精品解析：江苏省部分学校2026届高三上学期模拟调研测试数学试卷

2026届高三模拟调研测试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．非选择题必须用 黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一组数据：2，5，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】利用这些数据可以分别计算出平均数、中位数、众数、方差，再加以比较即可. 【详解】由这组数据：2，5，2，3，可得，平均数是3，中位数是2.5，众数是2， 方差是， 加入数据3后，平均数是3，中位数是3，众数是2和3， 方差是， 所以不发生变化的是平均数， 故选：A. 2. 若，则的值为（为虚数单位）（　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数除法化简，再由复数相等可得，计算即可求解. 【详解】因为， 所以，则. 故选：C 3. 若集合，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式，求得集合，，再求交集即可得解. 【详解】由，可得， 由可得， 所以， 所以， 故选：A 4. 不等式的解集为（　　） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分式不等式的解法求解. 【详解】不等式，可转化为， 即，即且， 即且， 解得， 所以不等式的解集为， 故选：B 5. 在中，已知，，D为BC的中点，则线段AD长度的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理得到，再利用基本不等式得到，然后由求解. 【详解】解：由余弦定理得， 即，即， 所以， ∴，当且仅当b=c时等号成立. 因为， 所以， ， ∴， 故选：C． 6. 设抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（　　） （已知：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点） A. B. C. 13 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】求出点的坐标，利用抛物线的光学性质，结合三点共线求出点的坐标即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，由轴，点，得， 由抛物线的光学性质，得点共线， 设，则， 解得，点，于是，，， 所以的周长为. 故选：D 7. 已知数列的前项和为，若，且，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 先利用结合已知条件得，即数列是每项均为的常数列，即可求出，代入已知条件结合等差数列求和公式即可求得. 【详解】，， ，变形得 所以数列是每项均为的常数列，，即 又 解得： 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查利用数列递推关系求数列通项公式，及等差数列求和，题目涉及，利用将已知条件转化为，从而得到数列是每项均为的常数列是解题的关键，考查学生的逻辑推理与计算能力，属于中档题. 8. 已知函数的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为，则的值为 A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由过原点的直线与函数在区间内的图象相切，利用导数知识可求得切线方程，由直线过原点，可求，代入化简可得结果. 【详解】函数的图象与过原点的直线恰有四个交点， 直线与函数在区间内的图象相切 在区间上，的解析式为， 因为切点坐标为， 切线斜率， 由点斜式得切线方程为， 即， 直线过原点，，得， 化简 . 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记等比数列的前项和为，已知，公比为，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等差数列 C. 是等比数列 D. 是等比数列 【答案】ABD 【解析】 【详解】，， A选项，， 故是首项为，公比为的等比数列，A正确； B选项，， ，即是首项为0，公差为2的等差数列，B正确； C选项，，其中，故不是等比数列，C错误； D选项，， 所以是首项为，公比为的等比数列，D正确. 故选：ABD 10. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由二倍角正弦公式得，对函数求导并研究其区间单调性，结合极值点定义、单调性判断A、B、C；首先得到，再根据区间单调性，及对称性判断D. 【详解】由， 得. 所以， 当时，单调递减； 当时，单调递增. 对于A，显然是的极小值点，正确； 对于B，显然，而在内单调递减，所以，正确； 对于C，当时，，故. 由，得，即，错误； 对于D，由， 得 所以， 因为，而在内单调递增， 所以，即，正确. 故选：ABD 11. 已知动点是双曲线上的点，点是的左、右焦点，是双曲线的左、右顶点，下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 点在双曲线的左支时，的最大值为 C. 点到两渐近线的距离之积为定值 D. 若是△的面积，则为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线的方程，结合其离心率的求解、范围问题、定值问题的处理方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：因为双曲线，故可得， 则离心率，故A正确； 对B：因为，故可得， 则，因为，则， 令，故，，故当时，取得最大值. 故B错误； 对C：设点，则，又双曲线渐近线为， 故到两渐近线的距离之积为.故C正确； 对D：不妨设点在轴上方，则， 则， 又，， 故，又， 故；当点在轴下方时，同理可得. 故D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查双曲线离心率、范围问题，定值问题；处理问题的关键是把握双曲线的性质，充分利用双曲线定义，合理转化目标问题，属综合困难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若与垂直，则实数________. 【答案】1 【解析】 【分析】 根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值． 【详解】向量，， 则（1，1+λ）， （﹣2，1）， 因为与垂直， 所以 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平面向量的垂直和坐标运算问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题． 13. 已知函数的定义域为，，，且，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法，借助已知的，可求得，再利用递推思想赋值，从而可利用累加法来求得，从而可得到，即可求和. 【详解】因为，，令， 得，因为， 所以，即， 令，，得，即， 所以， 令，，得， 所以. 故答案为： 14. 已知正四棱锥的高为3，侧面与底面所成的角为，球与该正四棱锥的四个侧面及底面都相切，依次在该正四棱锥内放入球，使得球与该正四棱锥的四个侧面均相切，且球与外切，则球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】在四棱锥中，点为底面正方形的中心，则有底面，记球的半径为，设四棱锥的高为为球与四棱锥的切点，根据侧面与底面所成角确定线段关系即可得，从而得球的体积；结合等比数列的定义可得，从而可得球的表面积. 【详解】如图，在四棱锥中，点为底面正方形的中心， 则底面， 令为的中点，连接， 记球的半径为，设四棱锥的高为为球与四棱锥的切点，， 侧面与底面所成的角为 ， 球的体积为. 设， 由于，即， ，两式相减可得，即， ， 球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，函数（）． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）当时，函数的最小值是，求的最大值． 【答案】（1）；（）；（2）． 【解析】 【分析】 （1）化简函数解析式，由余弦型函数的周期及单调区间求解即可； （2）由求出的范围，根据余弦函数的值域求解即可. 【详解】（1）. 的最小正周期． 令（）， 解得（）， 故函数的单调递增区间为（）． （2）∵， ∴， ∴， ∴，， 令，得， ∴． 16. 已知椭圆C的焦点为(，0)，(，0)，且椭圆C过点M(4，1)，直线l：不过点M，且与椭圆交于不同的两点A，B． （1）求椭圆C的标准方程； （2）求证：直线MA，MB与x轴总围成一个等腰三角形． 【答案】（1） （2）将代入并整理得， 则，. ∵直线：与椭圆交于不同的两点，，∴，解得， ∴直线，的斜率存在且不为零. 设直线，的斜率分别为和，只要证明. 设，， . 故原命题成立. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义先求出2a的值，可得出的值，再利用a、b、c之间的关系求出b的值，从而得出椭圆C的标准方程； （2）将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式以及韦达定理计算出直线MA、MB的斜率互为相反数来证明结论成立． 【详解】（1）设椭圆的方程为，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）略 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查韦达定理法在椭圆综合问题中的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题． 17. 如图，在多面体中，底面是边长为的菱形，，四边形是矩形，平面平面，，和分别是和的中点． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求二面角的大小． 【答案】（Ⅰ）证明：在中，因为分别是的中点， 所以，又因为平面，平面， 所以平面．设，连接， 因为为菱形，所以为中点 在中，因为，， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面．又因为，平面， 所以平面平面． （Ⅱ）． 【解析】 【分析】第一问根据三角形的中位线找到平行线，利用面面平行的判定定理，在其中一个平面内找到和另一个平面平行的两条相交直线，证得结果，第二问先在几何体中找到共点的相互垂直的三条直线，建立相应的空间直角坐标系，求得面的法向量，利用面的法向量所成的角的余弦值判断求得二面角的余弦值，结合二面角的取值范围，求得二面角的大小． 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ）解：取的中点，连接，因为四边形是矩形，分别为的中点， 所以，因为平面平面，所以平面， 所以平面，因为为菱形，所以，得两两垂直． 所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系． 因为底面是边长为的菱形，，，所以，，，，，．所以，．设平面的法向量为，则．令，得． 由平面，得平面的法向量为，则 所以二面角的大小为． 18. 函数． （1）当时，求在上的最大值； （2）若在上单调递减，求实数的取值范围； （3）证明：，． 【答案】（1） （2） （3）证明：先证明左边， 由（1）知，当时，在上单调递增， 所以当时，，即． 又因为， 所以，，，， 累加得，． 再证明右边， 由（2）知，当时，在上单调递减， 所以当时，，得， 令， 累加得 ， 所以． 所以，． 综上所述，，． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，根据余弦函数图象与性质求出单调区间，即可求解最大值； （2）求出导函数，结合，按照和分类讨论，分别研究函数的单调性，利用单调性求得的范围； （3）先证明左边，由（1）知，当时，在上单调递增，可得．利用累加可得，再证明右边，由（2）知，当时，在上单调递减，得，令，，，，，，累加得证. 【小问1详解】 ， 当时，， ． 当时，，当时等号成立， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减． 所以． 【小问2详解】 ， ， ，当时等号成立， 当时，，恒成立，在上单调递减，符合题意； 当时，，要使为单调函数， 则只需，即恒成立，所以，解得，所以． 综上，实数的取值范围为． 【小问3详解】 略 19. 已知：在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位且向四个方向移动的概率均为． （1）设第2秒末，粒子移动到点（x，y），记的取值为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）记第秒末粒子回到原点的概率为． （i）已知求以及； （ii）令为数列的前项和，已知，证明：对任意实数，存在，使得． 【答案】（1） 0 2 （2）（i）；； （ii）利用可知： ， 于是， 令，则， 故在上单调递增， 则 ，于是， 从而有：， 设为不超过的最大整数，则对任意常数， 当时，，于是， 综上所述，当时，成立. 【解析】 【分析】（1）求出的可能取值及其对应的概率，即可求出的分布列，再由数学期望公式求出； （2）（i）粒子在奇数秒不可能回到原点，故；粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑，再由古典概率公式求解即可；第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动步，向右移动步，向上移动 步，向下移动 步，表示出，由组合数公式化简即可得出答案；（ii）利用题目条件可证明，再令可证得， 进一步可得. 【小问1详解】 在1秒末，粒子会等可能地出现在四点处. 故粒子在第2秒可能运动到点或或的位置， 其中可能出现4次，各可能出现2次， 各可能出现1次，总共有种等可能的结果 所以的路径有条，的路径有条， 的路径有条， 故的可能取值为：， ，，， 所以的分布列为： 0 2 故. 【小问2详解】 （i）粒子在奇数秒不可能回到原点，故， 粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑： 每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有种情形； 每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右、上上下下”，共有种情形； 于是， 第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动步，向右移动步，向上移动 步， 向下移动 步，故 . 故. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三模拟调研测试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．非选择题必须用 黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一组数据：2，5，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 2. 若，则的值为（为虚数单位）（　　） A. 1 B. C. D. 2 3. 若集合，那么（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（　　） A. B. C. 或 D. 5. 在中，已知，，D为BC的中点，则线段AD长度的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 设抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（　　） （已知：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点） A. B. C. 13 D. 15 7. 已知数列的前项和为，若，且，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 8. 已知函数的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为，则的值为 A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记等比数列的前项和为，已知，公比为，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等差数列 C. 是等比数列 D. 是等比数列 10. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. C. D. 11. 已知动点是双曲线上的点，点是的左、右焦点，是双曲线的左、右顶点，下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 点在双曲线的左支时，的最大值为 C. 点到两渐近线的距离之积为定值 D. 若是△的面积，则为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若与垂直，则实数________. 13. 已知函数的定义域为，，，且，则_____. 14. 已知正四棱锥的高为3，侧面与底面所成的角为，球与该正四棱锥的四个侧面及底面都相切，依次在该正四棱锥内放入球，使得球与该正四棱锥的四个侧面均相切，且球与外切，则球的表面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，函数（）． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）当时，函数的最小值是，求的最大值． 16. 已知椭圆C的焦点为(，0)，(，0)，且椭圆C过点M(4，1)，直线l：不过点M，且与椭圆交于不同的两点A，B． （1）求椭圆C的标准方程； （2）求证：直线MA，MB与x轴总围成一个等腰三角形． 17. 如图，在多面体中，底面是边长为的菱形，，四边形是矩形，平面平面，，和分别是和的中点． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求二面角的大小． 18. 函数． （1）当时，求在上的最大值； （2）若在上单调递减，求实数的取值范围； （3）证明：，． 19. 已知：在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位且向四个方向移动的概率均为． （1）设第2秒末，粒子移动到点（x，y），记的取值为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）记第秒末粒子回到原点的概率为． （i）已知求以及； （ii）令为数列的前项和，已知，证明：对任意实数，存在，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $