专题09 圆中的最值模型之阿氏圆模型（几何模型讲义）数学苏科版九年级下册

专题09 圆中的最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.阿氏圆模型 4 13 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 （2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵，∴ 证明过程缺失 ∴；∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法： 两定点在圆外：向内取点（系数小于1）； 两定点在圆内：向外取点（系数大于1）； 两定一内一外：提系数； 隐圆型阿氏圆（即动点轨迹没有直接给出，但可以证明动点轨迹为圆）等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”、“逆等线”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线；而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题。 模型1.阿氏圆模型 例1（2025·山东·校考二模）如图，在中，，，，以为圆心，为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 例2（2025·安徽六安·模拟预测）已知圆是正方形的内切圆，为圆上任一点，为的中点，连接．（1）如图1， ；（2）如图2，连接，若，则的最大值为 ． 例3（2025·浙江·模拟预测）已知扇形中，，，点P是弧上一点，的最小值为 例4（2025·山东·模拟预测）如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 　　． 例5（24-25·福建·九年级校考期中）如图，正方形边长为4，是的中点，在上，的最大值是 　　，的最小值是 　　. 例6（2025·黑龙江·中考真题）如图，已知中，，，，点M是内部一点，连接、、，若，则的最小值为 ． 例7（2025·重庆·模拟预测）正方形ABCD中，AB＝2，点M是BC中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP＋2EF的最小值为 ．    例8（24-25·重庆·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为__，PD﹣的最大值为__． （2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为__，PD﹣的最大值为__． 1.（2025·安徽·校考一模）在中，，点D是平面上一点，且，连接，则下列说法正确的是（    ） A．长度的最大值是9 B．的最小值是 C． D．面积的最大值是40 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在扇形CAB中，CA=4，∠CAB=120°，D为CA的中点，P为弧BC上一动点（不与C，B重合），则2PD+PB的最小值为（　　） A． B． C．10 D． 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足 k ( k 为定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”， 【问题解决】如图，在△ABC 中，CB 4 ， AB 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____． 4．（24-25九年级下·江苏·期末）如图，正方形的边长为9，点E在边上，且，点F为平面内一动点，且，连接，则的最小值是 ． 5．（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图，在中，，，，点D为内一动点，且满足，则的最小值为 ． 6．（2025九年级下·江苏·专题练习）如图，，，圆O的半径为，P是圆O上一动点，的最小值为 ． 7．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以为半径作，点P是上一动点，点B的坐标为，则的最小值为 ． 8．（24-25九年级下·江苏苏州·自主招生）如图，四边形是边长为4的正方形，圆是正方形的内切圆，为圆上一点，连接、，则的最小值为 ． 9．（24-25八年级下·河北沧州·月考）如图1，平行四边形中，，，，P为边上的一动点，设的值为，如图2，是正方形的内切圆，，点P是上一个动点，设的值为b，如图3，，，．点O是内一点，设点O到三个顶点的距离和的值为c，则的最小值为 ． 10．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，正方形的边长为8，的半径为4，点P是上一个动点，则的最小值为 ． 11．（24-25·湖北·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆与两坐标轴分别交于A，B两点，D是弧上一动点，则的最小值 ． 12．（25-26·江苏·九年级专题练习）如图，已知菱形的边长为8，，圆的半径为4，点是圆上的一个动点，则的最大值为 ． 13．（24-25九年级·浙江·专题练习）如图抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点，过A，B，C三点，P是上一动点，连接则的最小值 ． 14．（24-25九年级·浙江·专题练习）如图，在平面坐标系中，，以O为圆心，为半径画圆，P为上一动点，则的最小值 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图①，在中，，，，的半径为，为圆上一动点，连接，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接，在上取一点，使，则．又，所以．所以．所以，所以．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为 ； (2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，是上一点，求的最小值． 16．（25-26九年级上·浙江金华·自主招生）（1）如图1，在平面直角坐标系中，的半径为2，，C是上的一个动点．①求的最小值；②求最小值． （2）如图2，在平面直角坐标系中，，P是第一象限的一个动点，，求最小值． 17．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）探究： (1)如图一，若，求证：；(2)如图二，若，，求的长；(3)如图三，在等腰直角中，，P是平面内任意 一点，且，求的最小值． 18．（2025·广东潮州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的表达式；(2)点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标； (3)点D是线段上一点，且的面积是12．①求点D的坐标；②将线段绕点O逆时针旋转得到，旋转角为，连接，求的最小值． 19．（2025·广东深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”． 【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？    第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP； 第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）； 第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）． 【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB． (1)的最小值是多少？(2)请求出（1）条件下，点P的坐标． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 圆中的最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.阿氏圆模型 4 13 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 （2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵，∴ 证明过程缺失 ∴；∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 【答案】【模型认知】；【模型探究】见解析；【模型应用】13 【详解】解：模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，如图，∵，∴，∴， ∵，∴∴．∴， ∴当A、P、M三点共线时最小，如图， ∵，此时．故答案为：； 模型探究：证明：∵，∴∴， 又，∴，∴，∴． 模型应用：解：延长至点E使，连接，如图， 则，∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． ∴当点E，P，B在一条直线上时，最短为线段， ∴的最小值．∴的最小值为13．故答案为：13． 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法： 两定点在圆外：向内取点（系数小于1）； 两定点在圆内：向外取点（系数大于1）； 两定一内一外：提系数； 隐圆型阿氏圆（即动点轨迹没有直接给出，但可以证明动点轨迹为圆）等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”、“逆等线”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线；而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题。 模型1.阿氏圆模型 例1（2025·山东·校考二模）如图，在中，，，，以为圆心，为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：如图，在上截取，使得，连接，，． ∵，，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∵ ，在中，，，， ∴，∴，∴的最小值为．故选：C． 例2（2025·安徽六安·模拟预测）已知圆是正方形的内切圆，为圆上任一点，为的中点，连接．（1）如图1， ；（2）如图2，连接，若，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：（1）如图1，过点作，垂足为．设圆半径为，则，， 为的中点，，，， 又，，，故答案为：； （2）由（1）可知，，， 当在的延长线上时，即点、、三点共线时，有最大值，最大值为的长， 如图2，过点作，垂足为，，，， ，，，， ，的最大值为， 的最大值为，的最大值为．故答案为：． 例3（2025·浙江·模拟预测）已知扇形中，，，点P是弧上一点，的最小值为 【答案】13 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，∴， ∴，又∵，∴， ∴，∴，∴， ∴当B、P、E三点共线时，有最小值， ∴，∴的最小值为13．故答案为：． 例4（2025·山东·模拟预测）如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 　　． 【解答】解：在上取点，使，，， ，，，， 在延长线上取，，则， 又，，，， ， 当为和圆的交点时最小，即最小，且值为， ，的最小值为，故答案为：． 例5（24-25·福建·九年级校考期中）如图，正方形边长为4，是的中点，在上，的最大值是 　　，的最小值是 　　. 【解答】解：(1)如图，连接，，交于点，连接，，， 四边形是正方形，，，，，， ，，，， ，， 当、、在一条直线上时，，. (2)延长CD至点H，使CH=2CD 显然，由（1）可知 ∴ 由勾股定理可得，，故. 例6（2025·黑龙江·中考真题）如图，已知中，，，，点M是内部一点，连接、、，若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：在上取点，使， 又∵，，∴，又∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴， 即当在上时，取最小值，为.故答案为. 例7（2025·重庆·模拟预测）正方形ABCD中，AB＝2，点M是BC中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP＋2EF的最小值为 ．    【答案】2        ∵正方形ABCD中AB=，M为中点∴CM=BM=，∵∠MPC＝45°∴半径为1 作辅助线：连接OA，在OA上取N使得ON=OP，连接AP，OP，PN，如图2： 根据题意正方形对角线AC=4，所以OA=3=3OP，∴，∠NOP=∠AOP∴△OPN∽△OAP ∴即PN=PA∴3BP＋2EF=3BP+AP=3（BP+AP）=3（BP+PN） 连接BN，交圆弧于P点，此时B、P、N三点共线， 即BP+PN取得最小值，过G作NG⊥BC交BC于G， 如图所示：∵CN=OC+CN=1+=，∴NG=CG=，∴BG=， 根据勾股定理可得，BN=,∴3BP＋2EF=3（BP+PN）=3BN=．故答案为：． 例8（24-25·重庆·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为__，PD﹣的最大值为__． （2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为__，PD﹣的最大值为__． 【答案】                    【详解】（1）如图3中，在上取一点，使得， ，，， ，，，， （当且仅当、、共线时取等号），的最小值为， 的最小值为，， 的最大值为，故答案为：，； （2）如图4中，在上取一点，使得，作交于点， ，，， ，，，， （当且仅当、、共线时取等号）， 的最小值为， 的最小值为， 在中，，，，， 在中，，的最小值为， ，的最大值为，故答案为：，． 1.（2025·安徽·校考一模）在中，，点D是平面上一点，且，连接，则下列说法正确的是（    ） A．长度的最大值是9 B．的最小值是 C． D．面积的最大值是40 【答案】B 【详解】解：A、，点D是平面上一点，且， 点A、C、D在同一直线上且D在延长线上时，长度的最大值是，故本选项不符合题意； B、在上取点E，使，连接， 当B、D、E共线时最小， 此时，，故本选项符合题意； C、点D是平面上一点，且，点在以点C为圆心，4为半径的圆上， 随着点D 的变化而变化，故本选项不符合题意； D、点在以点C为圆心，4为半径的圆上， 如下图，当所在直线垂直于时，面积的最大， 在中，，， ，，， ，面积的最大值是44，故本选项不符合题意；故选：B． 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在扇形CAB中，CA=4，∠CAB=120°，D为CA的中点，P为弧BC上一动点（不与C，B重合），则2PD+PB的最小值为（　　） A． B． C．10 D． 【答案】D 【详解】如图，作∥∠PAP′=120°，则AP′=2AB=8，连接PP′，BP′，则∠1=∠2， ∵=2，∴△APD∽△ABP′，∴BP′=2PD，∴2PD+PB=BP′+PB≥PP′， ∴PP′=，∴2PD+PB≥4，∴2PD+PB的最小值为4，故选D． 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足 k ( k 为定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”， 【问题解决】如图，在△ABC 中，CB 4 ， AB 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____． 【答案】 【详解】解：以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP=∠ABC，AP与BC的延长线交于点P， ∵∠APC=∠BPA， AB 2AC∴△APC∽△BPA，∴∴BP=2AP，CP=AP ∵BP－CP=BC=4∴2AP－AP=4解得：AP=∴BP=，CP=，即点P为定点 ∴点A的轨迹为以点P为圆心，为半径的圆上，如下图所示，过点P作BC的垂线，交圆P于点A1，此时A1到BC的距离最大，即△ABC的面积最大 S△A1BC=BC·A1P=×4×=即△ABC面积的最大值为故答案为：． 4．（24-25九年级下·江苏·期末）如图，正方形的边长为9，点E在边上，且，点F为平面内一动点，且，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：在上取点M，使，连接， 正方形的边长为9，，，， ，，，， 点F为平面内一动点，且，∴点F在以C为圆心，3为半径的圆上运动， ∴当在同一直线上，且点F在线段上的点处时，取最小值， 在正方形中，， ，，， 则的最小值是．故答案为：． 5．（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图，在中，，，，点D为内一动点，且满足，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，在上取一点，使得，连接，， ，，，，， ，，，， ，在中，，， ，， 的最小值为，故答案为：． 6．（2025九年级下·江苏·专题练习）如图，，，圆O的半径为，P是圆O上一动点，的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：延长到，使，连接，如图，∴ 又，.∴，∵，∴， ∴，∴，∵ ∴，∴， ∴的最小值为，故答案为：. 7．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以为半径作，点P是上一动点，点B的坐标为，则的最小值为 ． 【答案】10 【详解】解：连接，，在上取C，使，连接，如图： ∵，    ∴，∵半径为，∴， 又∵，∴，而，∴， ∴，∴，∵，∴， 故取最小值，即是取最小值，此时B、P、C共线，的最小值即为，如图： ∵，∴直线为，由，知， ∴，设，则， ∴（负值已舍去），即，∴， ∴的最小值为10，故答案为：10． 8．（24-25九年级下·江苏苏州·自主招生）如图，四边形是边长为4的正方形，圆是正方形的内切圆，为圆上一点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：设半径为r， ∵圆是正方形的内切圆，∴，， 取的中点I，连接，∴， ∵， ，∴ ，是公共角， ∴，∴，∴，∴， ∴当A、P、I在一条直线上时，最小，作于E， ∵，∴，∴， ∴，∴最小值， ∵，∴的最小值是．故答案是． 9．（24-25八年级下·河北沧州·月考）如图1，平行四边形中，，，，P为边上的一动点，设的值为，如图2，是正方形的内切圆，，点P是上一个动点，设的值为b，如图3，，，．点O是内一点，设点O到三个顶点的距离和的值为c，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：①如图1中，过点作，交的延长线于点， ，， ∵∴∴，∴，∴， ∴当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为， ∵，∴，∴的最小值为， ②如图2中，连，，，在上取一点，使，连，． ∵，，∴，，∴， ∴，∴，∴， ，即的最小值为，∴的最小值为， 如图3中：以为边作等边三角形，以为边作等边．连接，作，交的延长线于．∵和是等边三角形， ∴，，，∴， 在和中，，∴， ∴，∴， ∴当、、、四点共线时，值最小， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴， ∴的最小值为，∴的最小值为，故答案为：． 10．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，正方形的边长为8，的半径为4，点P是上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】10 【详解】解：如图，连接，在上截取， ∵正方形的边长为8，的半径为4，则， ∴，∵，∴， ∴，∴，∴， ∴当点D、P、E共线时，最小， ∵，∴的最小值为10，故答案为：10． 11．（24-25·湖北·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆与两坐标轴分别交于A，B两点，D是弧上一动点，则的最小值 ． 【答案】 【详解】解：连接CO并延长至点P使，连接DP、CD、BP、CB， ∵C点坐为，∴OC=，∵CD=∴=，∴CP=，∴OP= ∵∠AOP=45°，∴P点坐标为（）∵∠DCO=∠DCP，，∴△CDO∽△CPD， ∴，∴PD=OD，当B、D、P共线时，=BD+DP=BP，此时最小， 设点B的坐标为（0，n），∵C点坐标为，∴ 解得，n1=3，n2=-1，由图可知点B坐标为（0，3） 由P点坐标（），B坐标（0，3）可得；故答案为：． 12．（25-26·江苏·九年级专题练习）如图，已知菱形的边长为8，，圆的半径为4，点是圆上的一个动点，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：连接，在上取一点，使得，连接，，过点作交的延长线于．，，，，，， ，，，， 四边形是菱形，，， ，，即， ，，， ，（当P、G、D三点共线时取等号） ，的最大值为．故答案为：． 13．（24-25九年级·浙江·专题练习）如图抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点，过A，B，C三点，P是上一动点，连接则的最小值 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接DA，DB，过点D作DE⊥AB交AB于E， ∵抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧）， 又∵， 故由二次函数的交点式可知A点的坐标为(-1，0)，B点的坐标为(3，0)， ∵过A，B两点，∴由圆的垂径定理可知E点的横坐标为1，D点的坐标为(1，y)， 又∵CD=BD，，, ∴即, ∴,∴y=1,∴D点的坐标为(1，1)． ∴， ∵P在圆上，∴．延长DO到F使得，连接PF，PO ∵直线DF经过点D(1，1)、O(0，0)、F(x，y)∴直线DF的解析式是y=x， 解得∴点F的坐标为 ∴，∴,∴, ∴，∴，∴=， ∴当P、C、Ｆ三点共线时取最小值，∴==， 故答案为：． 14．（24-25九年级·浙江·专题练习）如图，在平面坐标系中，，以O为圆心，为半径画圆，P为上一动点，则的最小值 【答案】 【详解】如图所示，在轴负半轴上取D（，0），则OD= 因为A（-2,0）∴OA=2在上任取一点P’，连接OP’，AP’，P’D ∴OP’=OC=3∴，∴ ∵∠P’OA=∠DOP’∴△P’OA∽△DOP’∴∴P’D=P’A ∴求P’A+P’B的最小值即求P’D+P’B的最小值 连接BD交于点P，此时PD+PB最小，最小值为BD的长 ∴即最小值为故答案为 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图①，在中，，，，的半径为，为圆上一动点，连接，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接，在上取一点，使，则．又，所以．所以．所以，所以．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为 ； (2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，是上一点，求的最小值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：如图连接，∵，要使最小， ∴当最小，当点在同一条直线时，最小，∴的最小值为， 在中，，，∴， ∴的最小值为，故答案为：； （2）解：如图连接，在上取点，使，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴的最小值为，故答案为：； （3）解：如图延长到点，使， ∴，连接，∵，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∴当三点共线时，取得最小值：，故答案为：． 16．（25-26九年级上·浙江金华·自主招生）（1）如图1，在平面直角坐标系中，的半径为2，，C是上的一个动点．①求的最小值；②求最小值． （2）如图2，在平面直角坐标系中，，P是第一象限的一个动点，，求最小值． 【答案】（1）①，②；（2） 【详解】（1）①如答图1，连接，在上取一点M，使，连接，，   ∵，，∴，∴，∴， ∴，即的最小值是； ②如答图，连接，在上取一点N，使，连接，.   ∵，，∴，∴， ∴，∴，即的最小值是. （2）如答图3，以O为圆心，以为半径作，连接，在x轴的正半轴上取一点T，使，连接∵，，∴， ∴点P在以O为圆心，以为半径的上，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴， 即的最小值是． 17．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）探究： (1)如图一，若，求证：；(2)如图二，若，，求的长；(3)如图三，在等腰直角中，，P是平面内任意 一点，且，求的最小值． 【答案】(1)见解析(2)(3)5 【详解】（1）解：∵，，∴，∴，∴； （2）作平分，则：，∵，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∵平分，∴点到距离相等，设点到距离均为，∴， 又∵（同高三角形的面积比等于底边比）， ∴，∴，∴，即：，∴； （3）在上截取，连接，则：， ∵，∴，∵，∴，∴， ∴，∴，∴当三点共线时，的值最小为的长， 在中，，∴，∴的最小值为5． 18．（2025·广东潮州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的表达式；(2)点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标； (3)点D是线段上一点，且的面积是12．①求点D的坐标；②将线段绕点O逆时针旋转得到，旋转角为，连接，求的最小值． 【答案】(1)(2)点的坐标为或 (3)①；②的最小值 【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点，与轴交于点， ，解得．抛物线的表达式为； （2）解：∵抛物线的表达式为，∴， ①当点在上方时，如图2，，∵点的纵坐标相等， 点的纵坐标为4，令，则，解得：（舍）或，； ②当点在下方时，如图3，设交轴于点， ，．设，， 在中，，，解得：，，． 设直线的解析式为，，解得：．． ，解得：（舍），，． 综上：点的坐标为或． （3）解：①，，，， ②如图，在轴上取一点使得，连接，在上取一点使得． ，，， 又，，． ．， 此时最小（两点间线段最短，共线时）， 的最小值． 19．（2025·广东深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”． 【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？    第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP； 第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）； 第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）． 【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB． (1)的最小值是多少？(2)请求出（1）条件下，点P的坐标． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图，在x轴上取点，连接，    ∵点，点，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴， 当点P在上时，取得最小值， ∴，故最小值为； （2）∵，，∴设直线的解析式为，将点代入得： ，解得，∴，设， ∵半径为3，∴，解得：（负值舍去）， ∴，∴ ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $