第17章 因式分解 单元测试卷2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025-2026学年人教版八年级上册数学单元测试卷 第17章 因式分解 （满分：120分；考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分，以下每小题的四个选项中只有一个是正确的） 1．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解．根据因式分解的方法逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．整式可以写成（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 根据完全平方公式的特征进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 3．把多项式因式分解时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，公因式应该是，解答即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故选：D． 4．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解以及有理数的乘方运算，熟练掌握提取公因式法因式分解和乘方的符号法则是解题的关键． 先将转化为，再提取公因式进行因式分解，计算即可得解． 【详解】解： ， 故选：A． 5．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用． 利用平方差公式分解，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， 则 ∴ ， 故选：A． 6．若分解因式有一个因式是，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式的结构特征并能灵活运用是解题的关键． 先利用平方差公式对进行因式分解，然后根据已知条件找出另一个因式，解题思路是先对式子进行变形分解，再结合已知因式确定另一个因式． 【详解】解： 因为有一个因式是， 所以另一个因式是， 故选：D． 7．若多项式可用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（    ）． A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式可得，则可得，比较等式两边各项的系数即可得． 【详解】解：∵多项式可用完全平方公式进行因式分解， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8．无论为任意实数，代数式的值（　　） A．可能为负数 B．总不小于10 C．可为任意实数 D．总不小于5 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用以及完全平方公式的非负性，解题的关键是通过因式分解将其变形为完全平方式的和，再结合完全平方的非负性来分析． 【详解】解： ， ，， ． 故选：D． 9．下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（    ） 分解因式：． 解：原式 = A．①填 B．②填 C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故①填，②填，同时用到了提公因式法和公式法， 故选：B． 10．一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式（其中p，q，均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式解 （说明：a，b均为不等于零的常数） 有学生探究得到以下四个结论：①当时，则；②当时，则；③时，则；④当时，，以上结论中正确的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题通过两个二次多项式的因式分解，建立参数之间的关系，进而验证四个结论的正确性，需结合代数运算、方程求解及配方法的应用进行分析 【详解】解：∵因式分解为 ∴， 第二个多项式： ， ∴， ①当时，代入得，此时，，则，正确； ②当时，由和，解得，正确； ③当时，，得，正确； ④当时，设，则，，得，错误； 故选：A 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了用公式法进行因式分解，一个多项式有公因式时首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．利用平方差公式：，进行两次分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．已知a、b、c是的三边的长，且满足，则此三角形的形状为 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查因式分解的应用及三角形形状的判定，解题的关键是将已知等式通过配方转化为完全平方式的和，利用非负数的性质得出三边关系． 将已知等式进行整理，通过配方转化为两个完全平方式的和，根据非负数的性质得出三边相等，从而判定三角形形状． 【详解】解：整理，得， ， 即， ， 为等边三角形， 故答案为：等边三角形． 13．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，将多项式进行因式分解，整体代入法求值即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14．若多项式加上一个单项式后可以分解因式．那么加上的单项式可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题是一道开放性题，考查因式分解，熟悉因式分解法是解题的关键． 【详解】∵， ∴加上的单项式可以是（答案不唯一）． 15．如图，长方体的高为x，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，单项式乘以多项式，正确进行因式分解是解题的关键． 分别对进行因式分解，确定长方体的长、宽、高，再由长方形面积公式求解即可． 【详解】解：由，， ∴长方体的宽为，高为，长为， 故， 故答案为：． 16．若，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查因式分解的应用，把变形为，再整体代入计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：12． 17．若x、y满足的，则m的最小值 ． 【答案】66 【分析】依据题意得，，结合，，从而可得，进而可以判断得解． 本题主要考查了完全平方公式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用完全平方公式是关键． 【详解】解：由题意得， ，， 的最小值为66； 故答案为：66． 18．若x，y是大于3的质数，但能使得x2+5xy+4y2为完全平方数，这样的质数对（x，y）是 ． 【答案】（5，11）或（7，5） 【分析】可设x2+5xy+4y2＝k2，k是正整数，得到（k+x+2y）（k﹣x﹣2y）＝xy，进一步得到 ，依此得到（x﹣4）（y﹣2）＝9，进一步得到 ，，，依此即可求解． 【详解】解：∵x2+5xy+4y2为完全平方数， ∴设x2+5xy+4y2＝k2，k是正整数， ∴（x+2y）2+xy＝k2， ∴（k+x+2y）（k﹣x﹣2y）＝xy， ∵x，y是大于3的质数， ∴k+x+2y＞k﹣x﹣2y，且k+x+2y＞x， ∴， ①﹣②得2x+4y＝xy﹣1， 即xy﹣2x﹣4y﹣1＝0， ∴x（y﹣2）﹣4（y﹣2）﹣8﹣1＝0， 即（x﹣4）（y﹣2）＝9， ∵x，y是大于3的质数， ∴ ，，， 解得 ，，（舍去）． 故这样的质数对（x，y）是（5，11）或（7，5）． 故答案为：（5，11）或（7，5）． 【点睛】本题主要考查质数与合数，完全平方数，把已知代数式写成完全平方数的形式是关键． 三、解答题（共66分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（12分）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是根据多项式的特点，选择合适的因式分解方法，如提取公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）等． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解； （2）利用平方差公式分解后，再利用完全平方公式继续分解； （3）先将式子变形，再提取公因式进行因式分解； （4）把看作一个整体，利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 20．（6分）先分解因式，再求值： (1)，其中，，． (2)，其中． 【答案】(1)，-3 (2)，35 【分析】本题考查提取公因式法、公式法分解因式．根据式子特点选择合适的方法是解题关键． （1）（2）先提取公因式，再求解． 【详解】（1）解：原式． 当，，时， 原式． （2）解：原式 ． 当时，原式． 21．（6分）阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式． 请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）仿照题意得到，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先把原式提取公因数2，再仿照题意得到，最后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．（8分）如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图）．    (1)图中的阴影部分的面积为 ； (2)观察图请你写出、、之间的等量关系是 ； (3)根据（）中的结论，若，，则 ； (4)实际上通过计算图形的面积可以对整式进行因式分解．如图，因式分解： ． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了完全平方公式和因式分解，解题的关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变式． （）根据阴影部分为一个正方形，其边长为，即可求出面积； （）利用完全平方公式、、之间的等量关系即可； （）由（）得，将，代入即可求出所求式子的值； （）可利用长方形面积的两种表示法列出等式即可． 【详解】（1）解：图中阴影部分边长为，面积为， 故答案为：； （2）解：图中阴影部分面积为， 故答案为：； （3）解：由（）得， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （4）解：由图可知，， 故答案为：． 23．（10分）在对某二次三项式进行因式分解，小明同学看错了二次项系数而将其分解为，小敏同学因看错了一次项系数而将其分解为，求这个多项式，并将此多项式进行正确的因式分解． 【答案】， 【分析】本题考查整式乘法和因式分解，掌握相关的法则是解题的关键． 利用整式乘法确定多项式，再利提公因式法和完全平方公式分解即可． 【详解】∵，小明同学看错了二次项系数， ∴该二次三项式的一次项是，常数项是； ∵，小敏同学因看错了一次项系数， ∴该二次三项式的二次项是， ∴该二次三项式是， ． 24．（12分）教科书中这样写道∶"形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式"，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形∶先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如∶分解因式∶． 解∶原式； 再如∶求代数式的最小值． 解∶； ∵，∴原式，即当时，原式有最小值． 学以致用∶ (1)用配方法分解因式∶；(其他方法不得分) (2)用配方法求多项式的最大值？并求出此时x的值． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最大值13 (3)5 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握配方法，是解题的关键： （1）仿照题干所给的方法，进行因式分解即可； （2）配方法求最值即可； （3）配方法结合非负性求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：； （2）由题意，∵， ∴当时，多项式有最大值13； （3）， ， ， ， ， ∴． 25．（12分）如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，并把数分解成的过程，称为“合分解”． 例如，和的十位数字相同，个位数字之和为， 是“合和数”． 又如，和的十位数字相同，但个位数字之和不等于， 不是“合和数”． (1)判断，是否是“合和数”？并说明理由； (2)把一个四位“合和数”进行“合分解”，即．的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为；的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的差的绝对值记为．令，当能被整除时，求出所有满足条件的． 【答案】(1)不是“合和数”，是“合和数”，理由见解析 (2)满足条件的有：，，， 【分析】本题考查的是新定义题，主要考查了列代数式，以及数的分解，正确地读懂题目信息是前提，解题的关键是用字母，表示出，． （1）根据“合和数”的定义直接判定即可； （2）设的十位数字为，个位数字为，则，，得出，，当能被整除时，设值为，对或进行讨论． 【详解】（1）解：， 和十位数字相同，但个位数字， 不是“合和数”． ，和十位数字相同，且个位数字， 是“合和数”． （2）解：设的十位数字为，个位数字为， 的个位数字不为，且是一个四位“和合数”， ，， 则，， ，． （是整数）． ， ， 是整数， 或， 当时， 或， 当时，或，当时，或， 或， 当时， 或， 当时，或，当时，或， 或． 综上，满足条件的有：，，，． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版八年级上册数学单元测试卷 第17章 因式分解 （满分：120分；考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分，以下每小题的四个选项中只有一个是正确的） 1．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 2．整式可以写成（   ） A． B． C． D． 3．把多项式因式分解时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 5．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．若分解因式有一个因式是，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 7．若多项式可用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（    ）． A．4 B． C．2 D． 8．无论为任意实数，代数式的值（　　） A．可能为负数 B．总不小于10 C．可为任意实数 D．总不小于5 9．下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（    ） 分解因式：． 解：原式 = A．①填 B．②填 C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法 10．一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式（其中p，q，均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式解 （说明：a，b均为不等于零的常数） 有学生探究得到以下四个结论：①当时，则；②当时，则；③时，则；④当时，，以上结论中正确的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．因式分解： ． 12．已知a、b、c是的三边的长，且满足，则此三角形的形状为 ． 13．若，，则的值为 ． 14．若多项式加上一个单项式后可以分解因式．那么加上的单项式可以是 ．（写出一个即可） 15．如图，长方体的高为x，，则 ． 16．若，则 ． 17．若x、y满足的，则m的最小值 ． 18．若x，y是大于3的质数，但能使得x2+5xy+4y2为完全平方数，这样的质数对（x，y）是 ． 三、解答题（共66分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（12分）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（6分）先分解因式，再求值： (1)，其中，，． (2)，其中． 21．（6分）阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式． 请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 22．（8分）如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图）．    (1)图中的阴影部分的面积为 ； (2)观察图请你写出、、之间的等量关系是 ； (3)根据（）中的结论，若，，则 ； (4)实际上通过计算图形的面积可以对整式进行因式分解．如图，因式分解： ． 23．（10分）在对某二次三项式进行因式分解，小明同学看错了二次项系数而将其分解为，小敏同学因看错了一次项系数而将其分解为，求这个多项式，并将此多项式进行正确的因式分解． 24．（12分）教科书中这样写道∶"形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式"，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形∶先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如∶分解因式∶． 解∶原式； 再如∶求代数式的最小值． 解∶； ∵，∴原式，即当时，原式有最小值． 学以致用∶ (1)用配方法分解因式∶；(其他方法不得分) (2)用配方法求多项式的最大值？并求出此时x的值． (3)若，求的值． 25．（12分）如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，并把数分解成的过程，称为“合分解”． 例如，和的十位数字相同，个位数字之和为， 是“合和数”． 又如，和的十位数字相同，但个位数字之和不等于， 不是“合和数”． (1)判断，是否是“合和数”？并说明理由； (2)把一个四位“合和数”进行“合分解”，即．的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为；的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的差的绝对值记为．令，当能被整除时，求出所有满足条件的． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $