精品解析：重庆市第八中学校2025-2026学年高三上学期第一次模拟考试数学试题

2026届重庆八中高三一模考试 数学试卷 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则下列集合与相等的是（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，若，则（ ） A. B. 8 C. 16 D. 24 4. 的展开式中，常数项为（ ） A. 15 B. 40 C. 60 D. 80 5. 已知点，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 我国某电子企业通过技术创新，于本月成功推出了首款5纳米芯片，并且随着技术的进步，每个月都会推出其改进型号，已知三年内该芯片的晶体管数目与以后第 个月的关系满足，单个晶体管的价格与 的关系为，每18个月芯片的晶体管数目会变为之前的2倍，每12个月单个晶体管的价格会变成原来的一半，芯片的价格为晶体管数目与单个晶体管价格之积，则以后第6个月时推出的改进型号芯片的价格是首款芯片价格的（ ）倍. A. B. C. D. 7. 已知函数，且对任意的，都存在，使得恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正四面体 的棱长为6，先后在其中放入一大一小两个球，，使得球为该正四面体的内切球，球与球及正四面体 的三个侧面相切，记球和球的半径分别为，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的最小正周期为 D. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于点对称 10. 已知是椭圆的两个焦点，点在上，是上的动点， 轴，垂足为，且点满足（当点在轴上时，规定点与点重合），则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的最小值为8 C. 点的轨迹方程为 D. 的最大值为 11. 已知数列满足，设，将数列的项按照如下规律分群:，，设第个群中所有项的和为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 样本数据5，6，8，11，5的方差为______. 13. 若函数满足:对任意的，都有，且，则______. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的右支上（不含顶点），设的内切圆圆心为，则______，的最小值为______. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上. （1）求处与小岛之间的距离； （2）求 两座小岛之间的距离. 16. 已知抛物线，与直线交于 ，两点（O为坐标原点），且. （1）求抛物线的标准方程； （2）若，为抛物线上任意两点，且满足 ，证明:直线经过一个定点，并求出该定点坐标. 17. 如图，已知三棱台的高为为的中点，，平面平面. （1）求证： 平面； （2）求与平面所成角的大小. 18. 一顾客参加某商场的抽奖活动，抽奖规则为:抛掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数大于4，则中奖，否则不中奖，每次抛掷相互独立.设该顾客抽奖次，中奖次数为. （1）若，求的分布列和期望； （2）若， ，1，2，3，，，求的最大值； （3）设未出现连续两次不中奖的概率为.求，，，并说明当足够大时，的实际意义. 19. 设定义在上的可导函数满足，且. （1）用表示，并求的单调区间； （2）若，记在点处的切线为，证明:除切点外，曲线在上的图象位于切线上方； （3）证明:当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届重庆八中高三一模考试 数学试卷 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，则 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先化简复数 ，然后由复数在复平面内对应的点的坐标可得答案. 【详解】由题意可得，则 在复平面内对应的点为,位于第四象限． 故选：D. 2. 已知集合，则下列集合与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的性质，结合一元二次不等式的解法、集合相等的定义进行求解即可. 【详解】由， 所以. 故选：A 3. 在等差数列中，若，则（ ） A. B. 8 C. 16 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列性质以及等差中项的应用计算可得结果. 【详解】依题意可得，因此； 又，可得； 因为，所以. 故选：B 4. 的展开式中，常数项为（ ） A. 15 B. 40 C. 60 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项求解. 【详解】展开式的通项为， 令，得，则， 故常数项为. 故选：C 5. 已知点，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求向量和， 然后根据投影向量公式计算. 【详解】已知点， ，，则 ， ，投影向量为， ，， 所以. 故选：C 6. 我国某电子企业通过技术创新，于本月成功推出了首款5纳米芯片，并且随着技术的进步，每个月都会推出其改进型号，已知三年内该芯片的晶体管数目 与以后第 个月的关系满足，单个晶体管的价格与 的关系为，每18个月芯片的晶体管数目会变为之前的2倍，每12个月单个晶体管的价格会变成原来的一半，芯片的价格为晶体管数目与单个晶体管价格之积，则以后第6个月时推出的改进型号芯片的价格是首款芯片价格的（ ）倍. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意根据单个晶体管的数目和价格变化情况列出方程，解得 ，再分别表示出首款芯片与改进型号芯片的价格，即可得解. 【详解】由题可知，若，则，得，即； 若，则，得，即. 设首款芯片价格为， 则以后第6个月时推出的改进型号芯片的价格， 则， 故选：B. 7. 已知函数，且对任意的，都存在，使得恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出，记，然后求出即可得解. 【详解】因为，所以在上单调递增， 所以，记， 因为函数，且对任意的，都存在，使得恒成立， 所以，又，所以. 故选：A 8. 已知正四面体 的棱长为6，先后在其中放入一大一小两个球，，使得球为该正四面体的内切球，球与球及正四面体 的三个侧面相切，记球和球的半径分别为，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由 ，解得，再根据题意由求得即可. 【详解】如图所示： 因为正四面体 的棱长为6， 所以正四面体 的高为：， ， 则 ，解得 ， 由题意得，， 因为， 所以，即，解得， 所以. 故选：A 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的最小正周期为 D. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于点对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出 ，再结合正弦函数的图象性质逐项分析判断. 【详解】依题意，，解得， 函数 的周期， 解得，则，由，得， 而，则，解得，A错误； 因此， 对于B，，B正确； 对于C，如下图：的最小正周期为，C正确； 对于D，，， 由正弦函数图象性质可知：的图象关于点对称，D正确； 故选：BCD 10. 已知是椭圆的两个焦点，点在上，是上的动点， 轴，垂足为 ，且点满足（当点在 轴上时，规定点与点 重合），则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的最小值为8 C. 点的轨迹方程为 D. 的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：利用代入法，结合椭圆离心率公式进行求解判断即可； 对于B：根据椭圆的定义，结合基本不等式进行求解即可； 对于C：根据平面向量共线坐标表示公式，结合代入法进行求解即可； 对于D：根据圆的性质，结合两点间距离公式进行求解即可. 【详解】对于A：因为点在上， 所以， 所以该椭圆的标准方程为， 所以可得， 因此椭圆的离心率为，所以本选项说法正确； 对于B：因为是上的动点， 所以， ， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值 ，因此本选项说法不正确； 对于C：设点的坐标为，所以有， 因为 轴，垂足为 ， 所以点 的坐标为，设点的坐标为， ， 代入中，得，所以本选项说法正确； 对于D：圆的圆心是原点，半径为. 因为， 所以，因此本选项说法不正确. 故选：AC 11. 已知数列满足，设，将数列的项按照如下规律分群:，，设第个群中所有项的和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A项，由题意得，可得是等差数列，可求的通项公式； 对于B项，前个群的项数之和是，设第个群的首项为，可得，进而计算可求得，对于C，D项，根据该通项公式的特点进行放缩，从而求出放缩后的前项和进行判断． 【详解】对于A项，因为，所以. 因为，所以，且， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列， .故A项正确； 对于B项，前个群的项数之和是. 设第个群的首项为，则， 由（1）知，. 第个群共有项，.故B项错误； 对于C项，， 当时，. 当时，. 当时， ， 故.故，故C项正确； 对于D项，， 当时，. 当时，. 当时， ， 故.故，故D项正确； 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 样本数据5，6，8，11，5的方差为______. 【答案】5.2 【解析】 【分析】先求样本数据的平均数，然后由方差的定义求得方差. 【详解】这组样本数据的平均数为， 所以方差. 故答案为：5.2 13. 若函数满足:对任意的，都有，且，则______. 【答案】##0.125 【解析】 【分析】由，通过累加即可求解. 【详解】由， 得， 即， ， ， 累加可得：， 又， 得， 故答案为： 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的右支上（不含顶点），设的内切圆圆心为，则______，的最小值为______. 【答案】 ①. 3 ②. 16 【解析】 【分析】利用双曲线定义和切线定理列方程组计算可得圆心横坐标，结合正切函数定义可得第一空；利用二倍角公式，用 表示出目标式，结合基本不等式求解可得第二空. 【详解】空一：双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距 ， 设圆与的三边分别相切于点， 由切线定理可知，， 结合双曲线定义可知，， 又，联立求解可得， 所以点的横坐标为1，即的横坐标为1，设圆的半径为 ， 则，； 空二：，同理， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：3；16 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上. （1）求处与小岛之间的距离； （2）求 两座小岛之间的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在 中利用正弦定理计算可得； （2）在 中利用余弦定理求出，再在中利用余弦定理求出 ； 【小问1详解】 由题可知在 中，，，所以， 由正弦定理可得：，及， 所以（海里）． 【小问2详解】 由题可知在 中：，，所以． 所以（海里）， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）， 由题意可知，在中，， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）. 16. 已知抛物线，与直线交于，两点（O为坐标原点），且. （1）求抛物线的标准方程； （2）若， 为抛物线上任意两点，且满足 ，证明:直线 经过一个定点，并求出该定点坐标. 【答案】（1） （2） 由 (1) 知抛物线方程为 ，点 坐标为 ， 设直线 的方程为 ， 代入 得： 设 ， ，则 由 ，得 将 ， 与代入，整理得 ， 因式分解得：， 解得 或 ， 当 时，直线 方程为 ，即 ， 过定点 （即点 ），此时 或 与 重合，不符合题意； 当 时，直线 方程为 ， 即 ，过定点 . 因此，直线 恒过定点 . 【解析】 【分析】（1）联立求出交点坐标，根据解方程可得答案； （2）设直线 的方程为 ，， ，联立抛物线方程，可得，再根据 ，得到的关系式，即得答案. 【小问1详解】 抛物线 与直线 交于 和 两点， 联立方程：，得 ，即 ，解得 或 ， 因此 点坐标为 ， 由两点间距离公式： 解得 ， 故抛物线 的标准方程为：. 【小问2详解】 略 17. 如图，已知三棱台的高为为的中点，，平面平面. （1）求证： 平面； （2）求与平面所成角的大小. 【答案】（1） 由，，， 故 与全等，故， 又因为为的中点，故 ， 又因为平面平面，平面 平面， 且 平面，故 平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）借助面面垂直的判定定理即可得线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，再运用向量夹角公式，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，由 平面， 平面，故， 又为的中点，故， 即两两垂直，且， 故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 有， 由三棱台的高为 ，故，故， ， 则， 设平面的法向量为， 则有，即， 令，则有，故， 设与平面所成角为， 则有， 则， 因此，与平面所成角为. 18. 一顾客参加某商场的抽奖活动，抽奖规则为:抛掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数大于4，则中奖，否则不中奖，每次抛掷相互独立.设该顾客抽奖次，中奖次数为. （1）若，求的分布列和期望； （2）若， ，1，2，3，，，求的最大值； （3）设未出现连续两次不中奖的概率为.求，，，并说明当足够大时，的实际意义. 【答案】（1） 0 1 2 3 （2）5 （3）1，， 【解析】 【分析】（1）利用二项分布概率计算公式可得分布列，期望； （2）利用数列最大值的求法可得答案； （3）根据题意建立递推公式，构造等比数列求通项即可. 【小问1详解】 当  时，中奖次数  服从二项分布 . ， ， 故分布列为： 0 1 2 3 期望  . 【小问2详解】 由于 ，即 因为  对所有  ，1，2，3，，成立， 所以需满足， 即，解得：， 故 ； 又当时， 当 时， ，易知当 时， ， 故 ，即， 所以在 单调递减，又由， 可得，当时，恒成立. 故的最大值为5. 【小问3详解】 设  为  次抽奖中未出现连续两次不中奖的概率。考虑第一次抽奖结果： 若第一次中奖（概率 ），则后  次未出现连续两次不中奖的概率为 ； 若第一次不中奖（概率 ），则第二次必须中奖（概率 ），后  次未出现连续两次不中奖的概率为 ， 得递推关系： 初始条件： ， ，计算得： 构造等比数列求通项： 设存在常数  使得 ，代入递推式，比较系数得： 解方程  ，得 ，， 取 ，，则有： 令 ，则 ，且 ， 所以：，即： 另取 ，，同理可得： 令 ，则 ，且 ， 所以： 即： 得： 当  足够大时：由于   和  ，故  . 实际意义：当抽奖次数  非常大时，未出现连续两次不中奖的概率趋近于 0， 即几乎必然会出现连续两次不中奖的情况. 19. 设定义在上的可导函数满足，且. （1）用表示，并求的单调区间； （2）若，记在点处的切线为，证明:除切点外，曲线在上的图象位于切线上方； （3）证明:当时，. 【答案】（1），函数的递减区间为，没有递增区间. （2）证明:在切线， 即， 令函数， 则，则， 由（1）可知，令， 则， 当时，，，∴且， ∴，即函数单调递增； ∴当时，，即，∴单调递减， 当时，，即，∴单调递增， ∴，即， ∴除切点外，曲线在上的图象位于切线上方； （3）证明:令函数，则， ，∵， ∴， 令，则， 当 时，，，故，即函数单调递增， ∴， 即当 时，， ∴，即， ∴. 【解析】 【分析】（1）由等式得，令并求的值，通过导数即可求得的值域，从而得到的范围，即可求得函数的单调区间. （2）写出切线方程，然后令，求导数，通过函数的导数，求得函数单调性，从而得到的单调区间，即可求得的值域，从而得证； （3）令，求导数，在令，通过导数得到在单调性，从而求得的值域，即可求得的值域，从而得到函数的值域，即可得证. 【小问1详解】 ∵，∴， 令函数， 则， 当时，，即，函数单调递增，∴， 当时，，即，函数单调递减，∴， ∴， ∴， 即函数的递减区间为，没有递增区间. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $