精品解析：黑龙江省哈尔滨市第十四中学校2025-2026学年高一上学期数学周测试题（12月1日）

高一数学周测（12月1日） 一、单选题（9×5=45分） 1. 下列函数中，单调增区间和值域都是的选项是（ ） A. B. C. D. 2. 已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，，则，，之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（4×6=24分） 10. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列结论正确的有（    ） A. B. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 C. 终边落在直线上的角的集合是 D. 已知点在第四象限，则角终边在第二象限； 12. 下列说法正确的是（ ） A. 若终边上一点的坐标为，则 B. 若角为锐角，则是第一象限角 C. 若，且，则 D. 若圆心角为的扇形的弧长为2，则该扇形的面积为 13. 已知函数，则（ ） A. 函数的图象关于对称 B. 函数的单调递减区间是 C. 函数的值域是 D. 不等式的解集是 三、填空题（4×5=20分） 14. 不等式的解集为_______． 15. 已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围_____________. 16. 下列说法正确的是_______． ①三角形的内角是第一象限角； ②与终边相同的角的集合为； ③终边在直线上的角的集合为； ④若是第三象限角，则是第二象限角． 17. 已知函数，若函数的图象与直线有三个不同的交点，则实数的取值范围是___________． 四、解答题 18. （1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，求的值． （3）已知，且，求的值； 19. 计算下列各式： （1）； （2）： （3）已知为方程的两个实数根，求实数的值. 20. 已知函数，（），，． （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由； （3）若，求的取值范围． 21. 已知指数函数的图象过点. （1）求函数的解析式； （2）解关于的不等式：； （3）试讨论关于的方程的解的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学周测（12月1日） 一、单选题（9×5=45分） 1. 下列函数中，单调增区间和值域都是的选项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得可对A判断求解；因函数定义域为则可对B判断求解；当时，则可对C判断求解；利用复合函数性质可得函数在区间上单调递增，且其值域也为，则可对D判断求解. 【详解】A：在上不单调，则与题意不符，故A错误； B：函数在区间上单调递增，函数值不可能为0，故B错误； C：在区间上单调递增，且当时取到最小值，故C错误； D：因函数与在区间上都单调递增，所以由复合函数性质可得函数在区间上单调递增，且其值域也为，故D正确. 故选：D. 2. 已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用扇形的弧长及面积公式计算求解. 【详解】设扇形的半径为， 因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为， 则，所以 则该扇形的面积为. 故选：B. 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的商的关系计算即可. 【详解】由,所以. 故选：C 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分析函数的单调性，并根据零点存在定理可确定函数的零点所在区间. 【详解】函数的定义域为. 因为函数是增函数，且在和上分别单调递增， 所以在和上分别单调递增. 当时，恒成立，所以无零点； 当时，， ，所以函数的零点所在区间为. 故选：B. 5. 已知且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据的取值范围，判断的符号，再利用平方关系求值. 【详解】因为，所以， 又， 所以. 故选：B 6. 若，，，则，，之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数性质和指数函数性质，借助中间量进行比大小. 【详解】因为，即； ，即； ，即， 所以. 故选：D 7. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助复合函数单调性计算即可得. 【详解】由函数在上单调递减， 则函数在上单调递减， 且在上恒成立， 则有，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. 8. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易知为奇函数，排除选项AC，再由时，判断. 【详解】由知： 为奇函数，图象关于原点对称，故排除选项AC， 又时，， 故选：D 9. 已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】易得函数在上单调递增，由求解. 【详解】因为函数，在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由函数在区间上有零点， 得即解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 二、多选题（4×6=24分） 10. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】弧度与角度之间的互化是，利用公式分别计算A、B、C、D四个选项可得答案. 【详解】对于A，，正确； 对于B，，正确； 对于C，，错误； 对于D，，正确； 故选：ABD． 11. 下列结论正确的有（    ） A. B. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 C. 终边落在直线上的角的集合是 D. 已知点在第四象限，则角终边在第二象限； 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角函数符号法则判断A；利用扇形弧长、面积公式计算判断B；求出角的集合表达式判断C；根据判断D. 【详解】解：对于A，由，得，则，A正确； 对于B，设扇形半径为，由圆心角为的扇形的面积为，得， 解得，因此扇形的弧长为，B正确； 对于C，终边落在射线上的角集合为， 终边落在射线上的角集合为， 因此终边落在直线上的角的集合是，C错误； 对于D，由点在第四象限得，故角终边在第二象限，D正确. 故选：ABD 12. 下列说法正确的是（ ） A. 若终边上一点的坐标为，则 B. 若角为锐角，则是第一象限角 C. 若，且，则 D. 若圆心角为的扇形的弧长为2，则该扇形的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】由终边上一点即可求其余弦值，即可对A判断；由角为锐角，则可对B判断；若，则，再结合题意求得，从而可对C判断；利用弧长及扇形面积公式即可求解D. 【详解】A：若终边上一点的坐标为，则，故A错误； B：若角为锐角，则是第一象限角，故B正确； C：若，则，又因为且，所以， 解得，则，故C正确； D：圆心角为的扇形的弧长为2，则该扇形的面积为，故D错误. 故选：BC. 13. 已知函数，则（ ） A. 函数的图象关于对称 B. 函数的单调递减区间是 C. 函数的值域是 D. 不等式的解集是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用函数对称性的定义可判断A选项；根据复合函数单调性的“同增异减”原则结合对数函数和一元二次函数性质可判断B选项； 由真数部分函数的值域，结合对数函数的基本性质可判断C选项；利用对数函数的单调性解不等式，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为， 所以函数的图象关于对称，故A正确； 对于B选项，由可得或， 所以函数的定义域为， 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且函数为增函数，所以函数的单调递减区间是，故B错误； 对于C选项，由B知函数的定义域为， 当或时，函数值域为，所以函数的值域是，故C正确； 对于D选项，由可得， 解得或，所以不等式的解集是，故D错误. 故选：AC. 三、填空题（4×5=20分） 14. 不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数单调性求解. 【详解】因为函数在单调递增，且， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 15. 已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先求解终边在角的终边所在直线上的角的集合，再结合图形即可求解. 【详解】终边在角的终边所在直线上的角的集合， 终边在角的终边所在直线上的角的集合， 因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围为. 故答案为：. 16. 下列说法正确的是_______． ①三角形的内角是第一象限角； ②与终边相同的角的集合为； ③终边在直线上的角的集合为； ④若是第三象限角，则是第二象限角． 【答案】②③ 【解析】 【分析】①根据三角形内角的取值范围为可知其错误；②因为，所以②正确；③直线与轴的夹角是，根据终边相同的角的定义可知③正确；④由是第三象限角可得其范围，再由此推出的范围，从而判断④错误. 【详解】因为三角形的内角的取值范围是， 所以三角形的内角是第一象限角或第二象限角或终边在轴正半轴上的角，①错误； 因为，所以与终边相同的角的集合为 ，②正确； 直线与轴的夹角是，所以终边在直线上的角的集合为 ，③正确； 因为是第三象限角，所以， 所以，故是第二象限角或第四象限角，④错误． 故答案为：②③. 17. 已知函数，若函数的图象与直线有三个不同的交点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】作出的图象，结合图象即可得结果. 【详解】作出的图象，如图所示： 因为直线与函数的图象有3个交点，可得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题 18. （1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，求的值． （3）已知，且，求的值； 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数的平方关系代入计算即可得到，从而得到； （2）由题知，再将原式化为齐次式，代入计算，即可得到结果； （3）结合同角三角函数关系解出方程即可. 【详解】（1）在第二象限， ，. （2）因为，所以， 所以. （3）因为， 等式两边同时平方可得，， 所以，又， 所以，又， 所以，则，， 所以， 所以. 19. 计算下列各式： （1）； （2）： （3）已知为方程的两个实数根，求实数的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂、对数恒等式和指数幂运算法则进行计算； （2）利用对数的运算法则化简式子； （3）根据韦达定理得到与和方程系数的关系，再结合三角函数的平方关系求解的值. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 根据韦达定理得：， 因为， 又因为， 所以可得， 解得. 20. 已知函数，（），，． （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 由（1）知，的定义域关于原点对称，， ， 所以为偶函数； （3）. 【解析】 【分析】（1）先根据计算出，再使对数的真数大于0，即可得解； （2）先判断定义域是否关于原点对称，再根据与的关系判断奇偶性即可； （3）结合函数单调性得到不等式，求出解集. 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以，又，所以， 所以， 所以要使函数有意义，则需，解得， 所以的定义域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以. 因在定义域内单调递增，所以等价于， 解得， 所以的取值范围为. 21. 已知指数函数的图象过点. （1）求函数的解析式； （2）解关于的不等式：； （3）试讨论关于的方程的解的个数. 【答案】（1） （2） （3） 当或时，方程有1个解；当且时，方程有2个解. 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入指数函数解析式求解即可； （2）利用指数函数的单调性得，解一元二次不等式即可得解； （3）由得或，然后按照、且和分类讨论求解指数方程，即可求解. 【小问1详解】 因为指数函数（且）过点， 所以，得，故. 【小问2详解】 由（1）知函数在上单调递增， 则由可得， 即，解得，所以原不等式的解集为. 【小问3详解】 由已知，得， 所以或，即或. （i）当时，由得，则原方程有1个解，且为0； （ii）当且时，由即得，方程有1个解， 此时原方程有2个解，为0和； （iii）当时，因为，所以方程有0个解，则原方程有1个解，且为0； 综上所述，当或时，方程有1个解；当且时，方程有2个解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $