5.3 第1课时 几何图形问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步教案(华东师大版·新教材)

课题

第1课时   几何图形问题

授课类型

新授课

授课人

教学内容

课本P19-20

教学目标

1. 能根据问题中的数量关系，合理设元并准确列出方程.

2. 经历分析、抽象、验证的完整过程，提升数学建模能力和逻辑推理能力.

3. 在合作探究中体会方程思想的普适性，增强应用意识与创新意识.

教学重难点

重点：分析图形问题中的基本等量关系，正确建立方程.

难点：找等量关系；间接设元；单位统一与实际意义的检验.

教学准备

多媒体课件

教与学互动设计（教学过程）

设计意图

一、创设情境，导入新课

教师活动：演示将水杯中的水倒入另一个水杯中，来回两次，并提出问题：在这个过程中什么没有发生变化？

学生活动：观看演示，思考问题，与同桌交流讨论.

这节课我们就来学习应用一元一次方程.（教师板书课题： 第1课时   几何图形问题）

通过实际问题引起学生对本节课的兴趣，由此引入新课，紧扣课题，从而自然过渡到下面的探究活动.

二、实践探究，学习新知

【探究】

问题1  用一根长60 cm的铁丝围成一个长方形．

（1）使长方形的宽是长的，求这个长方形的长和宽；

（2）使长方形的宽比长少4 cm，求这个长方形的面积.

学生活动：学生先自己尝试求解，再进行小组交流、讨论，解决问题．

答案预设：

（1）等量关系：①宽 = ×长；

②长方形周长 = 2×(长+宽).

解：设长为x cm，则宽为x cm.

由题意，得2(x+x)=60，解得x=18.

经检验，符合题意，所以长方形的宽为18×=12(cm).

答：这个长方形的长为18 cm，宽为12 cm.

教师提问：在小题（2）中，能不能直接设长方形的面积为x cm2？

学生活动：不能，面积与长、宽相关，需要先设长或宽.如果直接设长方形的面积为x cm2，没有合适的用来列方程求解的等量关系.

答案预设：

（2）等量关系：①长=宽+4；

②长方形周长 = 2(长+宽)，长方形面积=长×宽.

解：设宽为x cm，则长为(x+4)cm.

由题意，得 2(x+4+x)=60，解得x=13，

经检验，符合题意.

所以长方形的长x+4=17 cm，面积为13×17=221（cm2）.

通过探究同一问题的不同变形，让学生经历自主探究数学问题的过程，既对已学知识和生活经验进行了回味和运用，也让学生的思想逐步向本节课的中心“寻找等量关系”靠近.

答：这个长方形的面积为221 cm2.

教师提问：比较小题（1）（2）所得的两个长方形面积的大小，还能围出面积更大的长方形吗？将小题（2）中的宽比长少4 cm改为3 cm、2 cm、1 cm、0 cm（即长与宽相等），长方形的面积有什么变化？试着列出表格观察一下.

学生活动：（1）中的长方形的面积为12×18=216(cm2)；（2）中的长方形的面积为，所以（2）长方形的面积比（1）的更大.

学生活动：列表观察，组内讨论分析，教师适时引导，协助学生总结归纳，得出结论.

教师总结：在周长一定的情况下，长方形的长和宽越接近，面积就越大.当长和宽相等，即成为正方形时，面积最大.

若把这根铁丝围成任意封闭的平面图形，面积最大的是圆.通过以后的学习，我们就会知道其中的道理.

【归纳总结】

几何图形问题——等积（等长）变形问题

1.形状发生了变化，而体积（周长）没变，此时，等量关系是变化前后的体积（周长）相等.

2.列方程解应用题注意事项：

在自主学习以及合作交流的过程中，让学生理解和体会数学建模思想在解决实际问题中的作用.