辽宁省沈阳市康平县2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

2025-2026学年辽宁省沈阳市康平县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列几何体中，主视图为三角形的是(    ) A. B. C. D. 2.一元二次方程的根是(    ) A. B. C. ， D. ， 3.菱形的对角线长分别为10cm，8cm，则此菱形的周长为(    ) A. 12cm B. C. D. 24cm 4.不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同.从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为(    ) A. B. C. D. 5.将一个矩形纸片沿AC所在的直线折叠成如图所示的图形，点A，B，C均在原矩形的边上，且点A，B在同一边上，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，点D，E分别在AB，AC边上，且若，，则的值为(    ) A. B. C. 3 D. 2 7.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 8.中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何.”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，，连接CE，若，，则CE的长为(    ) A. 1 B. 5 C. D. 10.如图，在正方形ABCD中，点E是AB边的中点，连接CE，点F是CE的中点，连接BF并延长，交CD边于点G，点H在AD边上，已知，，则GH的长为(    ) A. 4 B. C. D. 6 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.在一个不透明的盒子里，装有红球、黑球和白球共20个，它们除颜色外都相同.通过多次摸球试验后，发现摸到红球和黑球的频率稳定在和，则据此估计盒子中大约有白球      个. 12.在电压不变的情况下，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系.当时，则电流I与电阻R之间的函数表达式为      . 13.设m，n是一元二次方程的两个根，则的值为        . 14.已知，则      . 15.如图，矩形ABCD中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，在内部交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为      . 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题10分 解方程： ； 17.本小题8分 如图，在网格每个小正方形的边长都是一个单位长度中建立平面直角坐标系，的三个顶点，，都在格点网格线的交点上. 通过旋转，可使与重合，请在图中标出旋转中心 将绕原点O旋转，得到，请画出 18.本小题8分 如图，中，，AD平分，过点C作交AD延长线于点E，点F是AC中点，连接EF， 证明：四边形ABEF是菱形； 若，，求边BC的长. 19.本小题8分 “综合与实践”是《义教数学课标年版》中四大领域之一，某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习.设置了“制作视力表”、“猜想、证明与拓广”、“池塘里有多少条鱼”三个项目供九年级学生选择，每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下表格： 项目 选择人数 频率 A.制作视力表 4 a B.猜想、证明与拓广 b c C.池塘里有多少条鱼 20 请根据以上信息解答下列问题： 填空：______，______，______； 该校共有500名九年级学生，请估计选择“”项目学习的学生人数； 本次调查中，选择“制作视力表”项目学习的四人中有三名女生和一名男生，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率. 20.本小题8分 在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的图柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为120公分．敏敏观察到高度90公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为60公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示． 已知落在地面上的影子皆与墙面互相重直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题： 若敏敏的身高为150公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？ 若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为150公分，则高图柱的高度为多少公分？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案． 21.本小题9分 综合与实践 在数学课上，老师让同学们以“折一个长方体盒子”为主题开展实践活动．如图1，这是一张长为30cm，宽为12cm的矩形硬纸板． 如图2，奋进小组把矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． 创新小组计划制作一个有盖的长方体盒子．为了合理使用材料，设计了如图3所示的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，右侧两个空白部分为矩形，问能否折出底面积为的有蓋盒子盒盖与盒底的大小形状完全相同？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由． 22.本小题12分 阅读并回答问题. 数学课上，老师“以等腰直角三角形为背景探究旋转变换下的相似图形”为题和同学们展开了一节探究活动课. 【初步感知，发现相似】 具体过程是：将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形. 展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，，则∽，相似比为1，或者说≌ 展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，，则与的关系是：______. 【感悟方法，尝试应用】 如图3，在等腰直角三角形ABC中，，点D为边AC上一点，以BD为一边作正方形BDEF，连接CE，求证： 【迁移拓展，解决问题】 如图4，在等腰直角三角形ABC中，，点E为边AC上一点，，，若，，求DE的长. 23.本小题12分 如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且 填空：______，______，点 B的坐标是______，点 C的坐标是______； 点G是y轴上的动点，连接GB，GC，则的最小值是______； 是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解；A、选项几何体的主视图是三角形，符合题意； B、选项几何体的主视图是长方形，不符合题意； C、选项几何体的主视图是圆，不符合题意； D、选项几何体的主视图是正方形，不符合题意． 故选： 主视图是从正面看到的图形，据此判断出对应几何体的主视图形状即可得到答案． 本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握几何体的空间结构是关键． 2.【答案】D  【解析】解：， ， ， 或， 解得：， 故选： 移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 3.【答案】C  【解析】解：如图，菱形的两条对角线长分别为10cm，8cm， ，， 在中，根据勾股定理，， 所以，周长 故选： 根据菱形的对角线互相垂直平分，两对角线的一半与边长构成直角三角形，然后利用勾股定理列式求出边长，再根据周长定义解答． 本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，作出图形更形象直观． 4.【答案】C  【解析】解：从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，列表如下：    红 黄 红 红，红 红，黄 黄 黄，红 黄，黄 共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色的小球的结果有2种，  两次摸出相同颜色的小球的概率为  故选： 列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出相同颜色的小球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：四边形ABCD是矩形， ， ， ， ， 将一个矩形纸片沿AC所在的直线折叠成如图所示的图形， ， ， ， 故选： 根据矩形的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，根据折叠的性质和平行线的性质即可得到结论． 本题考查了翻折变换折叠问题，矩形的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 6.【答案】D  【解析】解：，， ， ， ， 故选： 根据线段的和差求出，再根据平行线分线段成比例定理求解即可． 此题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：反比例函数的， 反比例函数图象分布在第一、三象限，y随x的增大而减小， 点在第三象限， ， ， ， ， 故选： 根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是关键． 8.【答案】A  【解析】解：利用矩形面积公式即可列出方程为： ， 故选： 根据题意，设宽为x步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程． 本题考查根据实际问题列一元二次方程，理解题意是关键． 9.【答案】D  【解析】解：在矩形ABCD中，，， ，，， 在直角三角形ABE中，由勾股定理得：， ， ， ， 在直角三角形CDE中，由勾股定理得：； 故选： 利用勾股定理求出BE的长，进而得到BC的长，推出AD的长，进而求出DE的长，再利用勾股定理求出CE的长即可． 本题考查矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键， 10.【答案】C  【解析】解：四边形ABCD是正方形， ，，， ， 是CE的中点， ， 在与中， ， ≌， ， ， ， ， ， 故选： 根据正方形的性质得出，进而利用直角三角形的性质得出，进而利用ASA证明与全等，利用全等三角形的性质和勾股定理解答即可． 此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出解答． 11.【答案】15  【解析】解：根据题意得：个 故答案为： 由红球与黑球的频率确定出白球的频率，用频率估计概率，用摸到白球的概率乘以60即可估算出白球数． 此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是要计算出口袋中白色球所占的比例，再计算其个数． 12.【答案】  【解析】解：设电流I与电阻R之间的函数表达式为， 由条件可得， ， ， 故答案为： 设电流I与电阻R之间的函数表达式为，利用待定系数法求解即可． 本题主要考查了反比例函数的实际应用，理解题意是关键． 13.【答案】2026  【解析】解：由题知， 因为m，n是一元二次方程的两个根， 所以，， 则 故答案为： 利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可． 本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 14.【答案】12  【解析】解：， ， ， ； 故答案为： 先求出m的值，再根据比例基本性质求出n的值． 本题考查比例的性质，解题的关键是掌握比例的基本性质． 15.【答案】  【解析】解：如图，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作于点Q， 矩形ABCD中，，， ， ， 由作图过程可知，BP平分， 四边形ABCD是矩形， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ， ， ， ， ，， ∽， ，即， 解得 故答案为： 由作图可知BP平分，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作于点Q，根据角平分线的性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出OC，再证∽，根据相似三角形对应边成比例即可求出 本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出BP平分，通过勾股定理解直角三角形求出 16.【答案】   【解析】解：， ， ， ， 则或， 所以； ， ， ， 则或， 所以 利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； 利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 17.【答案】旋转中心点M，如图1即为所求；  将绕原点O旋转，得到，如图2即为所求．   【解析】解：旋转中心点M，如图1即为所求； 将绕原点O旋转，得到，如图2即为所求． 连接对应点，则对应点连线的交点即为旋转中心； 将点A，B，C分别绕原点O旋转，得到点，，，再顺次连接即可． 本题主要考查了作图-旋转变换，解题的关键是熟练掌握画旋转图形的方法及步骤． 18.【答案】证明：， ， 点F是AC中点， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 四边形ABEF是平行四边形， ， 四边形ABEF是菱形； 解：作交CA延长线于点H，则， ， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 的长为  【解析】由直角三角形的性质得，则，又，则，从而证明，即可证明四边形ABEF是平行四边形，再由菱形的判定方法即可求证； 作交CA延长线于点H，则，通过勾股定理即可求解． 本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，等角对等边，直角三角形的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 19.【答案】，16，；   200；   【解析】解：调查的总人数为人， ，， ； 故答案为：，16，； 人， 答：估计选择“猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数为200人； 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中恰好选到一名女生和一名男生的结果有6种， 恰好选到一名女生和一名男生的概率 先用C项目的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，即可解决问题； 用500乘以样本中B项目人数所占的频率即可； 画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选到一名女生和一名男生的结果有6种，再由概率公式求解即可． 此题考查的是用树状图法求概率、表格以及用样本估计总体等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20.【答案】解：设敏敏的影长为x公分． 由题意：， 解得公分， 经检验：是分式方程的解． 敏敏的影长为100公分． 如图，连接AE，作 ， 四边形ABFE是平行四边形， 公分， 设公分，由题意BC落在地面上的影从为120公分． ， 公分， 公分， 答：高图柱的高度为330公分．  【解析】根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题． 如图，连接AE，作分别求出AB，BC的长即可解决问题． 本题考查相似三角形的应用，平行投影，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 21.【答案】解：设切去的正方形的边长为x cm，则折成的方盒的底面为长，宽为的矩形， 依题意，得： 故答案为：； 设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面为长，宽为的矩形， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，不合题意，舍去， ， 盒子的体积为 答：能折出底面积为的有盖盒子，盒子的体积为  【解析】设切去的正方形的边长为x cm，则折成的方盒的底面为长，宽为的矩形，根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此问得解； 设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面为长，宽为的矩形，根据矩形的面积公式，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22.【答案】∽；   在等腰直角三角形ABC中，，以BD为一边作正方形BDEF，如图3，连接BE， ，，， 是等腰直角三角形， ， 又， ∽， ， ， ∽， ， ；    【解析】解：和都是等腰直角三角形，， ，，， ，， ，， ， ，， ， ∽， 故答案为：∽； 证明：在等腰直角三角形ABC中，，以BD为一边作正方形BDEF，如图3，连接BE， ，，， 是等腰直角三角形， ， 又， ∽， ， ， ∽， ， ； 解：如图4，过点A作交CD的延长线于点M， ，， ， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ， 是等腰直角三角形，，， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 解得：负值舍去， ， ， ， ， ， ， ∽， ， ， 由等腰直角三角形的性质与勾股定理求得，，，从而求，，即可得出结论； 连接先证明∽，得到，从而可证明∽，得到，即可得出结论． 过点A作交CD的延长线于点由等腰直角三角形的性质与勾股定理求得，，再证明∽，得到，代入即可求解． 本题属于四边形综合题，主要考查等腰直角三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 23.【答案】   或  【解析】解：将点A的坐标为代入直线中， 得， 解得：， ， ， 反比例函数解析式为 由，得或， 点B的坐标为； 如图，作轴于点E，轴于点F， ， ∽， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：，6，，； 作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点G， 则即为的最小值， ，， ， ； 的最小值为； ①当点P在x轴上时，当，四边形ABPQ是矩形时，过点B作轴， ， ， ， ， ，， ∽， ， ， ， ， ， 点； ②当点P在y轴上时，当，四边形是矩形时，过点B作轴， ，， ∽ 点 综上所述，或 将点A的坐标为代入直线中，可求得，即可求得，解方程组，即可求出点B的坐标；作轴于点E，轴于点F，则，∽，利用相似三角形性质即可求得； 作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点G，则即为的最小值，运用勾股定理即可求得答案； ①当点P在x轴上时，当，四边形ABPQ是矩形时，过点B作轴，，②当点P在y轴上时，当，四边形是矩形时，过点B作轴，得到，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论． 本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了待定系数法，轴对称性质，最短问题，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考压轴题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $