精品解析：河南省漯河市召陵区实验中学2025—2026学年上学期八年级数学期末测试（一）

2025~2026学年上学期 八年级数学期末检测卷（一） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，共23小题，满分120分，检测时间为100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴对称）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，积的乘方，完全平方公式，同底数幂相除，根据相关运算法则逐项判断即可解答，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，故该选项计算错误，不符合题意； 、，故该选项计算错误，不符合题意； 、，故该选项计算错误，不符合题意； 、，故该选项计算正确，符合题意； 故选：． 3. 我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为 ，它与π的误差小于．将用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据用科学记数法表示较小的数的方法进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为，故C正确． 故选：C． 4. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. （x＋4）（x﹣4）＝x2﹣16 B. x2﹣x﹣6＝（x＋3）（x﹣2） C. x2＋1＝x（x＋） D. a2b＋ab2＝ab（a＋b） 【答案】D 【解析】 【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，因此，要确定从左到右的变形中是否为因式分解或者分解因式是否正确，逐项进行判断即可． 【详解】A、结果不是积的形式，因而不是因式分解； B、，因式分解错误，故错误； C、 不是整式，因而不是因式分解； D、满足因式分解的定义且因式分解正确； 故选：D． 【点睛】题目主要考查的是因式分解的概念及方法，熟练掌握理解因式分解的定义及方法是解题关键． 5. 用四根长度分别为的小木棒摆三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系等知识点，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”即可解答． 【详解】解：当三角形三边长分别为：时， ∵，不能构成三角形， ∴所摆成的三角形的周长不可能是． 故选：B． 6. 如图，在中，，，以点为圆心画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点．若点到的距离为，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质，过点作于，由尺规作图知是平分线，所以，则，，然后通过线段的和与差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：过点作于， ∵ ， ∴，， 由尺规作图，知是平分线， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 7. 若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程的特殊解．首先求得分式方程的解为,再根据解为正数得且，,从而求得m的取值范围即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并得， ∵方程的解为正数， ∴且， 解得且， 故选：C． 8. 如图，点，，分别在的边，，上（不与顶点重合），设，．若，则，满足的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质可得∠B=∠C，∠BED=∠EFC，再利用三角形内角和定理可得出等量关系，化简即可． 【详解】解： ∵， ∴∠B=∠C，∠BED=∠EFC， ∵，，在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°， ∴，, ∴， ∵在△EFC中，， ∴,即， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理和全等三角形的性质．熟练掌握定理，能结合图形完成角度之间的转化是解题关键． 9. 已知：如图，在等边△ABC中，点D是边BC上的一个动点（不与两端点重合），连接AD，作线段AD的垂直平分线EF，分别交AB，AC于点E，F，连接ED、FD，则以下结论正确的是（ ） A. ∠1 ＝15° B. DF⊥AC C. CD＝2CF D. ∠2＝2∠1 【答案】D 【解析】 【分析】由等边三角形的性质得出∠BAC=∠B=60°，由等腰三角形的性质得出∠EDA=∠1，∠FAD=∠FDA，得出∠EDF=∠EDA+∠FDA=∠BAC=60°，由三角形的外角性质得出∠BED=∠1+∠EDA=2∠1，再由∠EDC=∠EDF+∠2=∠B+∠BED，得出∠2=2∠1，选项D正确，即可得出结论． 【详解】解：∵EF是AD的垂直平分线， ∴EA=ED，FA=FD， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠B=60°， ∵EA=ED，FA=FD， ∴∠EDA=∠1，∠FAD=∠FDA， ∴∠EDF=∠EDA+∠FDA=∠BAC=60°， ∵∠BED=∠1+∠EDA=2∠1， 又∵∠EDC=∠EDF+∠2=∠B+∠BED， ∴60°+∠2=60°+2∠1， ∴∠2=2∠1，选项D正确； 不一定正确的是选项A、B、C； 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形外角性质；熟记等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键． 10. 如图，在中，，，且面积是24，的垂直平分线分别交边于点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC，推出MC+DM=MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【详解】连接AD，MA． ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC=BC•AD=×6×AD=24，解得AD=8， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC， ∴MC+DM=MA+DM≥AD， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+×6=8+3=11． 故选：C． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式的值为0，则实数x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为的条件，即分子等于，分母不为，计算即可． 【详解】解：由题意得 且 ， 由 解得 ， 由 ，因式分解得， 解得 或 ，不符合分母不为的条件，舍去， 所以实数的值为． 12. 若且，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，将原式通分后利用平方差公式化简，再代入已知条件求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要 _______ 张． 【答案】10 【解析】 【分析】根据长方形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：由题可知：，，类卡片的面积分别为，，， 长方形的长为，宽为， 长方形的面积：， ，，类卡片一共需要张． 14. 如图，，，，相交于点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的判定，直角三角形的性质，由，，则垂直平分，所以，从而可得，然后通过直角三角形的性质即可求解，熟练掌握以上性质和判定是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点在线段上运动（不与重合），连接，作，交线段于，在点的运动过程中，的形状也在改变，当是等腰三角形时，的度数是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解决本题的关键在于根据等腰三角形的性质和已知条件求出的度数． 需分类讨论，当腰长的情况，结合等边对等角以及三角形内角和为求解角度即可． 【详解】解：， ，， ①当时，， ，此时不符合； ②当时，即， ， ； ③当时，， ， ； 综上所述，当是等腰三角形时， 的度数是或． 故答案为：或． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）该方程无解． 【解析】 【分析】（1）先计算括号内，再将除法化为乘法，因式分解后约分即可； （2）先将分式方程化为整式方程，解整式方程后，验证根即可． 【详解】解：（1）原式= = =； （2）去分母得： ， 去括号得：， 移项合并得：， 经检验，是该方程的增根， 即该方程无解． 【点睛】本题考查分式的混合运算，解分式方程．注意分式方程一定要验证根． 17. 先化简：，然后从1，，2025中选择一个合适的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算及求值，熟练掌握异分母分式的加减法运算是解题的关键．先把括号内的式子通分，再把除法化为乘法，从而把原式化简，从数值中选取一个合适的数代入即可． 【详解】解： ， ， 当时，原式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点分别是，，． （1）在图中作出关于y轴对称的； （2）求的面积； （3）在y轴上找一点F，，则点F的坐标为 ． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求． （2）5 （3）或 【解析】 【分析】题考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作出点、关于轴的对称点，再与点首尾顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可； （3）设点到点的距离为，得出，求出的值即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积为； 【小问3详解】 解：设点到点的距离为， ∵， ∴， 解得， 则点的坐标为或． 故答案为：或． 19. 阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式． 例如：，根据以上材料，解答下列问题： （1）运用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式． （2）用多项式的配方法将多项式化成的形式，并直接写出此多项式的最小值． 【答案】（1） （2），此多项式的最小值为 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握配方法及平方差公式是解此题的关键． （1）仿照题干所给例子，结合配方法及平方差公式进行分解因式即可； （2）先进行配方，再结合非负数的性质即可得解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴此多项式的最小值为． 20. 如图，在中，，，垂直平分，垂足为E，交于点D，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）3． 【解析】 【分析】（1）由，，得出，根据垂直平分线的性质，得出，，进而得出，即可证明； （2）根据含30度角的直角三角形的性质得出，即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 21. 某 校 计 划 购 买两种型号的教学仪器，已知A型仪器价格是B型仪器价格的倍，用450元购买A型仪器的数量比用240元购买B型仪器的数量多2台． （1）求型仪器单价分别是多少元； （2）该校需购买两种仪器共100台，且A型仪器数量不少于B型仪器数量的，那么A型仪器最少需要购买多少台？求A型仪器最少购买量时购买两种仪器的总费用． 【答案】（1）每台A型仪器的价格为45元，每台B型仪器的价格为30元 （2）A型仪器最少需要购买20台，此时总费用为3300元 【解析】 【分析】（1）设每台B型仪器的价格为x元，则每台A型仪器的价格为元，根据“用450元购买A型仪器的数量比用240元购买B型仪器的数量多2台”列分式方程即可求解； （2）设购买x台A型仪器，则购买台B型仪器，根据题意列不等式，求解即可. 【小问1详解】 解：设每台B型仪器的价格为x元，则每台A型仪器的价格为元， 根据题意得，， 解得． 经检验，是原方程的解． ， 答：每台A型仪器的价格为45元，每台B型仪器的价格为30元； 【小问2详解】 解：设购买x台A型仪器，则购买台B型仪器，根据题意得， 解得． 当时，总费用（元）． 答：A型仪器最少需要购买20台，此时总费用为3300元． 【点睛】本题考查了分式方程及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学模型． 22. 综合与探究． 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图可以得到，基于此，请解答下列问题． 【直接应用】（1）若，，求的值． 【类比应用】（2）若，则_____． 【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（）按如图所示的方式放置，其中点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 【答案】（）；（）；（）一块直角三角板的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （）利用完全平方公式解决问题即可； （）设，则，由，即，可得 ； （）由，得，，，又点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，所以，，设，，利用面积关系，构建方程组求解． 【详解】解：（）∵，，， ∴， ∴； （），则， ∵，即， ∴， 故答案为：； （）∵， ∴，，， ∵点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上， ∴，， 设，， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 答：一块直角三角板的面积为． 23. 如图1，等腰直角放置在平面直角坐标系中，点，点，，点在轴上，连接，以为腰作等腰直角，其中．若点的横坐标为，且． （1）用含有的式子表示线段的长（直接写出结果）； （2）如图2，若，连接，求点的坐标以及的度数； （3）如图3，延长交轴于点，连接，过点作轴于点．猜想线段，，的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）， （3） ， 如图，在上截取，连接， 轴，点， ，，， ， ， ， ,，， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ，，， ， ， ， 即． 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）由点结合为等腰直角三角形得出，由点的横坐标为得出，即可得到答案； （2）由得出，作轴于，则，证明得到，，从而得出，即可得出点和为等腰直角三角形，即可得解； （3）在上截取，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得证． 【小问1详解】 解：为等腰直角三角形，点，， ， 点的横坐标为， ， ； 【小问2详解】 ， ， 为等腰直角三角形， ，， 如图，作轴于，则， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年上学期 八年级数学期末检测卷（一） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，共23小题，满分120分，检测时间为100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为 ，它与π的误差小于．将用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. （x＋4）（x﹣4）＝x2﹣16 B. x2﹣x﹣6＝（x＋3）（x﹣2） C. x2＋1＝x（x＋） D. a2b＋ab2＝ab（a＋b） 5. 用四根长度分别为的小木棒摆三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，以点为圆心画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点．若点到的距离为，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，点，，分别在的边，，上（不与顶点重合），设，．若，则，满足的关系是（ ） A. B. C. D. 9. 已知：如图，在等边△ABC中，点D是边BC上的一个动点（不与两端点重合），连接AD，作线段AD的垂直平分线EF，分别交AB，AC于点E，F，连接ED、FD，则以下结论正确的是（ ） A. ∠1 ＝15° B. DF⊥AC C. CD＝2CF D. ∠2＝2∠1 10. 如图，在中，，，且面积是24，的垂直平分线分别交边于点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式的值为0，则实数x的值为______． 12. 若且，则的值为_____． 13. 用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要 _______ 张． 14. 如图，，，，相交于点，若，则______． 15. 如图，在中，，，点在线段上运动（不与重合），连接，作，交线段于，在点的运动过程中，的形状也在改变，当是等腰三角形时，的度数是_______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. （1）计算： （2）解方程： 17. 先化简：，然后从1，，2025中选择一个合适的数代入求值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点分别是，，． （1）在图中作出关于y轴对称的； （2）求的面积； （3）在y轴上找一点F，，则点F的坐标为 ． 19. 阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式． 例如：，根据以上材料，解答下列问题： （1）运用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式． （2）用多项式的配方法将多项式化成的形式，并直接写出此多项式的最小值． 20. 如图，在中，，，垂直平分，垂足为E，交于点D，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 某 校 计 划 购 买两种型号的教学仪器，已知A型仪器价格是B型仪器价格的倍，用450元购买A型仪器的数量比用240元购买B型仪器的数量多2台． （1）求型仪器单价分别是多少元； （2）该校需购买两种仪器共100台，且A型仪器数量不少于B型仪器数量的，那么A型仪器最少需要购买多少台？求A型仪器最少购买量时购买两种仪器的总费用． 22. 综合与探究． 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图可以得到，基于此，请解答下列问题． 【直接应用】（1）若，，求的值． 【类比应用】（2）若，则_____． 【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（）按如图所示的方式放置，其中点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 23. 如图1，等腰直角放置在平面直角坐标系中，点，点，，点在轴上，连接，以为腰作等腰直角，其中．若点的横坐标为，且． （1）用含有的式子表示线段的长（直接写出结果）； （2）如图2，若，连接，求点的坐标以及的度数； （3）如图3，延长交轴于点，连接，过点作轴于点．猜想线段，，的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $