四川省仁寿第一中学校南校区2025-2026学年高一上学期期末模拟测评数学试题

仁寿一中南校区高级2025级高一上期末模拟测评数学试题 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2.已知点是角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 3. 函数的零点一定位于区间（ ）内. A. B. C. D. 4.对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的质量，他将物体放在左托盘各称一次，记两次称量结果分别为，设物体的真实质量为G，则（ ） A. B. C. D. 6.心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.如图是一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图像构成，则“心形”在轴上方的图像对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 7.已知，若有三个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8.已知函数（，，）的图象关于轴对称，且在区间上不单调，则的可能取值有（　　） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B.若，则 C.若则 D.若则 10.下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 若是第二象限角，则在第二象限 C. 已知扇形的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为 D. 若角的终边过点，则 11.若函数是定义在上的奇函数，，当时，，则（ ） A. 函数图象关于直线对称 B. C. 函数图象关于点中心对称 D. 当时， 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填写在答题卡的横线上. 12.幂函数的图象经过点，则实数 . 13.已知，若函数是定义在上的奇函数，则_______. 14. 设方程的根为，方程的根为，则的值为_________． 四､解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（1）求值：； （2）已知角 终边上的一点，求的值. 16. 已知. （1）当时，求证：在上为减函数； （2）若方程有且仅有一个实数根，求的最小值； 17.对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知，通过市场分析，该中药材可以每顿50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润（利润销售额成本）为万元，当基底产出该中药材40吨时，年利润为190万元. (1)年利润（单位：万元）关于年产量（单位：吨）的函数关系式； (2)当年产量为多少时（精确到0.1吨），所获年利润最大？最大年利润是多少（精确到0.1吨）？ 18. 已知函数为奇函数. (1)求实数的值，并判断的单调性（不需要证明）; (2)若对恒成立，求的范围； (3)设函数，若，，使得成立，求实数的取值范围. 19.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，经研究可以将其推广为： 函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)已知函数的定义域为，且图象关于点对称，求的值： (2)已知函数，. （i）根据以上结论，求出函数图象的对称中心，并求在的值域. （ii）是否存在实数，使得对任意，关于的方程在区间上总有3个不等根，若存在，求出实数与的取值范围；若不存在，说明理由. ( 试卷第 1 页，共 3 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿一中南校区高级2025级高一上期末模拟测评数学试题 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，所以， 故选：D 2.已知点是角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由点是角终边上一点，可得. 故选：D 3. 函数的零点一定位于区间（ ）内. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，因为，，，则，由零点存在定理可知，函数的零点一定位于区间内. 故选：B. 4.对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由得：，又，，充分性成立； 当时，若，，则，必要性不成立； “”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5.今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的质量，他将物体放在左托盘各称一次，记两次称量结果分别为，设物体的真实质量为G，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：设天平的左右臂分别为，物体放在左右托盘称得的重量分别为, 真实重量为,所以，由杠杆平衡原理知：，, 所以，由上式得，即，因为,， 所以，由均值不等式，故选：C. 6.心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.如图是一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图像构成，则“心形”在轴上方的图像对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A选项：时，，故A错误； B选项：记，则，故为奇函数，不符合题意，故B错误； C选项：记，则，故为偶函数，当时，， 此函数在上单调递增，在上单调递减，且，故C正确； D选项：记，则， 故既不奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误. 故选：C 7.已知，若有三个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】当时，由，得，而函数在上单调递增， 又有三个零点，因此方程在上有两个不等根， 于是，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 8.已知函数（，，）的图象关于轴对称，且在区间上不单调，则的可能取值有（　　） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【解析】由函数的图像关于轴对称，可得， 因为，可得，所以， 又由，可得， 当时，可得，可得在上单调递减，不符合题意； 当时，可得，可得在上单调递减，不符合题意； 当时，可得，可得在上不单调，符合题意； 当时，可得，可得在上单调递增，不符合题意； 当时，则函数的最小正周期为，此时， 所以函数在上不是单调函数，符合题意， 所以，所以满足条件的有9个. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B.若，则 C.若则 D.若则 答：AD （注意选项C非加糖原理） 10.下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 若是第二象限角，则在第二象限 C. 已知扇形的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为 D. 若角的终边过点，则 【答案】AC 【解析】A：命题“，”的否定是“，”故A正确; B： 因为，又因为是第二象限角， ， 所以，则在第三象限，故错误; C：已知扇形的面积为4，周长为10，则，可得或，而， (舍)或，故C正确； D：角的终边过点，当时，，故D错误； 故选：AC． 11.若函数是定义在上的奇函数，，当时，，则（ ） A. 函数图象关于直线对称 B. C. 函数图象关于点中心对称 D. 当时， 【答案】BC 【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以且， 又，所以关于对称，故A错误； 函数的周期为4 ,，故B正确； 由，，所以，即，所以，则，即，所以函数的图象关于点中心对称，故C正确； 因为当时，，设，则，所以，当时也成立， 所以当时，，故D错误.故选：BC. 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填写在答题卡的横线上. 12.幂函数的图象经过点，则实数 . 【答案】 【解析】幂函数的图象经过点，则 则实数. 故答案为：. 13.已知，若函数是定义在上的奇函数，则_______. 【答案】1 【解析】由题意得，，解得， 所以， 故答案为：1 14. 设方程的根为，方程的根为，则的值为_________． 【答案】7 【解析】由方程的根为，设函数与的交点为； 由方程的根为，设函数与的交点为； 又因函数与函数互为反函数，所以两者图象关于对称， 而且直线与直线互相垂直， 则点与关于对称，则 得到； 由题意得到，则，； 所以. 故答案为：7 四､解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（1）求值：； （2）已知角 终边上的一点，求的值. 【解析】（1）3； （2）因为点在角终边上，所以， 化简：. 16. 已知. （1）当时，求证：在上为减函数； （2）若方程有且仅有一个实数根，求的最小值； 【解析】（1）当时，， 设，且. 则， 因为，所以，所以. 所以，所以在为减函数； （2）因为，所以，任取，，且，则， 因为，，且，所以，， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 因为，当且仅当时等号成立， 因为方程有且仅有一个实数根， 所以，即， 则，当且仅当即时取等， 所以的最小值为4 17.对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知，通过市场分析，该中药材可以每顿50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润（利润销售额成本）为万元，当基底产出该中药材40吨时，年利润为190万元. (1)年利润（单位：万元）关于年产量（单位：吨）的函数关系式； (2)当年产量为多少时（精确到0.1吨），所获年利润最大？最大年利润是多少（精确到0.1吨）？ 【解析】（1）当基底产出该中药材40吨时，年成本为万元， 利润为，解得， 则. （2）当，，，对称轴为， 则函数在，上单调递增，故当时，， 当，时， 当且仅当，即时取等号， 因为，所以当年产量为84.1吨时，所获年利润最大，最大年利润是451.3万元. 18. 已知函数为奇函数. (1)求实数的值，并判断的单调性（不需要证明）; (2)若对恒成立，求的范围； (3)设函数，若，，使得成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为为上的奇函数，所以，即， 由于 ，故 ，此时易知 在 上递增，可得 在 上递减，故 在 上递增. （2）由 为 上的奇函数且递增，原不等式化为： 因此 设 ， （3）化简 ： 令 ，由 得 ，则 此二次函数开口向下，在 处取最大值，最小值在端点 或 处，计算得： 故 ； 而 在 上递增，最大值为 ， 条件 使 成立，等价于 ， 即： 因此实数 的取值范围是 . 19.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，经研究可以将其推广为： 函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)已知函数的定义域为，且图象关于点对称，求的值： (2)已知函数，. （i）根据以上结论，求出函数图象的对称中心，并求在的值域. （ii）是否存在实数，使得对任意，关于的方程在区间上总有3个不等根，若存在，求出实数与的取值范围；若不存在，说明理由. 【解析】（1）函数的定义域为，且图象关于点对称， 则函数为奇函数，所以， 则令得，令得，即， 所以； （2）（i）设的对称中心为，函数为奇函数， 则恒成立， 所以 整理得，故，解得， 所以函数的对称中心为， 则，因为函数在上单调递增， 所以函数在上单增， 所以，故在的值域为； （ii）令，由（i）知， 令，因为在单调减，在单调递增， 且，又 则①当时，方程有两个不等根且， 则，所以； ②当时，方程有且只有一个根且此根在区间内或者为1， 又方程转化为 设， 由二次函数与的图象特征， 原题目等价于：对任意，关于的方程在区间上总有2个不等根，， 且有两个不等根，只有一个根，则必有， 当时，结合二次函数的图象， 则有，解之得； 综上，实数的取值范围为：； 此时，则其根，故必有. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $