考点02 平面向量数量积的应用（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考点02 平面向量数量积的应用 数量积的定义 题型一：定义法求数量积 考点一：平面向量数量积 数量积满足的运算律 题型二：基底法求数量积 利用数量积求模长 题型三：利用数量积求模 平面向量数量积的应用 考点二：平面向量数量积的应用 利用数量积求夹角 题型四：利用数量积求夹角 投影向量与投影数量 题型五：利用数量积求投影向量 直接利用数量积公式求最值 题型六：利用定义求数量积的最值 考点三：平面向量数量积的最值与范围 利用极化恒等式来求数量积的最值 题型七：极化恒等式求数量积的最值 利用投影法求数量积的最值 题型八：投影法求数量积的最值 考点支缺 精准补渴 考点一：平面向量数量积 1、定义：已知两个非零向量a,,则cos(京，)叫做a,的数量积，记作a6,即 a=cos(位，).零向量与任何向量的数量积为0，特别地，主.a=2 注意：数量积是数量，不是向量。 2、数量积满足的运算律 ()6=(a6):a6=6.京（交换律；a(6+)=京·6+·c(分配律）. 考点二：平面向量数量积的应用 1、利用数量积求模长 如果知道京的恢长，以及a·石向量夹角，则可以根据|a士=a士)-V骨土2石+子求 a土向量的模长 2、利用数量积求夹角 根据©0s(司，)=語可以求向量夹角的余弦值，从而可以求向量的夹角 五 3、向量的投影： aB.-.cos0. b 向量a在b上的投影向量： ，其中方是与6同方向的单位向量 a.b 向量aā在b上的投影向量模长： 考点三：平面向量数量积的最值与范围 1/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1、直接利用数量积公式求最值，两平面向量的数量积大小根据两个向量模长、夹角大小来确定，若模长固 定，则可根据夹角大小来确定。 2、利用极化恒等式来求数量积的最值。 (①)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：目++信-=2+的 ②极化恒等式冠方=[(a+)2-(京-)2] 3、利用投影法求数量积的最值：根据数量积公式A·AC=AB|AC cos<AB,AC>，如其中有一边 AB为固定的长度，则直接根据|ACcos<AB,AC>(可看做是AC在AB边上的投影数量)来决定数量 积的范围。 题型突破 遥法接冻 1 定义法求数量积 点方法 直接利用平面向量数量积的定义和运算律来求平面向量数量积 辩易转 直接利用公式计算的时候要注意向量夹角，没有注意向量方向可能会误导夹角的大小。 1.(2025高二上河南学业考试)已知向量a,6满足a=3,=4,且a的夹角为30°，则ab=() A.6 B.6√2 C.65 D.12 2.(2025高二上·贵州学业考试)在边长为2的正方形ABCD中，AB.AD=() A.-4 B.0 C.2 D.4 3.(25-26高三上贵州月考)已知向量a,6垂直，且日=1，同=3，则(2ā+列(a-列= 4.(2026商三广东专题练习》已知向量a与a-5的夹角为，a1,1a-L2,则a6- 2 基底法求数量积 点方法 基底法求数量积：将所求的向量用一组已知模长和夹角的基底向量线性表示，然后利用数量积的分配律 展开计算 群易猪 选择合适的基底，利用向量的共线定理以及平面向量基本定理来表示目标向量。 2/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(25-26高三上湖北月考)已知H为ABC中BC边上一点且满足B丽=2HC,AB=1,4AC=2,A= 31 则A五.BC=(） A.1 B.2 C.3 D.4 2.(25-26高三上贵州贵阳·月考)如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，BE=2EC,则 AE·AD= D A B 3.(2026河南开封一模)菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为CD的中点，N为BC的中点，则 AM.AN=() A.2+55 B.4+ 5V3 9 c. D. 13 2 2 2 4.(25-26高三上江苏南通·期中)在边长为6的等边三角形ABC中，BC=3BD，则AD·AC= 5.(25-26高三上福建月考)在平行四边形ABCD中，AB=4,AD=3,点E是AB的中点，点F满足 BF=2FC,且DF=V3,则EF.DF= 3 利用数量积求模 点方法 利用a=√a·a及(a±)子=a±2a.方+2，把向量的模的运算转化为数量积运算； 舞易结 利用平方后计算数量积，但注意最后的结果需要再开方才能得到模长。 1.(2025河北沧州模拟预测)已知两两不共线的三个平面向量a,6,c满足：d=3,=4,d=5,使得 5a.万=36.c=4ac=1,则a+6+d=() A.3 B.5 C.97 D.106 2.(2025-四川达州一模)向量a,6满足b=l,ab=1,a+2ba-2b=0,则a-=() A.2 B.1 C.3 2 D.3 3/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(25-26高三上福建龙岩月考)已知非零向量a,6满足=(2，-1，万1(6-4a),则2ā-=() A.25 B.20 C.10 D.2√10 4.(25-26高三上河北沧州期中)已知向量ā，万满足=3，=5，且ā，万的夹角为60°，则 2ā-6=一 6(2025高三上河南鹤壁专题练习)已知非零向量a6满足回=a-2,a1a-2,则月=（) A.2 B. C.2 D.2 2 4 利用数量积求夹角 点方法 1、利于向量数量积公式cos0= 6 同 来计算向量的夹角。3⊥6台：b=0 2、有关向量夹角的两个结论 (1)若与6的夹角为锐角，则a·乃>0；若a·石>0，则a与6的夹角为锐角或0. (2)若与6的夹角为钝角，则a·石<0；若a·石<0，则与6的夹角为钝角或元 辨易绪 根据数量积的正负判断锐角钝角时，容易把共线的情况遗漏。 1.(25-26高三上重庆沙坪坝月考)已知向量a,6满足：1=2，=1，（ā+）1(2a-5),则(a,)= () A君 B. c p 2π 2.(25-26高三上甘肃酒泉期末)已知平面向量ā，6满足=2，=22，a-=6,则a与6的 夹角为() A. B. 2π 6 c D. 3.(25-26高三上黑龙江哈尔滨期末)已知向量d=22,=2,ā-ā+)=9，设向量a与6的夹角 为0，则c0s0=() A B.2 c, 4 D.4 4.(2026高二上辽宁学业考试)已知a-=1b=22a-b=2,则(a,6}=（) 4/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A. B. D. 6 2 3 5.(多选)(24-25高一下·安微月考)设ā，b都是非零向量，则下列命题中正确的是() A.若a,b的夹角为锐角，则ab>0 B.若a.b<0,则a,b的夹角为钝角 c.若a=26,则a+6与a-6同向 D.若1a+b曰a-b1,则a⊥b 5 利用数量积求投影向量 点方法 根据投影向量公式，向量ā在b上的投影向量： aB.-cos0 b 公式比较长，可以从几何角 度去理解记忆，先求投影数量，再乘上单位向量。 辨易精 区分投影向量与投影数量的概念。 1.(河南省南阳市六校联考2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试题)己知平面向量a,b满足 d=2,=5,(2a+b)16,则E在a上的投影数量为() A.-3 B. 3 C.、3 D. 3 2 2 4 4 2.(25-26高三上陕西榆林月考)已知向量ā，6不共线，且ā+2=a-2,则向量2a-6在向量石上的 投影向量为() A.2b B.6 C.-2b D.-b 3.(24-25高二下福建福州期末)已知向量a,满足同=5，a(36)=-30,则a在上的投影向量为() A.- 2方 B. D.-26 5 4(2526商三上湖痛常德月考)设单位向量：G的夹角为子8=+2G,6-24-3起，则Z在a 的投影向量为() 3- A.-5a B.- -a C.3a 2 D. 5.(2025高三上广东广州专题练习)已知ABC的外接圆圆心为0，且OA+OB=0C,则CB在CA上的 投影向量为() 5/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A. B.- A c.jca D.c 6 利用定义求数量积的最值 点方法 根据数量积公式，数量积大小由模长、夹角来决定，如果模长都是固定的，则可以通过夹角的大 小决定数量积 群易猪 注意夹角余弦的正负。 1.(25-26高三上·内蒙古月考)己知正方形ABCD的边长为2，圆0是正方形ABCD的内切圆，点M在圆 O上，点N在正方形ABCD的边上，则OM.ON的最大值为 2.(25-26高三上北京顺义·期中)已知圆0：x2+y2=4,过点(0,1的直线与圆0交于AB两点则OAOB的 取值范围为() A.【-4-2] B.[-2,0] C.[-4,0] D.I0,4 3.(25-26高二上·黑龙江·开学考试)已知0为ABC的外接圆圆心，0A=1,∠BAC=60°，则AB.OC的最 大值为() A.2 B.2 C.1 D. 4.(2025吉林长春模拟预测)已知平面内两个非零向量m,”满足园=√2，且m-”与的夹角为135°，则 mn的最大值为() A.+ B.2+1 c.5+2 2 D.√2+2 2 5.(25-26高二上湖北荆州月考)如图，边长为2的正方形ABCD,E、F分别为线段DC、BC上的点.点 G与EF构成等边三角形EFG,EF=2且G点在EF右上方.HI⊥AB,HI=1,A1=√5.则EG.A五的最 大值为 G DE F H 7极化恒等式求数量积的最值 6/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点方法 用极化恒等式的信号： 1出现一动点与两定点（或固定长度的两点)。 2出现对角线长度已知的平行四边形。 3.已知两个向量的和向量与差向量的长度。 舞易猪 识别极化恒等式使用条件及熟记公式 1.(25-26高三上北京·月考)如图，正六边形的边长为√3，半径为1的圆0的圆心为正六边形的中 心，若点M在正六边形的边上运动，动点A,B在圆O上运动且关于圆心O对称，则MAMB的 最大值为() B A.1 B.2 C.3 D.4 2.(24-25高一下·广东惠州月考)已知△ABC是边长为2的正三角形，点D在平面ABC内且DA.DB=0,则 DA.DC的最大值为 3.(25-26高二上贵州遵义·月考)如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2,BC=2V5,M点是线段 AC一动点，若以M为圆心半径为1的圆与线段AC交于P,Q两点，则BP.BO的最小值为」 4.(25-26高三上辽宁大连期中)已知在ABC中，AB=4,AC=4,若2AB+(1-2)AC的最小值是2√5 ,则对于ABC内的任意一点P,PA:PB+PC)的最小值是 5.(25-26高三上·安微马鞍山月考)已知点C在以AB为直径的圆上运动，且AB=2,动点M为平面ABC 内一点，且MAMB=3,则下列结论正确的是() A.MC的最小值为1 7/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.CMAB的最小值为-6 C.MA+MB+2MC的最大值为10 D.MA+MB+2MC的最小值为8 8 投影法求数量积的最值 点方法 当两向量中有一个向量的模长已知，且能找到另一个向量到该向量的投影数量，则考虑用投影法 去求数量积的最值或范围。 辨易猪 注意投影数量的正负性。 1.(2026陕西西安·三模)设A,B,C是半径为1的圆上三点，若AB=1,则AB.AC的最大值为() A.1 B C.5 D.2 2.(25-26高三上北京海淀月考)在ABC中，已知(3AB-ACAB-AC)=0且A=1,则ABAC的取 值范围为() B. C.(1,3 D.(1,3] 3.(24-25高一下·江苏盐城期中)如图所示，在边长为4的正八边形ABCDEFGH中，点O为正八边形的 中心，点P是其内部任意一点，则OA.PA+OF.PA的取值范围是() A.-8V2,16+8V2 B.（-16,16+8V2) C.（-8,16 D.（-16,16) 4.(25-26高三上湖南长沙月考)己知ABC是边长为4的等边三角形，点P是ABC所在平面内的一点， 且满足AP+BP+CP=3,则P.AB的最大值是() A.8+2√5 B.8 8/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.163 D.12 3 5.(25-26高三上河南南阳·期中)蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的.若不计峰巢壁的厚 度，峰巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，O,M是其中一 个正六边形的顶点，N为图中7个正六边形内一点（包含边界），则OM.ON的取值范围是() OM A.-1,2] B.[-2,2 C.[-1-5,2+v5] D.【-2,3 三融汇黄通 镜力是化 1.(25-26高三上湖南月考)己知向量ā，6满足=a-,且ā+6在万上的投影向量为单位向量，则= () 2 A. 3 B.√2 C.3 D.2 2.(2025湖北模拟预测)已知平面向量ā，6，a=5,设万-石在a上的投影向量为-3ā，则a与6的夹 角为() A.5π B. D. 6 3 6 6 32526商三上天津期)已如向量a方5的夹角为行，若2五-6在a访向上的极彬向量为号，则 =() A.3 B. 3-2 C.2 D 4.(25-26高三上江苏月考)P是边长为2的正六边形ABCDEF的六条边上的一个动点，则AB.AP的最大 值是() A.4 B.4V3 C.6 D.6√5 5.(25-26高三上山东烟台·期中)在等腰直角三角形ABC中，AB1BC,AB=2,D为边AC上一动点， 9/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则BD.BA+BC() A.为定值4 B.为定值8 C.最大值为4 D.最大值为8 6.(2025云南一模)在ABC中，AB=5,AC=8,N为BC的中点，且ABC外接圆的圆心为M,则 AM·AN=() A.11 B.14 D. 7.(2025高一下·江苏南京·专题练习)窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一， 图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形 ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则AP.AB的最小值为() A 图1 图2 A.2 B.-2 C.-22 D.-42 8.(多选)(24-25高一下山东威海期末)己知ā，b为非零向量，则() A.若2a+=la-2b,则a1b B.若a+b=a-b),则a/6 C.若ab>0,则(a,b)为锐角 D.若a.b=a5,则a/6 9.(多选)(24-25高一下广东湛江期中)六角螺帽也叫六角螺母，是一种常见的紧固用零件，与螺丝、螺 栓、螺钉相互配合使用，起连接紧固机件的作用.如图，这是某六角螺帽的截面图，O是正六边形的中心， 也是圆O的圆心.M,N是圆O上的动点，且线段MN经过点O.己知AB=4,MN=6,P是六边形边上 的动点，则下列结论正确的是() M B A.若点P与点A重合，则PM的最大值是7B.若P是线段AB的中点，则PM.AB=PN.AB C.若P是线段AB的中点，则PM.PN=3D.PM.P的最大值是7 10.(24-25高一下·湖南邵阳·期末)在矩形ABCD中，AB=2AD=4,P是矩形ABCD区域内一点（含边界)， 10/11 考点02 平面向量数量积的应用 考点一：平面向量数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． 注意：数量积是数量，不是向量。 2、数量积满足的运算律 ；（交换律）；（分配律）． 考点二：平面向量数量积的应用 1、利用数量积求模长 如果知道，的模长，以及、向量夹角，则可以根据求向量的模长 2、利用数量积求夹角 根据可以求向量夹角的余弦值，从而可以求向量的夹角 3、向量的投影： 向量在上的投影向量：，其中是与同方向的单位向量 向量在上的投影向量模长： 考点三：平面向量数量积的最值与范围 1、 直接利用数量积公式求最值，两平面向量的数量积大小根据两个向量模长、夹角大小来确定，若模长固定，则可根据夹角大小来确定。 2、 利用极化恒等式来求数量积的最值。 (1) 平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：. (2) 极化恒等式 3、利用投影法求数量积的最值：根据数量积公式，如其中有一边为固定的长度，则直接根据（可看做是AC在AB边上的投影数量）来决定数量积的范围。 定义法求数量积 直接利用平面向量数量积的定义和运算律来求平面向量数量积 直接利用公式计算的时候要注意向量夹角，没有注意向量方向可能会误导夹角的大小。 1．（2025高二上·河南·学业考试）已知向量满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B． C． D．12 【答案】C 【分析】根据向量数量积的定义求解即可 【详解】根据题意，. 故选：C 2．（2025高二上·贵州·学业考试）在边长为2的正方形中，（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据正方形的几何性质和向量的数量积定义即可求解. 【详解】因为正方形的边长为2，所以，所以； 故选：B. 3．（25-26高三上·贵州·月考）已知向量垂直，且，，则 ． 【答案】 【分析】由题设可得，再根据平面向量数量积的运算律求解即可. 【详解】由题意，，，， 则. 故答案为：. 4．（2026高三·广东·专题练习）已知向量与的夹角为，，，则 【答案】2 【分析】根据平面向量的数量积公式以及运算法则即可求解. 【详解】， 又， 所以，则. 故答案为：2 基底法求数量积 基底法求数量积：将所求的向量用一组已知模长和夹角的基底向量线性表示，然后利用数量积的分配律展开计算。 选择合适的基底，利用向量的共线定理以及平面向量基本定理来表示目标向量。 1．（25-26高三上·湖北·月考）已知为中边上一点且满足，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查基底运算知识点，需用分别表示出和，进行数量积运算即可. 【详解】由得，故 ， 所以 ， 故选：B． 2．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）如图，在边长为2的菱形中，，，则 【答案】 【分析】选取，为基底，根据向量的加法减法运算，利用数量积公式计算即可. 【详解】设，，且，， 因为，可得， 所以. 故答案为： 3．（2026·河南开封·一模）菱形的边长为，为的中点，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的运算法则可得，然后利用向量的数量积定义即可求得. 【详解】如图，连接，则，；    所以，，，； 因为为的中点，为的中点，所以； 所以. 故选：D. 4．（25-26高三上·江苏南通·期中）在边长为的等边三角形中，，则 . 【答案】 【分析】先将用与表示出来，再根据向量数量积的运算律计算. 【详解】已知，因此， 又因为在三角形中，，所以： ， 等边三角形的边长为，因此，且与的夹角为， 则， ， 所以， 因此，. 故答案为：. 5．（25-26高三上·福建·月考）在平行四边形中，，，点是的中点，点满足，且，则 ． 【答案】 【分析】先求得关于的线性表示，然后根据求解出的值，结合关于的线性表示以及数量积公式可求得结果. 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 又因为， 所以 ， 故答案为：. 利用数量积求模 利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； 利用平方后计算数量积，但注意最后的结果需要再开方才能得到模长。 1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知两两不共线的三个平面向量满足：，使得，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，求得，得到两两的夹角相等，且为，结合向量数量积的运算律，即可求解. 【详解】设，因为， 则， 又因为向量夹角的范围为，所以两两的夹角相等，且为， 所以. 故选：B. 2．（2025·四川达州·一模）向量满足，则（ ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先求出，代入即可得出答案. 【详解】因为所以 所以，所以. 故选：D. 3．（25-26高三上·福建龙岩·月考）已知非零向量满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过向量垂直的条件得出与的关系，再计算，最后开方得到的值. 【详解】已知，根据向量模长公式可得：， 因此， 因为，根据向量垂直的性质有：，即， 所以， 将和代入得：， 由，所以. 故选：A. 4．（25-26高三上·河北沧州·期中）已知向量，满足，，且，的夹角为，则 ． 【答案】 【分析】根据向量模的公式直接求解即可. 【详解】因为，，且，的夹角为60°， 所以， 所以． 故答案为： 5．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知非零向量满足，，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】两边平方得到，根据向量垂直得到方程，求出，从而，得到答案. 【详解】，两边平方得， 所以 又，故，即， 所以，故，. 故选：C 利用数量积求夹角 1、 利于向量数量积公式=来计算向量的夹角。 2、有关向量夹角的两个结论 (1)若与的夹角为锐角，则；若，则与的夹角为锐角或0. (2)若与的夹角为钝角，则；若，则与的夹角为钝角或π. 根据数量积的正负判断锐角钝角时，容易把共线的情况遗漏。 1．（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）已知向量 满足： ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直的数量积表示求出，再由平面向量的夹角公式求解即可. 【详解】， 则， 即，解得， 所以， 又，所以. 故选：B 2．（25-26高三上·甘肃酒泉·期末）已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据模的平方及数量积的运算求解夹角即可. 【详解】， , 又，， ，解得， 又，， 故选：C 3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，，，设向量与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的数量积求夹角的余弦值即可. 【详解】因为，即， 又，，向量与的夹角为， 所以，解得. 故选：D. 4．（2026高二上·辽宁·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用向量数量积的运算律结合条件求出，再根据向量夹角的计算公式列式求解即得. 【详解】由得， 又因为，代入解得， 由， 因为，所以. 故选：C. 5．（多选）（24-25高一下·安徽·月考）设都是非零向量，则下列命题中正确的是（   ） A．若的夹角为锐角，则 B．若，则的夹角为钝角 C．若，则与同向 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据向量夹角可分析数量积正负判断A；由数量积正负分析夹角注意特殊情况判断B；由向量线性运算化简后判断C；根据向量加法、减法的几何意义判断D. 【详解】对A，的夹角为锐角，则大于零，所以大于零，A对． 对B，当共线且方向相反时，有，所以B错． 对C，，所以与同向，C对． 对D，当时，以为邻边的平行四边形是矩形，所以，D对． 故选：ACD． 利用数量积求投影向量 根据投影向量公式，向量在上的投影向量：，公式比较长，可以从几何角度去理解记忆，先求投影数量，再乘上单位向量。 区分投影向量与投影数量的概念。 1．（河南省南阳市六校联考2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试题）已知平面向量满足，，，则在上的投影数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的运算律及定义，结合投影数量的公式即可求解． 【详解】设， 因为， 所以，解得， 所以在上的投影数量为， 故选：C． 2．（25-26高三上·陕西榆林·月考）已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，再利用投影向量的公式求解即可． 【详解】，两边平方得，解得， 向量在向量上的投影向量为. 故选：D 3．（24-25高二下·福建福州·期末）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合向量的投影向量公式，即可求解. 【详解】设与夹角为，求在上的投影向量公式为：， 所以根据题意，即， 将代入可得：，而，所以. 故选：. 4．（25-26高三上·湖南常德·月考）设单位向量，的夹角为，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量数量积的运算性质得到，再由投影向量计算公式即可求解. 【详解】依题意得， ， ， 因此在上的投影向量为. 故选：B 5．（2025高三上·广东广州·专题练习）已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据可判断四边形的形状，由外接圆可进一步判断其形状及角度，从而根据投影向量的概念求解. 【详解】由知，即， 又三点构成，所以，所以四边形是平行四边形，如图： 又的外接圆圆心为，所以， 所以平行四边形是菱形，且，即与的夹角为， 设菱形的边长为. 则在上的投影向量为. 故选：D. 利用定义求数量积的最值 根据数量积公式，数量积大小由模长、夹角来决定，如果模长都是固定的，则可以通过夹角的大小决定数量积 注意夹角余弦的正负。 1．（25-26高三上·内蒙古·月考）已知正方形的边长为2，圆是正方形的内切圆，点在圆上，点在正方形的边上，则的最大值为 . 【答案】 【分析】结合图形，利用两向量的数量积的定义即可求得其最大值. 【详解】    如图，圆是边长为2的正方形的内切圆，点分别是圆和正方形的边上的点， 则， 当且仅当，共线且同向，，时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 2．（25-26高三上·北京顺义·期中）已知圆，过点的直线与圆交于两点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出夹角的最小值和最大值，再利用向量的数量积公式求解即可. 【详解】圆：，圆心为，半径. 记点为点， 因为，所以点在圆内， ， 当点为的中点时，的夹角最小，此时，， 所以，所以，所以， 即夹角的最小值为； 当线段是圆的一条直径时，的夹角最大，最大值为. 所以，, 所以. 故选：A. 3．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）已知为的外接圆圆心，，，则的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据已知画出示意图，利用向量数量积的运算律有，再应用数量积的定义、数形结合求最值. 【详解】如图所示，因为为的外接圆圆心，，， 所以，且， 所以， 所以当反向共线时，取到最大值. 故选：D 4．（2025·吉林长春·模拟预测）已知平面内两个非零向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，则中，，外接圆的半径为1，设，由正弦定理可得，则，利用三角恒等变换可求最大值. 【详解】设，则， 因为，与的夹角为， 所以在中，，，如图所示， 由正弦定理得外接圆的半径为， 则为圆上与不重合的动点， 设， 由正弦定理可得， 则 ， 当，即时，取得最大值. 故选：B. 5．（25-26高二上·湖北荆州·月考）如图，边长为2的正方形，、分别为线段上的点.点与构成等边三角形，且点在右上方. ，. 则的最大值为 .    【答案】4 【分析】设向量，的夹角为，根据数量积的定义可得，说明能取，由此证明结论. 【详解】因为，， 所以， 因为为等边三角形，，所以， 设向量，的夹角为， 则， 所以， 又当时，因为，故，， 因为，所以， 此时，的夹角为，等号成立， 所以的最大值为， 故答案为： 极化恒等式求数量积的最值 用极化恒等式的信号： 1. 出现一动点与两定点（或固定长度的两点）。 2. 出现对角线长度已知的平行四边形。 3. 已知两个向量的和向量与差向量的长度。 识别极化恒等式使用条件及熟记公式 1．（25-26高三上·北京·月考）如图，正六边形的边长为 ，半径为 1 的圆 的圆心为正六边形的中心，若点 在正六边形的边上运动，动点 在圆 上运动且关于圆心 对称，则 的最大值为（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】连接、、、，则为的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出，数形结合求出的最大值，即可得出的最大值. 【详解】连接、、、，则为的中点， 由正六边形性质得，，而， 因此 ， 当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值. 故选：B 2．（24-25高一下·广东惠州·月考）已知是边长为2的正三角形，点D在平面内且 则 的最大值为 . 【答案】3 【分析】根据分析点轨迹，取中点E，将转化为，然后结合图形可解. 【详解】因为，所以点在以为直径的圆上， 记的中点分别为 贝 因为是边长为2的正三角形，，所以 易知，当三点共线时取得最大值，此时 所以的最大值为. 故答案为：3. 3．（25-26高二上·贵州遵义·月考）如图，中，，，，点是线段一动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的最小值为 .    【答案】 【分析】借助向量线性运算及数量积公式可得，再求出最小值即可得. 【详解】连接，则 ， 由最小值为中以为底的高， 则， 经检验等号成立时满足题意.    4．（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知在中，，若的最小值是，则对于内的任意一点，的最小值是 ． 【答案】. 【分析】先将整理成，得到的最小值为，取的中点，连接，求出.根据平面向量加法的平行四边形法则得到，从而得到，取中点，利用平面向量的三角形法则得到，，从而得到 ，从而求出的最小值. 【详解】， ，的最小值为， 的最小值为到的距离，到的距离为， 取的中点，连接， ，，，   ，，， 取中点，则，，，， ， 是内的任意一点，，，的最小值为. 故答案为：. 5．（25-26高三上·安徽马鞍山·月考）已知点在以为直径的圆上运动，且，动点为平面内一点，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最大值为10 D．的最小值为8 【答案】ABC 【分析】结合点和点的轨迹可以判断A选项；由向量的数量积公式可知的最小值，判断B选项；利用向量的线性表示，得到，结合向量夹角的范围得到的范围，即得最大值和最小值，判断C、D两个选项. 【详解】A选项，设中点为，∵，，且， ∴，∴ 由题意可知，∵， ∴， 即，当，即同向时取得最小值1.故A正确； B选项，， ∵，即， ∴当，即反向时，取得最小值， ∴， 由图可知，当三点共线且在的两侧时，取得最大值为3， ∴，即最小值为，故正确； 选项C、D，， ∴ ， 而 ∵，∴， ∴ ∴， ∴， 即的最大值是10，最小值是6，故C正确，D错误． 故选：ABC. 投影法求数量积的最值 当两向量中有一个向量的模长已知，且能找到另一个向量到该向量的投影数量，则考虑用投影法去求数量积的最值或范围。 注意投影数量的正负性。 1．（2026·陕西西安·三模）设，，是半径为1的圆上三点，若，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】过作，交直线AB于点，根据数量积公式，可得，根据圆的几何性质，可得的最大值，分析即可得答案. 【详解】由题画出图形，则向量的夹角为锐角时适合题意，过作，交直线AB于点， 则， 故当取得最大值时，的值最大. 设圆心为，因为圆的半径为1，故是边长为1的等边三角形， 且当与圆相切时，的值最大， 过O作，交AB于D，连接OC，则四边形ODHC为矩形， 所以，则，即的最大值为 故的最大值为. 故选：B 2．（25-26高三上·北京海淀·月考）在中，已知且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法1：利用几何法，延长线段至点，使得，然后由数量积的几何意义求得结果；方法2：利用代数计算法，将等式展开得到，进而可求得结果. 【详解】法1：由题意得，延长线段至点，使得， 易知在以为直径的圆上（不含两点），由数量积的几何意义可知 故选：C. 法2：由可得. 设夹角为，得，故，解得，故. 故选：C. 3．（24-25高一下·江苏盐城·期中）如图所示，在边长为4的正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正八边形的边长为4，求出外接圆的半径和内切圆的半径，再根据平面向量的数量积求出的最小值和最大值，即可得出结果 【详解】正八边形中，， 所以，， 连接，过点作，交、于点、，交于点， 设， 中，由余弦定理得，， △OAF中，， 所以，解得， ，解得， 所以， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 此时取得最小值为， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 此时取得最大值为， 因为点P是其内部任意一点，所以的取值范围是． 故选：A． 4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知是边长为4的等边三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最大值是（　　） A．8 B．8 C． D．12 【答案】D 【分析】取等边的中心为，利用向量的线性运算化简可得，然后结合数量积的几何意义求解即可. 【详解】如图，取等边的中心为，的中点为， 则， 因为， 所以，则， 故点在以为圆心，1为半径的圆上． 过作交圆于点，且与方向相同， 由向量数量积的几何意义知，当点与点重合时，取最大值， 此时，过点作的垂线，垂足为，易知， 所以． 故选：D． 5．（25-26高三上·河南南阳·期中）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，O，M是其中一个正六边形的顶点，N为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用投影法研究数量积最值. 【详解】设向量在向量上的投影向量为，则， 如图，过作，垂足为，过作，垂足为． 当在处时，最小，最小值为； 当在处时，最大，最大值为． 综上所述，的取值范围是． 故选D． 1．（25-26高三上·湖南·月考）已知向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】将的两边同时平方得，根据在上的投影向量为单位向量得到一个关于的方程，解方程即可. 【详解】将的两边同时平方得 ，展开得， 整理得， 由在上的投影向量为单位向量可知其模长为1，即， 即，解得． 故选：A. 2．（2025·湖北·模拟预测）已知平面向量，设在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量公式可得，再根据向量夹角公式求解即可. 【详解】在上的投影向量为，即， 所以，则， 因为，所以. 故选：A. 3．（25-26高三上·天津·期中）已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由题意列出等量关系，然后由向量的数量积化简等式，进而得到即可. 【详解】由题意得，则， ∴，∴，∴. 故选：A. 4．（25-26高三上·江苏·月考）P是边长为2的正六边形ABCDEF的六条边上的一个动点，则的最大值是（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】利用数量积的几何意义，结合图形分析即可得解. 【详解】因为， 如图，过点作， 由图可知，当与点重合时，向量在上的投影取得最大值， 此时取得最大值，则， 因为，则，， 所以. 故选：C. 5．（25-26高三上·山东烟台·期中）在等腰直角三角形中，，，为边上一动点，则（    ） A．为定值4 B．为定值8 C．最大值为4 D．最大值为8 【答案】A 【分析】根据向量的加法及向量数量积的几何意义直接可得. 【详解】如图：因为等腰直角三角形中，，所以.      设E为的中点，由平行四边形法则可知，且，. 由数量积的几何意义可知，. 故选：A. 6．（2025·云南·一模）在中，为的中点，且外接圆的圆心为M，则（   ） A．11 B．14 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分别取线段的中点为结合向量数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为N为的中点，则，所以． 如图，分别取线段的中点为，因为M为的外接圆圆心， 所以，则 ， ， 因此． 故选：D． 7．（2025高一下·江苏南京·专题练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】设夹角为，分析可得，当，则，当时，以为原点，、分别为轴建系，根据正八边形性质，可得各点坐标，分别计算在线段（除）上、在线段上运动和在线段（除）上运动时，的表达式，求出其范围，综合考虑即得答案. 【详解】设的夹角为， 当与重合时，； 当在线段（除）、线段、线段，线段，线段（除）点上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知，G到AF的距离为， 则， 直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为， 当在线段（除）上运动时，设， 所以， 当在线段上运动时，设， 所以， 当在线段（除）上运动时，设， 所以. 综上所述，的最小值为. 故选：C 8．（多选）（24-25高一下·山东威海·期末）已知为非零向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则为锐角 D．若，则 【答案】BD 【分析】对于A利用向量数量积的运算律即可判断，对于B根据共线向量定理即可判断，对于C当时，即可判断，对于D利用夹角公式即可判断. 【详解】对于A：由得 ，所以，故A错误； 对于B：由于为非零向量，由可知不等于1，故，所以，故B正确； 对于C：当时，，但不是锐角，故C错误； 对于D：因为，所以，所以或，所以，故D正确. 故选：BD. 9．（多选）（24-25高一下·广东湛江·期中）六角螺帽也叫六角螺母，是一种常见的紧固用零件，与螺丝、螺栓、螺钉相互配合使用，起连接紧固机件的作用．如图，这是某六角螺帽的截面图，O是正六边形的中心，也是圆O的圆心．M，N是圆O上的动点，且线段MN经过点O．已知，，P是六边形边上的动点，则下列结论正确的是（   ） A．若点P与点A重合，则的最大值是7 B．若P是线段AB的中点，则 C．若P是线段AB的中点，则 D．的最大值是7 【答案】ACD 【分析】运用数量积的运算律，结合线性运算转化，进行计算，逐个判断即可. 【详解】对于A，若点P与点A重合，连接PO并延长，与圆O的另一个交点为H． 当点M与点H重合时，取得最大值7，则A正确． 对于B，当P是线段AB的中点时，，则B错误． 对于C，因为，，所以，则C正确． 对于D，因为，且，所以，则D正确. 故选：ACD. 10．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称，则的最大值为（    ） A．9 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】取的中点，连接，由向量加减法可得，据此可得答案. 【详解】因为点与点关于点对称，所以，则． 取的中点，连接，则，， 则． 当点与点或点重合时，取得最大值，则， 从而的最大值为8． 故选：D 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $