第01讲 二次根式（3个知识点+10个题型+思维导图+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材沪科版

第01讲 二次根式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：二次根式的相关概念 1.二次根式 二次根式的定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 【易错易混】 1、二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数； 2、二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3、二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0； 4、在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了𝑎≥0. 2.二次根式有意义的条件 1、单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2、二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 3、二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽六安·期中）函数中，自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 知识点2 ：二次根式的性质 二次根式的性质 1、式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 2、，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3、，即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 【即时训练】 3．（24-25八年级上·安徽·阶段练习）化简的结果是（   ） A． B．3 C． D．9 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）化简的结果为 ． 知识点3 ：二次根式的化简 二次根式的化简：1、利用二次根式的基本性质进行化简； 2、利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， 【易错易混】 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 【即时训练】 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知，求的平方根为 ． 6．（24-25八年级下·全国·专题练习）已知化简： ． 【题型1 二次根式的识别】 例1．下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 例2．下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．下列各式中，不一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 变式2．式子，，，中二次根式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式3．下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 【题型2 求二次根式的值】 例1．当时，二次根式的值为 ． 例2．计算： ． 变式1．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 变式2．请估计的值的范围（） A．2．5~3 B．3~3.5 C．3.5~4 D．4~4.5 变式3．在两个连续整数a和b之间，即a＜＜b，则a+b= ． 【题型3 求二次根式中的参数】 例1．已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 例2．已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 变式1．已知是正整数，是整数，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式2．若是一个整数，则正整数m的最小值是 ． 变式3．若，则的平方根． 【题型4 二次根式有意义的条件】 例1．函数的自变量的取值范围是（ ） A． B． C． D．且 例2．函数的自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D．全体实数 变式1．成立的条件是 ． 变式2．函数中的自变量的取值范围是 ． 变式3．求下列函数中自变量x的取值范围． (1)； (2)； (3)． 【题型5 利用二次根式的性质化简】 例1．若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．若，则化简 的结果是（     ） A． B． C． D． 变式1．已知a，b在数轴上的位置如图，化简＝ ． ​ 变式2．已知a为整数，且满足，则a的值为 ． 变式3．观察下列各式及其验证过程： ①，验证： ②，验证： （1）类比上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数，且）表示的等式，并证明； （3）模仿上述验算过程的方法，对进行验证；并针对等式反映的规律，直接写出用（为自然数，且）表示的等式． 【题型6 复合二次根式的化简】 例1．已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 例2．下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 变式1．化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 变式2．化简： ． 变式3．形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ． 【拓展训练1 二次根式有意义的条件与几何综合】 例1．已知a，b，c为一个等腰三角形的三条边长，且a，b满足，则此等腰三角形的周长为（   ） A．12 B．9 C．12或9 D．无法计算 例2．若实数a，b，c分别表示的三条边，且a，b满足，则的第三条边c的取值范围是 ． 变式1．若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为 ． 变式2．阅读理解：阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答： 化简：． 解：隐含条件，解得． 原式． 启发应用：已知三条边的长度分别是，，．记的周长为． (1)若，求的值； (2)请用含的代数式表示的周长（结果要求化简）． 变式3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点、点．且满足：． (1)由图象可知不等式的解集为_______； (2)在x轴上是否存在点D，使得的面积是面积的2倍，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【拓展训练2 二次根式有意义的条件综合】 例1．已知是实数，且满足，则相应的的值为(        ) A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3 例2．已知a，b为实数，且，则的值为（    ） A． B．7 C．或7 D．9 变式1．已知有理数满足，则的值是（   ） A．1 B．2012 C．2013 D．2014 变式2．已知，求的平方根 ． 变式3．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：， (其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数)，则称无理数T的“麓外区间”为， 如 所以 的麓外区间为． (1)无理数 的“麓外区间”是 ； (2)若 则b的“麓外区间”是 ； (3)若无理数 (a为正整数)的“麓外区间”为 的“麓外区间”为，求 的值； (4)实数x，y，n满足 求n的算术平方根的“麓外区间”． 【拓展训练3 利用二次根式的性质化简复杂问题】 例1．若，则（） A． B． C． D． 例2．已知实数满足，那么的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 变式1．在进行实数的化简时，我们可以用“”，如，利用这种方式可以化简被开放数较大的二次根式． （1）已知m为正整数，若是整数，求m的最小值 ； （2）设n为正整数，若，y是大于1的整数，则y的最大值与y最小值的差为 ． 变式2．已知实数a、b使等式成立，请先化简，再求值：． 变式3．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：： (1)计算：_____；_____； (2)若，则正整数_____； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简： ． 【拓展训练4 复合二次根式的化简综合】 例1．像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 例2．阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 变式1．【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 变式2．我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题． 例：求的算术平方根． 解：∵， ∴的算术平方根是． 根据以上材料，回答下列问题： (1)_____________； (2)化简：； (3)在中，，，，那么BC边的长为多少？ 变式3．先阅读材料，然后回答问题： 形如的化简，只要找到两个正数，，使，，那么，，则有． 例如：化简． ． (1)请根据你从上述材料中得到的启发，化简：________；________． (2)在中，，，其中边的垂直平分线分别交，于点，，当时，求的长（结果要化为最简形式）． 1．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）下列选项中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）函数中自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 3．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如果，则化简的结果是（   ） A． B． C． D．a 4．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）已知，当分别取时，所对应值的总和是（　　） A．2022 B．2024 C．2026 D．2028 5．（24-25八年级上·安徽安庆·月考）若，则可化简为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 7．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）当时，化简得（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）设，，，，，则的值（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）函数 的自变量x的取值范围是 ． 10．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，团扇是中国传统工艺品，扇面形状有圆形和长方形两种．若两种扇面的面积相等，其中长方形扇面的长为，宽为，则圆形扇面的周长为 （结果保留） 11．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）化简： ． 12．（24-25八年级下·安徽六安·月考）已知实数a满足． （1）a的取值范围为 ； （2）的值为 ． 13．（24-25八年级下·安徽蚌埠·月考）已知，则代数式的值为 ． 14．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）在进行实数的化简时，我们可以用“”的方式，如．利用这种方式可以化简被开方数较大的二次根式． （1）已知a为正整数，若是整数，则a的最小值为 ． （2）设b为正整数，若，m是大于1的整数，则m的最大值与m的最小值的积的平方根为 ． 15．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）若实数在数轴上的对应点如图所示，试化简：． 16．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 （1）计算：用“，，”填空． ________；________；________． 猜想：（，）． （2）利用上述结论解决下面问题： 如图，某同学准备做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝，请你计算用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 17．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，解答后面的问题． 第1个等式：．      第2个等式：． 第3个等式：．                   第4个等式：…… (1)请直接写出第5个等式____________． (2)根据上述规律猜想第n个等式（n为正整数），并给予证明． 18．（24-25八年级下·安徽合肥·开学考试）学习二次根式时，小昆发现一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的变化，竟然可以“跑”到根号的外面，好像“穿墙”，数字2称为“穿墙数”．类似的“穿墙”现象还有许多，例如：等． (1)根据上述规律，__________； (2)请你用一个正整数（为“穿墙数”，）表示含有上述规律的等式__________（不需要证明）； (3)按此规律，若（为正整数），求的值． 19．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）先观察下列等式，猜想找规律，回答问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式，请写出第7个等式为 ； (2)请写出第 n个等式为 ； (3)根据上述规律，解答问题： 设 ，求不超过m的最大整数是多少？ 20．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）观察下列各式，发现规律：；；… (1)填空：______； (2)计算（写出计算过程）：； (3)请用含自然数的代数式把你所发现的规律表示出来． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 二次根式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：二次根式的相关概念 1.二次根式 二次根式的定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 【易错易混】 1、二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数； 2、二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3、二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0； 4、在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了𝑎≥0. 2.二次根式有意义的条件 1、单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2、二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 3、二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如的式子叫做二次根式判断即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可知，二次根式有，，，，共五个． 故选C． 2．（25-26八年级上·安徽六安·期中）函数中，自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，需同时考虑分式、根式和零指数幂的条件. 根据函数表达式，分式的分母不为零，平方根的被开方数非负，零指数幂的底数不为零，综合可得自变量取值范围. 【详解】解：∵ 函数 有意义， ∴ 需满足： (1) 平方根被开方数非负：，即 ； (2) 分式分母不为零：； (3) 零次幂底数不为零：，即 . 综上， 且 且 . 故选：D. 知识点2 ：二次根式的性质 二次根式的性质 1、式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 2、，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3、，即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 【即时训练】 3．（24-25八年级上·安徽·阶段练习）化简的结果是（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的性质，准确计算是解题的关键． 根据算术平方根的定义，，因此先计算平方，再取非负平方根． 【详解】； 故选． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握是解题的关键． 直接运用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 知识点3 ：二次根式的化简 二次根式的化简：1、利用二次根式的基本性质进行化简； 2、利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， 【易错易混】 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 【即时训练】 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知，求的平方根为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，得出x、y的值，进而得出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 把代入已知等式得：， 所以，， 故的平方根是， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·全国·专题练习）已知化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质以及完全平方公式的运算、二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先化简绝对值以及二次根式，再运算二次根式的加减运算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 【题型1 二次根式的识别】 例1．下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】二次根式需满足根指数为且被开方数， 对于：，根指数为，不是二次根式； 对于：，被开方数，无意义，不是二次根式； 对于：，，，恒成立，是二次根式； 对于：，当时，，被开方数不能保证为非负数，不属于二次根式的式子； 故选． 例2．下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可． 【详解】解：下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个； 故选B． 变式1．下列各式中，不一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式． 根据二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】A． 当时，即是二次根式； B． ，，即是二次根式； C． ，即是二次根式； D． 当时，即不一定是二次根式； 故选：D． 变式2．式子，，，中二次根式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．据此进行判断即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可得，式子，是二次根式，中，的取值范围不确定，不能保证，故不一定是二次根式； 故选：B． 变式3．下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如的式子叫做二次根式判断即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可知，二次根式有，，，，共五个． 故选C． 【题型2 求二次根式的值】 例1．当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】把代入原式化简即可． 【详解】解：当时，原式， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，掌握代入求值法是解题关键． 例2．计算： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 变式1．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】D 【分析】寻找小于26的最大平方数和大于26的最小平方数即可. 【详解】解：小于26的最大平方数为25，大于26的最小平方数为36，故，即： ，故选择D. 【点睛】本题考查了二次根式的相关定义. 变式2．请估计的值的范围（） A．2．5~3 B．3~3.5 C．3.5~4 D．4~4.5 【答案】B 【详解】试题解析： 故选B. 变式3．在两个连续整数a和b之间，即a＜＜b，则a+b= ． 【答案】7． 【分析】与10相邻，且能开平方的整数是9和16，所以 ＜＜ ，所以3＜＜4，由此可以得出a、b的值，然后求和即可. 【详解】∵＜＜，∴3＜＜4；故a=3，b=4；因此a+b=3+4=7． 故答案为7． 【点睛】本题考查估算无理数的大小．正确估算是解题的关键. 【题型3 求二次根式中的参数】 例1．已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查二次根式．由是整数，可设（为非负整数），则，且，故，枚举值进而求出的可能值，即可得出答案． 【详解】解：∵是整数， ∴设，其中为整数且， 则， ∴． 又∵是自然数， ∴，即， ∴， ∴可取0，1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴的可能值为13，12，9，4，最小值为4． 故选：D． 例2．已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键． 由题意可得，要使是正整数，即可得出当n最大取2024时，是正整数． 【详解】解： 要使是正整数， 即当时，． 故整数的最大值为2024． 故选：B． 变式1．已知是正整数，是整数，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解：是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为2， 故选：A． 变式2．若是一个整数，则正整数m的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的化简，化简二次根式后判断是个平方数是求解本题的关键．得出是一个平方数，进而求解即可． 【详解】解：∵是一个整数， ∴是一个平方数， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 变式3．若，则的平方根． 【答案】 【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不为零，根据条件求出的值． 【详解】解：若，其中， 则， 即， 由，解得：（舍去） 由，解得：， ， 的平方根为， 故答案是：． 【点睛】本题考查零分式值为零的条件及平方根的性质，解题的关键是：分母不为零的条件不能少． 【题型4 二次根式有意义的条件】 例1．函数的自变量的取值范围是（ ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键；根据二次根式和分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意，得且， ， ∴自变量的取值范围是， 故选：． 例2．函数的自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D．全体实数 【答案】B 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得且，即， 解得； 故选B． 变式1．成立的条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式组，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故答案为：． 变式2．函数中的自变量的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据分母不能为零，且二次根式的被开方数必须非负，得到关于的不等式，解不等式求出自变量的取值范围． 【详解】解：函数 有意义， 可得：， 解得：且； 故答案为：且． 变式3．求下列函数中自变量x的取值范围． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)x是任意实数 (2)且 (3) 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． （1）根据对任意的实数，整式都有意义即可求解； （2）根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围； （3）根据0的0次幂无意义即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：x为任意实数； （2）解：根据题意得：， 解得：且； （3）解：根据题意得：， 解得：． 【题型5 利用二次根式的性质化简】 例1．若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合完全平方公式对被开方式子进行变形，然后利用二次根式的性质进行化简，从而结合绝对值的意义作出分析判断． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， 故选：B 【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质，理解相关公式是解题关键． 例2．若，则化简 的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据=，计算即可． 【详解】解：∵， ∴x-2＜0， ∴=2-x 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确把握二次根式的性质是解题的关键． 变式1．已知a，b在数轴上的位置如图，化简＝ ． ​ 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、绝对值、数轴等知识点，关键是根据数轴得出，进而得出，去括号后合并即可． 【详解】解：由数轴可得，且， 则，， 原式 ， 故答案为：． 变式2．已知a为整数，且满足，则a的值为 ． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质把5写成二次根式的形式，再解不等式组求出a的范围得解． 【详解】解：， ， ， 又∵为整数， ． 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质和不等式组的解法是解决本题的关键． 变式3．观察下列各式及其验证过程： ①，验证： ②，验证： （1）类比上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数，且）表示的等式，并证明； （3）模仿上述验算过程的方法，对进行验证；并针对等式反映的规律，直接写出用（为自然数，且）表示的等式． 【答案】（1），验证见解析；（2），证明见解析；（3）验证见解析；等式为． 【分析】(1)结合题意进行猜想并根据算术平方根的概念进行计算即可； （2）根据计算过程和各式的变化规律猜想结果并根据算术平方根的概念进行计算即可； （3）根据计算过程和各式的变化规律猜想结果并根据算术平方根的概念进行计算并总结规律． 【详解】（1）猜想，得 验证： （2）猜想，得 验证： （3）验证： 等式为 故 【点睛】本题考查的是二次根式的性质和数字的变化类知识，掌握算术平方根的概念、从给出的式子中正确找出规律是解题的关键． 【题型6 复合二次根式的化简】 例1．已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简； 由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知ab必须异号，而，易确定b的取值范围，然后即可化简． 【详解】解：有意义， ， ， 又， ， ． 故选：A． 例2．下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 变式1．化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式成立的条件确定x的取值，从而利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由题意可得：x＜0 ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键． 变式2．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简，完全平方公式的运算，根据完全平方公式将化成，再由二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 变式3．形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ． 【答案】/ 【分析】先把10拆成与的平方和，则可写成完全平方式，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质：．也考查了完全平方公式的运用． 【拓展训练1 二次根式有意义的条件与几何综合】 例1．已知a，b，c为一个等腰三角形的三条边长，且a，b满足，则此等腰三角形的周长为（   ） A．12 B．9 C．12或9 D．无法计算 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0得到，则，，再分腰长为2和腰长为5两种情况，根据构成三角形的条件和三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， 当腰长为2时，则等腰三角形的三边长为， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为5时，则等腰三角形的三边长为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意 ∴此等腰三角形的周长为； 综上所述，此等腰三角形的周长为． 故选：A． 例2．若实数a，b，c分别表示的三条边，且a，b满足，则的第三条边c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，三角形的三边关系． 根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形的三边关系确定c的取值范围即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵实数a，b，c分别表示的三条边， ∴， 即． 故答案为：． 变式1．若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为 ． 【答案】5或 【分析】本题考查了二次根式的非负性、绝对值与平方的非负性，以及勾股定理的应用，解题的关键是先利用非负性求出、的值，再分情况用勾股定理计算第三边． 先根据二次根式的非负性求出，再由非负数和为0的性质得、的值，最后分第三边是直角边或斜边，用勾股定理计算边长． 【详解】解：由和同时有意义，得： 解得． 此时 得：，， 即，． 情况1：当4为斜边长，3为一条直角边长时 第三边长 情况2：当3、4为直角边长时，第三边为斜边 第三边长． 故答案为：5或． 变式2．阅读理解：阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答： 化简：． 解：隐含条件，解得． 原式． 启发应用：已知三条边的长度分别是，，．记的周长为． (1)若，求的值； (2)请用含的代数式表示的周长（结果要求化简）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了化简二次根式，绝对值化简，熟练掌握二次根式性质和二次根式有意义的条件，是解题的关键． （1）将代入所给式子求出三角形的三边长度，再求解三角形的周长即可； （2）根据二次根式有意义的条件以及性质，结合绝对值性质化简所给式子，再求解三角形的周长即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ． ∴； （2）解：根据题意，得且， ∴，则，， ∵， ∴， ∴ ． 变式3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点、点．且满足：． (1)由图象可知不等式的解集为_______； (2)在x轴上是否存在点D，使得的面积是面积的2倍，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】该题考查了一次函数与不等式、图形面积、二次根式的非负性，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据绝对值和二次根式的非负性求出，求出、，再根据一次函数与不等式的关系计算即可． （2）根据题意先求出的面积，从而得出的面积，求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点、点， 根据图象可得不等式的解集为． （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或． 【拓展训练2 二次根式有意义的条件综合】 例1．已知是实数，且满足，则相应的的值为(        ) A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式的有意义的条件，得出，根据，得到的值，再代入计算． 【详解】解：根据二次根式的有意义的条件，得 或或 解得或或 当时，； 当时，； 当时，． 的值为或或． 故选：D． 例2．已知a，b为实数，且，则的值为（    ） A． B．7 C．或7 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求一个数的立方根和算术平方根，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件即被开方数非负． 根据二次根式的被开方数非负得到不等式组，然后求出，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 变式1．已知有理数满足，则的值是（   ） A．1 B．2012 C．2013 D．2014 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，涉及的知识点为：二次根式的被开方数是非负数，绝对值的性质，求出a的取值范围是解题的关键．根据被开方数大于等于0列式求出a的取值范围，再去掉绝对值号，整理后两边平方即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴原方程化为：， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 变式2．已知，求的平方根 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求算术平方根． 根据二次根式有意义的条件，可得，进而判断出的符号，化简绝对值．将方程整理后，利用非负数的性质，得到m和n的值，再求的平方根． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， ∴， ， ， ∴， 原方程化为：， 两边同时减去，得：， ∵，， ∴且， 解得：，， ∴， ∴的平方根为． 故答案为：． 变式3．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：， (其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数)，则称无理数T的“麓外区间”为， 如 所以 的麓外区间为． (1)无理数 的“麓外区间”是 ； (2)若 则b的“麓外区间”是 ； (3)若无理数 (a为正整数)的“麓外区间”为 的“麓外区间”为，求 的值； (4)实数x，y，n满足 求n的算术平方根的“麓外区间”． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查无理数的估算、二次根式有意义的条件、算术平方根的非负性以及立方根的计算． （1）通过找出与19相邻的两个完全平方数，进而确定的取值范围，从而得到其“麓外区间”； （2）先根据二次根式有意义的条件求出的值，进而求出的值，再确定的“麓外区间”； （3）根据无理数的“麓外区间”定义，分别列出关于的不等式，求出的取值范围，进而确定的值最后计算． （4）先根据二次根式有意义的条件求出的值，再根据等式求出的值，最后确定的算术平方根的“麓外区间”． 【详解】（1）解：， ， 的“麓外区间”是； （2）解：要使有意义， ， 解得：， 将代入， 得：， ， ， ， b的“麓外区间”是． （3）解：的“麓外区间”为， ， ， ， 的“麓外区间”为， ， 即， ， 又a为正整数， 或， 当时，， 当时，， 的值为或． （4）解：和有意义， 且， 且， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的算术平方根为， ， ， ， 的“麓外区间”是． 【拓展训练3 利用二次根式的性质化简复杂问题】 例1．若，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据二次根式的性质直接化简，根据条件，，简化根式，需利用平方根的性质和绝对值的意义进行化简． 【详解】解：∵，， ∴（负数的立方为负）， 故，从而，根式有意义． ∵， ∴， 又∵，且，∴， ∴原式， 即，与选项A一致． 故选：A． 例2．已知实数满足，那么的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的被开方数的非负性，绝对值的化简，有理数的乘方，熟练掌握非负性是解题的关键． 根据二次根式的有意义的条件，化简绝对值，后计算解答即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ， ， ， ， ， 故选：C． 变式1．在进行实数的化简时，我们可以用“”，如，利用这种方式可以化简被开放数较大的二次根式． （1）已知m为正整数，若是整数，求m的最小值 ； （2）设n为正整数，若，y是大于1的整数，则y的最大值与y最小值的差为 ． 【答案】 15 10 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）由题意知，，然后求解作答即可； （2）由题意知，，则当时，，当n增大时，y减小，则当时，，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：∵，m为正整数，是整数， ∴m的最小值为， 故答案为：； （2）解：∵，n为正整数，y是大于1的整数， ∴当时，， ∵当n增大时，y减小， ∴当时，， ∴y的最大值与y最小值的差为， 故答案为：10． 变式2．已知实数a、b使等式成立，请先化简，再求值：． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式被开方数非负性，绝对值的非负性、分式的混合运算、二次根式的混合运算，解题的关键是掌握相应的运算法则，利用非负性求出a、b的值，利用分式和根式的运算进行化简，再将a、b的值代入求解即可． 【详解】解： ， ， 解得： 代入原式 ． 变式3．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：： (1)计算：_____；_____； (2)若，则正整数_____； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简： ． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简与规律相结合，合理运用规律是解题的关键． （1）根据规律运算即可； （2）根据规律运算即可； （3）根据规律运算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （3） 解：原式 ． 【拓展训练4 复合二次根式的化简综合】 例1．像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、规律型：数字的变化类、完全平方式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据定义化成完全平方式的形式即可； （2）根据定义化成完全平方式的形式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 例2．阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 【答案】(1)， (2)或 (3)① ② 【分析】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的灵活应用． （1）利用完全平方公式展开，一一对应相等即可； （2）根据完全平方公式进行展开，然后根据x，m，n的取值，分情况进行讨论即可； （3）①根据完全平方公式进行求解即可； ②根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴，； （2）解：， ∴，， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴当时，， 此时，； 当时，； 此时，； ∴或； （3）解：①； ② ． 变式1．【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)16或32 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，理解题意是解决本题的关键． （1）将7转化为，进行求解即可； （2）先将算术平方根内部的式子结合题意进行转化即可求解； （3）根据可得，进而根据题意即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ； （2）解： ； （3）解： 由题意得， ， ∴， ∵，且，，均为正整数， ∴，的值可能为15，1或5，3， ∴当、时，， 则； 当、时，， 则． 变式2．我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题． 例：求的算术平方根． 解：∵， ∴的算术平方根是． 根据以上材料，回答下列问题： (1)_____________； (2)化简：； (3)在中，，，，那么BC边的长为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，勾股定理，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）将变形为完全平方式的形式，然后开平方即可； （2）先利用（1）中得到的结论，把换成，然后将变形为完全平方式，最后开平方即可； （3）先利用勾股定理表示出，最后开平方即可． 【详解】（1）解： 故答案为： （2） ． （3）在中，由勾股定理，得 ， 即边的长度为． 变式3．先阅读材料，然后回答问题： 形如的化简，只要找到两个正数，，使，，那么，，则有． 例如：化简． ． (1)请根据你从上述材料中得到的启发，化简：________；________． (2)在中，，，其中边的垂直平分线分别交，于点，，当时，求的长（结果要化为最简形式）． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握二次根式的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，是解题的关键． （1）按照例题的解题思路，进行计算即可解答； （2）先根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，进而利用三角形的外角的性质可得，再利用含角的直角三角形的性质和勾股定理可得，从而求出的长，最后由勾股定理进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：是边的垂直平分线， ， ， 是的外角， ， 在中，， ， ， ， 在中， ． 1．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）下列选项中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的性质是解题关键． 直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A、不一定是二次根式，如，故此选项错误； B、不一定是二次根式，如，故此选项错误； C、一定是二次根式，故此选项正确； D、，故不是二次根式，故此选项错误； 故选：C． 2．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）函数中自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查函数自变量的范围、二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，熟练掌握函数自变量的范围、二次根式有意义的条件及分式有意义的条件是解题的关键；函数分子有根号，要求被开方数非负，即；分母不能为零，即，综合可得x的取值范围． 【详解】解：由题意得：且， ∴且； 故选D． 3．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如果，则化简的结果是（   ） A． B． C． D．a 【答案】A 【分析】此题考查的是二次根式的化简和绝对值的化简，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题关键．由条件可得：，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故选：A． 4．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）已知，当分别取时，所对应值的总和是（　　） A．2022 B．2024 C．2026 D．2028 【答案】D 【分析】本题考查化简二次根式，先求出x取1，2时对应的值，当x取时，， ，代入化简得，由此可解． 【详解】解：当x取1时，， 当x取2时，， 当x取时，， ， 所以对应值的总和是：， 故选D． 5．（24-25八年级上·安徽安庆·月考）若，则可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质，绝对值化简，再合并同类项即可； 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：． 6．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式计算等． 首先根据平方根的定义确定x的值，再代入求出y的值，最后计算表达式的值． 【详解】解：∵和同时有意义， ∴且， ∴． 将代入，得． ∴． 故选A． 7．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）当时，化简得（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式的非负性成为解题的关键． 先利用已知条件确定y的符号，进而得到，再根据二次根式的性质，将根号内的表达式分解为平方项和非平方项的乘积，再进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴，即， ∴． 故选C． 8．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）设，，，，，则的值（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，可证明，则可证明，据此把所求式子裂项求解即可． 【详解】解；， ， ∴， ∴ ， 故选：B． 9．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）函数 的自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件；根据分式分母不为零和二次根式被开方数非负的条件求解. 【详解】解：∵， 解得：， ∵， 解得：， 故自变量的取值范围是且. 10．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，团扇是中国传统工艺品，扇面形状有圆形和长方形两种．若两种扇面的面积相等，其中长方形扇面的长为，宽为，则圆形扇面的周长为 （结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握对应图形面积公式及周长公式是解题的关键．先利用长方形扇面的长和宽求出面积，设圆形扇面半径为，根据两种扇面的面积相等，求出半径，最后代入圆的周长公式求解即可． 【详解】由题可得， 长方形扇面的面积， 设圆形扇面半径为， 因为两种扇面的面积相等， 根据圆的面积公式， 解得（负值舍去）， 因此圆形扇面的周长， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，将被开方数分解为平方因数与其他因数的乘积，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·安徽六安·月考）已知实数a满足． （1）a的取值范围为 ； （2）的值为 ． 【答案】 2025 【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式有意义的条件； （1）根据二次根式有意义的条件得到即可， （2）则当时，可得，再化简可得，进而可得． 【详解】解：（1）有意义， ， 解得：． 故答案为：； （2）由（1）知． ． 又∵， ， ． ． ． 故答案为：2025． 13．（24-25八年级下·安徽蚌埠·月考）已知，则代数式的值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查二次根式的性质，完全平方公式．将代数式变形为，代入后运用二次根式的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：11． 14．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）在进行实数的化简时，我们可以用“”的方式，如．利用这种方式可以化简被开方数较大的二次根式． （1）已知a为正整数，若是整数，则a的最小值为 ． （2）设b为正整数，若，m是大于1的整数，则m的最大值与m的最小值的积的平方根为 ． 【答案】 19 【分析】（1）根据题中化简方法可得，再根据是整数，即可求解； （2）根据题意可得当时，m取最大值720；当时，m取最小值1，即可求解． 【详解】解：∵， 又∵是整数， ∴a的最小值为19， 故答案为：19； （2）∵b为正整数，m是大于1的整数， ∴当时，m取最大值720；当时，m取最小值1， m的最大值与m的最小值的积的平方根为， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）若实数在数轴上的对应点如图所示，试化简：． 【答案】 【详解】本题主要考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴，解题关键是熟练掌握二次根式和绝对值的性质． 先观察数轴判断和0的大小关系，从而判断和的正负，然后根据二次根式的性质和绝对值的性质进行化简． 【解答】解：观察数轴可知：， ∵， ∴ ． 16．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 （1）计算：用“，，”填空． ________；________；________． 猜想：（，）． （2）利用上述结论解决下面问题： 如图，某同学准备做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝，请你计算用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 【答案】（1），，，（2）厘米 【分析】本题主要考查了平方数的非负性，二次根式的大小比较，完全平方公式，二次根式的实际应用，识别出完全平方式的结构是解题关键， （1）依据题意，将需要比较大小的两式作差，其结构符合完全平方式，利用完全平方式的非负性证明即可； （2）依据题意，做对角线的竹条的和符合（2）中的形式，根据风筝面积求出两条对角线长度的积，应用（2）中的结论即可． 【详解】解：（1）由题意，， ． ； ， ． ； ， ． ； ， ． ． 故答案为：，，，． （2）对角线相互垂直， ． ． ． ． 用来做对角线的竹条至少要厘米． 17．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，解答后面的问题． 第1个等式：．      第2个等式：． 第3个等式：．                   第4个等式：…… (1)请直接写出第5个等式____________． (2)根据上述规律猜想第n个等式（n为正整数），并给予证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，数字规律探索，解题关键是根据已知条件中的等式找出规律． （1）观察已知条件中的等式可知：带分数的整数部分为，分数部分的分子与整数部分相同，分数的分母为整数部分的平方，按照此规律进行解答即可； （2）根据（1）中所找规律，然后进行证明即可． 【详解】（1）解：第1个等式：，    第2个等式：， 第3个等式：，                    第4个等式：， 第5个等式：； （2）第1个等式：，    第2个等式：， 第3个等式：，                    第4个等式：， ， 第n个等式：， 证明：左边 ， 右边 ， ， ． 18．（24-25八年级下·安徽合肥·开学考试）学习二次根式时，小昆发现一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的变化，竟然可以“跑”到根号的外面，好像“穿墙”，数字2称为“穿墙数”．类似的“穿墙”现象还有许多，例如：等． (1)根据上述规律，__________； (2)请你用一个正整数（为“穿墙数”，）表示含有上述规律的等式__________（不需要证明）； (3)按此规律，若（为正整数），求的值． 【答案】(1) (2) (3)71 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简二次根式即可得到答案； （2）根据题意得出规律，进行计算即可； （3）根据规律计算求出a，b的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：，证明如下： ； 故答案为：； （3）解：由条件可知， ∴， ∴． 19．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）先观察下列等式，猜想找规律，回答问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式，请写出第7个等式为 ； (2)请写出第 n个等式为 ； (3)根据上述规律，解答问题： 设 ，求不超过m的最大整数是多少？ 【答案】(1) (2) (3)2024 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是找出规律． （1）由①②③的规律写出式子即可； （2）根据给出的式子，写出第n个等式即可 （3）根据题目中的规律计算即可得到结论． 【详解】（1）解：第7个等式为； 故答案为：； （2）第 n个等式为； 故答案为：； （3） ， ∴不超过m的最大整数是2024． 20．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）观察下列各式，发现规律：；；… (1)填空：______； (2)计算（写出计算过程）：； (3)请用含自然数的代数式把你所发现的规律表示出来． 【答案】(1) (2)，过程见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简与规律探究，熟练掌握二次根式的性质以及观察归纳数字规律是解题的关键． （1）观察所给式子的规律，直接按照前面式子呈现的模式计算的值． （2）先将根号内的式子通分，再把分子变形为完全平方形式，最后根据二次根式的性质化简计算． （3）分析前面式子中数字的变化规律，用含自然数的代数式表示出通用规律． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式= （3）解：通过观察前面的式子，发现规律为 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $