精品解析：重庆市四川外国语大学附属外国语学校(石桥铺校区)2026届高三上学期一模数学试题

数学试卷 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则“ ”是“ ”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 若复数，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 3. 已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A. 1 B. C. D. 4. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（） A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6 5. 已知某圆台轴截面的周长为10、面积为，圆台的高为，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 将6本相同的数学书和2本相同的语文书随机排成一排，2本语文书不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若，且双曲线E的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 阅读不仅能帮助孩子积累知识，还能提升他们的语言表达能力和思维能力，从小培养阅读习惯显得尤为重要.为了了解小学生的阅读情况，随机调查了某市1000名小学生每日阅读的情况，并将这1000名小学生每日的阅读时间数据绘制成如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. B. 估计样本中有75%的小学生每日的阅读时间不超过40分钟 C. 估计样本中小学生每日的阅读时间的中位数为40分钟 D. 估计样本中小学生每日的平均阅读时间为33.6分钟（每组数据以该组区间的中间值作代表） 10. 已知等差数列的公差为d，前n项和为，若，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，函数，若 恒成立，则（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则__________． 13. 在三棱锥中，O为的外心，底面ABC，，，且，则三棱锥外接球的表面积为______． 14. 已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则 的最大值为________. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求的值： （2）求函数的极值. 16. 如图，在四边形中，． （1）求的值； （2）若，且的面积是面积的4倍，求的长． 17. 如图，在四棱锥中，底面 为梯形，，，，，平面平面 ，E为棱上一点． （1）过点E在平面内能否作一条直线与平面 垂直？若不能，请说明理由； （2）若时，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知椭圆： 的左，右焦点为，，点是椭圆上任意一点，的最小值是. （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的上，下顶点，为椭圆上异于的两点，记直线，的斜率分别为，，且 . （i）证明：直线过定点； （ii）设直线与直线交于点，直线 的斜率为，试探究，，满足的关系式，并给出证明. 19. 某公司为了开拓新产品市场，组织人类挑战机器人对抗赛活动．每局比赛只有胜和负两种情况，无平局，每局比赛挑战者战胜机器人的概率为，胜者记2分，其余记1分．每个挑战者只能挑战一局，每局胜负不受其他因素的影响． （1）求三局比赛中，人类队累计得分的分布列和数学期望； （2）若局比赛中，人类队累计得分为分的概率为，求； （3）若采用“比赛赛满 局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为；若采用“比赛赛满 局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为，比较与的大小，并说明其统计意义． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则“ ”是“ ”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式，求出集合 和 ，再判断两个集合的包含关系，最后根据集合包含关系判断条件类型，得出结论. 【详解】由不等式 ，整理得， 解得 ， 设函数 ， 由于与均为单调递增函数，故 在 上单调递增， 则，， 根据函数的单调性与连续性，存在唯一的 使得 ， 因此不等式 的解集为 ，其中 ， 又因为 且 ，且 ， 所以 是 的真子集， 充分性：若 ，则 ，充分性成立， 必要性：若 ，例如取 （满足 ），但 ，必要性不成立， 因此，“ ”是“ ”的充分不必要条件. 故选：A. 2. 若复数，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法、共轭复数的概念、模的计算公式即可求解. 【详解】，. 故选：A. 3. 已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义及数量积的运算律求解. 【详解】由在上的投影向量为，得，则，而是单位向量， 因此，又是单位向量，所以. 故选：B 4. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（） A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6 【答案】C 【解析】 【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解. 【详解】由，当时，， 则. 故选：C. 5. 已知某圆台轴截面的周长为10、面积为，圆台的高为，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】若圆台上下底面半径分别为且 ，根据已知列方程求得，再应用圆台的表面积的求法求结果. 【详解】若圆台上下底面半径分别为且 ，则圆台轴截面腰长为， 所以，，即， 所以，可得，故， 综上，圆台的表面积为. 故选：C 6. 将6本相同的数学书和2本相同的语文书随机排成一排，2本语文书不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算6本相同的数学书和2本相同的语文书摆放的种数，再用插空法计算2本语文书不相邻的摆放种数，用古典概型概率的计算公式计算即可. 【详解】依题意，将6本相同的数学书和2本相同的语文书随机排成一排， 即从8个空位中选2个位置放语文书，剩余6个位置放数学书，摆放种数为：种； 利用插空法，6本数学书之间共有7个位置可以放2本语文书，摆放种数为：种， 由古典概型概率的计算公式得：. 故选：A. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先切化弦，得到，再结合两角和与差的正弦公式可求值. 【详解】由 . 由 . 由 . 所以. 故选：B 8. 已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若，且双曲线E的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得，从而再得，由余弦定理求得，由诱导公式得，设，则，再由余弦定理求得，从而利用余弦定理求解即可. 【详解】因为双曲线的离心率为，所以，因为， 所以， 由双曲线的定义可得， 所以， 在中， 由余弦定理得， 在中，， 设，则， 由得 ，解得，所以， 所以. 故选：D. . 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 阅读不仅能帮助孩子积累知识，还能提升他们的语言表达能力和思维能力，从小培养阅读习惯显得尤为重要.为了了解小学生的阅读情况，随机调查了某市1000名小学生每日阅读的情况，并将这1000名小学生每日的阅读时间数据绘制成如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. B. 估计样本中有75%的小学生每日的阅读时间不超过40分钟 C. 估计样本中小学生每日的阅读时间的中位数为40分钟 D. 估计样本中小学生每日的平均阅读时间为33.6分钟（每组数据以该组区间的中间值作代表） 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据频率和为1求的值判断A的真假；求阅读时间不超过40分钟的频率判断B的真假；根据频率分布直方图估计中位数判断C的真假；估计平均数判断D的真假. 【详解】对A：由 ，故A正确； 对B：阅读时间不超过40分钟的频率为，即估计样本中有75%的小学生每日的阅读时间不超过40分钟，故B正确； 对C：由B的计算结果，40是该组数据的第百分位数，所以中位数应该小于40，故C错误； 对D：估计样本的平均数为：，故D正确. 故选：ABD 10. 已知等差数列的公差为d，前n项和为，若，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件得出，可判断等差数列的增减性判断ABC选项；再利用等差数列的前项和公式和下标和性质判断D. 【详解】由题意可知，，， 则，故等差数列为递减数列， 故 ，，，故A正确，BC错误； ，故D错误. 故选：BCD 11. 已知，函数，若 恒成立，则（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数，的单调性，条件可转化为共零点，由此可得。结合基本不等式判断各选项. 【详解】因为​单调递增，​单调递增， ​恒成立， 所以​与​零点相等， 令可得， 令可得 所以函数的零点为 ，函数的零点为， 所以​ 对于A选项：​， 可知​， 故​，所以​， 当且仅当​，即​取等号，所以A正确； 对于B选项：​，可知​，即​，显然​， 所以​， 当且仅当​时等号成立，故B错误； 对于C选项：由​可知​，易知​，​， 故​， 所以​， 故​，当且仅当​，即​取等号，所以C正确； 对于D选项：由​可知，​， 由A选项可知​，所以​，当且仅当​取最小值​，所以D错误. 故选：AC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，代入直接求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 在三棱锥中，O为的外心，底面ABC，，，且，则三棱锥外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求底面的外接圆半径，确定三棱锥外接球球心的位置，列方程求出三棱锥外接球半径，进而可求其表面积. 【详解】如图： 设的外接圆半径为，三棱锥外接球的半径为. 在中，，所以. 记三棱锥外接球的球心为， 由 . 故三棱锥外接球的表面积为：. 故答案为： 14. 已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦函数的性质及条件可求得ω的表达式，再根据函数在上单调可知－＝≤＝，求得ω≤12，经验证ω＝11不满足题意，ω＝9满足条件，得解. 【详解】因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴， 所以－＝＋，即＝T＝· (k∈Z)， 所以ω＝2k＋1(k∈Z)， 又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，解得ω≤12， ω＝11时f(x)＝sin在上单调递增，在上单调递减，不成立， ω＝9时满足条件，由此得ω的最大值为9. 故答案为：9 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求的值： （2）求函数的极值. 【答案】（1） （2）极大值为，极小值为. 【解析】 【分析】（1）利用切点既在曲线上又在切线上及导数的几何意义即可求解； （2）根据（1）的结论，求出函数，利用导数法求函数的极值的步骤即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， ， 切线过点， , 由导数的几何意义可知，斜率, . 【小问2详解】 由（1）知，，可得， ， 令，则，解得 或， 当 或时，， 当 时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 从而可知 是函数的极大值点，极大值为， 是函数的极小值点，极小值为. 所以函数的极大值为，极小值为. 16. 如图，在四边形中，． （1）求的值； （2）若，且的面积是面积的4倍，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，结合 以及，运用正弦定理以及差角的正弦公式，再运用同角三角函数的基本关系，即可得解； （2）根据（1）中结论，结合，运用正弦定理可求得，再根据二倍角公式求出，最后利用三角形面积公式列出方程，即可解得. 【小问1详解】 设，则， 由正弦定理可知，，即， 整理得，又因为，， 可解得，即. 【小问2详解】 由（1）可知，，. 由正弦定理可知，，解得， 又， . ，. ， ，， ， 解得. 17. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，，平面平面，E为棱上一点． （1）过点E在平面内能否作一条直线与平面 垂直？若不能，请说明理由； （2）若时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）能 （2）． 【解析】 【分析】（1）过E作交棱于F，为所求作的直线．通过证明平面 ，，可得平面 ； （2）取的中点O，的中点M，连结，由题可得两两垂直，如图建立空间直角坐标系，算出平面的法向量与坐标，据此可得答案. 【小问1详解】 过E作交棱于F，为所求作的直线． 因为平面平面，且， 平面平面，平面， 所以平面 ，又因为， 所以平面 ； 【小问2详解】 取的中点O，的中点M，连接， 因，则 ，又平面平面， 平面 ， 则 平面，又易得，则 平面 . 从而两两垂直.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则， ， ，， ， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以， 因为，所以， 则，所以， 因为，，， 设与平面所成的角为 ，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知椭圆： 的左，右焦点为，，点是椭圆上任意一点，的最小值是. （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的上，下顶点，为椭圆上异于的两点，记直线，的斜率分别为，，且 . （i）证明：直线过定点； （ii）设直线与直线交于点，直线 的斜率为，试探究，，满足的关系式，并给出证明. 【答案】（1） （2）（i）证明：若直线的斜率不存在，则 ，这与 矛盾，不合题意； 当直线的斜率存在时，设的方程为，， 联立，消去整理可得 ， 又 ，可得； 易知，所以； 又 ， 即 ； 又 ，且 恒成立， 所以 ，解得， 即的方程为，因此直线恒过点. （ii）由（i）可知，直线的方程为 ，直线的方程为 ，如下图所示： 联立可得， 解得，即点在上； 记与轴交点为， 则，所以， ，所以 ，所以 又因为，，同号，所以. 【解析】 【分析】（1）将转化为，再由 即可求出结果； （2）（i）设的方程为，，联立直线与椭圆方程并结合韦达定理以及 ，化简计算即可求得直线恒过点； （ii）写出直线和直线的方程，作比值化简得出，即可得点在上，记与轴交点为，借助将，，表示出来即可得出它们的关系. 【小问1详解】 由椭圆： 可知 ，因此 ， ， 易知当 时，取得最小值，即 ， 解得 ，所以 ， 即椭圆的方程为 ； 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】关键点点睛：在求解，，之间的关系时，关键是求出点在定直线上，并借助得出其表达式即可知. 19. 某公司为了开拓新产品市场，组织人类挑战机器人对抗赛活动．每局比赛只有胜和负两种情况，无平局，每局比赛挑战者战胜机器人的概率为，胜者记2分，其余记1分．每个挑战者只能挑战一局，每局胜负不受其他因素的影响． （1）求三局比赛中，人类队累计得分的分布列和数学期望； （2）若局比赛中，人类队累计得分为分的概率为，求； （3）若采用“比赛赛满 局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为；若采用“比赛赛满 局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为，比较与的大小，并说明其统计意义． 【答案】（1）的分布列为 Y 3 4 5 6 4 （2） （3），统计意义为：在人类队每局获胜概率为的条件下，局数越多，人类队获胜的概率越小. 【解析】 【分析】（1）得到比赛得分为Y的所有可能取值为3，4，5，6，求得相应的概率，列出随机变量的分布列，结合期望的公式，求得数学期望；（2）利用概率的乘法公式列出，再通过错位相减的方法求出；（3）分别利用概率的乘法公式求出和，再利用做差法比较大小，根据大小情况写出实际意义即可. 【小问1详解】 的所有可能取值为3，4，5，6， 的分布列为 Y 3 4 5 6 数学期望. 【小问2详解】 依题意，局比赛中，人类队累计得分为分，即局中有2局人类队取胜， 当时，， 当时，也符合上式. ， 设 得： ， ， 【小问3详解】 设“赛满 局人类队获胜”为事件 ，要使事件 发生，有两种情况：第一阶段赛满 局人类队胜，记为事件，和第一阶段赛满 局人类队负，记为事件 ①若第一阶段人类队胜，则人类队在前 局至少胜局，分为人类队至少胜 局和人类队恰好胜局， （i）若人类队至少胜 局，无论后面两局结果如何，最终人类队获胜； （ii）若人类队恰好胜局，且后面两局中人类队均负的概率为， . ②若第一阶段人类负，则人类队恰好胜了局，而后两局必须全胜才能使得人类队最后获胜， ， ， . 在人类队每局获胜概率为的条件下，局数越多，人类队获胜的概率越小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $