第18章 分式 单元测试卷2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025-2026学年人教版八年级上册数学单元测试卷 第18章 分式 （满分：120分；考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分，以下每小题的四个选项中只有一个是正确的） 1．代数式，，，，，中，分式的个数为（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的代数式即为分式．需逐一判断各代数式是否符合条件． 【详解】解：：分母为常数3，不含字母，是整式，不是分式． ：分母为，含字母，是分式． ：分母为，是常数，不含变量，是整式，不是分式． ：分母为，含字母，是分式． ：分母为，含字母和，是分式． ：分母为常数2，不含字母，是整式，不是分式． 综上，分式共有3个， 故选C． 2．若将分式 中的， 都扩大10倍．则分式的值（    ） A．扩大10倍 B．不变 C．缩小10倍 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质进行化简即可得出答案． 【详解】解：由于， 都扩大10倍， ∴ ∴分式的值缩小为原来的， 故选：C． 3．若分式的值为零，则的值是（   ） A． B． C． D．或0 【答案】C 【分析】此题主要考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为0；分母不为0．这两个条件缺一不可． 根据分式值为零的条件可得且，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得：． 故选：C 4．若是一个最简分式，则可以表示的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式，先把分母因式分解，然后根据最简分式的定义进行判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 根据题意可得可以表示的式子是， 故选：C． 5．已知且，则的值为（    ） A．3 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的通分和约分，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据条件式推出，然后对目标式进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 6．某校组织九年级学生赴温州乐园开展研学活动，已知学校离温州乐园16千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了5分钟出发，自驾小车以每小时比大巴车快5千米速度的前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据大巴车比小车多用时小时列方程即可． 【详解】解：大巴车用时小时，自驾小车用时小时，大巴车比小车多用时小时，所以可列方程． 故选：A． 7．若分式方程有增根，则的值为（　　） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查解分式方程，涉及由分式方程解的情况求参数，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键． 先解分式方程，得到，再由分式方程有增根，列出方程求解即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得， 解得， 分式方程有增根， ， 即， 解得， 故选：A． 8．如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的混合运算法则分析即可得解，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故其中出现错误的同学是乙， 故选：B． 9．已知a为整数，且为正整数，则所有符合条件的a的值的和是（   ） A．0 B．12 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题首先对于分式进行化简，然后根据a为整数、分式值为正整数可求出a的值，最后将a的所有值相加即可．本题考查了分式的混合运算，正确分解因式是解题的关键． 【详解】解：原式 设（为正整数） 且， ，解得。 为整数 。 令，则且为整数， 原式 当时，，是正整数，此时，即 当时， 。 则。 此时不是正整数 唯一符合条件的整数的值是4。 所有符合条件的的值的和是4 故选：C． 10．设，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了分式化简求值，根据已知求出，代入 化简即可解答 ． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式 ． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】本题考查了分式值为零的条件和分式有意义的条件，掌握分式值为0则分子为0且分母不为0是解题的关键；根据分式值为零的条件和分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：分式的值为0， ， 解得， ， ， ， 故答案为：． 12．纳米技术是一项很先进的技术，它的应用很广泛，1纳米为10亿分之一米，即米，人体内一种细胞的形状可以近似的看成圆，它的直径为1470纳米，则它的直径为 米（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法的运用，负指数的运用，同底数幂的运算，科学记数法的表示为，确定的值的方法是：原数变为时，小数点移动的位数与的绝对值相同．当小数点向右移动时，为负数；当小数点向左移动时，为正数． 【详解】解：1 470纳米米， 故答案为：． 13．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值．根据，推得，再代入即可求解． 【详解】解：， 即， 整理得：， ， 将代入求得． 故答案为：． 14．某果农将一种有机生态水果拓宽了市场，与去年相比，今年这种水果的产量增加了，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了．已知去年这种水果的批发销售总额为10000元，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设这种水果今年每千克的平均批发价是元，则去年每千克的平均批发价为元，由题意：今年这种水果的产量增加了，列出分式方程即可． 【详解】解：设这种水果今年每千克的平均批发价是元，则去年每千克的平均批发价为元， 由题意得：， 故答案为：． 15．若关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为负数，确定出k的范围即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 整理得：， 解得：， ∵分式方程的解为负数， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 16．已知两个多项式，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的运算，分式的化简求值，利用整体代入法是解题的关键．化简，得到，然后将代入化简即可得出答案． 【详解】解： ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（共72分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程的步骤：去分母将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验，逐一进行求解即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）解：去分母，得， 解得； 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 18．（6分）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】； 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键． 先利用分式的运算进行化简，再由方程可求得，再代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴ ， ∴原式. 19．（6分）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求a，b的值． (2)当分式的值为正整数时，直接写出整数x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式有意义，分式的值为零的条件，分式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据分式的分母为0时，分式无意义，分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，求出的值，即可； （2）根据分式的值为正整数，且x为整数，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得； （2）解：由（1）可知：， ∵分式的值为正整数，且x为整数， ∴， ∴． 20．（6分）国家卫生健康委宣布将实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某体育商城用2400元购入一批智能跳绳，因销量火爆供不应求，商城又追加投资6400元购入第二批同款跳绳．已知第二批的购入数量是第一批数量的2倍，且第二批购入的单价比第一批贵10元．问第一批智能跳绳的单价是多少元？ 【答案】30元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意、正确列出分式方程是解答本题的关键． 设第一批跳绳进货单价x元，则第二批进价为元，再根据等量关系“第二批跳绳的数量是第一批的2倍”列分式方程求解即可． 【详解】解：设第一批跳绳进货单价x元，则第二批进价为元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：第一批跳绳进货单价30元． 21．（8分）【阅读材料】我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： (1)假分式可化为带分式形式　　　；假分式可化为带分式形式　　　； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值？ 【答案】(1)， (2)或或或或 【分析】本题主要考查了分式的加法运算，约分，因式分解，解题的关键是正确理解新定义． （1）根据新定义将变形为即可求解；根据新定义将变形为，然后再因式分解求解； （2）将变形为，再约分、分离常数得到，然后讨论为的因数求解即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：， ∵为整数，且分式的值为整数， ∴为整数， ∴或或 ∴或或或或或（舍，此时分母为0）， ∴满足条件的整数x的值为或或或或． 22．（8分）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【答案】(1)80 (2)190 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程． （1）设大巴车的速度为千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程求解； （2）设参加本次活动的学生人数是y人，根据门票费用的等量关系列出方程求解． 【详解】（1）设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时． 根据题意，可列方程：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：大巴车的速度是80千米/小时． （2）设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人， 根据题意，可列方程：， 解得． 答：参加本次活动的学生人数是190人． 23．（10分）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． (1)下列3组分式： ①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有___________（只填序号）； (2)若正实数互为倒数，求证与属于“友好分式组”； 【答案】(1)②③ (2)见解析 【分析】此题考查了分式的加减运算，求解分式的值，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键． （1）根据给出的“友好分式组”定义把每一组的分式相减看结果来判断； （2）根据a，b互为倒数，得，把代入 计算出结果即可． 【详解】（1）解：① ② ； ③ 则 ∴属于“友好分式组”的有②③． 故答案为：②③； （2）∵a，b互为倒数， ∴，， ∴ ∴与属于“友好分式组”． 24．（10分）某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，相关信息如下表： 单枪充电桩 花费：50000元 单价：x元/个 双枪充电桩 花费：45000元 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】(1)单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个 (2)小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个列出分式方程求解即可； （2）先分别求出两种充电桩调价后的单价，设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元，再根据此次加购小区预备支出不超过25000元列出不等式求解并取最小整数解即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可列方程， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， （元/个）． 答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个． （2）解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元． ∵此次加购小区预备支出不超过25000元， ，解得， 的最小值为8， ∴小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个． 25．（12分）根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1：7与1：9． 素材二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：m元/根，长管子售价：2m元/根 2．6月起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得! 素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求m的值． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案． 【答案】任务一：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根；任务二：；任务三：方案①购买258根长管子，2130根短管子；方案②购买267根长管子，2115根短管子 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、分式方程和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程或不等式． 任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根，根据用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，列出方程组，解方程组即可； 任务二：根据题意列出关于m的方程，解方程即可； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子，根据总费用1280元列出方程，得出，根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，列出不等式组，求出，根据a必须能被3整除，得出，261，264，267，四种情况分别检验，从而得出购买方案． 【详解】解：任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根， 由题意得： 解得：， 则，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根； 任务二：5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根， ， 解得：， 经检验是原方程的根； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子， 由题意得：， 解得：， 根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根可得： 解得：， 必须能被3整除， ，261，264，267， 设可制作甲模型X个，乙模型Y个， 当时，， 此时， 解得：，； 费用为：（元）， 符合题意； 当时，， 此时， 解得：，； 由于甲、乙模型只能取整数，则有材料剩余，不符合题意，舍去； 当时，， 此时， 解得：，； 由于甲、乙模型只能取整数，则有材料剩余，不符合题意，舍去； 当时，， 此时， 解得：，； 费用为：（元）， 符合题意； 综上所述，有以下两种采购方案： 方案①：采购长管258根，短管2130根； 方案②：采购长管267根，短管2115根． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版八年级上册数学单元测试卷 第18章 分式 （满分：120分；考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分，以下每小题的四个选项中只有一个是正确的） 1．代数式，，，，，中，分式的个数为（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．若将分式 中的， 都扩大10倍．则分式的值（    ） A．扩大10倍 B．不变 C．缩小10倍 D．无法确定 3．若分式的值为零，则的值是（   ） A． B． C． D．或0 4．若是一个最简分式，则可以表示的式子是（   ） A． B． C． D． 5．已知且，则的值为（    ） A．3 B．1 C．2 D． 6．某校组织九年级学生赴温州乐园开展研学活动，已知学校离温州乐园16千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了5分钟出发，自驾小车以每小时比大巴车快5千米速度的前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 7．若分式方程有增根，则的值为（　　） A．4 B．2 C．1 D．0 8．如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．已知a为整数，且为正整数，则所有符合条件的a的值的和是（   ） A．0 B．12 C．4 D．8 10．设，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．当 时，分式的值为0． 12．纳米技术是一项很先进的技术，它的应用很广泛，1纳米为10亿分之一米，即米，人体内一种细胞的形状可以近似的看成圆，它的直径为1470纳米，则它的直径为 米（用科学记数法表示） 13．已知，则的值为 ． 14．某果农将一种有机生态水果拓宽了市场，与去年相比，今年这种水果的产量增加了，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了．已知去年这种水果的批发销售总额为10000元，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则可列方程为 ． 15．若关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ． 16．已知两个多项式，若，则的值为 ． 三、解答题（共72分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）解方程： (1)； (2)． 18．（6分）先化简，再求值：，其中满足． 19．（6分）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求a，b的值． (2)当分式的值为正整数时，直接写出整数x的值． 20．（6分）国家卫生健康委宣布将实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某体育商城用2400元购入一批智能跳绳，因销量火爆供不应求，商城又追加投资6400元购入第二批同款跳绳．已知第二批的购入数量是第一批数量的2倍，且第二批购入的单价比第一批贵10元．问第一批智能跳绳的单价是多少元？ 21．（8分）【阅读材料】我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： (1)假分式可化为带分式形式　　　；假分式可化为带分式形式　　　； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值？ 22．（8分）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 23．（10分）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． (1)下列3组分式： ①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有___________（只填序号）； (2)若正实数互为倒数，求证与属于“友好分式组”； 24．（10分）某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，相关信息如下表： 单枪充电桩 花费：50000元 单价：x元/个 双枪充电桩 花费：45000元 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 25．（12分）根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1：7与1：9． 素材二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：m元/根，长管子售价：2m元/根 2．6月起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得! 素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求m的值． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $