精品解析：山东烟台市招远市2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷（五四制）

山东省烟台市招远市2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷（五四学制） 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 已知 是关于x的一元二次方程，则a的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2次的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知，， 解得： 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，合并同类二次根式法则，二次根式的除法法则，二次根式的性质进行计算，逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意； B．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； C．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； D．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； 3. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ） A. 测量对角线是否相互平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量对角线是否相等 D. 测量其中三个角是否都为直角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定，根据三个角都为直角的四边形是矩形可得答案． 【详解】解：由三个角都为直角的四边形是矩形， 可知测测量其中三个角是否都为直角可判断一个四边形门框是否为矩形， 故选：D． 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式定义解答即可． 【详解】解：A、的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，选项A不符合题意； B、的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，选项B不符合题意； C、是最简二次根式，选项C符合题意； D、，不是最简二次根式，选项D不符合题意． 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识是解题的关键．当判别式时，方程有两个相等的实数根．代入方程系数计算判别式并解方程即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 故选：C． 6. 如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则线段的值为（　　） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】连接，交于点O，根据E、F、G、H分别是四边形边的中点，利用三角形中位线定理，证明四边形是菱形，根据四边形面积，可求得，进而求得，根据勾股定理可求出． 【详解】解：如图：连接，交于点O， ∵E、F、G、H分别是四边形边的中点， ∴，，，，，，，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． ∵四边形面积为24，， ∴， 解得． 7. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 1﹣2a D. 2a﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】先由点a在数轴上的位置确定a的取值范围及a-1的符号，再代入原式进行化简即可 【详解】由数轴可知0＜a＜1， 所以，＝1，选A． 【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，解题关键在于确定a的大小 8. 如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键；结果矩形的性质的可得，，则，进而根据折叠的性质得出，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵折叠 ∴ ∴ ∵，即 ∴，故A不正确 ∵ ∴，故B不正确 ∵折叠， ∴ ∵，故C不正确，D选项正确 故选：D． 9. 计算的值为（　　） A. ﹣1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将分解为，然后根据积的乘方逆运算化简，最后利用平方差公式计算结果． 【详解】解： 10. 如图，在菱形中，，，点E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；② ；③；④．其中正确的结论有（　　） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：①∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ， ∵E，F分别是，的中点， ∴平分，平分，， ∴ ， ， ∴ ，故①符合题意； ②∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理： ， ， ∴ ， ∴ ，故②符合题意； ③∵， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴和不全等，故③不符合题意； ④如图，设与交于点M， 同①得：是等边三角形， ∴ ，， 由②可知，， ∴， ∴ ， ∴， ∴，故④不符合题意； 综上所述，其中正确的结论有①②. 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x的值为_____ ． 【答案】8 【解析】 【分析】先把化简为，再根据被开方数相同的两个最简二次根式叫做同类二次根式建立方程求解即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 12. 菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的边长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长即可． 【详解】解：如图，根据题意得，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故答案为：5． 13. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．由题意得方程，利用公式法解方程即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（舍） 故答案为： 14. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则该三角形的面积为，现已知的三边长分别为1，，3，则的面积为____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目中的面积公式和的三边长即可解答． 【详解】解：∵的三边长分别为1，，3， 则的面积为． 15. 如图，将一张正方形的桌布折叠两次，就得到了一个漂亮的图案，在图③中，的度数为__________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】由折叠的性质可知，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知：，， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查折叠的性质及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 16. 如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，，，若点G是的中点，H是的中点，连接，则的长为 _________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】连接，并延长交于点P，证明得，，进而得，再求出，在中，由勾股定理得，然后证明是的中位线，再根据三角形中位线定理即可得出的长． 【详解】解：连接，并延长交于点P，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点G是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵，点H是的中点， ∴是的中位线， ∴． 三．解答题（本大题共9个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．） 17. 计算： （1）； （2） ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将各式化简后再算加法即可； （2）利用平方差及完全平方公式计算后再算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， ∴ ， 解得． 19. 如图，将沿射线平移，使点B与点C重合，得到，连接．F，G分别是的中点，连接． （1）求证：． （2）若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）根据平移的性质得出，四边形是平行四边形，然后得出，最后利用全等三角形的判定定理即可得出结论； （2）根据平移的性质得出四边形是平行四边形，再根据条件得出，得出，然后可得出结论． 【小问1详解】 证明:由平移可知， ∴四边形是平行四边形， ∴. ∵F，G分别是的中点， ∴， ∴. 【小问2详解】 证明:由平移可知， ∴四边形是平行四边形. ∵， ∴. 又∵F是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 20. 在学习一元二次方程的解法中我们发现，用配方法解一元二次方程，可以得到一元二次方程的求根公式． （1）一般地，对于一元二次方程，当时，它的求根公式是 ，我们也把用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法； （2）小明在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如表：请问，小明的解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ． 解：∵（第一步） ∴（第二步） ∴（第三步） ∴（第四步） （3）请你用自己学过的方法写出此题正确的解答过程． 【答案】（1） （2）一，未将所给方程化为一般式 （3）正确过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据求根公式完成填空即可； （2）找出所给求解过程的错误步骤即可； （3）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， ， 当时，它的求根公式是x． 【小问2详解】 解：观察所给解题过程可知， 小明的解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是未将所给方程化为一般式． 【小问3详解】 解：， ， ， 则， ∴． 21. 我们已经学过以下5种基本作图： ①作线段相等 ②作角相等 ③作角平分线 ④作垂直平分线 ⑤作垂线 当我们遇到新的尺规作图时，需要把问题转化为以上5种基本作图来逐步完成作图． （1）图1中的三幅图都是作边长为a的正方形，作图顺序符合基本作图⑤①①⑤⑤的是 ； （2）已知和线段b，求作菱形，使，．小明的作图痕迹如图2，按作图顺序写出基本作图的序号为 ； （3）如图3，已知和线段m，在边上作一点P，使点P到的距离等于线段m．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法，按作图顺序写出基本作图的序号） 【答案】（1）C （2）②③①④ （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据作图痕迹利用基本作图一一判断即可； （2）根据作图痕迹判断即可； （3）在射线上取一点E，作，在射线上截取线段，使得，过点T作交于点P，点P即为所求． 【小问1详解】 解：下面三幅图都是作边长为a的正方形，作图顺序符合基本作图⑤①①⑤⑤的是C． 故答案为：C； 【小问2详解】 解：已知和线段b，求作菱形，使，．小明的作图痕迹如图2，按作图顺序写出基本作图的序号为②③①④． 故答案为：②③①④； 【小问3详解】 解：如图3中，点P即为所求，作图顺序是⑤①⑤． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，读懂图象信息． 22. 关于x的一元二次方程． （1）判断方程根的情况，并说明理由； （2）若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 【答案】（1）原方程有两个实数根，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）计算判别式，据此判断方程实数根个数； （2）利用因式分解法解原方程，可得出原方程的解为， ，结合原方程有一个根不小于5，即可得出． 【小问1详解】 原方程有两个实数根，理由如下： ∵ ∴原方程有两个实数根； 【小问2详解】 ∵， ∴ ， 解得：， ， ∵方程有一个根不小于5， ∴ ， ∴． 23. 一道数学题往往解法众多，不同的解法承载了多角度的数学思维，请你用两种方法解决下面的题目．如图，在四边形中，，，连接．若，请用两种方法求出四边形的面积． 【答案】32 【解析】 【分析】方法一：过A作，交的延长线于E，证明，得，再由三角形面积计算即可； 方法二：过A作，交的延长线于E，证明，得，再由三角形面积计算即可． 【详解】解：方法一：如图1，过A作，交的延长线于E， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵ ，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴四边形的面积的面积； 方法二：如图1，过A作，交的延长线于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴四边形的面积的面积． 24. 观察下列等式，解答问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；… （1）请直接写出第6个等式 （不用化简）； （2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明； （3）请利用（2）的结论计算：． 【答案】（1） （2）第n个等式：，证明见解析 （3）2026 【解析】 【分析】（1）观察已知条件中的等式，找出等式中数字的变化规律，写出答案即可； （2）根据（1）中发现的规律，用含n的式子表示第n个等式，然后通过对左边进行化简证明等式成立即可； （3）利用（2）中得出的规律对所求式子进行化简，然后计算即可． 【小问1详解】 解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； 第6个等式：； 【小问2详解】 解：由（1）及题意可得：第n个等式：， 证明：∵n为正整数， ∴ ， ∴； 【小问3详解】 解： ． 25. 按要求解答问题： 【方法回顾】 （1）如图1，过正方形的顶点A作一条直线交边于点P，于点E，于点F，若，，则 ． 【问题解决】 （2）如图2，菱形的边长为2，过点A作一条直线l交边于点P，且，点F是上一点，且，过点B作，与直线l交于点E，若，求的长． 【思维拓展】 （3）如图3，在正方形中，点P在所在直线上的上方，，连接，若的面积比的面积多1，请直接写出的值． 【答案】（1）2 （2）1．5 （3）4 【解析】 【分析】（1）如图1，利用“”证明，则，然后利用得到． （2）证明，推出，，再利用勾股定理构建方程解决问题即可． （3）如图3中，过点P作交的延长线于N，交的延长线于M，设，，设，由 ，推出，可得，利用勾股定理即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图1中， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图2中， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：如图3中，过点P作交的延长线于N，交的延长线于M，设， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，设， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省烟台市招远市2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷（五四学制） 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 已知 是关于x的一元二次方程，则a的值为(　　) A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ） A. 测量对角线是否相互平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量对角线是否相等 D. 测量其中三个角是否都为直角 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 6. 如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则线段的值为（　　） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 7. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 1﹣2a D. 2a﹣1 8. 如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 计算的值为（　　） A. ﹣1 B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，，点E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；② ；③；④．其中正确的结论有（　　） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x的值为_____ ． 12. 菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的边长为________． 13. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值为______． 14. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则该三角形的面积为，现已知的三边长分别为1，，3，则的面积为____________________ ． 15. 如图，将一张正方形的桌布折叠两次，就得到了一个漂亮的图案，在图③中，的度数为__________． 16. 如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，，，若点G是的中点，H是的中点，连接，则的长为 _________________ ． 三．解答题（本大题共9个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．） 17. 计算： （1）； （2） ． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，将沿射线平移，使点B与点C重合，得到，连接．F，G分别是的中点，连接． （1）求证：． （2）若，求证：四边形是矩形． 20. 在学习一元二次方程的解法中我们发现，用配方法解一元二次方程，可以得到一元二次方程的求根公式． （1）一般地，对于一元二次方程，当时，它的求根公式是 ，我们也把用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法； （2）小明在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如表：请问，小明的解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ． 解：∵（第一步） ∴（第二步） ∴（第三步） ∴（第四步） （3）请你用自己学过的方法写出此题正确的解答过程． 21. 我们已经学过以下5种基本作图： ①作线段相等 ②作角相等 ③作角平分线 ④作垂直平分线 ⑤作垂线 当我们遇到新的尺规作图时，需要把问题转化为以上5种基本作图来逐步完成作图． （1）图1中的三幅图都是作边长为a的正方形，作图顺序符合基本作图⑤①①⑤⑤的是 ； （2）已知和线段b，求作菱形，使，．小明的作图痕迹如图2，按作图顺序写出基本作图的序号为 ； （3）如图3，已知和线段m，在边上作一点P，使点P到的距离等于线段m．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法，按作图顺序写出基本作图的序号） 22. 关于x的一元二次方程 ． （1）判断方程根的情况，并说明理由； （2）若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 23. 一道数学题往往解法众多，不同的解法承载了多角度的数学思维，请你用两种方法解决下面的题目．如图，在四边形中，，，连接．若，请用两种方法求出四边形的面积． 24. 观察下列等式，解答问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；… （1）请直接写出第6个等式 （不用化简）； （2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明； （3）请利用（2）的结论计算：． 25. 按要求解答问题： 【方法回顾】 （1）如图1，过正方形的顶点A作一条直线交边于点P，于点E，于点F，若，，则 ． 【问题解决】 （2）如图2，菱形的边长为2，过点A作一条直线l交边于点P，且，点F是上一点，且，过点B作，与直线l交于点E，若，求的长． 【思维拓展】 （3）如图3，在正方形中，点P在所在直线上的上方，，连接，若的面积比的面积多1，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $