精品解析：黑龙江省佳木斯市第十一中学2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题

佳木斯市第十一中学2025-2026学年度高二上学期期末考试卷 数学试卷 考试时间：120分钟：满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题(本题共8小题.每小题5分，共40分.每小题只有一个正确选项) 1. 已知直线，则直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列，则该数列的第36项为（ ） A. B. 36 C. D. 6 3. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知数列的前项和，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 6. 在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在抛物线上，则点到点距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题(本题共3小圆，每题6分，共18分.每题有多项符合题目要求，全对得6分， 选对但不全的得部分分，有选错得0分) 9. 已知椭圆，则下列说法正确的是（ ） A. 是椭圆的一个顶点 B. 是椭圆的一个焦点 C. 椭圆的离心率 D. 椭圆的短轴长为 10. 已知直线：与圆：相交于，两点，则（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆的半径为 C. 圆心到直线的距离为2 D. 11. 如图，在正四棱柱中，，，点为线段上一动点，则下列说法正确是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 三棱锥外接球的体积为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题(本题3小题、每题5分，共15分) 12. 若直线过圆的圆心，则实数a的值为_________. 13. 已知三个顶点分别是，则边上的中线所在直线方程为__________. 14. 已知双曲线：（，），倾斜角为45°的直线与双曲线相交于，两点，的中点是，则双曲线的离心率______. 四、解答题(本题6小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 16. 已知数列满足，且 （1）求. （2）求数列的通项公式. 17. 已知圆过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若过圆心的直线在轴，轴上的截距是互为相反数，求直线的方程. 18. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点，分别是棱，的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 已知椭圆（）的离心率为，且过点． （1）求椭圆E的方程； （2）设椭圆E的右焦点为F，过点作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为，．求证：为定值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 佳木斯市第十一中学2025-2026学年度高二上学期期末考试卷 数学试卷 考试时间：120分钟：满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题(本题共8小题.每小题5分，共40分.每小题只有一个正确选项) 1. 已知直线，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角. 【详解】因为直线的斜率， 设直线的倾斜角为，， 则，所以. 故选：D. 2. 已知数列，则该数列的第36项为（ ） A. B. 36 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】归纳可得该数列的通项公式为，再代入计算可得. 【详解】因为数列，即， 所以归纳可得该数列的通项公式为， 所以. 故选：C 3. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线标准方程，可求得，进而求得焦点坐标． 【详解】由题意可得抛物线的焦点在轴上，且， 所以焦点坐标为. 故选：C 4. 圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，可得答案. 【详解】圆的标准方程为，故该圆的圆心为，半径为. 故选：C. 5. 已知数列的前项和，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用求解，并检验. 【详解】当时，， 又，不符合上式， 则. 故选：D 6. 在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出向量坐标，进而利用向量夹角余弦公式求解． 【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为，则， ， 设异面直线与所成角为， ， ，故A正确． 故选：A． 7. 已知点在抛物线上，则点到点的距离的最小值为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记点，，则，且，利用二次函数的基本性质可求出的最小值. 【详解】记点，，则， 所以， 由，所以，当且仅当时，取最小值. 即点到点的距离的最小值为. 故选：C. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，结合在圆中直径所对的圆周角为直角、勾股定理、椭圆离心率公式进行求解即可. 【详解】设，则，于是有， 由椭圆的定义可知：， ， 在圆中，是直径，所以， 由勾股定理可得：， ，代入中，得 ， 故选：B 二、多选题(本题共3小圆，每题6分，共18分.每题有多项符合题目要求，全对得6分， 选对但不全的得部分分，有选错得0分) 9. 已知椭圆，则下列说法正确的是（ ） A. 是椭圆的一个顶点 B. 是椭圆的一个焦点 C. 椭圆的离心率 D. 椭圆的短轴长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆方程，判断焦点位置，求得的值，继而写出顶点，焦点,离心率，长短轴，根据选项逐一判断即可. 【详解】由，可知椭圆的焦点在轴上，且， 椭圆有四个顶点，分别为， 焦点有两个，分别为，椭圆的短轴长为，离心率为. 故A错误；B,C,D均正确. 故选：BCD. 10. 已知直线：与圆：相交于，两点，则（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆的半径为 C. 圆心到直线的距离为2 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】化圆的方程为 标准形式判断AB；求出圆心到直线距离判断C；利用圆的弦长公式计算判断D. 【详解】对于AB，圆：的圆心，半径，A正确，B错误； 对于C，点到直线：的距离，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 11. 如图，在正四棱柱中，，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 三棱锥外接球的体积为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据面面平行的判定定理证得平面平面，即可判断A正确；根据A的结论将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积，求出体积即可判断B；根据三棱锥的外接球即为正四棱柱的外接球，求得其体积，可判断C；设，根据线面角的向量求法，用表示出直线与平面所成角的正弦值，即可求得其最大值，判断D. 【详解】对于A选项，连接、、如图所示：在正四棱柱中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，A对； 对于B选项，因为平面，，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 故，B错； 对于C选项，三棱锥的外接球半径等于正四棱柱的外接球半径， 设三棱锥的外接球半径为，则， 因此三棱锥外接球的体积为，C错； 对于D选项，以为坐标原点，分别以、、所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则、、、，则， 设，则，即，其中， ， 因为平面，，所以易得平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 故时，取最小值，则有最大值为，D对. 故选：AD 第II卷（非选择题） 三、填空题(本题3小题、每题5分，共15分) 12. 若直线过圆的圆心，则实数a的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的求得圆心坐标，将圆心坐标代入直线方程，即可求解. 【详解】由题意，圆，可得圆心为， 因为圆心为在直线上，可得，解得. 故答案为：. 13. 已知的三个顶点分别是，则边上的中线所在直线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出边的中点坐标及对应中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求得答案. 【详解】依题意，边的中点，则边上的中线所在直线的斜率， 所以上的中线所在直线方程为. 故答案： 14. 已知双曲线：（，），倾斜角为45°的直线与双曲线相交于，两点，的中点是，则双曲线的离心率______. 【答案】 【解析】 【分析】设，代入双曲线方程作差，结合，利用斜率公式列式可得，即可求解离心率. 【详解】设，由题意可得，且， 又因为，所以， 即有，所以，所以， 所以，所以，所以. 故答案为： 四、解答题(本题6小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】 （1）利用即可求出； （2）利用错位相减法即可求出 【详解】（1）当时，则； 当时，，满足； ； （2）依题意，， 故， 故， 两式相减可得， ． 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 16. 已知数列满足，且 （1）求. （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由，且，代入运算可得； （2）由，利用累加法求通项. 【小问1详解】 因为，且， 所以，. 【小问2详解】 由，得， ，又符合， 所以数列的通项公式为. 17. 已知圆过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若过圆心的直线在轴，轴上的截距是互为相反数，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)利用中垂线组方程组来求圆心和半径，可得圆的标准方程； (2)利用直线过原点和直线不过原点且截距互为相反数，再用待定系数法来求解即可. 【小问1详解】 由可知中点， 设过的中垂线斜率为， ，则. 所以，即 由，解得，故， 圆的半径为， 故圆的标准方程为 【小问2详解】 ①若直线过原点，满足题意，则可设， 因为直线过，所以，则. ②若直线不过原点，由于直线在轴，轴上的截距是互为相反数， 设，因为直线过， 所以，则，即 综上所述：直线的方程为或. 18. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点，分别是棱，的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再根据向量平行关系判断直线与平面的垂直关系. （2）已知两个平面的法向量，利用向量点积公式求两个法向量夹角的余弦值，此余弦值的绝对值即为两个平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 因为四棱锥的底面是正方形，平面， 所以以点D为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，． 设平面EFD的法向量为， 则，令，则． 又因为，所以，即， 由平面，得平面． 小问2详解】 设平面与平面的夹角为， 平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 所以， 则平面与平面的夹角的余弦值为． 19. 已知椭圆（）的离心率为，且过点． （1）求椭圆E的方程； （2）设椭圆E的右焦点为F，过点作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为，．求证：为定值； 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，点在椭圆上，解方程可得； （2）设直线的方程为，代入椭圆方程得，设，，利用斜率计算公式、一元二次方程的根与系数的关系即可证明. 【小问1详解】 由题意知：，，， ∴椭圆的方程为，把点代入方程得：， ，，，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知椭圆的方程为，则右焦点， 易知过点的直线的斜率存在， 设，，的方程为， 代入椭圆方程，得， 则， ，， ， 为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $