河北省曲阳县第一高级中学2025-2026学年高三上学期考评三（1月）数学试题

高三数学答案 1.C【解析】因为圆G:x2+2=2,C:(x1)2+(广2)2=4，所以两圆的圆心分别为G(0,0),C2 (1,2),半径分别为r1=2,T2=2.因为1C1C2l=V0-1)2+(0-2)2=V5,所以r2-T1< 1C1C2l<r1+r2,所以圆C与圆C2相交，公切线有2条.故选C 2.D【解析】若m∥a,m∥n,则n∥a,或nca,故A错误.当a∩B=l,mca,m∥1，nCB,n ∥1时，也满足m∥B,n∥a,故B错误.设a∩B=l,mCa,当m∥1时，m∥B,故C错误.若a与B 相交，设a∩B=1,因为m∥ax,m∥B,所以m∥上：因为n∥a,n∥B,所以n∥1所以m∥n,与m, n是两条异面直线矛盾，所以a与B不相交，即α∥B,故D正确.故选D. 3.B【解析】由题意知，圆锥的母线长为2，底面周长为2m,所以圆锥的底面半径为1，则圆锥的高h =√22-12=V3,所以圆锥的体积为；×Π×12×V3=3知故选B. 4D【解析】由题意Sa号AB,AC·sin号=号AB2=35,所以AB=2原，又AB=AC∠BAC- 所以LABC∠ACB。则△ABC的外接圆半径r满足2F兰--46，解得F2V5设△ABC外接圆 的圆心为O,则OA==23.因为PA⊥底面ABC,如图，过点O作OD⊥平面ABC,与过PA的中点且 垂直于PA的平面交于点D,则点D为三棱锥PABC外接球的球心，且OD=AP=2.设外接球的半 径为R,则R=OA?+OD2=(2V3)+22=16,所以三棱锥PABC外接球的表面积S4R=64Π故选D. D B 5.C【解析】因为2a1=ar2+a,所以数列(a提等差数列.因为=1，=5，所以公差d===号= 3-1 2,所以an=a1+(m-1)d-1+2(n-1)=2n-1,Sn=na1+nd=n+n,-×2=n2, 2 2 VSn=n,所以不等式Sn+an+8之t·√Sn即n2+2n-1+8≥tn.因为neN,所以t≤n++2. 设f()=x++2,x>0,由对勾函数的性质，得函数f(x)在(0，冗上单调递减，在(V7,+) 上单调递增.因为2<V7<3,f(2)=2++2=,f(3)=3+了+2=孕，所以f(2)>f(3), 所以当3时，n+7+2取得最小值导，所以t≤号，即实数t的最大值为号故选C 6.D 【解析】设AA1的中点为G,AD的中点为H,连接BG,EG,GH.由正方体的性质，得EG∥BC, 【高三数学第1页共9页】 且EGBC,所以四边形BGEC是平行四边形，所以BG∥CE.因为BG对平面B1CE,CEC平面B1CE,所 以BG∥平面BCE.由正方体的性质，得GH∥A1D,A1D∥B1C,所以GH∥B1C.因为GHt平面BCE, B1CC平面B1CE,所以GH∥平面BCE.因为BG∩GH=G,所以平面BGH∥平面BCE因为F是侧 面AA1DD内的一个动点（含边界），且BF∥平面BCE,所以点F的轨迹是线段GH.在等腰三角形 BGH和等腰三角形DGH中，当F是DG的中点时，BF和FD1均取得最小值因为正方体ABCD-A1B1CD 的棱长为2，所以FD,的最小值为要，所以BF的最小值为2，所以BD的最小值为3V2.故选D, 7.D 【解析】方法一：由题意，点C为直线CM和直线BC的交点，解3x-y-4=0,得 2x+y-5=0,y=5 所以点C因为A3,2所以直线AC的率为专书为直线，C的路为2.所以AC@ BC,所以高BH所在直线即直线BC,方程为2x种y5=0.故选D. 方法二：同方法一，得直线AC的斜率为，因为BHL AC,所以高BH所在直线的斜率为2.设B(X0,yo), 则边AB的中点M的坐标为(，9，代人3xr广40，得3×3-2-4=0：又因为点B 2 2 3(x0+3)-y0+2-4=0,」 在直线BC上，所以2x0+y0-5=0.解 2 2 得 yo=号 所以B(侣，)所以 2x0+y0-5=0, 高B班所在直线方程为y-号=-2(x-),化简得2*yr5-0.赦选D. 8.B【解析】取AC的中点O,连接OD,OB.因为△ABC,△ADC均为等腰直角三角形，所以ODL AC, OB⊥AC,因为二面角DACB是直二面角，平面ADCn平面ABC=AC,ODC平面ADC,所以ODL平 面ABC.又因为OBC平面ABC,所以OD⊥OB.所以OA,OB,OD两两垂直.以O为坐标原点，OA, OB,OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2V2,0,0), B(0,2V2,0),C(-22,0,0),D(0,0,2②).因为E,F分别为AD,BC的中点，所以E(2 ,0,2),F(-2,V2,0),所以EF=(-22,2,-2),AE=（2,0,2).所以AE. EF=-2×(-2V②)+0×V2+2×(-2)=2,E=(-22)+(2)+(-V2-23 园=（同+02+（回=2设F的单位向禁为立，败=需A正.立=需-后-号 EF 点A到直线EF的距离为AE2-(A正.)=4-=，故选B. 【高三数学第2页共9页】 B 9BD【解析】由椭圆C的方程，若椭圆C的焦点在y轴上，则0<m<9,故A错误.由题意，2=2，则 =1.当椭圆C的焦点在x轴上时，bP=9,=P+2=10;当椭圆C的焦点在y轴上时，a2=9,FP=-c2=8, 故B正确当5时，椭圆C的标准方程为号+号1，则d=9,3,c=-=4,椭圆C的上、下焦点 的坐标分别为(0,2)和(0，-2).由椭圆的定义，得椭圆上点P(x,y）总满足Vx2+(y-2)2+ √x2+(y+2)2=6成立，故C错误.当F25时，=25，P=9,所以c2=-=16,所以210,2=8， 由椭圆的定义，得PF+PF=2al0,所以△PF乃的周长为2ar218,故D正确.故选BD. 10.ACD【解析】由题意SOA-OA:OB sin日-=4sin日，所以当0=时，△OAB的面积最大，故A正确. 在△OAB中，由余弦定理得AB2=0A2+OB2-20A·OB·c0S0=16+4-16c0S0=20- 16c0s0,故B错误.因为0A.AB=0A.(OB-0A)=OA.0B-0A2=8cos0-16=-12, 所以c0s0=2,所以0=号，故C正确.由以上分析知，S。44sin日，AB2=20-16c0s6,因为△ ABC是正三角形，所以SABc=AB2=53-4V3c0s0.所以四边形OACB面积 sS.a+S.ac4sn日-43c0s0+53=8sin(0-)+53.因为0<0<m,所以-号<0-日< 所以当0-号=号，即6=时，s血（日-）取得最大值1，所以平面四边形0ACB面积的最大值为8+ 5√3，故D正确.故选ACD. 11.BCD【解析】由圆台母线的概念可知，PQ不是母线，故A错误. 如图，设上底面圆心为O,下底面圆心O,线段BQ的中点E,连接OE,OP,OO1,PE. B 由题意知，DC=2,AB=4.因为AQ=2CP=2,所以∠BAQ=∠PCD=60°. 因为O为AB的中点，E为BQ的中点，所以OE∥AQ,OE2AQ=1,所以∠BOE=LBAQ-60°， 【高三数学第3页共9页】 所以LBOE∠COP=60°.因为OE=OP=1,所以四边形OEPO为平行四边形，所以PE∥OO. 因为OO⊥平面AQB,所以PE⊥平面AQB.因为BQC平面AQB,所以PE⊥QB.因为E为BQ的中点， 所以PQ=PB,故B正确. 因为PE⊥平面AQB,AQC平面AQB,所以PE⊥AQ.因为AQ⊥BQ,PEC平面PQB,BQC平面PQB, PE∩BQ=E,所以AQ⊥平面PQB.因为PQC平面PQB,所以AQLPO,故C正确. 因为PE∥OO1,PEC平面PQB,OO平面PQB,所以OO∥平面PQB,所以OO1平行于平面PBQ与 平面ABCD的交线.因为OO⊥平面AQB,ABC平面AQB,BQC平面AQB,AB⊥OO,BQ⊥OO, 所以∠ABQ是平面PBQ与平面ABCD的夹角的平面角.又∠ABQ-30°，故D正确.故选BCD 12.4 【解析】将函数f(x)=sin(2x-)的图象向左平移p(0<p<)个单位后，得到函数y sin[2(x+p)-引=sin(2x+2p-)图象.因为所得图象关于直线x=对称，所以2×g+20-号 =如+？eZ, 解得0=受+是kEz因为0<0<5所以k=0,p=是 2-2m mx+y+2=0, X= 13.(-∞，-1]U[7,+∞)【解析】联立直线h和h的方程，得 解得 m2+1 x-my-2=0, V= -2-2m m2+1 则M(票，器）因为点MN关于直线x-y=0对称，所以N(,)因为以N(a,D) m2+1 所以a=b-器 m2+1 当m=-1时，a=-0,b=2,式子b+2无意义. a 当m>-1时，6+ 2-2m+2 2-2=-[m+1)+]+3s-2m+1)5+3=-1, =m2+1 a m+1 m2+1 当且仅当(m+1)=车，即m=1时，等号成立 当m<-1动.学-毫=-m+)+引+82m+高+3-7 a -2-2m m2+1 当且仅当-(m+1)=、即m=-3时，等号成立。 综上，牛2≤-1或2≥7，即2的取值范围是(-0，-1]U[7,+∞) 14.6区【解析】如图，由题易知，平面aL平面y,平面B⊥平面y.因为PA⊥平面a,PB⊥平面B,所以 65 点P,A,B,C共面y,∠ACB是二面角Q-1-B的平面角. 由题意，得cosLACB=号所以sinACB=1-cos2LACB=号因为LPAC∠PBC所以PA, 【高三数学第4页共9页】 B,C四点均在以PC为直径的圆上，且cos_APB-cos(m∠ACB)=-在△PAB中，PA=3,PB=5, 所以由余弦定理，得AB2=PA2+PB2-2PA·PB·Cos∠APB=52,所以AB=213.设P A,&,C四点所在圆的半径为R,则由正弦定理得2CB=2R=PC,即PC=2正-在 R△PAC中，PC与平面a所成角的正弦值为=品=6S, 65 15.(1)证明：因为PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以PA⊥BC 1分 因为BC⊥PC,PA∩PC=P,PA,PCC平面PAC, 所以BC⊥平面PAC. 4分 又因为BCC平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC 5分 (2)解：由（1)知BC⊥平面PAC,因为ACC平面PAC,所以BC⊥AC 以C为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0),P(0,2,2). 因为M是PB的中点，所以M(1,1,1). 则CB=(2,0,0),AM=(1,-1,1),PC=(0,-2,-2),AP=(0,0,2) 由W-2wC,得PN=PC-(0,-,-),则AN=AP+PN=(（0,-,) 8分 设平面Aw的法向量为示=(K,y.2列.则·A=0,Xy+?=0, m.AN=0,1-y+号z=0. 取y=1,则2=2，x=-1,则m=(1,1,2) 10分 设直线BC与平面AMN所成角为B, 【高三数学第5页共9页】 则sin0=cos(CB,m= CB.m -2 2x/1+1+a= cBm一 6 12分 则c0s0=V1-sin20= 1- (周- 所以直线BC与平面AMN所成角的余弦值为 6 13分 16.解：（1)因为圆心C在直线y=2x-1上，所以设圆心C的坐标为（m,2m-1). 1分 因为点A(1,-1),B(-1,1)在圆C上，所以AC=BC, 2分 即/(m-1)2+(2m)2=√(m+1)2+(2m-2)2,解得证1. 4分 所以圆心C(1,1),圆C的半径为AC=2 6分 故圆C的标准方程为(x-1)2+（y-1)2=4. 7分 (2)设点T(x,y),点P(a,b). 由线段PQ的中点为工，Q(5,5),得2x=a+5·所以a=2x-5。 9分 2y=b+5, b=2y-5 将点P的坐标代入圆C的方程，得(2x-6)2+(2y-6)2=4, 整理得(x-3)2+(y-3)2=1,即曲线S为圆. 11分 将圆C的方程和曲线S的方程作差，得直线DE的方程为4X+4y-19=0. 13分 因为圆心C1.1）到直线DE的距离为=品 V42+42 14分 所以D=22-()- 15分 17.解：(1)在△ABC中，'D,E分别为BC,AC的中点，AD与BE交于点O, ∴.O是△ABC的重心. “AD-6,BE3,A0=子AD=4,B0=BE=2. 3 分 在△A0B中，∠A0B=0=号 ∴由余弦定理得AB2=A02+B02-2A0.B0.C0s0=42+22-2×4×2×(-）=28, .AB=2V7. 6分 (2):AD=2BE,∴.OD=2OE.设OE=x,则OD=2x 7分 在△DOE中，∠DOE∠AOB=日，∴.由余弦定理得DE2=OD2+OE2-2OD·OE·C0S0. DE=2,4=4x2+x2-4x2c0s6,x2=5-40s0 4 9分 BO=20E=2x,AO=2OD=4x, SaA8c=3SaA0B=号A0,B0:sin0=12x2sin0=号。 12分 设t=tan号，则te(0,+∞)， 【高三数学第6页共9页】 则9品= 96sin号cos号 96t sin2+cos 2 96aa2=924796 9tan29+1 、9t+2s26=16, 当且仅当9t-即t=时等号成立， 故△ABC面积的最大值为16. 15分 18.解：(1)当a=1时，()--2x+1nx,0,则f(=X-2+ 3分 因为1)=-31(1)=1-2+=0， 所以切线方程为一 6分 (2)函数的定义域为(0，+)f'()=x-2a+=2-24 7分 因为函数(x)有两个极值点x1,X2, 所以x1,X2是方程f(x)=0,即x2-2ax+1=0的两个不相等的正实数根， [(-2a)2-4>0, 所以x1+x2=2a>0,解得a>1. 9分 X1X2=1>0, 又因为0<x1<X2,所以x2>1, fx1)-f(x2)=x-2ax1+Inx1-x-2ax2+In x2) =2(x号-x)-2a(x1-x2)+nx1-lnx2) =(x好-x)-(x1+x2)(x1-x2)+1血号 =x3-2x好+n X2 =x好-嘉n好 13分 令8()-nt,又好1， 则x1)-f(x2)的取值范围即函数g（t)在区间(1，+∞)上的取值范围. 14分 因为()=+-=(1-)>0在(1，+∞)上恒成立， 所以g（t)在（1，+∞)上单调递增， 所以当t>1时，g(t)>g(1)0, 所以g(号)>0，即x1)-f(x2)的取值范围是(0，+∞）· 17分 19.（1)证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥DC 因为ABt平面CDE,DCC平面CDE,所以AB∥平面CDE 1分 【高三数学第7页共9页】 在直角梯形ADEF中，AF∥DE, 因为AFt平面CDE,DEC平面CDE,所以AF∥平面CDE. 2分 因为AB∩AF=A,AB,AFC平面ABF,所以平面ABF∥平面CDE 因为BFC平面ABFE,所以BF∥平面CDE 4分 (2)解：由题意，在矩形ABCD中，ADL DC,在直角梯形ADEF中，AD⊥DE, 所以LCDE为二面角EADC的平面角，即∠CDE=a,同理∠BAF=a. 5分 因为DEn DC=D,DE,DCC平面CDE,所以AD⊥平面CDE. 由(1)知，平面ABF∥平面CDE,所以AD⊥平面ABF 如图，过点E作EH⊥CD于点H,因为AD⊥平面CDE,HEC平面CDE,所以AD⊥EH. 因为ADO DC=D,AD,DCC平面ABCD, 所以EH⊥平面ABCD,即EH是四棱锥E-ABCD的高. 6分 因为ED=2,CD=t=2,BC=3-CD=3-t=1, 所以E.ABCD-S矩形ABCD E旺-号×2×1×2sin(Ⅱ-a）=3ina 因为ED∥AF,EDt平面ABF,AFC平面ABF,所以ED∥平面ABF, 又因为AD⊥平面ABF,且AF=1, 所以VE.ABr=Vo.ABr=SABFAD=×3×2×1×sina×1=3sina. 8分 所以EVE.ABCD+VE.ABF=sina,a∈(0，I）, 当a-时，V取得最大值 9分 D】 (3)解：如图，过点D作DC的垂线，交CE于点G, 分别以DA,DC,DG的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0),A(3-t,0,0),C(0,t,0),B(3-t,t,0), E(0,2cos a,2sin a),F(3-t,cos a,sin a). 10分 【高三数学第8页共9页】 设平面FB的法向量为i=(x,人2)，则厅，BF=0, 方.EF=0 =(0,cosa-t,sina),F=(3-t,-cos a,-sina). 所以 (cosa-t)y+zsina=0, I(3-t)x-y cosa-zsina =0. 令ysna,则z-t-c0sa,X=g÷sina, 所以i=（sina,sina,t-cosa) 12分 设平面BCE的法向量为m=(x1,y1,z）,则元.C正=0。 (m.CE=0. 因为CB=(3-t,0,0),cE=(0,2cosa-t,2sina), 所以 (3-t)x1=0, (2 cosa-t)y1+2z1sin a =0. 令y1=2sina,则z1=t-2c0sa,X1=0, 所以m=(0,2sina,t-2 cos a): 14分 因为平面FFB和平面BCE垂直，所以i·m=O, 即2sin2a+(t-cosa)(t-2cosa)=0,整理得cosa=号(t+) 因为ae(0,m),0<K3,所以c0sa≥号t日-29 当且仅当t=2,即t=√2时，等号成立， 所以当a取得最大值时，cosa-29,t=V2. 15分 因为V=z.ARCD+VE.Ar=子t(3-t)sina+言t(3-t)sina-t(3-t)sina, cosa=2,ae(0.n),所以sina=V1-cos2a-1-号=3 把t=2,sina=代人，得V=l5-0, 18 即当Q取得最大值时，V的值为5-10 18 17分 【高三数学第9页共9页】2026届上学期考评三 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题 卡上的指定位置。 ?.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的 非答题区域均无效 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑：非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答：字体工整，笔迹清楚 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.圆G:+-2与圆G:(r1)4(y2)=4的公切线条数为(）. A.0 B.1 C.2 D.3 2设m,n表示不同直线，α，表示不同平面，则下列结论中正确的是( A若m∥a,m∥a,则n∥a B.若mCa,CB,m∥B,n∥a,则a∥B C若mCa,aLB,则mlB D.m,n是两条异面直线，若m∥a,m∥B,a∥a,n∥B.则a∥B ·含，圆楼（朵1》图 3.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为血的扇形，则该因锥的体积为(）·县 B c D./3n 日为线计 4在三核锥PABC中，PAL底面ABC,PA=4,AAC,LBAC停若△ABC的面积为3疗，则该三校锥 外接球的表面积为()。 A24知 B.36m C.48n D.64n 5.已知数列{an}的前n项和为Sm,a1=1,a3=5,2am+1=an+2+an.若neNr,有Sn+an+8≥tS 恒成立，则实数t的最大值为()， A.3 B.27+2 c赔 D鸣 6.如图，正方体ABCD-ALBICD的棱长为2，E是DD的中点，F是侧面 D A4DD内的一个动点（含边界），且BF/平面BCB,则BAFD的最 A 小值为(). EL- A.2V5 B.22 4 D.32 A 11月2数学共4页第1页 7.已知△ABC的顶点M3,2,AB边上的中线CM所在直线方程为3ry40.直线BC的方程为2r5=0. 则AC边上的高BH所在直线方程为(：). A+2y广8-0 B2.ry+1=0 C.r2+6-0 D2x+y5-0 &如图，把边长为4的正方形纸片ABCD沿着对角线AC折成直二面角.E,F分别为AD,BC的中点， 则点A到直线EF的距离为()， A.2 B要 c D.22 二、选择题：本题共3小题。每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得·分 9已知椭图C+苦-1.P是椭园C上的动点，片，后为精图C的两个焦点，则下列结论正确的有( 1 A若椭圆C的焦点在y轴上，则m<9 B若椭圆C的焦距为2，则m10或m8 C当m5时.椭圆上点P(x,y)总满足Vx2+y-2)+x2+(y+2=25成立 D.当F25时.△PFB的周长为18 10,如图.在四边形OACB中，△ABC为正三角形，设LAOB=0,0<日<，OA2OB-4.则下列说法正 确的有()。 A当8=时，△OAB的面积最大 B.AB=V20-12cos日 C若0A.A丽=-12.则9=月 D.四边形04CB面积的最大值为8+53 11.如图，圆台的上、下底面半径分别为1和2，PQ分别为上、下底面圆周上的点，ABD为圆台的轴 藏面且AQ:2CP=2,则(). A.PQ为每线 B.PQ-PB C.AQLPO D.平血PB0与平面ABCD的夹角等于30 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 12.将话数(x)=s加(2x-》)的图象向左平移0<甲<)个单位后，得到的函数围象关于直线x一 对称。则平· 11月2数学共4重第2到 13已知直线：m*2~0与直线6：r2=0交于点M点M关于直线Fy-0对称的点为M,b》 测的取值范围是一 快作.起大限，件 14已知二面角a-1-B的余弦值号，过其内-点P作棱/的系面V咬被于点C,过点P作PA1平面a。 PB⊥平面B(A,B分别为垂足)若PA3,PB=5,则P心与平面α所成角的正弦值为一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)如图，在三棱锥PABC中，BC⊥PC,PA1平面ABC. (1)求证：平面PAC1平面PBC (2)若AC~BC-PA-2,M是PB的中点，点N在线段PC上，且N-2C,求直线BC与平面AMN 所成角的余弦值。：市4日《1 了此：民611 0,卡)7y+公-)+0m T志的上路43行女u 16.(15分)已知圆心为C的圆经过41，-).B(-1,1)两点，且圆心C在直线y=2x-1上 (2)已知线段PQ的端点Q的坐标是(5,5)，增点P在圆C上运动，线段P口的中点T的轨迹为曲 (1)求圆C的标准方程： 线S,曲线S与圆C相交于D,E两点，求D明. 1月z数攀共4页第3顶 17(15分)在△BC中，D,B分别为BC,AC的中点，AD与B5交于点0，记∠A0B=0,8E(0, n）. (1)若AD-6,BE3日=号，求AB (2)若AD=2BB,DB=2,求△ABC面积的最大值. 事乡 存1尚的国 15 清水小学。 18.(17分)已知函数fx)=号x2-2ax+nx(a为常数). (1)当a=1时，求曲线y=爪闭在点(1，f)处的切线方程： (2)设函数对的两个极值点分别为x1,x2(x1<x2),求fx)-f(x2)的取值范围. 19.(17分)如图，在大面体ABCDEF中，面ADEF是直角梯形，ADLDE,AF∥DB.DE=2AF-2.面 ABCD是矩形，且BCCD=3.设CD=,二面角BADC的大小为a,六面体ABCDEF的体积为 (1)求证：BF∥平面CDE: (2)当t=2时，求V关于a的函数解析式，并求V的最大值： (3)若平面BEFL平面BCB,当α取得最大值时，求V的值。 1片出。升 21学31 1w3 D 14 为 1月z数学共4页第4项