，则铺设管道路径是 方案2： 连接QC并延长交l于点F，连接PF，则铺设管道路径是 方案3： 作点P关于l的对称点，连接交l于点G，连接PG，CQ，则铺设管道路径是 方案4： 作点Q关于l的对称点，连接交l于点H，连接HC，CQ，则铺设管道路径是 其中铺设管道路径最短的方案是(    ) A. 方案1 B. 方案2 C. 方案3 D. 方案4 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 11.若分式的值为0，则x的值是      . 12.把多项式分解因式的结果为______. 13.分式与的最简公分母是      . 14.已知，，则的值为        . 15.如图，在中，，通过观察尺规作图的痕迹，可以求得        度. 16.定义一种新的运算“”，若，则，依定义，则b的值是        . 17.已知一张三角形纸片如图甲，其中将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为如图乙再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为如图丙原三角形纸片ABC中，的大小为______ 18.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，它的底角为______. 19.已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是        . 20.如图，是等边三角形，点D和点E分别是BC和AC上的点，连接AD和BE交于点F，，连接CF，将线段AD绕点A逆时针旋转得到线段AG，连接BG交AC于点K，有如下结论：①；②代表面积；③；④若，则，上述结论中，所有正确结论的序号是        . 三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题8分 计算： ； 22.本小题7分 先化简，再求值：，其中 23.本小题7分 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为 画出关于y轴对称的点A与点对应，直接写出点的坐标； 仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，在如图中画出的重心D，不写画法，保留作图痕迹. 24.本小题8分 问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1______；图2______；用字母a，b表示 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题： 已知，，求的值； 已知，求的值. 25.本小题10分 今年哈市入冬以来，为保障道路畅通及市民出行安全，及时开展扫雪除冰工作.其中甲、乙两组共同负责一条大街的扫雪工作，若由甲、乙两组合作则2小时可完成扫雪工作；若甲组先单独扫雪4小时，再由乙组单独扫雪1小时可完成扫雪工作. 求甲、乙两组单独完成此项工作各需要多少小时？ 如果甲、乙两组先合作若干小时后，甲组有事离开，剩下的工作全由乙单独完成，且要求完成扫雪工作不超过小时，问甲乙两组至少合作多少小时才能完成任务？ 26.本小题10分 在综合实践课上，老师组织同学以的直角板为背景开展数学活动，下面是同学行相关问题的研究. 问题背景：如图1，在中，，，CD是的高，直接写出的值______； 探究证明：如图2，在中，，，以AB为斜边向外作等腰直角三角形ABD，连接CD交AB于点E，过点D作DF垂直BC，垂足为点F，交AB于点K，求证：； 拓展应用：如图3，在中，，，以BC为边向外作，，，连接交BC于点E，取AE中点F，连接BF，在AB上取一点G，连接EG交BF于点K，，，求BG的长. 27.本小题10分 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，若点在x轴的负半轴上，点在y轴正半轴上，连接AB，若 如图1，请写出是什么三角形并说明理由； 如图2，点P为线段OA上一点不与A、O重合连接PB，点C在第一象限内，连接PC和BC，，设点P的横坐标为t，求点C的纵坐标用含t的式子表示； 如图3，在的条件下，点D是AB上一点，连接DP，过点D作PB的垂线，垂足为点E，交BO于点F，，点K是BC上一点，连接OK和OC，，过点K作OK的垂线交OC的延长线于点G，连接BG，，求点F的坐标用含t的式子表示 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选： 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2.【答案】A  【解析】解：， 正确，符合题意； ， 不正确，不符合题意； ， 不正确，不符合题意； ， 不正确，不符合题意； 故选： 根据同底数幂的运算法则计算判断即可； 根据同底数幂的除法运算法则计算判断即可； 根据幂的乘方运算法则计算判断即可； 根据积的乘方运算法则计算判断即可． 本题考查同底数幂的乘法、除法及幂的乘方与积的乘方等，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键． 3.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边长，则第三边的范围为大于两边差且小于两边和．根据已知边长求第三边x的取值范围，可得答案． 【解答】 解：设第三边长为xcm， 则， 即， 因此，只有C选项符合题意. 故选 4.【答案】A  【解析】解：， 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5.【答案】D  【解析】解：， 分式的值扩大为原来的5倍． 故选： 根据分式的基本性质，即可求解． 本题主要考查分式的基本性质．熟练掌握该知识点是关键． 6.【答案】B  【解析】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性， 故选： 根据三角形的稳定性解答即可． 此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答． 7.【答案】B  【解析】解：A、由ASA判定≌，故A不符合题意； B、和分别是AC，DF的对角，不能判定≌，故B符合题意； C、由，得到，由SAS判定≌，故C不符合题意； D、由，得到，由AAS判定≌，故D不符合题意． 故选： 由全等三角形的判定，即可判断． 本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法． 8.【答案】D  【解析】解：打开后的图形是：. 故选： 动手操作可得结论． 本题考查剪纸问题，正方形的性质，解题的关键是学会动手操作解决问题． 9.【答案】D  【解析】解：，， ， ， ， ， 同理可得得：， … 以此类推，以为顶点的内角度数是， 第2026个三角形的底角度数是以为顶点的角，度数是， 故选： 根据等腰三角形的性质，由，，得，，那么，由，得根据三角形外角的性质，由，得，以此类推，运用特殊到一般的思想解决此题． 本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质以及特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键． 10.【答案】C  【解析】解：作点P关于直线l的对称点，连接交直线l于点G，则点G为所求燃气站的位置． 故选： 作点P关于直线l的对称点，连接交直线l于点G即可． 本题考查了作图-应用与设计作图、轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 11.【答案】2  【解析】解：分式的的值为0， 且， 解得：且 故答案为： 直接利用分式的值为零分子为零分母不为零进而得出答案． 此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握相关定义是解题关键． 12.【答案】  【解析】解： 故答案为 先提公因式ab，然后把利用平方差公式分解即可． 本题考查了提公因式法与公式法的综合运用：若各项有公因式，则先提公因式，然后利用公式法分解． 13.【答案】  【解析】解：和6的最小公倍数是6，字母a，b，c的最高次幂的积为， 分式和的最简公分母是 故答案为： 取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这个公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 本题考查最简公分母的求法，掌握确定最简公分母的方法是解答的关键． 14.【答案】  【解析】解：原式 先对原式变形，再代入即可． 本题主要考查同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 15.【答案】50  【解析】解：由作图痕迹得DF垂直平分AB，AE平分， ，， ，， ， ， 故答案为： 根据线段垂直平分线的性质和角平分线的定义得到，，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 16.【答案】4  【解析】解：， ， 故答案为： 根据定义的新运算列式计算即可． 本题考查有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 17.【答案】72  【解析】先设，然后用含有的式子表示，，，进而得到，最后利用三角形的外角性质列出方程求得，即可求得的大小． 解：设，则， 由折叠得，，， 是的外角， ， ， 解得：， ， 故答案为： 本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质，解题的关键是学会利用折叠的性质将其他角的度数用代数式表示． 18.【答案】或  【解析】解：①如图1， 是等腰三角形，，，， 在直角中，， ； ②如图2， 是等腰三角形，，，， 在直角中，， 又，， 故答案为：或 根据题意，等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，分两种情况讨论，①如图1，当一腰上的高在三角形内部时，即时，②如图2，当一腰上的高在三角形外部时，即时；根据等腰三角形的性质，解答出即可． 本题主要考查了等腰三角形的性质，知道等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，有两种情况，一种是高在三角形内部，另一种是高在三角形外部，读懂题意，是解答本题的关键． 19.【答案】且  【解析】解：， ， ， ， 检验，将代入得，是原分式方程的解， 解得，， 分式方程的解是正数， ， 解得，， 的取值范围是且， 故答案为：且 先求分式方程的解，然后根据解为正数列不等式，求解作答即可． 本题考查了解分式方程，一元一次不等式．熟练掌握解分式方程，一元一次不等式是解题的关键． 20.【答案】①②③  【解析】解：在等边三角形ABC中，，， 在和中， ， ≌， ， ， 故①正确，符合题意； ≌， ， ， 即， 故②正确，符合题意； ，， ， ， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ， ， 故③正确，符合题意； ≌， ≌， 过A作于点H，过C作于点G， 则， ，，且， ， 故④错误，不合题意； 故答案为：①②③． 易证≌，可得，，外角性质可得，即可判断①； 易得的面积和的面积，再利用面积和差即可判断②； 先证，再证明≌，即可判断③； 过A作于点H，过C作于点G，易得，即可判断④． 本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形面积相关知识是解题的关键． 21.【答案】    【解析】解： ； 先算括号内的式子，再算括号外的除法即可； 先将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 22.【答案】，  【解析】解：原式 ， ， 当时，原式 利用分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据负整数指数幂、零指数幂把x化简，代入计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 23.【答案】如图所示；  如图所示，点D即为所求  【解析】解：如图所示；； 如图所示，点D即为所求． 根据轴对称的性质即可得到结论； 根据的重心的定义即可得到结论． 本题考查了作图-轴对称变换，三角形的重心，正确地作出图形是解题的关键． 24.【答案】问题呈现：，  数学思考： ；  【解析】解：问题呈现： 利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：； 图2：； 故答案为：，； 数学思考： ，， ； 设，， ， ， ， 问题呈现：观察图形，利用数形结合的思想求出答案； 数学思考： 根据已知条件和完全平方公式求出答案即可； 设，，根据已知条件求出和ab，最后根据完全平方公式求出答案即可． 本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． 25.【答案】甲组单独完成此项工作需要6小时，乙组单独完成此项工作需要3小时  甲乙两组至少合作1小时才能完成任务  【解析】解：设甲组单独完成此项工作需要x小时，则甲组的工作效率为，乙组的工作效率为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 小时 答：甲组单独完成此项工作需要6小时，乙组单独完成此项工作需要3小时； 设甲、乙合作了m小时，则剩下的工作由乙组单独完成还需小时， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为 答：甲乙两组至少合作1小时才能完成任务． 设甲组单独完成此项工作需要x小时，则甲组的工作效率为，乙组的工作效率为，利用甲组完成的工作量+乙组完成的工作量=总工作量，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值即甲种单独完成此项工作所需时间，再将其代入中，即可求出乙种单独完成此项工作所需时间； 设甲、乙合作了m小时，则剩下的工作由乙组单独完成还需小时，根据要求完成扫雪工作不超过小时，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 26.【答案】  如图，过点D作AC的垂线，垂足为点H， 在等腰直角三角形ABD中，，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ，， ， 在BC上取一点G，使，连接EG和DG， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， ，     【解析】解：，， ， 设，则，， ， ； 故答案为：； 如图，过点D作AC的垂线，垂足为点H， 在等腰直角三角形ABD中，，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ，， ， 在BC上取一点G，使，连接EG和DG， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， ， ； 如图，取AB中点M，连接DM和CM，作， 则在中，， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， 平分，即， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， 为AE中点， ， 过点B作AB的垂线交EG的延长线于点N，过点E作BN的垂线，垂足为点H，连接GH， 设，则， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ，， ， ， ， ，即B为NH中点， ， ， 为NE中点， 在中，， ， 如图，作，，，连接FC， ，F是AC中点， ， ，， 又， ， ， 在中，， ，则，，据此即可得解； 过点D作AC的垂线，垂足为点H，则≌，则，可得，在BC上取一点G，使，连接EG和DG，证≌，可得，，得，则，再证≌，可得，则，即可得证； 取AB中点M，连接DM和CM，作，易证，≌，，则，可推出，则，可证≌，则，设，则，导角得，可证≌，得，再推，则，作，，，连接FC，易证，则，所以 本题主要考查含有直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和及外角相关知识，综合性强，正确作出辅助线是解题的关键． 27.【答案】为等腰直角三角形，理由： ， ， ， 点在x轴的负半轴上，点在y轴正半轴上， ，， ， ， 为等腰直角三角形  点C的纵坐标为    【解析】解：为等腰直角三角形，理由： ， ， ， 点在x轴的负半轴上，点在y轴正半轴上， ，， ， ， 为等腰直角三角形； 作轴，垂足为点H，如图， 点P为线段OA上一点，点P的横坐标为t， ， 设， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 轴， 点C的纵坐标为； 过点B作x轴的平行线交PD的延长线于点M，作，垂足为点T，如图， ， ，， ， ， ， ， ， ，，， 四边形POBT为矩形， ， ，， ，， ， ， 由知：为等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ≌， ， ，， ， 过点K作交y轴于点N，连接GN， 由知：，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ， 利用完全平方式，非负数的意义求得，再利用点的坐标的特征与等腰直角三角形的定义解答即可； 作轴，垂足为点H，利用等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到，再利用点的坐标的特征解答即可； 过点B作x轴的平行线交PD的延长线于点M，作，垂足为点T，利用平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到，则；过点K作交y轴于点N，连接GN，利用的结论和全等三角形的判定与性质得到，，则，利用三角形的明镜高悬求得OB的长度，则结论可求． 本题主要考查了平面直角坐标系，点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $