专题09 圆中的最值模型之阿氏圆模型（几何模型讲义）数学人教版九年级下册

专题08 圆中的最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.阿氏圆模型 4 13 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 （2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵，∴ 证明过程缺失 ∴；∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 【答案】【模型认知】；【模型探究】见解析；【模型应用】13 【详解】解：模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，如图，∵，∴，∴， ∵，∴∴．∴， ∴当A、P、M三点共线时最小，如图， ∵，此时．故答案为：； 模型探究：证明：∵，∴∴， 又，∴，∴，∴． 模型应用：解：延长至点E使，连接，如图， 则，∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． ∴当点E，P，B在一条直线上时，最短为线段， ∴的最小值．∴的最小值为13．故答案为：13． 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法： 两定点在圆外：向内取点（系数小于1）； 两定点在圆内：向外取点（系数大于1）； 两定一内一外：提系数； 隐圆型阿氏圆（即动点轨迹没有直接给出，但可以证明动点轨迹为圆）等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”、“逆等线”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线；而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题。 模型1.阿氏圆模型 例1（24-25九年级下·安徽芜湖·开学考试）如图，在中，，，，以为圆心，3为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为（   ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在上截取，使得，连接，，． ，，，，， ，，， ，， ，在中，，，， ，．则的最小值为．故选：． 例2（2025·广东·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 【答案】 【详解】如图，连接，在上取一点，使得， ， 在△PDM中，PD-PM＜DM，当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值， 四边形是正方形；。 在中，故答案为：． 例3（24-25九年级下·浙江台州·期末）如图，在中，直径切于点，且，点分别是的中点，点是上一动点，连结，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：延长到点F，使，连接， 在中，直径，则， 点C是中点，，， ，， ，当点P落在线段上时，取最小值，最小值即线段值，作，垂足为点H， 切于点，，， ，，， 点E是中点，， ，，在中，， ，则的最小值是，故答案为：． 例4（2025九年级下·湖北·专题练习）如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：在上取点，连接，使，，， ，，，， 在延长线上取，连接．，则， 又，，，， ， 当为和圆的交点时最小，即最小，且值为， ，的最小值为，故答案为：． 例5（24-25·福建·九年级校考期中）如图，正方形边长为4，是的中点，在上，的最大值是 　　，的最小值是 　　. 【解答】解：(1)如图，连接，，交于点，连接，，， 四边形是正方形，，，，，， ，，，， ，， 当、、在一条直线上时，，. (2)延长CD至点H，使CH=2CD 显然，由（1）可知 ∴ 由勾股定理可得，，故. 例6（24-25九年级下·浙江金华·期中）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，点P是外部的第一象限内一动点，且，点Q是直线上的一个动点，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：把代入得：， 把代入得：，解得：，∴， 把代入得：，把代入得：，解得：， ∴，∴，∴，则， 以点O为圆心，为半径画圆，点E为下方，圆上任意点，连接点， ∵，∴，∵，∴， ∴点A、P、B、E四点共圆，即点P在上运动，， 将逆时针旋转，交x轴于点T，使， ∵，，∴， ∴，则，，则点T为定点， ∴，当取最小值时，最小， 过点T作的垂线，交于点P，交于点Q， 此时点T、P、Q共线，且，取最小值， ∵，∴，∴， ∴，故答案为：．    例7（2025·重庆·模拟预测）正方形ABCD中，AB＝2，点M是BC中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP＋2EF的最小值为 ．    【答案】2        ∵正方形ABCD中AB=，M为中点∴CM=BM=，∵∠MPC＝45°∴半径为1 作辅助线：连接OA，在OA上取N使得ON=OP，连接AP，OP，PN，如图2： 根据题意正方形对角线AC=4，所以OA=3=3OP，∴，∠NOP=∠AOP∴△OPN∽△OAP ∴即PN=PA∴3BP＋2EF=3BP+AP=3（BP+AP）=3（BP+PN） 连接BN，交圆弧于P点，此时B、P、N三点共线，即BP+PN取得最小值，过G作NG⊥BC交BC于G，如图所示：∵CN=OC+CN=1+=，∴NG=CG=，∴BG=，根据勾股定理可得，BN=, ∴3BP＋2EF=3（BP+PN）=3BN=．故答案为：． 例8（2025·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）10；（3） 【详解】解：（1）证明：∵PA=2，AB=4，AQ=1，∴PA2=AQ⋅AB=4．∴． 又∵∠A=∠A，∴△PAQ∽△BAP．∴．∴PB=2PQ； （2）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ． ∴AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)． ∵PC+PQ≥QC，∴当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小． ∵QC==5，∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10．∴2PC+PB的最小值为10． （3）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ，延长CQ交⊙A于点P′，过点C作CH垂直AB的延长线于点H．易得AP=2，AB=4，AQ=1． 由（1）得PB=2PQ，∴2PC−PB=2PC−2PQ=2(PC−PQ) ， ∵PC−PQ≤QC，∴当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC−PQ的值最大． ∵QC= =，∴2PC−PB=2(PC−PQ)≤2．∴2PC−PB的最大值为2． 1．（24-25·湖北武汉·九年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（    ） A．7 B．5 C． D． 【答案】B 【详解】如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM． ∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM•CA，∴， ∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB， ∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7， ∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值为5．故选：B． 2．（2025·安徽宿州·三模）在矩形中，，．点是上一动点，连接，再将沿翻折，使点落在点处，连接，．下列结论不正确的是（   ） A．点到直线距离的最小值为2 B．长度的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【详解】解：由折叠可知，，点在以点为圆心，为半径的圆上，如图，作于点， ，当点，，共线时，的值最小， 点到直线距离的最小值为2，选项A正确； 如图，连接，， 当点，，共线时，的值最小，长度的最小值，选项B正确； 当角度最大时，的值最大， 当与相切时，最大，的最大值为，选项C正确； 如图，在上取点，使，连接，，， ，，，，， 当，，三点共线时，的值最小，最小值为的长，，选项D错误．故选：D． 3．（2025·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为_____． 【答案】5 【详解】分析: 由PD−PC＝PD−PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD−PC的值最大，最大值为DG＝5． 详解: 在BC上取一点G，使得BG＝1，如图， ∵，，∴， ∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝PC， 当点P在DG的延长线上时，PD−PC的值最大，最大值为DG＝＝5．故答案为5 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足 k ( k 为定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”， 【问题解决】如图，在△ABC 中，CB 4 ， AB 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____． 【答案】 【详解】解：以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP=∠ABC，AP与BC的延长线交于点P， ∵∠APC=∠BPA， AB 2AC∴△APC∽△BPA，∴∴BP=2AP，CP=AP ∵BP－CP=BC=4∴2AP－AP=4解得：AP=∴BP=，CP=，即点P为定点 ∴点A的轨迹为以点P为圆心，为半径的圆上，如下图所示，过点P作BC的垂线，交圆P于点A1，此时A1到BC的距离最大，即△ABC的面积最大 S△A1BC=BC·A1P=×4×=即△ABC面积的最大值为故答案为：． 5．（24-25九年级下·湖北十堰·月考）如图，在扇形中，，点A是中点，，点P是弧上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，延长OA到E，使得CE=3，连接PE，OP，∴OE=OC+CE=6， ∵A是OC的中点，∴，∴， 又∵∠AOP=∠POE，∴△AOP∽△POE，∴，∴， ∴PB+2PA=PB+PE，∴当B、P、E三点共线时，PB+2PA有最小值BE， ∴,故答案为：． 6．（24-25·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 _____． 【答案】5 【详解】解：如图， 在Rt△DEF中，G是EF的中点，∴DG＝，∴点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动， 在CD上截取DI＝1，连接GI，∴＝＝，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG， ∴＝，∴IG＝，∴BG+＝BG+IG≥BI， ∴当B、G、I共线时，BG+CG最小＝BI，在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5． 7．（2025·广东·模拟预测）如图，在中，，，，、分别是边、上的两个动点，且，是的中点，连接，，则的最小值为 　　． 【答案】 【解答】解：如图，在上取一点，使得，连接，． ，，，，，，， ，，，，， ，， ，的最小值为 8．（25-26·重庆·九年级专题练习）如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：延长到，使得，连接，． ，，，，， ，，，， ，又在中，，，， ，， 的最小值为，故答案为：． 9．（2025九年级下·上海·专题练习）如图在中，，．P为中一动点，且．在左侧有一角，，．上有一点Q，联结．则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵点P为中一动点，∴点P的运动轨迹为以点O为圆心，为半径的圆， 如图，作以点O为圆心，为半径的，在上取一点M，使， ∵，，∴，∴， ∴，∴， 当A，，M三点共线时，的值最小，即， 过点A作交于点N，在中，， ∴，∴， ∵，∴，解得， 在中，，∴， 如图，过点Q作交于点D， 在中，，∴，∵点Q是上的一动点，∴点Q的轨迹是直线， ∴，当C，，三点共线时，的值最小，∴， ∵，，∴，, 在中，，∴， ∴，故答案为：． 10．（24-25·湖北·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆与两坐标轴分别交于A，B两点，D是弧上一动点，则的最小值 ． 【答案】 【详解】解：连接CO并延长至点P使，连接DP、CD、BP、CB， ∵C点坐为，∴OC=，∵CD=∴=，∴CP=，∴OP= ∵∠AOP=45°，∴P点坐标为（）∵∠DCO=∠DCP，，∴△CDO∽△CPD， ∴，∴PD=OD，当B、D、P共线时，=BD+DP=BP，此时最小， 设点B的坐标为（0，n），∵C点坐标为，∴ 解得，n1=3，n2=-1，由图可知点B坐标为（0，3） 由P点坐标（），B坐标（0，3）可得；故答案为：． 11．（24-25九年级·广东·专题练习）如图，的半径为，，Q为上一动点，则的最小值 ．的最小值 【答案】 【详解】解：连接OQ，在OM上取一点H，使OH=1，连接QH、PH， ， Q是上一动点，根据两点之间，线段最短得到当Q在PH上时，PQ+QH最小 即PQ+QM最小，最小值是PH=．连接OQ，在OP上取一点A，使OA=，连接QA、MA ， 又， Q是上一动点，根据两点之间，线段最短得到当Q在MA上时，QM+QA最小 即PQ+QM最小，最小值是MA=．故答案为：；． 12．（25-26九年级·浙江·专题练习）如图的半径是2，是直径．过的中点C作交于D，为的直径，点P为上的动点，则的最小值 【答案】 【详解】如图所示，延长OA到K，使AK=AO=2 ∵C是AO的中点∴OC=OA=1∴ ∵∠COP=∠POK∴，∴ 作EH⊥BC于点H∵在直角△COD中，cos∠DOC= ∴∠DOC=60°∴HE=OE×sin60°==∴即最小值为故答案为 13．（24-25九年级·浙江·专题练习）如图，在平面坐标系中，，以O为圆心，为半径画圆，P为上一动点，则的最小值 【答案】 【详解】如图所示，在轴负半轴上取D（，0），则OD= 因为A（-2,0）∴OA=2在上任取一点P’，连接OP’，AP’，P’D ∴OP’=OC=3∴，∴ ∵∠P’OA=∠DOP’∴△P’OA∽△DOP’∴∴P’D=P’A ∴求P’A+P’B的最小值即求P’D+P’B的最小值 连接BD交于点P，此时PD+PB最小，最小值为BD的长 ∴即最小值为故答案为 14．（2025九年级上·浙江·竞赛）已知点，若的半径为1，点是上的动点，(1)求面积的取值范围；(2)求的最小值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，直线与圆相交于C ∵，∴，，， ∵，∴ ∴，；设面积为， ∴， ，∴； （2）解：如图，在上截取，连接， ∵，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∴，即的最小值为． 15．（2025·浙江·校考一模）问题提出： 如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值 (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整) 如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有 又∵∠PCD＝∠　 　；△　 　∽△　 　 ∴ ∴PD＝BP；∴AP+BP＝AP+PD ∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值 请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为　 　． (2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则AP+PC的最小值为　 　．(请在图3中添加相应的辅助线) (3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程． 【答案】（1）BCP，PCD，BCP，；（2）2；（3）作图与求解过程见解析，2PA+PB的最小值为． 【详解】解：(1)如图1，连结AD，过点A作AF⊥CB于点F， ∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小， ∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD， ∵AC＝9，AF⊥BC，∠ACB＝60°∴CF＝3，AF＝； ∴DF＝CF﹣CD＝3﹣1＝2，∴AD＝， ∴AP+BP的最小值为；故答案为：； (2)如图2，在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，∵AB＝8，PB＝4，BF＝2， ∴，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF， ∴，∴PF＝AP，∴AP+PC＝PF+PC， ∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小， ∴CF＝， ∴AP+PC的值最小值为2，故答案为：2； (3)如图3，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M， ∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2， ∴，且∠AOP＝∠AOP∴△AOP∽△POF ∴，∴PF＝2AP∴2PA+PB＝PF+PB， ∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小， ∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM ∴OM＝4，FM＝4，∴MB＝OM+OB＝4+3＝7 ∴FB＝，∴2PA+PB的最小值为． 16．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）探究： (1)如图一，若，求证：；(2)如图二，若，，求的长；(3)如图三，在等腰直角中，，P是平面内任意 一点，且，求的最小值． 【答案】(1)见解析(2)(3)5 【详解】（1）解：∵，，∴，∴，∴； （2）作平分，则：，∵，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∵平分，∴点到距离相等，设点到距离均为，∴， 又∵（同高三角形的面积比等于底边比）， ∴，∴，∴，即：，∴； （3）在上截取，连接，则：， ∵，∴，∵，∴，∴， ∴，∴，∴当三点共线时，的值最小为的长， 在中，，∴，∴的最小值为5． 17．（2025·广东深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”． 【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？    第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP； 第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）； 第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）． 【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．    (1)的最小值是多少？(2)请求出（1）条件下，点P的坐标． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图，在x轴上取点，连接，    ∵点，点，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴， 当点P在上时，取得最小值， ∴，故最小值为； （2）∵，，∴设直线的解析式为，将点代入得： ，解得，∴，设， ∵半径为3，∴，解得：（负值舍去）， ∴，∴ ． 18．（2025·四川凉山·模拟预测）如图，抛物线与直线交于和两点，抛物线与x轴的另一个交点为A，连接，抛物线的对称轴为直线，P是直线下方抛物线上一点． (1)求抛物线和直线的函数解析式；(2)如图1，过点P作于点M，轴交直线于点N，求周长的最大值；(3)如图2，连接，交于点D，若，求点P的坐标； (4)如图3，将绕点O旋转至，连接，，直接写出的最小值． 【答案】(1)，(2)(3)(4) 【详解】（1）解：把代入，得：，∴直线的函数解析式为； 把代入，得：，∴，∴， ∵抛物线的对称轴为直线，∴，解得：∴抛物线解析式为； （2）解：∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∵轴，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∴的周长为，∴当最大时，的周长最大， 设点P的坐标为，则点N的坐标为， ∴， ∵，∴当时，取得最大，的最大值为2 ∴的周长的最大值为； （3）解：如图，过点D作轴于点E，则轴， ∴，∴，∵，∴，即，∴ ∵，∴，∴，∴点D的坐标为， ∵，抛物线的对称轴为直线，∴点A的坐标为，设直线的解析式为， ∴，解得：，∴直线的解析式为， 联立得：，解得：或，∴点P的坐标为； （4）解： 如图，在x轴取点P，使，，连接， 由旋转的性质得：，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∴，即，∴， ∵，∴的最小值为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 圆中的最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.阿氏圆模型 4 13 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 （2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵，∴ 证明过程缺失 ∴；∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法： 两定点在圆外：向内取点（系数小于1）； 两定点在圆内：向外取点（系数大于1）； 两定一内一外：提系数； 隐圆型阿氏圆（即动点轨迹没有直接给出，但可以证明动点轨迹为圆）等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”、“逆等线”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线；而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题。 模型1.阿氏圆模型 例1（24-25九年级下·安徽芜湖·开学考试）如图，在中，，，，以为圆心，3为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为（   ） A．7 B． C． D． 例2（2025·广东·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 例3（24-25九年级下·浙江台州·期末）如图，在中，直径切于点，且，点分别是的中点，点是上一动点，连结，则的最小值是 ． 例4（2025九年级下·湖北·专题练习）如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 ． 例5（24-25·福建·九年级校考期中）如图，正方形边长为4，是的中点，在上，的最大值是 　　，的最小值是 　　. 例6（24-25九年级下·浙江金华·期中）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，点P是外部的第一象限内一动点，且，点Q是直线上的一个动点，则的最小值为 ．    例7（2025·重庆·模拟预测）正方形ABCD中，AB＝2，点M是BC中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP＋2EF的最小值为 ．    例8（2025·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值． 1．（24-25·湖北武汉·九年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（    ） A．7 B．5 C． D． 2．（2025·安徽宿州·三模）在矩形中，，．点是上一动点，连接，再将沿翻折，使点落在点处，连接，．下列结论不正确的是（   ） A．点到直线距离的最小值为2 B．长度的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 3．（2025·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为_____． 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足 k ( k 为定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”， 【问题解决】如图，在△ABC 中，CB 4 ， AB 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____． 5．（24-25九年级下·湖北十堰·月考）如图，在扇形中，，点A是中点，，点P是弧上一点，则的最小值为 ． 6．（24-25·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 _____． 7．（2025·广东·模拟预测）如图，在中，，，，、分别是边、上的两个动点，且，是的中点，连接，，则的最小值为 　　． 8．（25-26·重庆·九年级专题练习）如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ． 9．（2025九年级下·上海·专题练习）如图在中，，．P为中一动点，且．在左侧有一角，，．上有一点Q，联结．则的最小值是 ． 10．（24-25·湖北·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆与两坐标轴分别交于A，B两点，D是弧上一动点，则的最小值 ． 11．（24-25九年级·广东·专题练习）如图，的半径为，，Q为上一动点，则的最小值 ．的最小值 12．（25-26九年级·浙江·专题练习）如图的半径是2，是直径．过的中点C作交于D，为的直径，点P为上的动点，则的最小值 13．（24-25九年级·浙江·专题练习）如图，在平面坐标系中，，以O为圆心，为半径画圆，P为上一动点，则的最小值 14．（2025九年级上·浙江·竞赛）已知点，若的半径为1，点是上的动点，(1)求面积的取值范围；(2)求的最小值． 15．（2025·浙江·校考一模）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值 (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整) 如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有 又∵∠PCD＝∠　 　；△　 　∽△　 　 ∴ ∴PD＝BP；∴AP+BP＝AP+PD ∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值 请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为　 　． (2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则AP+PC的最小值为　 　．(请在图3中添加相应的辅助线) (3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程． 16．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）探究： (1)如图一，若，求证：；(2)如图二，若，，求的长；(3)如图三，在等腰直角中，，P是平面内任意 一点，且，求的最小值． 17．（2025·广东深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”． 【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？    第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP； 第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）； 第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）． 【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．    (1)的最小值是多少？(2)请求出（1）条件下，点P的坐标． 18．（2025·四川凉山·模拟预测）如图，抛物线与直线交于和两点，抛物线与x轴的另一个交点为A，连接，抛物线的对称轴为直线，P是直线下方抛物线上一点． (1)求抛物线和直线的函数解析式；(2)如图1，过点P作于点M，轴交直线于点N，求周长的最大值；(3)如图2，连接，交于点D，若，求点P的坐标； (4)如图3，将绕点O旋转至，连接，，直接写出的最小值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $