专题08因式分解知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题08因式分解知题通关讲义 1 知识梳理 因式分解：把多项式化成几个整式的积的形式 核心 概念 分解原则：一提二套三查，分解到不能再分解为止 公因式找法：取各项系数的最大公约数，取相同字母的最低次幂 提公因式法 符号处理：首项为负时，整体提取负号，括号内各项全部变号 易错点：提公因式后，剩余项为1时不要漏写 因式分 平方差公式：a2-2=(a+b)(a-) 基本方法 完全平方公式：a2±2ab+b2=(a士b)2 公式法 易错点：完全平方公式的中间项系数别漏写，平方差公式要分清同号项 和异号项 第三步：检查分解是否彻底，结果是否为最简整式积的形式 第一步：先提公因式（含负号先处理符号） 综合步骤 第二步：再套公式（平方差/完全平方） 知识点01：因式分解基础概念 1.定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因 式分解，也叫分解因式。 2.因式分解与整式乘法的关系（互逆变形） 整式乘法：几个整式相乘→多项式（积化和差） 因式分解：多项式→几个整式相乘（和差化积） 示例： 整式乘法：(x+2)(x-3)=x2-x-6 因式分解：x2-x-6=(x+2(x-3) 3.分解要求（必记四点，阅卷扣分点） 试卷第1页（共3页） (1)结果必须是乘积形式，不能还有加减： (2)每个因式必须是整式，不能出现分式： (3)分解要彻底：分解到每一个因式都不能再分解为止： (4)相同因式要写成幂的形式，如(x-1)(x-1)=(x-1?。 知识点02：提公因式法（最基础，优洗使用） 1.公因式定义 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式 2.公因式三步确定法 查找维度 规则 示例 系数 取各项系数的最大公约数6x2-9x,系数6、9，最大公约数为3 字母 选取所有项共有的字母 ab+ab2,公共字母为ab 指数 公共字母取最低次幂 x4、x2,取x 3.提公因式步骤 找出多项式各项公因式： 用多项式每一项除以公因式，得到另一个因式： 写成“公因式×剩余多项式”的形式。 4.特殊符号处理 首项为负：提取负号，括号内各项全部变号 例：-2x2+4x=-2xx-2) 互为相反数的多项式：(a-b)=-(ba) 例：xa-b)ty(b-a)=(a-b(xy) 试卷第2页（共3页） 5.公式模板 ma+mb+mc=m(a+b+c) 知识点03：公式法 公式类型适用形式 分解公式 结构特征 平方差公 二项式 a2-b2=(a+b)(a-b) 两项、一正一负、两项均为完全平方式 式 完全平方 首尾项为正的平方项，中间项为两底数乘 三项式 a2+2ab+b2=(a+b)2 和 积的2倍 完全平方 首尾项为正的平方项，中间项为负的两底 三项式 a2-2ab+b2-(a-b)2 差 数乘积的2倍 补充说明：a、b可以是数字、单项式、多项式。 知识点04：因式分解通用四步骤 步骤 操作要求 提 优先提取公因式（含负号），解题第一步必做 二套 两项套平方差公式，三项套完全平方公式 三查 检查每个因式能否继续分解 四整理化简符号， 规范书写结果 知识点05拓展：分组分解法（四项及以上多项式） 1.适用场景：四项式，无整体公因式，分组后能提公因式/套公式 类型1：分组提公因式 ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(x+y)(a+b) 试卷第3页（共3页） 类型2：分组套平方差 x2-y2+x+y\) =(x+y)(x-y)+(x+y) =(x+yx-y+1) 2 高频易错点 1. 颠倒因式分解与整式乘法的变形方向 提醒：因式分解是将多项式化为几个整式积的形式：整式乘法是将整式 的积化为多项式，二者互为逆变形，不可混淆方向。 2. 因式分解未分解至有理数范围内不能再分解 提醒：分解后若多项式还可以继续分解，必须继续分解，不能中途停 止。 3. 提取公因式时未提取完整公因式 提醒：公因式为系数的最大公因数与相同字母最低次幂的乘积，不可只 提取部分公因式。 4. 提取公因式后漏写余下的常数1 提醒：某一项被公因式全部提出后，剩余因式为1，不能省略，避免出现 缺项。 5. 提取负公因式时括号内各项变号不全 提醒：提取带负号的公因式，括号内每一项都要变号，不可仅改变首项 符号。 6. 不满足结构特征强行套用平方差公式 试卷第4页（共3页） 提醒：平方差公式a-b-(a+b)a-b),要求两项均为平方且符号相反，不符 合结构不能套用。 7. 套用完全平方公式时缺失中间项或符号出错 提醒：完全平方公式a±2ab+b-(ab),必须包含首平方、尾平方、乘积 2倍的中间项，不可漏写或写错符号。 8. 识别公式中的a、b时忽略整体代换 提醒：公式中的、b可以是多项式，不能误认为只能是单个字母或数 字。 9. 未合并同类项就直接进行分解 提醒：原式中有同类项应先合并，再观察结构选择方法，不可直接套用 公式。 10. 分解结果的括号内仍留有可合并的同类项 提醒：因式分解完成后，括号内若存在同类项，应当合并，保证结果最 简。 11.因式分解结果出现分式或负指数 提醒：因式分解要求所有因式均为整式，不允许分母含有字母、出现负 指数。 12.分组分解时分组不合理导致无法继续分解 提醒：分组的原则是分组后可以提公因式或运用公式，不可随意分组 3 题型通关 题型 考察方向 难度 试卷第5页（共3页） ★ 题型一 判断是否是因式分解 ★★ 题型二 已知因式分解的结果求参数 题型三 公因式 题型四 提公因式法分解因式 ★ 题型五 判断能否用公式法分解因式 ★★ 题型六 平方差公式分解因式 ★ 题型七 完全平方公式分解因式 ★★ 题型八 综合运用公式法分解因 ★★★ 题型九 综合提公因式和公式法分解因式 ★★★ 题型十 因式分解在有理数简算中的应用 ★★★ 题型十一 十字相乘法 ★★★ 题型十二 分组分解法 ★★★★ 题型十三 因式分解的应用 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档：★★★提升；★★★★压轴 4 分题型精讲 题型一：判断是否是因式分解 1.下列各式由左边到右边的变形，是因式分解的是() A.2r+2y=2x(x+) B.(x+100x-2)=(x-20x+1) 试卷第6页（共3页） C.x2-x-2=x(x-）-2 D.+1=+1+ 2.下列等式从左到右的变形，是因式分解的是() A.(2x+y2x-y)=4xr2-y2 B.x-4x+4=(x-2} C.x+4x+5=(x+2}2+1 D.10gy2=2x.5y2 3.下列式子中，从左到右的变形为多项式因式分解的是() A.r-2=(x+V2x-V2) B.(x+V2x-V2)=x2-2 C.x-4=(WE+4-4) D.(NF+2VG-2)=x-4 题型二：已知因式分解的结果求参数 4.若多顶式+m-8因式分解的结果为K+4x-2）,则带数m的值为 5.已知多项式2x2+bx+c分解因式为2(x-3x+),则b、c的值为() A.b=3,c=1B.b=6,c=2 C.b=-6,c=-4 D.b=-4 ，c=-6 6。已知关于*的二次三项武2-m+m可分解为x+2x-3),则3训-川的值为一 7.已知多顶式+816可以分解为a0+962a+3630-2四，则的值是() A.16a4 B.-16a C.4a2 D.-4a2 题型三：公因式 8.把多项式a+3ab分解因式时，应提取的公因式是 9.多项式m2-2m与多项式m2-4m+4的公因式是() A.m+2 B.m-2 c.(m-2)(m+2) D. 试卷第7页（共3页） (m-22 10.多项式2x2-12xy+8y的公因式是 1.将6ab0-+8ab(x-小因式分解，应提取的公因式是（) 2ab(x-y) B 48ab(x-y)月 c.48ab(x-y)月 D.2ab(x-y) 题型四：提公因式法分解因式 12.因式分解： a(x-1)-(x-1)= 13.下列四个多项式中，能因式分解的是() A.x-1 B.x2+1 C.x-y D.x2-4x 14.已知x+y=5,=6,则(+x-川(x+ヅ的值为一 15.计算1-a-a0-a)-a-a-a-a--a-am-[【0-a-]的结果为 () B.1 C.0-a)205 D.0-a)205+3 题型五：判断能否用公式法分解因式 16.下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是() A.-x2-y2 B.-r2+y2 C.x2+2 D.x-y 17.若多项式9a2+b2+A可以用平方差公式进行因式分解，则A表示的单项式可以是 () A.2bc B.-2ab C.-5b2 D.3b3 18.下列变形中正确的是() 试卷第8页（共3页） A.(x+-x-)=x2-y B.x-4x-4=(K-2y c.t-25=(6x2+50x2-5) D.（-2x+3y2=4x2+12y+9y2 题型六：平方差公式分解因式 x2-y2= 19.因式分解： 20.若a-b=-1,则a2-b2+2b的值为() A.-1 B.1 C.2 D.3 21.已知a-b+c=5月a2-(6-cy2=2 ,且 ,则a+6-C的值为 22.下列因式分解正确的是() A.-4m+12m2=-m2(4m-12) B.x-1=(r+(x2- C.x2+2x+4=(x+2)2 D.(d2+b2）'-4a2B2=(a+b}(a-b) 题型七：完全平方公式分解因式 23.分解因式：m2+6m+9= 24.下列因式分解正确的是() A.1-4x2=(1+4x01-x) B.x2+16=(x+4}2 C.a'-a-a(a-1) D.a+2a+4=(a+2} 25.下列多项式：①l60-1,②(a+l-4如(a++40,③4d-1+4a.分解因式后结 果含有相同因式的是一 26.多项式4x2+1加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式 可以是①-2，②±4x,③-3x2,④4x中的() 试卷第9页（共3页） A.② B.①③ C.②④ D ①②③④ 题型八：综合运用公式法分解因式 27.在实数范围内分解因式：x2-4x-2= 28.下列各式用公式法分解因式正确的是() A.4-9=(2x+32x-3) B.4mm-4m2-n2=-(2m-m c.r-2z-2=(c-z} D.9a+6ma+4m2=(3a+2m 29.将a-2a2+1分解因式，所得结果正确的是() a2(a2-2)+1 B.(a-2a2+ c.(a-1 D.a-y(a+1)2 题型九：综合提公因式和公式法分解因式 30.分解因式4x2-16的正确结果是() A.(2x-42 B.4x-22 c.46x+2x-2）D.4(x+40x-4) 31.可以把代数式2a2-12ax+18a分解因式为： 32.下列各式：04y-c=-2w+c2w-d,@(-t0--(x-y,® -2x4=-,+片f写式m的1) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 试卷第10页（共3页） 题型十：因式分解在有理数简算中的应用 33.利用因式分解计算533×534-5332等于() A.1 B.-533 C.533 D.534 34.(-2+(-2() A.-220m B.-22026 C.22025 D.-2 35.设M=20222-2021×2023,N=20222-4044×2023+20232,则M与N的关系是 () A.M>N B.M=N C.M<N D M=±N 题型十一：十字相乘法 36.分解因式：x2+5x+6= 37.对多项式x2-x-12因式分解正确的是（) A.t-x-12=(x+10x-12) B.r-x-12=(x+20x-6) C.r-x-12=(x+300x-4) D.r-x-12=(x-3)(x+4) 38。甲、乙两个同学分解因式+咖+”时，甲把m看错分解结果为红+3川x-4) 乙把” 看错分解结果为任+x+),那么多项式r+m+”分解的正确结果是() Ax+20x-6)B.x+60x-2) c,(x+4(x-3) D (x-1)(x+5) 题型十二：分组分解法 试卷第11页（共3页） 39.因式分解x4+4= 40.应用分组分解法分解因式时，对于a2-2b+b2-c2的分组中正确的是() A.(a-c）+(-2ab+6) B.(a-2ab+b）-c2 c.a+(-2ab+b2-c2) D.(a+b)+(-2ab-c2） 41.对于两个实数a、b,规定a★b=2a+b,如l★3=2×1+3=5， 2★(-列=2x2+(-)=-1.将式子（2x-2列大-到分解因武可得 题型十三：因式分解的应用 42.已知边长为a、b的长方形的周长为18，面积为20，则ab+ab的值为() A.360 B.180 C.35 D.84 43.如图，有两张①型正方形卡片和一张②型长方形卡片，请用它们拼一个大长方形，再 据此写出一个多项式的因式分解一· ① ② 44.如图所示的大矩形，由2个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形和3个宽为a, 长为b的长方形拼接而成.利用该图形的面积关系，可以验证的因式分解是() a a b 6 A 2a2+4ab=2a(a+2b) B.2d+3ab+b2=a(2a+b) a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b) D 2a2+3ab+b2=(a+b)(2a+b) 试卷第12页（共3页） 解答题 1.把下列各式因式分解： 03a2-362 2严-9%x+y (3)Gx+y+2)-(x-y-2) ④x+y-14x+y+49 650262-0.01 (⑥y-22+y a+4}2-16a 1 (9)2x2+2x+1 2 (a0)6x+1x+2)+} 2.利用因式分解计算： (①10P+492+101x98 (②802-1600×798+7982 6)2025+20252-2025×2026 (4)56.2×2026-462×202.6 3.仔细阅读下面例题.解答问题： 例愿：已知二次三项式，子-4x+m分解因式后有一个因式是任+3 ,求另一个因式以及 m的值. 试卷第13页（共3页） 解：方法一：设另一个因武为x+）,有-4+m=(x+3x+川.则 ∫n+3=-4「n=-7 x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n,.3n=m,解得m=-21,另-个因式为(x-7), m的值为-21. 方法=：设-4红+m=(x+3)k40且为关于的-次式)，当=3时，左边 =9+12+m .=09+12+m=0 m=-21x2-4x-21 ,右边， ,解得 ，将 分解因式，得另一 个因式为x-7) 仿照以上方法一或方法二解答：已知二次三项式8x2-14x-a分解因式后有一个因式是 (2x-3).求另一个因式以及“的值. 4.【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形.如何把二次三现式+r+©(a≠0)）分解因式 呢？我们已经知道： (ax+G)(a,r+e)=a4r2+a%x+a,9x+c9=aar+(a6,+a,4)r+c6.反过来，就得 到：aa+(a5+aG)x+c9=(ax+G(a,r+6,） 我们发现，二次三项式 a+x+ca+0)的二次项的系数“分解成44，带数项分解成 e9,并且把 ,4，G,如图1所示摆放，按对角线交又相栗再相加，就得到46+a5,如 果46+o4的值正好等于+r+C的一次项系数力，那么r+r+C就可以分解为 试卷第14页（共3页) (ax+G)a,x+6）,其中4,9位于图的上一行，，9位于下一行。 ☒1 图2 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做 “十字相乘法”，例如，将式子x2-x-6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1 分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项一6也分解为两个因数的积，即 6=2×(-3) 然后把11,2，-3按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到 1×(-3)+1×2=-1 恰好等于一次项的系数一1，于是-x-6就可以分解为 x+2)(x-3) (1)请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：x之+x-6=一： 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面式子分解因式： (2)(a+2aj°-2(a2+2a-3 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道： (ax+h)(a,y+b,)=a4y+ah,x+a,hy+h.反过来，就得到： aaxy+abx+aby+bb =(ax+b)(azy+b) (3)请你仔细体会上述方法并尝试对下面的式子进行分解因式： 02+3y+2x+3= ②若a、b均为整数，且a、b满足3ab+4b-3a=11,则a+b= 试卷第15页（共3页） 专题08因式分解知题通关讲义 知识点01：因式分解基础概念 1. 定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式。 2. 因式分解与整式乘法的关系（互逆变形） 整式乘法：几个整式相乘 → 多项式（积化和差） 因式分解：多项式 → 几个整式相乘（和差化积） 示例： 整式乘法： 因式分解： 3. 分解要求（必记四点，阅卷扣分点） （1）结果必须是乘积形式，不能还有加减； （2）每个因式必须是整式，不能出现分式； （3）分解要彻底：分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）相同因式要写成幂的形式，如。 知识点02：提公因式法（最基础，优先使用） 1. 公因式定义 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式 2. 公因式三步确定法 3. 提公因式步骤 找出多项式各项公因式； 用多项式每一项除以公因式，得到另一个因式； 写成 “公因式 × 剩余多项式” 的形式。 4. 特殊符号处理 首项为负：提取负号，括号内各项全部变号 例：-2x2+4x=-2x(x-2) 互为相反数的多项式：(a-b)=-(b-a) 例：x(a-b)+y(b-a)=(a-b)(x-y) 5. 公式模板 ma+mb+mc=m(a+b+c) 知识点03：公式法 补充说明：a、b可以是数字、单项式、多项式。 知识点04:因式分解通用四步骤 知识点 05 拓展：分组分解法（四项及以上多项式） 1. 适用场景：四项式，无整体公因式，分组后能提公因式 / 套公式 类型 1：分组提公因式 ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(x+y)(a+b) 类型 2：分组套平方差 x2-y2+x+y\) =(x+y)(x-y)+(x+y) =(x+y)(x-y+1) 1. 颠倒因式分解与整式乘法的变形方向 提醒：因式分解是将多项式化为几个整式积的形式；整式乘法是将整式的积化为多项式，二者互为逆变形，不可混淆方向。 2. 因式分解未分解至有理数范围内不能再分解 提醒：分解后若多项式还可以继续分解，必须继续分解，不能中途停止。 3. 提取公因式时未提取完整公因式 提醒：公因式为系数的最大公因数与相同字母最低次幂的乘积，不可只提取部分公因式。 4. 提取公因式后漏写余下的常数1 提醒：某一项被公因式全部提出后，剩余因式为1，不能省略，避免出现缺项。 5. 提取负公因式时括号内各项变号不全 提醒：提取带负号的公因式，括号内每一项都要变号，不可仅改变首项符号。 6. 不满足结构特征强行套用平方差公式 提醒：平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，要求两项均为平方且符号相反，不符合结构不能套用。 7. 套用完全平方公式时缺失中间项或符号出错 提醒：完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2，必须包含首平方、尾平方、乘积2倍的中间项，不可漏写或写错符号。 8. 识别公式中的a、b时忽略整体代换 提醒：公式中的a、b可以是多项式，不能误认为只能是单个字母或数字。 9. 未合并同类项就直接进行分解 提醒：原式中有同类项应先合并，再观察结构选择方法，不可直接套用公式。 10. 分解结果的括号内仍留有可合并的同类项 提醒：因式分解完成后，括号内若存在同类项，应当合并，保证结果最简。 11. 因式分解结果出现分式或负指数 提醒：因式分解要求所有因式均为整式，不允许分母含有字母、出现负指数。 12. 分组分解时分组不合理导致无法继续分解 提醒：分组的原则是分组后可以提公因式或运用公式，不可随意分组 题型 考察方向 难度 题型一 判断是否是因式分解 ★ 题型二 已知因式分解的结果求参数 ★★ 题型三 公因式 ★ 题型四 提公因式法分解因式 ★★ 题型五 判断能否用公式法分解因式 ★★ 题型六 平方差公式分解因式 ★★ 题型七 完全平方公式分解因式 ★★ 题型八 综合运用公式法分解因 ★★ 题型九 综合提公因式和公式法分解因式 ★★★ 题型十 因式分解在有理数简算中的应用 ★★★ 题型十一 十字相乘法 ★★★ 题型十二 分组分解法 ★★★ 题型十三 因式分解的应用 ★★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一：判断是否是因式分解 1．下列各式由左边到右边的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A选项，的变形属于因式分解． B选项，的左边已是整式乘积形式，不属于因式分解． C选项，的右边不是乘积形式，不属于因式分解． D选项，的右边含分式，不是整式乘积，不属于因式分解． 2．下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（    ） A． B．． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A. ，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B. ，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意； C. ，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D. ，等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 3．下列式子中，从左到右的变形为多项式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据因式分解的定义，从表现形式，恒等性两个方面去判断即可. 【详解】∵是多项式， 且，符合因式分解的定义， ∴选项A正确； ∵是因式的积，不是多项式，不符合因式分解的定义， ∴选项B错误； ∵是多项式， 但不是恒等变形，不符合因式分解的定义， ∴选项C错误； ∵是因式的积，不是多项式，不符合因式分解的定义， ∴选项D错误； 故选A. 【点睛】本题考查了因式分解，解答时，严格按照因式分解的定义去解答是解题的关键. 题型二：已知因式分解的结果求参数 4．若多项式因式分解的结果为，则常数的值为______． 【答案】 【分析】因式分解与整式乘法互为逆运算，展开因式分解后的多项式，对比对应项的系数即可求出的值． 【详解】解：， ， 对比多项式同类项的系数可得． 5．已知多项式分解因式为，则、的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用了因式分解的意义． 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案． 【详解】解：由多项式分解因式为，得 ． ，， 故选：D． 6．已知关于的二次三项式可分解为，则的值为______． 【答案】9 【分析】把展开，求出、的值，计算即可． 【详解】解：， ， ，， ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了整式的乘法和因式分解，解题关键是熟练运用整式乘法法则进行计算． 7．已知多项式可以分解为，则x的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可根据题中条件，多项式分解为单项式，用分解出来的单项式进行相乘后，即可求出x的值． 【详解】解：根据题意可得：， ∵ ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解的基本知识，学生需掌握因式分解的基本知识，做此题就不难． 题型三：公因式 8．把多项式分解因式时，应提取的公因式是_____． 【答案】 【分析】根据公因式的确定，一看系数：各项系数为整数时，提取各项系数的最大公因数；二看字母：取各项都含有的相同字母；三看字母指数：取相同字母的最低次幂，进行解答，即可． 【详解】解：多项式中，系数与的最大公因数是，两项都含有的相同字母是，的最低次数是， ∴分解因式时应提取的公因式是． 9．多项式与多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是公因式的定义，对每个多项式先因式分解，然后即可选出有公因式的项． 【详解】解：∵，， ∴多项式与多项式的公因式是， 故选：B． 10．多项式2x2－12xy2+8xy3的公因式是_____________． 【答案】2x 【分析】按照公因式的提取方法提取公因式即可． 【详解】解： 多项式的公因式为2x． 故答案为：2x． 【点睛】此题考查了多项式的公因式，解题的关键是记住提取公因式方法，方法如下：方法如下：公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 11．将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 确定公因式需考虑系数、字母及多项式部分，注意与的关系，通过转换统一形式后提取最大公约数和最低次幂. 【详解】解：∵ ， ∴ 原式化为 . 系数和的最大公约数为，字母和的最低次幂为，多项式的最低次幂为， ∴ 公因式为 ， 故选：A. 题型四：提公因式法分解因式 12．因式分解：____． 【答案】 【分析】找出原式的公因式，利用提取公因式法即可完成因式分解． 【详解】解： ． 13．下列四个多项式中，能因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将多项式化为几个整式乘积的形式叫做因式分解，可通过提公因式法、公式法判断各选项是否能分解． 【详解】解：选项A，无法继续分解为多个次数不低于1的整式乘积，不能因式分解， 选项B，没有公因式，也不符合常用因式分解公式，不能因式分解， 选项C，没有公因式，也不符合常用因式分解公式，不能因式分解， 选项D，可提取公因式，得到，符合因式分解要求． 14．已知，，则的值为_____． 【答案】 【分析】当已知和的值时，无需单独求解、，只需将代数式因式分解为含和的形式，即可快速求值． 【详解】解：原式 ， 代入，原式． 15．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用提取公因式法分解因式即可解答． 【详解】解： ． 题型五：判断能否用公式法分解因式 16．下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平方差公式的形式为，多项式需是两个平方项的差（一正一负）． 【详解】解：A、符号相同，不能用平方差公式因式分解； B、，能用平方差公式因式分解； C、，符号相同，不能用平方差公式因式分解； D、为三次两项式，不能用平方差公式因式分解． 17．若多项式可以用平方差公式进行因式分解，则表示的单项式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方差公式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，不能用平方差公式分解，不符合题意； B、，不能用平方差公式分解，不符合题意； C、 ，能用平方差公式分解，符合题意； D、，不能用平方差公式分解，不符合题意． 18．下列变形中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据乘法公式：分别进行判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不合题意； B、不能进行因式分解，故该选项不合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查用乘法公式进行化简和因式分解，解题关键是熟练掌握乘法公式． 题型六：平方差公式分解因式 19．因式分解：______． 【答案】 【分析】利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 20．若，则的值为（     ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用平方差公式对所求代数式因式分解，再代入已知条件化简求值． 【详解】解：∵ ， ∴ 原式 ， 将 代入得 原式 ． 21．已知，且，则的值为______． 【答案】4 【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，熟练应用平方差公式是解题关键． 将已知关系式利用平方差公式分解因式，进而求出即可． 【详解】解：，且， ． 故答案为：4． 22．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的基本方法，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解题关键．根据因式分解的提公因式法与公式法，逐一分析各选项． 【详解】解：选项：的公因式为，正确分解应为，未提尽公因式，故错误； 选项：右边，与左边不相等，等式不成立，故错误； 选项：，不符合完全平方公式，故错误； 选项： ，与选项结果一致，故正确． 故选：． 题型七：完全平方公式分解因式 23．分解因式：__________． 【答案】 【分析】观察多项式符合完全平方和公式的结构，直接套用公式分解因式即可． 【详解】解：． 24．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、不能分解因式，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、不能分解因式，故此选项不符合题意． 25．下列多项式：①；②；③．分解因式后结果含有相同因式的是______． 【答案】①③/③① 【分析】此题考查了公式法分解因式，熟练应用公式法分解因式是解题关键． ①利用平方差公式进行分解即可；②直接利用完全平方公式分解因式即可；③首先提取“”，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：① ； ② ； ③ ∴结果含有相同因式的是①③ 故答案为：①③． 26．多项式加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是①，②，③，④中的（   ） A．② B．①③ C．②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用知识点，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 本题根据完全平方公式，分析原式与完全平方公式结构的差异，得出结论，即可解决确定多项式成为完全平方式所需添加项的问题． 【详解】解：①加上后，多项式为，是平方差不是完全平方，不符合题意； ②加上后，多项式为，是完全平方，符合题意； ③加上后，多项式为，不是完全平方，不符合题意； ④加上后，多项式为，是完全平方，符合题意； 综上，加上②或④能成为完全平方． 故选：C． 题型八：综合运用公式法分解因式 27．在实数范围内分解因式：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，先把原式加上4再减去4得到，由此利用完全平方公式得到，由此利用平方差公式可得． 【详解】解： ， 故答案为：． 28．下列各式用公式法分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别利用平方差公式与完全平方公式分解因式进而得出答案． 【详解】A.不能用公式法分解因式，故错误；     B.，正确； C. 不能用公式法分解因式，故错误；     D.不能用公式法分解因式，故错误； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式与完全平方公式是解题关键． 29．将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，然后对原式变形后，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法进行因式分解是解答本题的关键． 题型九：综合提公因式和公式法分解因式 30．分解因式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，按照先提取公因式，再用平方差公式分解到每个因式无法继续分解的步骤计算即可． 【详解】解：． 31．可以把代数式分解因式为：______ ． 【答案】 【分析】分解因式先提取公因式，再利用完全平方公式分解，需保证分解彻底． 【详解】解： ． 32．下列各式：①，②，③，④分解因式正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，乘法公式． 根据平方差公式和完全平方公式逐一计算各式左、右两边的式子，比较即可． 【详解】解：①：右边展开为：，与左边不符，故①错误； ②：左边展开为：， 右边展开为：，与左边相等，故②正确； ③：右边展开为：，与左边不符，故③错误； ④：右边展开为：，与左边相等，故④正确； 综上，正确的有②和④，共2个， 故选B． 题型十：因式分解在有理数简算中的应用 33．利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．533 D．534 【答案】C 【分析】本题考查因式分解在有理数简算中的应用． 通过提取公因式进行因式分解，将表达式转化为简单乘法计算． 【详解】解： ． 故选：C． 34．(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用因式分解进行简便运算，提公因式法进行因式分解后，再进行计算即可． 【详解】解：原式； 故选C． 35．设，，则与的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求出M、N的值，然后进行比较即可． 【详解】解： ， ， ． 题型十一：十字相乘法 36．分解因式：______． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，掌握运用十字相乘法分解因式是解题的关键．利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 37．对多项式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是关键．利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：． 故选：C． 38．甲、乙两个同学分解因式时，甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为，那么多项式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解、多项式乘以多项式，熟练掌握利用十字相乘法分解因式是解题关键．先计算，，根据甲的结果可求出的值，根据乙的结果可求出的值，再利用十字相乘法分解因式即可得． 【详解】解：， ， ∵甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为， ∴，， ∴， 故选：B． 题型十二：分组分解法 39．因式分解＝________． 【答案】 【分析】根据添项结合分组分解可进行求解． 【详解】解：原式= = =； 故答案为． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 40．应用分组分解法分解因式时，对于的分组中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分组分解法分解因式，根据完全平方公式的特点即可得到答案．把原式化为，从而可得答案. 【详解】解：， 故选B． 41．对于两个实数a、b，规定，如，．将式子分解因式可得______． 【答案】 【分析】首先依据新定义的运算法则把所给式子转化为常规的代数式，然后利用因式分解的步骤和方法分解因式即可． 【详解】解：原式 题型十三：因式分解的应用 42．已知边长为a、b的长方形的周长为18，面积为20，则的值为（     ） A．360 B．180 C．35 D．84 【答案】B 【分析】本题先根据长方形的周长和面积公式得到和的值，再对所求多项式提取公因式因式分解，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵边长为，的长方形周长为，面积为， ∴，， ∴ ∴． 43．如图，有两张①型正方形卡片和一张②型长方形卡片，请用它们拼一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解______． 【答案】 【分析】可以拼成一个大长方形，利用面积相等写出结果即可． 【详解】解：如图，用两张①型正方形卡片和一张②型长方形卡片可以拼成一个长为，宽为a的长方形，则长方形的面积可以表示为：； 大长方形的面积也可以看作两个正方形和一个长方形的面积之和，则大长方形的面积为：， ∴． 44．如图所示的大矩形，由个边长为的正方形，个边长为的正方形和个宽为，长为的长方形拼接而成．利用该图形的面积关系，可以验证的因式分解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形的面积的两种表达方式，进行求解即可． 【详解】解：图中大长方形的长为，宽为，面积可以表示为： ； 图中大长方形可以看作三个长方形和三个正方形的面积和，则大长方形面积可以表示为： ， ∴利用该图形的面积关系，可以验证的因式分解是： ． 解答题 1．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ； （9） ； （10） ． 2．利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2)4 (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式、提公因式法进行简便计算，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式进行计算即可； （3）利用提公因式法进行计算即可； （4）整理后，利用提公因式法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．仔细阅读下面例题．解答问题： 例题：已知二次三项式，分解因式后有一个因式是．求另一个因式以及的值． 解：方法一：设另一个因式为，得．则，∴，解得，∴另一个因式为，的值为． 方法二：设（且为关于的一次式），当时，左边，右边，∴，解得，将分解因式，得另一个因式为． 仿照以上方法一或方法二解答：已知二次三项式分解因式后有一个因式是．求另一个因式以及的值． 【答案】， 【分析】根据因式分解的定义可知，等号两边只是形式不一样，但结果相等，根据例题中的解法解题即可． 【详解】解：参照方法一解答：∵二次项系数为8，一个因式的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数为，则可设另一个因式为， 得， ∴，解得， 则另一个因式为，． 参照方法二解答：设（且为关于的一次式），当时，左边，右边，则，解得． 将分解因式，得另一个因式为． 4．【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中位于图的上一行，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1＝，把常数项－6也分解为两个因数的积，即；然后把按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数－1，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：_____； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面式子分解因式： （2） 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：．反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试对下面的式子进行分解因式： ①_____； ②若、均为整数，且、满足，则_____． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②7或3． 【分析】本题考查阅读理解，因式分解，读懂题意，理解材料中因式分解的方法是解题的关键． （1）根据“十字相乘法”进行因式分解即可； （2）先把看成整体，运用“十字相乘法”进行因式分解，再运用完全平方公式和“十字相乘法”进行因式分解． （3）①将式子分为，两组进行因式分解即可； ②将式子化为，根据、均为整数，求解即可． 【详解】解：（1）如图， ． 故答案为：． （2）如图， ，． （3）① ． 故答案为：． ②∵， ∴， ∴， ∵、均为整数， ∴或或或， ∴或或（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）， ∴当时，， 当时，． 综上所述，或3． 故答案为：7或3． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $