5.3 第2课时 和差倍分问题、商品销售问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步教案(华东师大版·新教材)

该教案聚焦和差倍分问题与商品销售问题，通过提前布置商场调查任务导入，让学生从生活中了解打折销售等现实情境，搭建数学与生活的联系，为一元一次方程应用学习奠定基础。 该资料特色在于生活化探究与思维训练结合，商场调查培养抽象能力，多种设元方法比较提升推理意识，例题涵盖古代问题、销售盈亏等情境培养模型观念，助力学生用数学解决实际问题，也为教师提供清晰教学路径。

绿卡图书——走向成功的通行证 5.3 实践与探索 第2课时 和差倍分问题、商品销售问题 课题 第2课时 和差倍分问题、商品销售问题 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P20-21 教学目标 1. 通过分析具体问题中的等量关系，建立方程解决和差倍分问题、商品销售问题. 2. 经历分析、抽象、验证的完整过程，提升数学建模能力和逻辑推理能力. 3. 在探究过程中体会方程思想的普适性，增强应用意识与创新意识. 教学重难点 重点：掌握和差倍分问题、商品销售问题中的基本等量关系，并会列出一元一次方程解决问题. 难点：多变量问题中的等量关系易提取不全；单位统一与实际意义的检验. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 一、创设情境，导入新课 教师活动：提前给学生布置任务，去商场了解打折销售的相关情况. 学生活动：以小组为单位，到商场调查打折销售活动，了解商品销售相关知识，在课上展示交流. 教师活动：这节课我们就来学习应用一元一次方程.（教师板书课题： 第2课时 和差倍分问题、商品销售问题） 把知识生活化，让到商场进行调查，了解商品打折的有关情况，以及商品利润等有关知识，既培养学生适应社会、探究问题的能力，又为本节课的学习打下坚实的基础，达到提前预习的目的，更让学生感受数学与现实世界的密切联系，以及数学在社会生活中的作用和意义. 二、实践探究，学习新知 【探究1】 问题2 新学年开始，某校三个年级为地震灾区捐款.经统计，七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的，八年级捐款数是全校三个年级捐款数的平均数，九年级捐款数为1 964元，求七、八年级的捐款数. 师生活动：教师提出问题，以问题串的形式引导学生解答问题. 1.想一想，已知量、未知量分别是什么？有怎样的等量关系？ 2.如果设全年级捐款数为x元，你能用含x的代数式表示其他的量吗？试着依照找出的等量关系列出方程求解. 学生独立思考尝试，教师巡视，等待大部分学生做完之后，请两名学生上台演示、交流. 教师追问：除了设全年级捐款数为未知数，还有没有其他的设元方法？比较一下，哪种方法跟容易列出方程？ 学生活动：学生先独立思考尝试，再小组讨论、交流设元方法和所列方程，然后举手作答. 答案预设：①还可以设七年级捐款x元，则八年级捐款元，可列方程： 相比之下设全年级捐款数为未知数列方程更容易； ②还可以设八年级捐款数为x元，则三个年级捐款总数为元，七年级捐款元，可列方程： 相比之下设全年级捐款数为未知数列方程更容易； ③还可以根据题意，得九年级捐款数占全校三个年级捐款总数的，所以七、八、九三个年级的捐款数之比为，设七、八、九三个年级的捐款数分别为，可列方程： ， 相比之下这种设法列方程更容易，但设元方法较难想到. 教师总结： 和差倍分关系： （1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现. （2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现. （3）根据“总量=各分量之和”构造方程 【探究2】 一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？ 师生活动：教师提出问题，以问题串的形式引导学生设出未知数，找出等量关系，并根据等量关系列出方程求解. 1.想一想，已知量、未知量分别是什么？有怎样的等量关系？ 2.如果设每件服装的成本价为x元，你能用含x的代数式表示其他的量吗？试着依照找出的等量关系列出方程求解. 学生独立思考尝试，教师巡视，等待大部分学生做完之后，请两名学生上台演示、交流. 【归纳总结】 1.打折销售问题的有关概念 （1）成本(进价)：购进商品时的价格（有时也叫进价）. （2）标价：销售时标出的价格（有时称原价或定价）. （3）打折：打几折就是按照标价乘十分之几或百分之几十. （4）售价：销售时商品的售出价格（也称成交价或卖出价）. （5）利润：收入扣除成本的余额. （6）利润率：商品的利润与成本的比值，一般写成百分比的形式. 2.打折销售问题的有关关系式 （1）利润=售价-成本（或进价）； （2）利润率； （3）标价=成本×（1+提高的百分比）； （4）售价=标价×打折数，售价=成本×（1+利润率）. 在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神. 研究比较不同的设元方法，提高学生对列方程解决实际问题的认识和掌握，让学生认识到合理、灵活地设元是简捷地解决较复杂问题的关键. 让学生理解什么是标价，什么是实际售价，怎样计算利润，逐步解答打折销售问题. 三、学以致用，应用新知 考点1 和差倍分问题 例1 一、二、三班共植树200棵，其中二班植树的棵数比一班植树的棵数的2倍还多5棵，三班植树的棵数比一、二班植树的和多4棵，求三个班各植树多少棵？ 解：设一班植树x棵，则二班植树(2x+5)棵，三班植(x+2x+5+4)棵. 由题意，得， 解得. 经检验，符合题意， ∴(棵)， (棵)， 答：一、二、三班各植树31棵、67棵、102棵. 变式训练1 某面粉仓库存放的面粉运出15%后，还剩余42 500 kg.仓库原来有多少面粉？ 解：设仓库原来有x kg面粉，则运出面粉为15%x kg. 由题意，得， 解得. 经检验，符合题意. 答：仓库原来有50 000 kg面粉. 考点2 销售问题 例2 一家服装店购进T恤衫和衬衫共100件，花了3000元，一件T恤衫25元，一件衬衫45元，则购进衬衫________件. 答案：25 变式训练2 商店以每双13元的价格购进一批凉鞋，售价14.8元，卖到还剩5双时，除去购进这批凉鞋的成本外，还获利88元，这批凉鞋共有________双. 答案：90 考点3 百分率问题 例3 某笔记本电脑去年提价25%，今年想要恢复原价，应打（ ）折 A．七 B．七五 C．八 D．八五 答案：C 变式训练3 某运动鞋店销售一款运动鞋，商家要以不低于进价的130%的价格才能出售，但为了获得更多的利润，商家以高出进价的80%的价格标价，若是想买下标价为360元的这款运动鞋，最多降价________元，可以买到它. 答案：100 在学生掌握新知识的基础上，逐步灵活运用所学的知识解决问题，提高学生计算能力和做题效率. 四、随堂训练，巩固新知 1.我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹，每人六竿多十四，每人八竿少二竿.”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿.”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为（ ） A． B． C． D． 答案：A 2.某服装店分别用100元的价格卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏损 20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是（ ） A. 盈利 B. 亏损 C. 不盈不亏 D. 无法确定 答案：B 3.旗袍，又称“褀袍”，被誉为中国国粹和女性国服.苏女士在某平台经营服装销售，一款旗袍的进价为300元/件，若她想按标价的八折销售，仍可获利20%，则这款旗袍的标价应为 元/件. 答案：450 4.两个数的和是572，其中一个加数个位上是0，去掉0后，就与第二个加数相同，这两个数分别是_______、_______. 答案：52 520 5.成本为0.25元的练习本1200本按40%的利润定价出售，结果只卖掉80%，剩下的练习本打折出售，这样所获得的全部利润是预定利润的86%，问剩下的练习本出售时是按定价打了几折？ 解：设剩下的练习本出售时是按定价打了x折. 预定每一本价格为0.25+0.25×40%=0.35(元). 预定每一本利润为0.25×40%=0.1(元). 预定总利润为0.1×1200=120(元). 根据题意，得. 解得x=8. 答：剩下的练习本出售时是按定价打了8折. 6.某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货款恰好为2 600元，这两种节能灯的进价、预售价如下表：（利润=售价-进价） 型号 进价(元/只) 预售价(元/只) 甲型 20 25 乙型 35 40 （1）求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ （2）在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润380元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只. 解：（1）设该商店购进甲种型号的节能灯x只，则可以购进乙种型号的节能灯（100-x）只. 由题意，可得20x+35(100-x)=2 600， 解得x=60，100-60=40(只)， 答：该商店购进甲种型号的节能灯60只，购进乙种型号的节能灯40只. （2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是y只. 由题意，得60×(25-20)+(40-35)y+(40-y)×(40×90%-35)=380， 解得y=10. 答：乙型节能灯按预售价售出的数量是10只． 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏. 五、课堂小结，自我完善 1.课堂小结 1.和差倍分的有关关系式 （1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现. （2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现. （3）根据“总量=各分量之和”构造方程 2.打折销售问题的有关概念 （1）成本(进价)：购进商品时的价格（有时也叫进价）. （2）标价：销售时标出的价格（有时称原价或定价）. （3）打折：打几折就是按照标价乘十分之几或百分之几十. （4）售价：销售时商品的售出价格（也称成交价或卖出价）. （5）利润：收入扣除成本的余额. （6）利润率：商品的利润与成本的比值，一般写成百分比的形式. 3.打折销售问题的有关关系式 （1）利润=售价-成本（或进价）； （2）利润率； （3）标价=成本×（1+提高的百分比）； （4）售价=标价×打折数，售价=成本×（1+利润率）. 2.布置作业 课本P21练习，P21习题5.3.2的T2、T3 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 六、板书设计 第2课时 和差倍分问题、商品销售问题 和差倍分问题、商品销售问题 和差倍分问题 投影区 销售问题 百分率问题 学生活动区 提纲挈领，重点突出. 七、教后反思 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $