精品解析：辽宁省名校联盟2025-2026学年高三上学期1月期末质量检测数学试题

高三年级上学期期末质量检测 数学科目 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算即可求解. 【详解】， 故选：A. 2. 已知集合，则=（ ） A. { B. C. { D. {} 【答案】D 【解析】 【分析】首先解出集合，求集合和集合的并集即可. 【详解】因为，所以. 故选：D. 3. 已知向量满足，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，，结合模长的平方关系运算求解即可. 【详解】因为，则， 又因为，则， 所以. 故选：B. 4. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用降幂公式整理可得，结合图象变换运算求解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度， 得到函数的图象. 结合选项可知A正确. 故选：A. 5. 已知奇函数的定义域为，且为的一个周期，，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由为的一个周期，可得，，结合条件可求，再由奇函数性质求结论. 【详解】因为为的一个周期， 所以，， 又，所以，故，所以， 因为函数是定义域为的奇函数，所以. 故选：B. 6. 若直线与曲线相切，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义进行求解即可. 【详解】设直线与曲线相切于点， 由 所以，整理得 解得或（舍去）， 所以. 故选：D 7. 5G信号随传输距离的增加而变弱.传输距离 （单位：km）与5G信号 （单位：W）的关系为 其中 为发射器发出的5G初始信号 为衰减系数（常数）.已知某5G信号的传输距离为50 km时该信号减弱为5G初始信号的一半.若在某处测得的信号为5G初始信号的 则传输距离为（ ） A. 100 km B. 150 km C. 200 km D. 250 km 【答案】C 【解析】 【分析】将数据代入所给的关系式，即可求解. 【详解】由题意可知解得所以 将代入得. 故选：C 8. 已知 为正实数， 为自然对数的底数，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式可得，设，令，结合导数求出的单调区间以及最值即可. 【详解】因为为正实数，所以，所以，当且仅当时等号成立. 设，令则 ，当时，， 当  时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 当，即时取得最大值为，则的最大值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记 的内角的对边分别为，其面积为，已知，则（ ） A. B. C. D. 的外接圆的半径为2 【答案】AC 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理依次判断选项即可. 【详解】对于A，由三角形的面积公式得，A项正确； 对于B，由余弦定理得，所以，B项错误； 对于C，由正弦定理得，C项正确； 对于D，设的外接圆的半径为，所以，则，D项错误. 故选：AC. 10. 已知是抛物线 的焦点，点在上，过点且以为圆心的圆与的准线相交，为其中一个交点且.设与轴的交点为，线段 与轴的交点为，则（ ） A. B. 为等边三角形 C. D. 四边形的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据准线方程，可得p值，即可判断A的正误；根据条件及抛物线定义，可得为等边三角形，即可判断B的正误；根据中位线的性质，可得点为的中点，根据等边三角形的性质，可判断C的正误；求出直线的方程，与抛物线联立，可得点P的坐标，代入面积公式，即可判断D的正误. 【详解】选项A：因为C的准线，所以，解得，故A错误； 选项B：因为，所以根据抛物线的定义可知， 又，所以，则为等边三角形，故B正确； 选项C：因为，且为的中点， 所以为的中位线，则点为的中点， 又为等边三角形，所以平分， 又，所以，故C正确； 选项D：由A项知，不妨设点P在第一象限，， 所以直线的斜率，则直线的方程为， 代入得，解得， 结合图象可知，所以，又， 所以四边形的面积为故D正确. 故选：BCD 11. 如图，在圆台 中，上、下底面的半径分别为1和2 是圆台 的两条母线，且 为 的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 圆台 的体积为 C. 直线 与平面 所成角的正弦值为 D. 三棱锥 外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据面面平行的性质定理可证明选项；先求圆台的高再利用台体体积公式即可判断选项；作辅助线先找到直线 与平面 所成角的平面角，再结合勾股定理求的长，先求线面角的正切值再求正弦值即可判断选项；先找到外接圆的半径，再求三棱锥 外接球半径，即可算出其表面积. 【详解】延长交于一点因为平面平面且平面平面 平面平面所以项正确. 易求得圆台的高为 所以圆台的体积，项正确. 作垂直交的延长线于点连接 因为所以又所以. 易知，，，平面， 所以平面 所以点到平面的距离为 为与平面所成角的平面角，连接 易知，所以为直角三角形， 在中 则故项错误. 三棱锥的外接球，即为三棱锥的外接球， 设其半径为设的外接圆半径为 在中，由余弦定理得， 即由正弦定理得解得 故则该球的表面积项正确. 故选:. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为等比数列的前项积，若，则 _____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用等比数列的性质，得到，即可求解. 【详解】由为等比数列的前项积，若，则 . 故答案为：. 13. 已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为，经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为 ，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】设出各个事件，根据条件，结合全概率公式，即可求得答案. 【详解】设事件为“选取苹果”，B为“选取香蕉”，C为 “选取猕猴桃”，D为“选取的一个水果新鲜”， 则， 根据全概率公式可知 . 故答案为： 14. 已知为椭圆的左焦点，过且斜率为的直线与 在第四象限相交于点，设为坐标原点，若为等腰三角形，则的离心率为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，由余弦定理求得，设椭圆的右焦点为，在中，利用余弦定理求得，结合椭圆的定义，得到，进而求得椭圆的离心率. 【详解】由直线的斜率为可得，所以， 因为为等腰三角形，点在第四象限，设，其中， 若，可得，整理得， 因为，所以，矛盾，舍去； 若，可得点在的垂直平分线上， 因为，与矛盾，舍去； 所以为等腰三角形，点在第四象限，可得， 又因为， 由余弦定理得，可得， 如图所示，设椭圆的右焦点为，连接则， 在中，由余弦定理得，则， 由椭圆的定义可知，即，即，解得， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可； （2）利用等差数列和等比数列前项和公式进行求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由， 由 ， 故. 【小问2详解】 由（1）可知 ，所以 16. 近年来，新能源汽车发展迅速，某研发部随机抽取2000名新能源汽车用户进行了满意度问卷调查，统计如下表： 满意 不满意 合计 男性用户 400 400 800 女性用户 800 400 1200 合计 1200 800 2000 （1）根据小概率值的独立性检验，分析满意度是否与用户性别有关？ （2）已知从不满意的用户样本中随机抽取了5名男性用户、2名女性用户，再从这7名用户中随机抽取3名深入调研，设抽取的3名用户中女性用户的人数为，求的分布列和数学期望. 附： 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）有关； （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）提出零假设满意度与用户性别无关，再计算出的观测值，结合临界值表可得出结论； （2）分析可知的可能取值有，根据超几何分布的知识求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】 零假设为满意度与用户性别无关， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，所以满意度与用户性别有关. 【小问2详解】 由题意知的可能取值为， 则，，， 所以的分布列为： 则. 17. 如图，在梯形中点在上将沿翻折，使点至点的位置，连接其中. （1）证明平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明即可； （2）利用空间向量法求解两平面所成角的正弦值； 【小问1详解】 证明：因为 所以四边形为平行四边形， 又所以四边形为矩形， 则即 又平面 所以平面 因为平面所以 因为所以 由得 又所以 所以 又平面 所以平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 . 设平面的法向量为 则 取则. 设平面的法向量为 则 取则. 所以 故平面与平面夹角的正弦值为. 18. 已知双曲线的虚轴长为，且渐近线方程为. （1）求双曲线的方程； （2）设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于两点. （i）若点均在的右支上，且的面积是面积的倍，求； （ii）证明：不存在直线，使得. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程，结合虚轴长定义进行求解即可； （2）（i）设出直线的方程与双曲线方程联立，根据面积关系得到两点纵坐标的关系，结合一元二次方程根与系数关系、根的判别式、双曲线弦长公式进行求解即可； （ii）分斜率为和斜率不为两种情况，结合（1）中的结论进行求解证明即可. 【小问1详解】 由题意得的渐近线方程为， 由的渐近线方程为得， 又，所以， 所以， 故双曲线的方程为； 【小问2详解】 （i）由（1）可知， 由题意得直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为，不妨设， 联立 整理得， 则，即， ①， 由得②，由①②得 ， 故 ； （ii）当直线的斜率为时为的两顶点， 此时； 当直线的斜率不为时，设直线的方程为， ， 由（i）知， 则， 因为， 所以与不垂直，即无论取何值，都有成立， 综上，不存在直线，使得. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当时. （i）证明：，； （ii）当时，，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为； （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）当时求，解不等式，，根据导数与函数的单调性的关系求函数的单调区间； （2）（i）设，利用导数证明函数在内单调递增，结合证明结论； （ii）验证时不等式成立，令，利用导数证明当时，，由此可得此时，当时，设，证明当时，，由此可得，综合考虑可得结论. 【小问1详解】 当时，， 令，解得，， 令解得，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 【小问2详解】 （i）证明：设，， 则， 因为，所以，， 所以， 所以， 所以在内单调递增，则， 故，； （ii）当时，，， 对任意的，不等式成立， 当时，不等式可化为， 令，则， 令，则， 令，则， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 因为，，， 所以存在，使得， 当时，，函数在单调递增， 当时，，函数在单调递减， 又，， 所以当时，，所以单调递增， 所以当时，，则， 当时，设， 因为当时，，所以， 又因为，所以， 所以在上单调递增， 此时， 故当时，，则. 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级上学期期末质量检测 数学科目 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 5 2. 已知集合，则=（ ） A. { B. C. { D. {} 3. 已知向量满足，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知奇函数的定义域为，且为的一个周期，，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 若直线与曲线相切，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 5 7. 5G信号随传输距离的增加而变弱.传输距离 （单位：km）与5G信号 （单位：W）的关系为 其中 为发射器发出的5G初始信号 为衰减系数（常数）.已知某5G信号的传输距离为50 km时该信号减弱为5G初始信号的一半.若在某处测得的信号为5G初始信号的 则传输距离为（ ） A. 100 km B. 150 km C. 200 km D. 250 km 8. 已知 为正实数， 为自然对数的底数，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记 的内角的对边分别为，其面积为，已知，则（ ） A. B. C. D. 的外接圆的半径为2 10. 已知是抛物线 的焦点，点在上，过点且以为圆心的圆与的准线相交，为其中一个交点且.设与轴的交点为，线段 与轴的交点为，则（ ） A. B. 为等边三角形 C. D. 四边形的面积为 11. 如图，在圆台 中，上、下底面的半径分别为1和2 是圆台 的两条母线，且 为 的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 圆台 的体积为 C. 直线 与平面 所成角的正弦值为 D. 三棱锥 外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为等比数列的前项积，若，则 _____________. 13. 已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为，经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为 ，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为_____________. 14. 已知为椭圆的左焦点，过且斜率为的直线与 在第四象限相交于点，设为坐标原点，若为等腰三角形，则的离心率为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 近年来，新能源汽车发展迅速，某研发部随机抽取2000名新能源汽车用户进行了满意度问卷调查，统计如下表： 满意 不满意 合计 男性用户 400 400 800 女性用户 800 400 1200 合计 1200 800 2000 （1）根据小概率值的独立性检验，分析满意度是否与用户性别有关？ （2）已知从不满意的用户样本中随机抽取了5名男性用户、2名女性用户，再从这7名用户中随机抽取3名深入调研，设抽取的3名用户中女性用户的人数为，求的分布列和数学期望. 附： 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 17. 如图，在梯形中点在上将沿翻折，使点至点的位置，连接其中. （1）证明平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 18. 已知双曲线的虚轴长为，且渐近线方程为. （1）求双曲线的方程； （2）设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于两点. （i）若点均在的右支上，且的面积是面积的倍，求； （ii）证明：不存在直线，使得. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当时. （i）证明：，； （ii）当时，，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $