培优02 锐角三角函数的应用5种重难题型（专项训练）数学北师大版九年级下册

培优02 锐角三角函数的应用 题型1 俯角、仰角问题 仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 1．如图，数学活动小组测量了某建筑物的高度（底部不可直接到达），小丽先在点C处用测角仪（高度忽略不计）测得建筑物的顶端N处的仰角；接着，她从点C处沿方向移动到达点B处，在点B处竖立一根长为的标杆，然后继续沿方向移动，当小丽到达点D处时，小丽的眼睛E、标杆的顶端A和该建筑物的顶端N恰好在同一条直线上．经测量，小丽的眼睛到地面的距离，，已知，，，点D、B、C、M在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求该建筑物的高度．（参考数据：，，） 【答案】 【详解】解：如图，过点E作于点F，交于点H， 由题意，得四边形、四边形为矩形， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， 答：该建筑物的高度为． 2．在学完锐角三角函数后，某数学兴趣小组根据所学知识，设计了一个计算不可测物体高度的模型．具体如下： 名称 利用锐角三角函数计算不可测物体的高度 测量示意图 测量目的 计算的高度 测量项目 的度数及的长度 注意事项 在测量时，需保证点在同一直线上 (1)在模型中，若，请用含及的式子表示的高度； (2)小华在利用该模型计算学校旗杆的高度时发现，在利用测角仪测量角度时，测角仪有一定的高度，所以他改进了上述模型．如图，他在点处用测角仪测得旗杆顶端处的仰角为，沿方向走到点处，此时测得旗杆顶端处的仰角为，测得米．已知测角仪的高度为米，点在同一水平线上，请根据以上数据帮助小华计算出旗杆的高度（结果精确到米，参考数据：）． 【答案】(1) (2)旗杆的高度约为米 【分析】 【详解】（1）解：在中， ． 在中， ． ， ； （2）解：如图，连接，并延长交于点， 则米，米，． 由（1）知（米） （米） 答：旗杆的高度约为米． 3．榆林人民大厦，以榆林代表性的古迹“镇北台和凌霄塔”为设计蓝本，配以天圆地方的设计理念．天天所在的兴趣小组准备测量该大厦的高度，如图，他在处放置了一面平面镜（大小忽略不计），然后沿方向移动，当他站在点处时恰好能在平面镜中看到大厦顶端的像，已知天天的眼睛距离地面的高度为米，米；小组成员在大厦另一侧点处安装一个米高的测角仪，测得大厦顶端的仰角为，已知米，，，，点、、、在同一条水平线上，图中所有点均在同一平面内．请你帮助该小组求出该大厦的高度．（参考数据：，，） 【答案】该大厦的高度为米． 【详解】解：如图，过点作于． ∵，， ∴． ∵平面镜反射，， ∴． ∴． ∵，， ∴，即． 设，则． ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，． 在中，， ∵，， ∴． 解得， 经检验是原方程的解， 答：该大厦的高度为米． 4．如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼的高度进行测量．先测得居民楼与之间的距离为，后站在M点处测得居民楼的顶端D的仰角为，居民楼的顶端A的仰角为，已知居民楼的高度为，求居民楼的高度．（精确到） （参考数据：，，，，，） 【答案】居民楼的高度约为 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴． 答：居民楼的高度约为． 5．如图，某气象小组正在测算一座垂直发射的探空气球的高度．在观测点A处测得气球底端C的仰角为，随后向气球方向水平移动到达观测点B，测得仰角变为．已知垂直于地面，点D与共线，求探空气球的高度．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】探空气球的高度约为 【分析】 【详解】解：由题意，得． ∵在中，， ． ∵在中，， ． ， ， 即 解得． 答：探空气球的高度约为． 6．某学习小组外出研学时发现在山坡上有一棵笔直的树木，该小组结合锐角三角函数相关知识，制定测量方案，获得相关数据，并利用数据测算出这棵树的高度，方案如下： 请你根据上表中测量数据计算这棵树的高度（精确到）．参考数据：， 课题 测算树木的高度 工具 卷尺，测角仪等 示意图 说明 先在点C处测得树顶A的仰角，再从点C处前进至坡底D处，测得山坡与平地之间的夹角，最后测得坡底D与树底B之间的距离 测量数据 点C处测得树顶A的仰角为，，，m 【答案】 【详解】解：过点作交的延长线于点， 在中，． ∵， ∴． 又∵， ∴． 在中，， ， ∴． ． 题型2 方向角问题 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线的方向角分别表示北偏东，南偏东，南偏西，北偏西.特别如：东南方向指的是南偏东，东北方向指的是北偏东，西南方向指的是南偏西，西北方向指的是北偏西 7．如图，在港口的南偏东方向有一座小岛，一艘船从港口出发沿正东方向行驶24海里后到达处，在处测得小岛恰在其西南方向，那么小岛与港口相距 海里．（结果保留根号） 【答案】 【详解】解：过Q作于B， ， 根据题意，得，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即小岛与港口相距海里， 故答案为：． 8．如图，已知港口位于观测点东偏北（即）方向，且到观测点正东方向的距离长为46海里，一艘货轮从B港口以40海里／的速度沿的方向航行．现测得货轮处位于观测点东偏北（即）方向．求此时货轮到之间的最短距离（精确到海里）．（参考数据：，，，，，，，，） 【答案】海里 【详解】解：如图所示，过点C作于点E，则， 在中，海里， ∴海里； 设海里， 在中，海里， 在中，， ∴海里， ∵， ∴， 解得海里， 答：此时货轮到之间的最短距离约为海里． 9．如图，A，B，C，D，E分别是某湖边的五个打卡拍照点，为了方便游客游玩，沿湖修建了健身步道，在B，D之间修了一座桥．B，D在A的正东方向，C在B的正南方向，且在D的南偏西方向，E在A的北偏东方向，且在D的北偏西方向，米，米．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲、乙两人从拍照点A出发去拍照点D，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 【答案】(1)米 (2)甲选择的路线较近 【分析】 【详解】（1）解：如图：作于，则， ， 由题意得：米，米，，， 在中，米， 米， 在中， 米， ∴米； （2）解：在中，米， ∴米， 在中，，， ∴米，米， ∴ 米 ∵， ∴甲选择的路线较近． 10．如图，A，B，C，D在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务、B在观测点A的西北方向且在观测点D的西南方向海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地C在观测点A的北偏东方向且在观测点D的北偏东方向（参考数据： ） (1)求的距离（结果保留根号）． (2)观测结束后，甲巡逻艇从观测点A出发沿往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点D出发沿往C处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇到C处的距离是甲巡逻艇到C处的距离的3倍时，乙巡逻艇距离D处多少海里（结果保留整数）？ 【答案】(1)的距离为海里 (2)168海里 【分析】 【详解】（1）解：如图所示，过点C作，交的延长线于点E， 设海里， ∴， ∴， 由题意得：海里， 海里， ∵， ∴， 解得， ∴海里， ∴的距离为海里； （2）解：设乙行驶的路程为s海里，则甲行驶的路程为海里，根据题意得， ， 解得， ∴乙巡逻艇距离D处海里． 11．如图是某湿地公园健身步道示意图．小明准备从点A出发到公园广场点F处玩耍，已知从点A到点F有两条路线可以选择：①A→B→C→F；②A→D→E→F．经勘测，F在A的正东方向，且在C的正南方向450米处，在E的正北方向360米处，A在B的南偏西方向，D在A的东南方向，C、E分别在B、D的正东方向且米．（参考数据：，） (1)求路线①的长度．（结果精确到个位） (2)由于路线②道路较窄，平均步行速度为，路线①平均步行速度，请通过计算说明小明应该选择哪条路线才能尽快到达广场． 【答案】(1)1369米 (2)选择路线① 【分析】 【详解】（1）解：过点B作于点M． 由题意知，四边形是矩形，，， ∴． ∵在中， ∴（米）． ∴路线①的长度为： ． 答：路线①的长度约为1369米． （2）解：过点D作于点N， 由题意，四边形是矩形，，， ∴， 在中，∴米，米， 由（1）知，（米）， 米， ∴米． ∴米， ∴路线②需要的时间为： ， 路线①需要的时间为： ， ∵， ∴小明应选择路线①才能尽快到达广场． 答：小明应选择路线①才能尽快到达广场． 12．如图，甲、乙两架巡检无人机同时从基地出发，沿不同路线到观测点执行任务．已知位于的西南方向千米处，位于的正西方50千米处，位于的正北方，且位于的北偏西方向，位于的正西方，且位于南偏东方向．（参考数据：，，） (1)求、之间的距离（结果保留根号）． (2)甲无人机沿路线巡检，乙无人机沿路线巡检，其中甲无人机平均速度为80千米/小时，乙无人机平均速度为42千米/小时，请通过计算说明哪架无人机先到观测点（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1) (2)甲无人机先到观测点D，见解析 【分析】 【详解】（1）解：延长交于点，延长交于点， 由题意得，，， ∴ 在中，， ∴ ∴ 在中，； （2）解：在中，， ∵， ∴， ∴甲无人机用时为：； 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴, ∴乙无人机用时为：， ∵， ∴甲无人机先到观测点D． 题型3 坡度、坡角问题 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式. 13．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡上植树，要求斜坡上相邻两树间的坡面距离为4米，则相邻两树间的水平距离AC为 米． 【答案】 【详解】解：由题意得， 设米，则米， ， ， ， ， 故答案为：． 14．如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为 米．（结果保留根号） 【答案】/米 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 15．北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十七号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．为了让学生们感受国家航天事业的伟大，学校组织九年级同学参观航天博物馆，在展览场地展示了长征二号F遥十七运载火箭模型．有数学兴趣小组的同学观察到以下情况：如图，火箭模型后有一个山坡，其坡度．某一时刻太阳光线与水平线的夹角为时，火箭模型在小山坡上的影长为20米，测得坡脚C与楼房的水平距离米，求火箭模型的高． 【答案】火箭模型AB的高度为米 【分析】 【详解】解：过点D分别作，交的延长线于点E，于点F， 则四边形是矩形， ∵斜坡坡度, 在中，米， （米） ∴（米），（米） ∴（米） ∴（米） 在中， （米） （米） ∴火箭模型AB的高度为米． 16．某校数学社团准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部D与大楼底端C的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶B测得路灯顶端A处的俯角是．试求大楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】大楼的高度约为96米 【分析】 【详解】解：如图，延长交于点M，过点A作于点N． 由题意，得， ∴四边形为矩形， ∴，． 在中，， ∴， ， 即， ， ∴， （米）， ∴（米），（米）， 又∵， ∴（米）， ∴（米）． ∴大楼的高度约为96米． 17．为了监控大桥引桥下坡路段车辆行驶速度，通常会设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P处，离水平地面的高度为4米，区间测速的起点为引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为（A，B，P，Q四点在同一平面）． (1)求水平路段的长．（精确到） (2)已知测速路段坡比，如果该路段限速30千米/小时（即米/秒），某汽车用时秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？（参考数据：，，，，，，） 【答案】(1) (2)超速了，见解析 【分析】 【详解】（1）解：，， ． （2）解：过A分别作于G，于H， ∴四边形为矩形， 设，则，， ， ， ， ， ∴超速了． 18．如图，某学校地理探究实验小组周末去爬山，组长小勇带领组员在出发前学习相关知识并做了爬山攻略．他们所爬的山海拔高度为1680米，点A，B，C，M在同一平面内．爬山方案（一）：直接爬到山顶．方案（二）：首先从山脚下的点A处步行800米到达点B处，的坡角为，然后乘坐缆车从点B处到达山顶点C处，缆车的轨道与水平面的夹角为．小勇和组员共有6人，其中有3个人选择方案（一），其余3个人选择方案（二），他们在登山缆车出发点B处合影留念． (1)请问他们6人合影留念时，距离山脚水平面的高度是多少？ (2)已知登山缆车的行驶速度为360米/分钟，请问选择方案（二）的同学们从点B处乘坐登山缆车到达山顶点C处大约需要多少分钟？（结果精确到0.1分钟）（参考数据：，，） 【答案】(1)距离山脚水平面的高度是400米 (2)大约需要4.4分钟 【分析】 【详解】（1）解：如图，过点作于H，则， 由题意，，米， ∴（米）， 答：距离山脚水平面的高度是米； （2）解：过C作于F，过B作于E， 则四边形是矩形， ∴米， 在中，，，（米）， ∴（米）， ∴（分钟）， 答：大约需要4.4分钟． 题型4 生活中的应用 19．李老师将笔记本水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线与底板的边缘线所在水平线的夹角成为时，感觉最舒适（如图①）侧面示意图为图②；使用时为了散热，李老师将笔记本底板下面垫入散热架，如图③，点、、在同一直线上，，，． (1)求的长； (2)如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持，求点到的距离（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴． 即的长度为． （2）解：如图，过点作，过点作交的延长线于点，交于点，即为点到的距离， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ，四边形为矩形， ，， 在中，， ， ， ， 答：点到的距离为． 20．如图1、图2，是一款家用的垃圾箱，踏板（与地面平行）绕定点P（固定在垃圾箱底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持，），通过向下踩踏点A到（与地面接触点）使点B上升到点，与此同时传动杆运动到位置，点H绕固定点D旋转（为旋转半径）至点，从而使桶盖打开一个张角．如图3，桶盖打开后，传动杆所在直线分别与水平直线、垂直，垂足为点M、C，设．测得，，，要使桶盖张开的角度不小于，那么踏板离地面的高度至少等于多少cm？（结果保留两位有效数字，） 【答案】 【分析】 【详解】解：由题意，得当张角时，取得最大值， 此时， 由题意，得， ∴，即， 如图，过点作的垂线，垂足为N， ∵，， ∴， ∴， 由题意，得，， ∴， ∴， ∴踏板离地面的高度至少约为． 21．现有一台红外线理疗灯(如图1所示)，该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空：______°，______°； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．(参考数据：，，，) 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）解：如图，延长交于点，延长交于点， ∵⊥，， ∴，∴∠， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵， ∴四边形是矩形，∴=． ，，， 在中，，， ， ， ， ，， 在中，，， ， 答：此时伸缩杆的长度约为． 22．一酒精消毒瓶如图①，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图②，，，． (1)当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图③）．求旋转的角度； (2)求点D到直线的距离（结果精确到）．（参考数据：，，，，，） 【答案】(1)旋转的角度为 (2)点D到直线EF的距离为 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 答：旋转的角度为； （2）如图③，过点D作，垂足为G，过点E作，垂足为H， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点D到直线的距离为． 23．2025年春节联欢晚会上，16个人形机器人与舞蹈演员默契配合，共同演绎了舞蹈《秧》．图2是其动作1的示意图，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，手绢与手臂始终保持垂直． (1)若肘关节点B与肩关节点A之间的竖直高度为，即，求肘关节角的度数． (2)如图3，机器人手臂绕肩关节点A向下旋转，即，同时调节肘关节角，完成动作2．问此时手绢端点与机器人身体的水平距离，即的长度为多少？ （参考数据：，，，．） 【答案】(1)； (2)的长度为． 【分析】 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点作直线的垂线于点，过点作直线的垂线于点，过点作直线的垂线于点，交于点， ∴四边形是矩形， 如图，由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由旋转可知，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ， ∴的长度为． 24．如图，这是某超市入口的双翼闸门，如图，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面的夹角．求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 【答案】最大宽度为 【分析】 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 在中，，， ， 同理，在中，， 端点与之间的距离为， 可通过闸机的物体的最大宽度为． 答：最大宽度为． 25．图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）．(参考数据：，，) 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：如图，作于点，则， 由题意得：，， ， ， ， ， 米，为的中点， 米， （米； （2）解：在（1）中米， 如图，作于点，则， 同理可得，， ， 水桶在竖直方向上升的距离为米， 故水桶在竖直方向上升的距离约为米． 题型5 应用探究 26．某学习小组在物理实验结束后，利用实验装置探究几何测量问题． 课题 探究物理实验装置中的几何测量问题 成员 组长：×××　组员：×××，×××，××× 实验工具 木块、测角仪、皮尺、摄像机等 测量方案 示意图 方案一 (已知 方案二 (已知 说明 点为摄像机的位置，小车从同一斜面上相同高度处，由静止开始沿斜面下滑，点为小车从斜面到达水平面的位置，点为木块的位置 测量 方案一 米，， 方案二 米，， 请选择其中一种方案计算出摄像机机位到小车行驶轴线的竖直距离．(结果精确到米，参考数据：，，) 【答案】米． 【详解】解：选择方案一，设米，则米． 在中，， 米． 在中，， 米， ， 解得， 米． 选择方案二，设米，则米． 在中，， 米． 在中，， 米， ， 解得， 米． 27．数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据表格内容完成任务． 课题 探究经十路非机动车道遮阳栅相关问题 素材背景 济南经十路沿线非机动车道上的遮阳棚，采用高级玻璃丝纤维材料，能够抵抗雨淋和日晒，如图1． 抽象测量 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图．如图2，立柱与地面垂直，的长为，，．经过点的太阳光线照射在点处． 任务1 求出遮阳棚前端到地面的距离． 任务2 当太阳光线与地面夹角为时，求非机动车道有效遮阳宽度的长． （结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】任务1：；任务2：的长为 【分析】 【详解】解：任务1：作，， ∵，， ∴， 在中，， ，， 又∵ ∴四边形为矩形 ∴ 答：遮阳棚前端到地面的距离为； 任务2：在中，， ， ∵四边形为矩形 ∴， 在中，， 答：非机动车道有效遮阳宽度的长为． 28．材料题： 探究车牌识别系统的识别角度 材料1 某小区为解决“停车难”这个问题，一楼地面改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，，长． 材料2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，图3中摄像头点位于点正上方，三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭．（参考数据：，，） 解决 问题 （1）求坡面的坡比． （2）如图3，当时，求长． 【答案】（1）；（2） 【分析】 【详解】解：（1），，， ． 故坡面的坡比为． （2）作于点， 则， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 即， 解得：， 则． 29．单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点 A，拉紧摆线将摆球拉至点 B 处，，当摆球运动至点C时，（所有点都在同一平面内） 实验图示 根据以上信息，解决下列问题： (1)求摆线的长； (2)求 的长． （结果精确到，参考数据： 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵，，； ∴； （2）解：∵，，； ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为． 30．数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据表格内容完成任务． 课题 探究某大型商场的自动扶梯的相关问题 素材 背景 图1是某商场的自动扶梯    抽象 测量 图2中的是从一楼到二楼扶梯的侧面示意图．小王站在扶梯起点A处时，测得二楼天花板上照明灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿扶梯到达顶端B后又向正前方走了到达点E处（），发现照明灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，AB的长度为．    任务1 求点B到一楼地面的距离； 任务2 求照明灯C到一楼地面的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】任务一：点B到一楼地面的距离为；任务二：照明灯C到一楼地面的距离为． 【分析】 【详解】任务一：解：如图，过点B作BR⊥AN于点R， ∵AB的坡度为， ∴设，则， ∵， ∴在中，， 即， 解的， ， 答：点B到一楼地面的距离为； 任务二解：如图，连接并延长交于点V，过点D作于点U，交于点T， 由题意得，， 在中，， ∴． ∴在中，． ∴ 答：照明灯C到一楼地面的距离为． 31．图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，处有一座雕塑．在处测得雕塑的仰角为，在处测得雕塑在北偏东方向上．结合探究，请解决一下问题： (1)________度；[提示：多边形的内角和公式为] (2)点到道路的距离=________千米； (3)若该小组成员徐汇出南门后沿道路向东行走，求他离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到0.1） [参考数据：，，，，] 【答案】(1) (2)4 (3)徐汇离点不超过，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响． 【分析】 【详解】（1）解：如下图： 根据多边形的内角和公式为， ， ， 故答案为：； （2）解：同理， 为直角三角形， ， 即， 解得：； 在处测得雕塑的仰角为， 过点作，垂足为． 是等腰直角三角形， 点到道路的距离为， 故答案为：； （3）解：连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为． 正八边形的外角均为， 在中，． ． 又，， ． ∵， ∴， ，即， ， ． 答：徐汇离点不超过，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响． 32．【问题背景】 一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算． 【问题探究】 如图2，在坡角点C处测得旗杆顶点A的仰角的正切值为2，山坡上点D处测得顶点A的仰角的正切值为，斜坡的坡比为，两观测点的距离为． 学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务． （1）计算C，D两点的垂直高度差． （2）求顶点A到水平地面的垂直高度． 【问题解决】 为了计算得到旗杆的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案： 小组一：在坡角点C处测得旗杆底部点B的仰角的正切值为； 小组二：在山坡上点D处测得旗杆底部点B的俯角的正切值为． （3）请选择其中一个小组的方案计算旗杆的高度． 【答案】（1）C，D两点的垂直高度差；（2）顶点A到水平地面的垂直高度；（3）若选择小组一：旗杆的高度为；若选择小组二：旗杆的高度为 【分析】 【详解】解：（1）作交于点H， 斜坡的坡比为， ∴设，， ∴， ∵， ∴， 解得： ，， C，D两点的垂直高度差； （2）延长DG交于M，延长交延长线于N， ∵的正切值为2，仰角的正切值为， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，则，，， ， 解得， ，，， 顶点A到水平地面的垂直高度； （3）小组一：∵的正切值为， ∴， ∵， ， ； 小组二：∵的正切值为， ∴， ∵， ∴， ∵， ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优02 锐角三角函数的应用 题型1 俯角、仰角问题 仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 1．如图，数学活动小组测量了某建筑物的高度（底部不可直接到达），小丽先在点C处用测角仪（高度忽略不计）测得建筑物的顶端N处的仰角；接着，她从点C处沿方向移动到达点B处，在点B处竖立一根长为的标杆，然后继续沿方向移动，当小丽到达点D处时，小丽的眼睛E、标杆的顶端A和该建筑物的顶端N恰好在同一条直线上．经测量，小丽的眼睛到地面的距离，，已知，，，点D、B、C、M在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求该建筑物的高度．（参考数据：，，） 2．在学完锐角三角函数后，某数学兴趣小组根据所学知识，设计了一个计算不可测物体高度的模型．具体如下： 名称 利用锐角三角函数计算不可测物体的高度 测量示意图 测量目的 计算的高度 测量项目 的度数及的长度 注意事项 在测量时，需保证点在同一直线上 (1)在模型中，若，请用含及的式子表示的高度； (2)小华在利用该模型计算学校旗杆的高度时发现，在利用测角仪测量角度时，测角仪有一定的高度，所以他改进了上述模型．如图，他在点处用测角仪测得旗杆顶端处的仰角为，沿方向走到点处，此时测得旗杆顶端处的仰角为，测得米．已知测角仪的高度为米，点在同一水平线上，请根据以上数据帮助小华计算出旗杆的高度（结果精确到米，参考数据：）． 3．榆林人民大厦，以榆林代表性的古迹“镇北台和凌霄塔”为设计蓝本，配以天圆地方的设计理念．天天所在的兴趣小组准备测量该大厦的高度，如图，他在处放置了一面平面镜（大小忽略不计），然后沿方向移动，当他站在点处时恰好能在平面镜中看到大厦顶端的像，已知天天的眼睛距离地面的高度为米，米；小组成员在大厦另一侧点处安装一个米高的测角仪，测得大厦顶端的仰角为，已知米，，，，点、、、在同一条水平线上，图中所有点均在同一平面内．请你帮助该小组求出该大厦的高度．（参考数据：，，） 4．如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼的高度进行测量．先测得居民楼与之间的距离为，后站在M点处测得居民楼的顶端D的仰角为，居民楼的顶端A的仰角为，已知居民楼的高度为，求居民楼的高度．（精确到） （参考数据：，，，，，） 5．如图，某气象小组正在测算一座垂直发射的探空气球的高度．在观测点A处测得气球底端C的仰角为，随后向气球方向水平移动到达观测点B，测得仰角变为．已知垂直于地面，点D与共线，求探空气球的高度．（结果保留整数，参考数据：） 6．某学习小组外出研学时发现在山坡上有一棵笔直的树木，该小组结合锐角三角函数相关知识，制定测量方案，获得相关数据，并利用数据测算出这棵树的高度，方案如下： 请你根据上表中测量数据计算这棵树的高度（精确到）．参考数据：， 课题 测算树木的高度 工具 卷尺，测角仪等 示意图 说明 先在点C处测得树顶A的仰角，再从点C处前进至坡底D处，测得山坡与平地之间的夹角，最后测得坡底D与树底B之间的距离 测量数据 点C处测得树顶A的仰角为，，，m 题型2 方向角问题 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线的方向角分别表示北偏东，南偏东，南偏西，北偏西.特别如：东南方向指的是南偏东，东北方向指的是北偏东，西南方向指的是南偏西，西北方向指的是北偏西 7．如图，在港口的南偏东方向有一座小岛，一艘船从港口出发沿正东方向行驶24海里后到达处，在处测得小岛恰在其西南方向，那么小岛与港口相距 海里．（结果保留根号） 8．如图，已知港口位于观测点东偏北（即）方向，且到观测点正东方向的距离长为46海里，一艘货轮从B港口以40海里／的速度沿的方向航行．现测得货轮处位于观测点东偏北（即）方向．求此时货轮到之间的最短距离（精确到海里）．（参考数据：，，，，，，，，） 9．如图，A，B，C，D，E分别是某湖边的五个打卡拍照点，为了方便游客游玩，沿湖修建了健身步道，在B，D之间修了一座桥．B，D在A的正东方向，C在B的正南方向，且在D的南偏西方向，E在A的北偏东方向，且在D的北偏西方向，米，米．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲、乙两人从拍照点A出发去拍照点D，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 10．如图，A，B，C，D在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务、B在观测点A的西北方向且在观测点D的西南方向海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地C在观测点A的北偏东方向且在观测点D的北偏东方向（参考数据： ） (1)求的距离（结果保留根号）． (2)观测结束后，甲巡逻艇从观测点A出发沿往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点D出发沿往C处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇到C处的距离是甲巡逻艇到C处的距离的3倍时，乙巡逻艇距离D处多少海里（结果保留整数）？ 11．如图是某湿地公园健身步道示意图．小明准备从点A出发到公园广场点F处玩耍，已知从点A到点F有两条路线可以选择：①A→B→C→F；②A→D→E→F．经勘测，F在A的正东方向，且在C的正南方向450米处，在E的正北方向360米处，A在B的南偏西方向，D在A的东南方向，C、E分别在B、D的正东方向且米．（参考数据：，） (1)求路线①的长度．（结果精确到个位） (2)由于路线②道路较窄，平均步行速度为，路线①平均步行速度，请通过计算说明小明应该选择哪条路线才能尽快到达广场． 12．如图，甲、乙两架巡检无人机同时从基地出发，沿不同路线到观测点执行任务．已知位于的西南方向千米处，位于的正西方50千米处，位于的正北方，且位于的北偏西方向，位于的正西方，且位于南偏东方向．（参考数据：，，） (1)求、之间的距离（结果保留根号）． (2)甲无人机沿路线巡检，乙无人机沿路线巡检，其中甲无人机平均速度为80千米/小时，乙无人机平均速度为42千米/小时，请通过计算说明哪架无人机先到观测点（结果保留小数点后一位）？ 题型3 坡度、坡角问题 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式. 13．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡上植树，要求斜坡上相邻两树间的坡面距离为4米，则相邻两树间的水平距离AC为 米． 14．如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为 米．（结果保留根号） 15．北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十七号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．为了让学生们感受国家航天事业的伟大，学校组织九年级同学参观航天博物馆，在展览场地展示了长征二号F遥十七运载火箭模型．有数学兴趣小组的同学观察到以下情况：如图，火箭模型后有一个山坡，其坡度．某一时刻太阳光线与水平线的夹角为时，火箭模型在小山坡上的影长为20米，测得坡脚C与楼房的水平距离米，求火箭模型的高． 16．某校数学社团准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部D与大楼底端C的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶B测得路灯顶端A处的俯角是．试求大楼的高度．（参考数据：，，，，，） 17．为了监控大桥引桥下坡路段车辆行驶速度，通常会设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P处，离水平地面的高度为4米，区间测速的起点为引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为（A，B，P，Q四点在同一平面）． (1)求水平路段的长．（精确到） (2)已知测速路段坡比，如果该路段限速30千米/小时（即米/秒），某汽车用时秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？（参考数据：，，，，，，） 18．如图，某学校地理探究实验小组周末去爬山，组长小勇带领组员在出发前学习相关知识并做了爬山攻略．他们所爬的山海拔高度为1680米，点A，B，C，M在同一平面内．爬山方案（一）：直接爬到山顶．方案（二）：首先从山脚下的点A处步行800米到达点B处，的坡角为，然后乘坐缆车从点B处到达山顶点C处，缆车的轨道与水平面的夹角为．小勇和组员共有6人，其中有3个人选择方案（一），其余3个人选择方案（二），他们在登山缆车出发点B处合影留念． (1)请问他们6人合影留念时，距离山脚水平面的高度是多少？ (2)已知登山缆车的行驶速度为360米/分钟，请问选择方案（二）的同学们从点B处乘坐登山缆车到达山顶点C处大约需要多少分钟？（结果精确到0.1分钟）（参考数据：，，） 题型4 生活中的应用 19．李老师将笔记本水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线与底板的边缘线所在水平线的夹角成为时，感觉最舒适（如图①）侧面示意图为图②；使用时为了散热，李老师将笔记本底板下面垫入散热架，如图③，点、、在同一直线上，，，． (1)求的长； (2)如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持，求点到的距离（结果保留根号）． 20．如图1、图2，是一款家用的垃圾箱，踏板（与地面平行）绕定点P（固定在垃圾箱底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持，），通过向下踩踏点A到（与地面接触点）使点B上升到点，与此同时传动杆运动到位置，点H绕固定点D旋转（为旋转半径）至点，从而使桶盖打开一个张角．如图3，桶盖打开后，传动杆所在直线分别与水平直线、垂直，垂足为点M、C，设．测得，，，要使桶盖张开的角度不小于，那么踏板离地面的高度至少等于多少cm？（结果保留两位有效数字，） 21．现有一台红外线理疗灯(如图1所示)，该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空：______°，______°； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．(参考数据：，，，) 22．一酒精消毒瓶如图①，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图②，，，． (1)当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图③）．求旋转的角度； (2)求点D到直线的距离（结果精确到）．（参考数据：，，，，，） 23．2025年春节联欢晚会上，16个人形机器人与舞蹈演员默契配合，共同演绎了舞蹈《秧》．图2是其动作1的示意图，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，手绢与手臂始终保持垂直． (1)若肘关节点B与肩关节点A之间的竖直高度为，即，求肘关节角的度数． (2)如图3，机器人手臂绕肩关节点A向下旋转，即，同时调节肘关节角，完成动作2．问此时手绢端点与机器人身体的水平距离，即的长度为多少？ （参考数据：，，，．） 24．如图，这是某超市入口的双翼闸门，如图，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面的夹角．求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 25．图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）．(参考数据：，，) 题型5 应用探究 26．某学习小组在物理实验结束后，利用实验装置探究几何测量问题． 课题 探究物理实验装置中的几何测量问题 成员 组长：×××　组员：×××，×××，××× 实验工具 木块、测角仪、皮尺、摄像机等 测量方案 示意图 方案一 (已知 方案二 (已知 说明 点为摄像机的位置，小车从同一斜面上相同高度处，由静止开始沿斜面下滑，点为小车从斜面到达水平面的位置，点为木块的位置 测量 方案一 米，， 方案二 米，， 请选择其中一种方案计算出摄像机机位到小车行驶轴线的竖直距离．(结果精确到米，参考数据：，，) 27．数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据表格内容完成任务． 课题 探究经十路非机动车道遮阳栅相关问题 素材背景 济南经十路沿线非机动车道上的遮阳棚，采用高级玻璃丝纤维材料，能够抵抗雨淋和日晒，如图1． 抽象测量 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图．如图2，立柱与地面垂直，的长为，，．经过点的太阳光线照射在点处． 任务1 求出遮阳棚前端到地面的距离． 任务2 当太阳光线与地面夹角为时，求非机动车道有效遮阳宽度的长． （结果精确到．参考数据：，，，，，） 28．材料题： 探究车牌识别系统的识别角度 材料1 某小区为解决“停车难”这个问题，一楼地面改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，，长． 材料2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，图3中摄像头点位于点正上方，三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭．（参考数据：，，） 解决 问题 （1）求坡面的坡比． （2）如图3，当时，求长． 29．单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点 A，拉紧摆线将摆球拉至点 B 处，，当摆球运动至点C时，（所有点都在同一平面内） 实验图示 根据以上信息，解决下列问题： (1)求摆线的长； (2)求 的长． （结果精确到，参考数据： 30．数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据表格内容完成任务． 课题 探究某大型商场的自动扶梯的相关问题 素材 背景 图1是某商场的自动扶梯    抽象 测量 图2中的是从一楼到二楼扶梯的侧面示意图．小王站在扶梯起点A处时，测得二楼天花板上照明灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿扶梯到达顶端B后又向正前方走了到达点E处（），发现照明灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，AB的长度为．    任务1 求点B到一楼地面的距离； 任务2 求照明灯C到一楼地面的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，） 31．图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，处有一座雕塑．在处测得雕塑的仰角为，在处测得雕塑在北偏东方向上．结合探究，请解决一下问题： (1)________度；[提示：多边形的内角和公式为] (2)点到道路的距离=________千米； (3)若该小组成员徐汇出南门后沿道路向东行走，求他离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到0.1） [参考数据：，，，，] 32．【问题背景】 一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算． 【问题探究】 如图2，在坡角点C处测得旗杆顶点A的仰角的正切值为2，山坡上点D处测得顶点A的仰角的正切值为，斜坡的坡比为，两观测点的距离为． 学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务． （1）计算C，D两点的垂直高度差． （2）求顶点A到水平地面的垂直高度． 【问题解决】 为了计算得到旗杆的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案： 小组一：在坡角点C处测得旗杆底部点B的仰角的正切值为； 小组二：在山坡上点D处测得旗杆底部点B的俯角的正切值为． （3）请选择其中一个小组的方案计算旗杆的高度． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $