6.4 第2课时 实践与探索（1）-【绿卡初中创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步教案(华东师大版·新教材)

该初中数学教案聚焦二元一次方程组解决实际问题，通过“拼图情境”导入，衔接上节课内容，构建“问题探究—建模应用—总结提升”的学习支架，重点突破几何图形与费用问题的数学建模。 以小明小红拼图问题为载体，引导学生用数学眼光观察图形找等量关系，通过多解法培养推理意识，结合阶梯电价等实例强化模型意识，助力学生提升应用能力，为教师提供系统教学资源，高效落实核心素养。

绿卡图书——走向成功的通行证 6.4 实践与探索 第2课时 实践与探索（2） 课题 第2课时 实践与探索（2） 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P45-46 教学目标 1. 能够对生活中的实际问题进行二元一次方程组的数学建模. 2. 会用二元一次方程组解决实际问题，并检验解的合理性. 教学重难点 重点：会用二元一次方程组解决实际问题，并检验解的合理性. 难点：能够对生活中的实际问题进行数学建模. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 一、创设情境，导入新课 教师活动：上节课我们探索了一个1个与生活密切相关的问题，它可以用二元一次方程组来解决，这节课我们继续探索用二元一次方程组解决实际问题.（板书课题：第2课时 实践与探索（2）） 点明本节课的学习内容，引入新课. 二、实践探究，学习新知 【探究】 问题2 小明在拼图时， 发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如图6.4.1所示的一个大的长方形. 小红看见了，说:“我来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成如图6.4.2所示的正方形.咳，怎么中间还留下了一个洞，恰好是边长为2 mm的小正方形! 图6.4.1 图6.4.2 教师提问：可以发现，本题中有这样一个等量关系： 大正方形面积-大长方形的面积=小正方形空洞的面积 如果以这个等量关系来列方程，你能求出这些小长方形的长和宽吗？ 答案预设：解：设长方形的长和宽分别为x mm、y mm. 图6.4.2给我们提供了一个信息： S大正方形-8×S长方形=22，即 (x+2y)2-8xy=4. 师生活动：这是我们还没有研究过的方程，你有其他办法来解决这个问题吗？ 学生充分思考，并与伙伴交流后，教师可作以下引导： 1. 观察小明的拼图，你能发现小长方形的长x mm与宽y mm之间的等量关系吗？ (长方形的对边相等，得3x＝5y) 再观察小红的拼图，你能写出表示小长方形的长x mm与宽y mm的另一个关系式吗？(如右图，可得2y=x+2) 解：设长方形的长和宽分别为x mm、y mm. 根据题意，有 解得 答：长方形的长为10 mm，宽为6 mm. 教师活动：除此方法外，我们还可以通过如下方法： 根据图6.4.1，可知长方形的长和宽之比为5：3，所以分别设长方形的长和宽分别为5x mm和3x mm， 根据图6.4.2，可得方程2·3x=5x+2，据此可分别求得长方形的长和宽. 师生活动：根据上面两个例题的求解过程，试着总结概括一下这两类实际问题.学生独立思考、小组讨论，老师适时引导帮助总结得出结论. 做一做 从5.3节提出的问题中选出一个，用本章的方法来处理，并比较一下两种方法，谈谈你的感受. 师生活动：让学生独立思考尝试用本章所需的二元一次方程组来解决P20的问题2. 答案预设：设七年级捐款x元，八年级捐款y元。 由题意，得 由②，得x=2y-1 964，③ 将③代入①，解得y=2 455， 将y=2 455代入③，解得x=2 946. 所以七年级捐款2 946元，八年级捐款2 455元. 【总结归纳】 1.列二元一次方程组解决实际问题的步骤： 审、设、列、解、验、答. 2.列方程组解决实际问题的常见类型： 几何图形问题：常为对基本图形（如长方形、正方形）进行拼接或分割的问题，依据边长之间、面积之间存在的等量关系，利用几何概念和性质进行求解. 行程问题：等量关系：速度×时间=距离. 工程问题：等量关系：工作效率×工作时间=工作总量. 混合物问题：等量关系：各种混合物重量之和=混合后的总重量. 航行问题：等量关系：静水速度+水速=顺水速度；静水速度-水速=逆水速度. 数字问题，要注意各数位上的数字与数位的关系. 和差倍分问题，要注意一些基本关系术语，如：倍、分、大、小等. 让学生学习如何解决几何图形问题，感受数学建模思想和方法的灵活性，并学会检验答案的合理性，理解对于实际问题，方程组的答案有时需要进一步处理以符合实际. 总结归纳列方程（组）解决实际问题的常见类型，帮助学生获得较为系统的认识。 三、学以致用，应用新知 考点1 几何图形问题 例1 利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度.首先按图（1）方式放置，再交换两木块的位置，按图（2）方式放置.测量的数据如图，则桌子的高度是　 　. 图（1） 图（2） 答案：76 cm 变式训练1 如图，大长方形图案由10个完全一样的小长方形拼成，若大长方形的宽为30 cm，求图中每一个小长方形的面积. 解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm， 由题意，得解得 故一个小长方形的面积为24×6＝144（cm2） 考点2 费用问题 例2 某地对居民家庭用电实行“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时，1千瓦时俗称1度）时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”，小张家4月份用电100千瓦时，上缴电费68元：5月份用电120千瓦时， 上缴电费88元，求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时. 解：设“基本电价”为x元/干瓦时，“提高电价”为y元/干瓦时. 由题意，得解得 答：“基本电价”为0.6元/千瓦时，“提高电价”为1元/千瓦时. 变式训练2 为了提倡节约用水，某市根据居民每月的用水量实行阶梯水价：每户每月用水量不超过12 m3时，按一级单价收费；超过12 m3时，超过部分按二级单价收，五月份张华家用水14 m3，缴费37.6元；李明家用水17 m3，缴费47.2元，若陈智家用水11 m3，则应缴费_________元. 答案：28.6 在学生掌握新知识的基础上，逐步灵活运用所学的知识解决问题，提高学生计算能力和做题效率. 四、随堂训练，巩固新知 1.现要在一块长方形草坪中规划出3块大小、形状完全相同的小长方形（图形中阴影部分）区域种植鲜花（如图所示），则种植鲜花区域的面积是( ) A．486 m2 B．270 m2 C．180 m2 D．90 m2 答案：B 2.如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小完全相同的小长方形，尺寸如图所示，则阴影部分的面积是 m2 . 答案：82 3.周末小华乘坐出租车去郊外游玩，外出时乘车行驶7 km，支付了17.2元；返回时乘车行驶了13 km，支付了28元。出租车行驶路程不超过3 km收取起步价，超过3 km的部分按标准另收取里程费。问：起步价为 元/km，超过3km后的里程费为 元/km. 答案：10 1.8 4.为提倡节约用电，某市居民阶梯电价采用三档分档递增模式，具体标准如下：每户每月用电量不超过220度时，按第一档单价收费；超过220度且不超过400度时，超过的部分按第二档单价计费；超过400度时，超过400度的部分按0.79元/度计费，2025年某月张华家用电250度，缴费124元：李明家用电300度，缴费151元。该市第一档电费、第二档电费的单价分别是多少？ 解：设第一档电费单价为x元/度，第二档电费单价为y元/度. 由题意，得解得 答：第一档电费的单价为0.49元/度，第二档电费的单价为0.54元/度. 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏. 五、课堂小结，自我完善 1.课堂小结 （1）列二元一次方程组解决实际问题的步骤： 审、设、列、解、验、答. （2）列方程组解决实际问题的常见类型： 几何图形问题：常为对基本图形（如长方形、正方形）进行拼接或分割的问题，依据边长之间、面积之间存在的等量关系，利用几何概念和性质进行求解. 行程问题：等量关系：速度×时间=距离. 工程问题：等量关系：工作效率×工作时间=工作总量 混合物问题：等量关系：各种混合物重量之和=混合后的总重量. 航行问题：等量关系：静水速度+水速=顺水速度；静水速度-水速=逆水速度. 数字问题，要注意各数位上的数字与数位的关系. 和差倍分问题，要注意一些基本关系术语，如：倍、分、大、小等. 2.布置作业 课本P48习题6.4 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 六、板书设计 6.4 实践与探索 实践与探索 几何图形问题 投影区 费用问题 学生活动区 提纲挈领，重点突出. 七、教后反思 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $