专题02认识概率寒假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化题型突破+新教材)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题02认识概率寒假预习讲义 预习目标 1.轻松 get 概率的核心定义，能准确区分确定事件与随机事件 2.熟练掌握简单随机事件概率的计算方法，会用频率估计概率 3.能把概率知识用到生活实际问题里，提升分析和解决问题的能力 考情分析 题型占比：选择题、填空题为主（8 - 10 分），偶尔会出简单解答题 高频考点：随机事件的判断、概率公式的应用、频率与概率的关系 命题趋势：结合生活场景（如抽奖、摸球、转盘游戏）出题，侧重考查知识应用能力 题型01 事件的分类与判断 题型02事件发生可能性大小的比较与判断 题型03 概率意义的深度理解与辨析 题型04 随机事件发生频率的计算 题型05 频率与概率关系的正误判断 题型06 用频率估计概率的基本方法 题型07 用频率估计概率的综合应用问题 强化巩固题型(11题) 【知识点01.事件的分类】 1.确定事件： 在一定条件下，必然会发生或必然不会发生的事件 必然事件：一定发生的事件，概率 P=1 例：太阳从东方升起 不可能事件：一定不发生的事件，概率 P=0 例：掷骰子掷出数字 7 2.随机事件： 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，概率 0<P<1 例：掷硬币正面朝上 【知识点02.概率的定义】 一般地，对于一个随机事件 A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为 P(A) 等可能事件的概率公式 若一次试验中，可能出现的结果共有 n 种，且所有结果出现的可能性相等，事件 A 包含其中的 m 种结果，则 P(A)= 【知识点03.频率与概率的关系】 频率：在相同条件下，重复 n 次试验，事件 A 发生的次数 m 与试验总次数 n 的比值​ 关系：当试验次数很大时，频率会稳定在一个常数附近，这个常数就是该事件的概率用途：可以用频率来估计概率 重难点突破 解题步骤 (1)确定试验的所有可能结果数 n，且保证每种结果可能性相等 (2)找出事件 A 包含的结果数 m (3)代入公式 P(A)= 计算 例题：掷一枚均匀的骰子，求掷出偶数点的概率解：骰子的结果有 6 种：1、2、3、4、5、6，n=6 偶数点有 3 种：2、4、6，m=3 P(偶数点) 注意事项 (1)试验次数要足够多，才能让频率更接近概率 (2)频率是试验结果，具有随机性；概率是理论值，是固定不变的 易错点：直接套用公式，忽略 “所有结果可能性相等” 的条件反例：掷一枚不均匀的硬币，不能直接说正面朝上的概率是 ​ 突破方法：先判断试验结果是否等可能，再计算概率 易错点警示 1.混淆事件类型：把 “可能发生” 的随机事件当成 “必然发生” 的确定事件例：“明天会下雨” 是随机事件，不是必然事件 2.概率计算时漏数或多数结果：列举所有可能结果时，要做到不重复、不遗漏，可采用列表法或树状图法 3.误解频率与概率的关系：认为试验次数少的时候，频率就等于概率 【题型1.事件的分类与判定】 【典例】下列成语描述的事件为不可能事件的是（   ）． A．水中捞月 B．一箭双雕 C．守株待兔 D．熟能生巧 【跟踪专练1】给出下列事件： ①某餐厅供应盒饭，共准备2荤2素4种不同的品种，一顾客任选1种菜肴，且选中素菜； ②一百件产品全部为正品，今从中选出一件次品； ③在1，2，3，4，5路车停靠的站牌处，张老师等候到6路车； ④甲、乙、丙、丁四人排成一排照相，甲、乙正好相邻； ⑤空旷的平地上，抛出的篮球会下落． 请将事件的序号填写在横线上： 必然事件有 ，不可能事件有 ，随机事件有 ． 【跟踪专练2】下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．打开电视，正在播放新闻 B．抛掷两枚质地均匀的骰子，点数和为 C．一个多边形的内角和为度 D．一个不透明的袋子中装有个红球和个白球，除颜色外，这些球无其他差别，随机摸出两个球，至少有一个是红球 【题型2.事件发生可能性大小的比较与判断】 【典例】“买一张足球彩票中一等奖”这一事件的概率是（   ） A．1 B．0 C．大于1 D．大于0且小于1 【跟踪专练1】掷一枚质地均匀的骰子，每个骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，下列事件：①向上一面的点数为正数；②向上一面的点数是3的倍数；③向上一面的点数是偶数；④向上一面的点数是两位数．其中按发生的可能性从小到大的顺序排列为 （填序号）． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（   ） A．“抽奖活动中得奖的概率是”，表示买100张奖券一定有一张能得奖 B．小明抛掷一枚质地均匀的骰子10次，出现1点的次数为3次，则小明第11次抛掷骰子，出现1点的概率是 C．“任意画一个四边形，其内角和是”是随机事件 D．“天气预报明天下雪的概率是”，表示明天下雪的可能性很大 【题型3.概率意义的深度理解与辨析】 【典例】一个事件的概率为0.8，则下列说法正确的是（   ） A．这个事件一定会发生 B．这个事件一定不会发生 C．这个事件发生的可能性较大 D．这个事件发生的可能性较小 【跟踪专练1】投掷一枚普通的正方体骰子，四个同学各自发表了以下说法：①出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率；②只要连掷6次，一定会“出现1点”；③投掷前默念几次“出现6点”，投掷结果“出现6点”的可能性就会增大；④连续投掷3次，出现点数之和不可能等于19．其中说法正确的是 ．（填写序号） 【跟踪专练2】学完《概率初步》这章后，老师让同学结合实例说说自己的认识，请你判断以下四位同学说法正确的是（　　） A．甲说打开电视机，正在播放广告是随机事件 B．乙说掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于6是不可能事件 C．丙说某彩票的中奖概率是，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖 D．丁说做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是 【题型4.随机事件发生频率的计算】 【典例】调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率约为 .（结果精确到） 【跟踪专练2】某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” 【题型5.频率与概率关系的正误判断】 【典例】在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动．在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其 的估计值． 【跟踪专练1】在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【跟踪专练2】关于频率与概率，有下列几种说法，其中正确的说法有（    ） ①“明天下雨的概率是”表示明天下雨的可能性很大； ②“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上； ③“某种彩票中奖的概率是”表示买10张该种彩票不可能中奖； ④“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【题型6.频率估计概率的基本方法】 【典例】有人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，其中一些试验结果见下表： 试验者 抛掷次数 “正面向上”的次数 “正面向上”的频率 费勒 10000 4979 皮尔逊 12000 6019 皮尔逊 24000 12012 请你估计“正面向上”的概率是 （结果精确到）． 【跟踪专练1】一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球的个数为（   ） A．8 B．10 C．12 D．20 【跟踪专练2】如图，在边长为的正方形内部画了一个圆，圆心为点，为估算的面积，在正方形区域内任意取100个点，若有60个点在内部，则的面积约为 ． 【题型7.用频率估计概率的综合应用问题】 【典例】七年级（2）班在一次活动中分两次选拔参与活动成员．第一次确定了9人，第二次确定了2名男生和1名女生．现从确定的人员中随机抽取一名同学负责展示，若抽中女生的概率是，则第一次确定的同学中，女生有 人． 【跟踪专练1】甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（    ） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面的概率 C．任意写一个整数，它能被3整除的概率 D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率 【跟踪专练2】一个盒中有10枚黑棋子和若干枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中．不断重复上述过程，一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，由此估计盒中约有 枚白棋子． 1．下列事件中，属于随机事件的是（　　） A．太阳从东方升起 B．抛一枚硬币，正面朝上 C．用长度分别是，，的细木条首尾顺次相连，可组成一个三角形 D．通常情况下，温度降到以下，纯净的水会结冰 2．下列说法正确的是（　　） A．要了解一批灯泡的使用寿命，应进行全面调查 B．企业招聘，对应聘人员进行面试，应进行抽样调查 C．“小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上”是随机事件 D．“连续抛一枚质地均匀的硬币2次，必有1次正面朝上”是必然事件 3．在抛掷一枚均匀硬币的试验中，如果没有硬币，我们可以用替代物，但下列物品不能做替代物的是（ ） A．一枚均匀的普通六面体骰子 B．两张扑克牌一张黑桃，一张红桃 C．两个只有颜色不同的小球 D．一枚图钉 4．二维码具有储存量大，保密性高，追踪性高，抗损性强，备援性大，成本便宜等特性，手机二维码已经被各大手机厂商使用开发．如图是一张边长为的正方形二维码的示意图，在正方形区域内随机掷点，通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积为 ． 5．【跨学科·地理】地理实践课上，活动小组的同学在一张面积为的长方形卡片上绘制了如图1所示的河北省地形图，他们想了解该地形图的面积，经研究采取了以下办法：将长方形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录落在该地形图上的次数（球扔在地形图最外围的界线上或长方形区域外不计入试验结果）．他们将若干次有效试验结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此估计该地形图的面积大约为 ． 6．有两个正方体的积木，如图所示： 下面是淘气掷200次积木的情况统计表： 灰色的面朝上 白色的面朝上 32次 168次 根据表中的数据推测，淘气更有可能掷的是 号积木，请简要说明你的判断理由 ． 7．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 解答题 8．一个不透明的盒子中装有只有颜色不同的10张卡片，其中有5张白色卡片、3张黑色卡片、2张红色卡片，以下事件中哪些是随机事件？哪些是必然事件？哪些是不可能事件？ (1)从口袋中任意抽取1张卡片，该卡片是黑色卡片； (2)从口袋中任意抽取6张卡片，没有白色卡片； (3)从口袋中任意抽取9张卡片，白色、黑色、红色三种颜色的卡片都有． 9．将一枚图钉抛起，落地后会出现“钉尖朝上”和“钉帽朝上”两种情况．有人认为这两种情况是等可能的，因此“钉尖朝上”的概率是．请判断该观点是否正确，并说明理由． 10．某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 优秀数量 优秀频率 (1)填空：_______，_______ (2)估计该市学生作业优秀的概率．（精确到） 11．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 100 400 500 1000 1500 2000 指针转到红色区域的次数 37 126 160 331 498 667 (1)下列说法正确的是______（填写序号）． ①从表格中数据可知，转动转盘100次已经有37次指针落在红色区域．那么转盘转动第101次，指针一定不会落在红色区域． ②转动转盘10次，指针指向蓝色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数． ③转动转盘60次，指针指向蓝色区域的次数一定为20． (2)求随机转动转盘“指针指向红色区域”的可能性大小． (3)请你用红、黄、绿三种颜色设计一个转盘，使得转动后指针指向黄色区域的可能性大小是．画出你设计的转盘（画一种情况即可）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02认识概率寒假预习讲义 预习目标 1.轻松 get 概率的核心定义，能准确区分确定事件与随机事件 2.熟练掌握简单随机事件概率的计算方法，会用频率估计概率 3.能把概率知识用到生活实际问题里，提升分析和解决问题的能力 考情分析 题型占比：选择题、填空题为主（8 - 10 分），偶尔会出简单解答题 高频考点：随机事件的判断、概率公式的应用、频率与概率的关系 命题趋势：结合生活场景（如抽奖、摸球、转盘游戏）出题，侧重考查知识应用能力 题型01 事件的分类与判断 题型02事件发生可能性大小的比较与判断 题型03 概率意义的深度理解与辨析 题型04 随机事件发生频率的计算 题型05 频率与概率关系的正误判断 题型06 用频率估计概率的基本方法 题型07 用频率估计概率的综合应用问题 强化巩固题型(11题) 【知识点01.事件的分类】 1.确定事件： 在一定条件下，必然会发生或必然不会发生的事件 必然事件：一定发生的事件，概率 P=1 例：太阳从东方升起 不可能事件：一定不发生的事件，概率 P=0 例：掷骰子掷出数字 7 2.随机事件： 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，概率 0<P<1 例：掷硬币正面朝上 【知识点02.概率的定义】 一般地，对于一个随机事件 A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为 P(A) 等可能事件的概率公式 若一次试验中，可能出现的结果共有 n 种，且所有结果出现的可能性相等，事件 A 包含其中的 m 种结果，则 P(A)= 【知识点03.频率与概率的关系】 频率：在相同条件下，重复 n 次试验，事件 A 发生的次数 m 与试验总次数 n 的比值​ 关系：当试验次数很大时，频率会稳定在一个常数附近，这个常数就是该事件的概率用途：可以用频率来估计概率 重难点突破 重点 1：等可能事件的概率计算 解题步骤 (1)确定试验的所有可能结果数 n，且保证每种结果可能性相等 (2)找出事件 A 包含的结果数 m (3)代入公式 P(A)= 计算 例题：掷一枚均匀的骰子，求掷出偶数点的概率解：骰子的结果有 6 种：1、2、3、4、5、6，n=6 偶数点有 3 种：2、4、6，m=3 P(偶数点) 重点 2：用频率估计概率 注意事项 (1)试验次数要足够多，才能让频率更接近概率 (2)频率是试验结果，具有随机性；概率是理论值，是固定不变的 难点：区分 “可能性相等” 的前提条件 易错点：直接套用公式，忽略 “所有结果可能性相等” 的条件反例：掷一枚不均匀的硬币，不能直接说正面朝上的概率是 ​ 突破方法：先判断试验结果是否等可能，再计算概率 易错点警示 1.混淆事件类型：把 “可能发生” 的随机事件当成 “必然发生” 的确定事件例：“明天会下雨” 是随机事件，不是必然事件 2.概率计算时漏数或多数结果：列举所有可能结果时，要做到不重复、不遗漏，可采用列表法或树状图法 3.误解频率与概率的关系：认为试验次数少的时候，频率就等于概率 【题型1.事件的分类与判定】 【典例】下列成语描述的事件为不可能事件的是（   ）． A．水中捞月 B．一箭双雕 C．守株待兔 D．熟能生巧 【答案】A 【分析】本题考查事件的分类，熟练掌握相关知识是解题关键． 不可能事件指一定不会发生的事件，通过分析各成语的含义，判断其描述的事件是否可能发生． 【详解】解：对于A．水中捞月：月亮在水中仅为倒影，实际无法捞取，一定不会发生，为不可能事件； 对于 B．一箭双雕：虽困难，但可能发生，不是不可能事件； 对于C．守株待兔：兔子撞树桩为偶然事件，可能发生，不是不可能事件； 对于 D．熟能生巧：指练习多了，就能掌握技巧，是可能实现的，不是不可能事件． 故选：A． 【跟踪专练1】给出下列事件： ①某餐厅供应盒饭，共准备2荤2素4种不同的品种，一顾客任选1种菜肴，且选中素菜； ②一百件产品全部为正品，今从中选出一件次品； ③在1，2，3，4，5路车停靠的站牌处，张老师等候到6路车； ④甲、乙、丙、丁四人排成一排照相，甲、乙正好相邻； ⑤空旷的平地上，抛出的篮球会下落． 请将事件的序号填写在横线上： 必然事件有 ，不可能事件有 ，随机事件有 ． 【答案】 ⑤； ②③； ①④； 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握这三种事件的定义是解题的关键． 解题思路是先明确必然事件、不可能事件、随机事件的定义，再逐一分析每个事件的类型． 【详解】解：事件①：顾客从2荤2素中任选1种菜肴，选中素菜可能发生也可能不发生，是随机事件； 事件②：全部正品中不可能选出次品，是不可能事件； 事件③：站牌处只有1-5路车，无6路车，不可能等到6路车，是不可能事件； 事件④：四人排列中甲、乙相邻可能发生也可能不发生，是随机事件； 事件⑤：篮球受重力作用一定下落，是必然事件． 故答案为：⑤，②③，①④． 【跟踪专练2】下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．打开电视，正在播放新闻 B．抛掷两枚质地均匀的骰子，点数和为 C．一个多边形的内角和为度 D．一个不透明的袋子中装有个红球和个白球，除颜色外，这些球无其他差别，随机摸出两个球，至少有一个是红球 【答案】D 【分析】本题考查了事件的分类，即在一定条件下一定发生的事件， 逐项分析各事件是否必然发生，掌握事件的分类是解题的关键． 【详解】解：、打开电视，可能播放新闻或其他节目，是随机事件，不是必然事件，该选项不符合题意； 、抛掷两枚骰子，点数和为不是必然发生，是随机事件，该选项不符合题意； 、多边形内角和公式为，仅当时为，但多边形边数不确定，内角和可能不是，是随机事件，不是必然事件，该选项不符合题意； 、袋子有个红球个白球，摸出两个球时，由于只有一个白球，至少有一个红球是必然事件，该选项符合题意； 故选：． 【题型2.事件发生可能性大小的比较与判断】 【典例】“买一张足球彩票中一等奖”这一事件的概率是（   ） A．1 B．0 C．大于1 D．大于0且小于1 【答案】D 【分析】本题考查了概率的意义及可能性的大小，根据概率的基本性质，概率值范围在0到1之间，中一等奖是可能但非必然事件． 【详解】解：∵“买一张足球彩票中一等奖”是随机事件，且可能发生但非必然发生， ∴其概率P满足， 故选：D． 【跟踪专练1】掷一枚质地均匀的骰子，每个骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，下列事件：①向上一面的点数为正数；②向上一面的点数是3的倍数；③向上一面的点数是偶数；④向上一面的点数是两位数．其中按发生的可能性从小到大的顺序排列为 （填序号）． 【答案】④②③① 【分析】本题考查了概率的计算与可能性大小的比较，掌握计算各事件的概率，再根据概率大小判断可能性大小是解题的关键． 计算各事件发生的概率，比较大小即可． 【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，每个面出现的概率均为． 事件①：向上一面的点数为正数，是必然事件，概率为1； 事件②：向上一面的点数是3的倍数，有2种可能（点数为3和6），概率为； 事件③：向上一面的点数是偶数，有3种可能（点数为2，4，6），概率为； 事件④：向上一面的点数是两位数，不可能事件，概率为0． 因此，概率从小到大为0，，，1，对应事件顺序为④，②，③，①． 故答案为：④②③①． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（   ） A．“抽奖活动中得奖的概率是”，表示买100张奖券一定有一张能得奖 B．小明抛掷一枚质地均匀的骰子10次，出现1点的次数为3次，则小明第11次抛掷骰子，出现1点的概率是 C．“任意画一个四边形，其内角和是”是随机事件 D．“天气预报明天下雪的概率是”，表示明天下雪的可能性很大 【答案】D 【分析】本题主要考查了概率的意义，根据相应的概率判断出事件类型再进行解答即可． 【详解】解：A. “抽奖活动中得奖的概率是”，表示买100张奖券一定有一张能得奖，故此选项错误； B、小明抛掷一枚质地均匀的骰子10次，出现1点的次数为3次，则小明第11次抛掷骰子，出现1点的概率是，故此选项错误； C、“任意画一个四边形，其内角和是”是确定事件，故原说法错误， D. “天气预报明天下雪的概率是”，表示明天下雪的可能性很大，说法正确，符合题意； 故选：D． 【题型3.概率意义的深度理解与辨析】 【典例】一个事件的概率为0.8，则下列说法正确的是（   ） A．这个事件一定会发生 B．这个事件一定不会发生 C．这个事件发生的可能性较大 D．这个事件发生的可能性较小 【答案】C 【分析】本题考查概率的意义，概率表示事件发生的可能性大小，概率为0.8大于0.5，表示事件发生的可能性较大． 【详解】解：∵一个事件的概率为0.8，且0.8＞0.5， ∴事件发生的可能性较大． 故选C． 【跟踪专练1】投掷一枚普通的正方体骰子，四个同学各自发表了以下说法：①出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率；②只要连掷6次，一定会“出现1点”；③投掷前默念几次“出现6点”，投掷结果“出现6点”的可能性就会增大；④连续投掷3次，出现点数之和不可能等于19．其中说法正确的是 ．（填写序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查概率的意义．概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．注意随机事件是可能发生也可能不发生的事件．分别根据概率的意义进行分析即可． 【详解】解：①投掷一枚普通的正方体骰子，出现“点数为奇数”的概率与出现“点数为偶数”的概率均为，故①正确； ②投掷一枚普通的正方体骰子，“出现1点”是随机事件，故②错误； ③投掷前默念几次“出现6点”，投掷结果“出现6点”的可能性并不会增大，仍然是，故③错误； ④投掷一枚普通的正方体骰子，最大点数是6，连续投掷3次，出现的点数之和必然小于等于18，不可能为19，故④正确． 正确的有①④， 故答案为：①④． 【跟踪专练2】学完《概率初步》这章后，老师让同学结合实例说说自己的认识，请你判断以下四位同学说法正确的是（　　） A．甲说打开电视机，正在播放广告是随机事件 B．乙说掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于6是不可能事件 C．丙说某彩票的中奖概率是，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖 D．丁说做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是 【答案】A 【分析】本题考查了概率的意义，随机事件，根据随机事件、必然事件、不可能事件及概率的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、甲说打开电视机，正在播放广告是随机事件，正确，故A符合题意； B、乙说掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于6是必然事件，原说法错误，故B不符合题意； C、丙说某彩票的中奖概率是，那么如果买100张彩票不一定会有5张中奖，原说法错误，故C不符合题意； D、丁说做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是，是不正确的，因为试验次数太少，不能确定钉尖朝上的概率，故D不符合题意； 故选：A． 【题型4.随机事件发生频率的计算】 【典例】调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求频率，根据频率之和为1，进行求解即可． 【详解】解：在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ， 则达到或超过 米的数出现的频率是： 故选B． 【跟踪专练1】某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率约为 .（结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查了求频率，用频率估计概率，随着试验次数的增加，频率稳定趋向一个固定的值，这个固定值即是概率；求出各个频率即可估计出概率． 【详解】解：表中从左往右，频率分别为， 钉尖朝上的概率约为； 故答案为：． 【跟踪专练2】某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” 【答案】C 【分析】分别计算出每个事件的概率，其值约为0.16的即符合题意． 【详解】A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意； C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意； D、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了概率的计算和用频率估计概率，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定． 【题型5.频率与概率关系的正误判断】 【典例】在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动．在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其 的估计值． 【答案】概率 【分析】本题考查了频率与概率，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动．在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值． 故答案为：概率． 【跟踪专练1】在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】概率P是固定值，频率f随试验次数增加在P附近波动并趋于稳定. 本题考查频率与概率的关系，熟练掌握二者的关系是解题的关键. 【详解】解：∵ 概率P是常数，不随试验次数改变； 频率f随试验次数增加而逐渐稳定于P附近. ∴ 选项D正确. 故选：D. 【跟踪专练2】关于频率与概率，有下列几种说法，其中正确的说法有（    ） ①“明天下雨的概率是”表示明天下雨的可能性很大； ②“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上； ③“某种彩票中奖的概率是”表示买10张该种彩票不可能中奖； ④“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查概率的意义． 根据概率的意义判断各说法的正误． 【详解】∵概率表示事件发生的可能性大小， ∴说法①正确，因为的概率表示下雨可能性很大； ∵概率是长期频率的稳定值，不保证短期结果， ∴说法②错误，因为每抛两次不一定有一次正面朝上； ∵概率为表示中奖可能性小，但并非不可能， ∴说法③错误，因为买10张彩票可能中奖； ∵随着抛掷次数的增加，频率稳定在概率附近， ∴说法④正确； 故正确的说法是①和④． 故选：B． 【题型6.频率估计概率的基本方法】 【典例】有人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，其中一些试验结果见下表： 试验者 抛掷次数 “正面向上”的次数 “正面向上”的频率 费勒 10000 4979 皮尔逊 12000 6019 皮尔逊 24000 12012 请你估计“正面向上”的概率是 （结果精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，比较简单． 根据3位试验者的试验结果，确定随着试验次数增加频率的稳定值，估计正面向上的概率即可得出答案． 【详解】解：由上表可知，抛掷硬币试验中，正面向上的频率在附近摆动，且随着n的增加，摆动幅度越来越小，可知正面向上的概率为， 故答案为：． 【跟踪专练1】一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球的个数为（   ） A．8 B．10 C．12 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设红球有x个，利用摸到白球的频率估计其概率，即白球个数÷总球数，计算即可得出答案． 【详解】解：设红球有x个，由题意可得， ， 解得：， 经检验：是方程的解， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在边长为的正方形内部画了一个圆，圆心为点，为估算的面积，在正方形区域内任意取100个点，若有60个点在内部，则的面积约为 ． 【答案】5.4 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 用正方形的面积乘以点落在内部的频率即可得出答案． 【详解】解：的面积约为， 故答案为：． 【题型7.用频率估计概率的综合应用问题】 【典例】七年级（2）班在一次活动中分两次选拔参与活动成员．第一次确定了9人，第二次确定了2名男生和1名女生．现从确定的人员中随机抽取一名同学负责展示，若抽中女生的概率是，则第一次确定的同学中，女生有 人． 【答案】 【分析】本题考查频率估计概率，设第一次确定的同学中，女生有人，由题意可得，解一元一次方程即可得到答案．读懂题意，理解由频率估计概率的方法是解决问题的关键． 【详解】解：设第一次确定的同学中，女生有人， 抽中女生的概率是， ，解得， 故答案为：． 【跟踪专练1】甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（    ） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面的概率 C．任意写一个整数，它能被3整除的概率 D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率 【答案】C 【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【详解】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意； B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； C、任意写一个整数，它能被3整除的概率为，故此选项符合题意； D、从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率为，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 【跟踪专练2】一个盒中有10枚黑棋子和若干枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中．不断重复上述过程，一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，由此估计盒中约有 枚白棋子． 【答案】 【分析】根据一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，求出取到黑棋子的概率，再计算盒中约共有棋子数，最后计算白棋子数限可． 【详解】取到黑棋子的概率为：， 盒中约共有棋子：（枚）， 其中约有白棋子：（枚）． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了概率，解决问题的关键是熟练掌握用频率估计概率，用概率估计事件． 1．下列事件中，属于随机事件的是（　　） A．太阳从东方升起 B．抛一枚硬币，正面朝上 C．用长度分别是，，的细木条首尾顺次相连，可组成一个三角形 D．通常情况下，温度降到以下，纯净的水会结冰 【答案】B 【分析】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随件事件的概念、三角形的三边关系等知识点，必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即为随机事件，是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小来判断相应事件的类型即可解答． 【详解】解：A． 太阳从东方升起，此事件是必然发生的，即必然事件，不符合题意； B． 抛一枚硬币，正面朝上，是随机事件，符合题意； C． 用长度分别是，，的细木条首尾顺次相连，可组成一个三角形，是不可能事件，不符合题意； D． 通常情况下，温度降到以下，纯净的水会结冰，是必然事件，不符合题意． 故选：B． 2．下列说法正确的是（　　） A．要了解一批灯泡的使用寿命，应进行全面调查 B．企业招聘，对应聘人员进行面试，应进行抽样调查 C．“小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上”是随机事件 D．“连续抛一枚质地均匀的硬币2次，必有1次正面朝上”是必然事件 【答案】C 【分析】本题考查了抽样调查与全面调查、事件的分类，根据抽样调查与全面调查以及事件的分类的定义逐项分析即可得解． 【详解】解：A、要了解一批灯泡的使用寿命，应进行抽样调查，故原说法错误，不符合题意； B、企业招聘，对应聘人员进行面试，应进行全面调查，故原说法错误，不符合题意； C、小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件，原说法正确，符合题意； D、连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，应为有可能有1次正面朝上，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 3．在抛掷一枚均匀硬币的试验中，如果没有硬币，我们可以用替代物，但下列物品不能做替代物的是（ ） A．一枚均匀的普通六面体骰子 B．两张扑克牌一张黑桃，一张红桃 C．两个只有颜色不同的小球 D．一枚图钉 【答案】D 【分析】在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，硬币正反两面向上的概率为；若用其它物体代替只要此物体只能出现这两种情况且概率为即可． 【详解】A、一枚均匀的普通六面体骰子向上的点数为奇数和偶数的概率都为，能作替代物，故不符合题意； B、两张扑克牌张黑桃，张红桃，两张花色不同的扑克，分别代替硬币正面和反面，且各自概率为，与抛硬币一样，故不符合题意； C、两个只有颜色不同的小球，符合硬币只有正反两面的可能性，能作替代物，故不符合题意； D、图钉两面不同，不能替代该实验，故符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了模拟实验，选择实验的替代物，应从可能性是否相等入手思考． 4．二维码具有储存量大，保密性高，追踪性高，抗损性强，备援性大，成本便宜等特性，手机二维码已经被各大手机厂商使用开发．如图是一张边长为的正方形二维码的示意图，在正方形区域内随机掷点，通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积为 ． 【答案】 【分析】先根据通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在左右估计点落在黑色部分的概率为，再乘以正方形的面积即可得到答案． 【详解】解：通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在左右， 估计点落在黑色部分的概率为， 估计该二维码黑色部分的总面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 5．【跨学科·地理】地理实践课上，活动小组的同学在一张面积为的长方形卡片上绘制了如图1所示的河北省地形图，他们想了解该地形图的面积，经研究采取了以下办法：将长方形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录落在该地形图上的次数（球扔在地形图最外围的界线上或长方形区域外不计入试验结果）．他们将若干次有效试验结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此估计该地形图的面积大约为 ． 【答案】35 【分析】本题考查了利用频率估计概率，折线统计图，解题的关键是理解题意，得出小球落在该地形图的概率约为0.35．根据图②可得，小球落在该地形图的概率约为0.35，设该地形图的面积为，再根据几何概率可得：该地形图的面积长方形的面积小球落在该地形图内的概率，列出方程即可求解． 【详解】解：据题意可得：小球落在该地形图内的概率约为0.35， 设该地形图的面积为， 则， 解得：， 则估计该地形图的面积大约为， 故答案为：35． 6．有两个正方体的积木，如图所示： 下面是淘气掷200次积木的情况统计表： 灰色的面朝上 白色的面朝上 32次 168次 根据表中的数据推测，淘气更有可能掷的是 号积木，请简要说明你的判断理由 ． 【答案】 ② 淘气掷200次积木的实验频率接近于②号积木相应的概率． 【分析】计算出①号积木、②号积木朝上的面为白色、为灰色的概率，再求出淘气掷200次积木的实验频率，进行判断即可． 【详解】①号积木由于三面灰色，三面白色，因此随机掷1次，朝上的面是白色、灰色的可能性都是， ②号积木由于一面灰色，五面白色，因此随机掷1次，朝上的面是灰色的可能性都是，是白色的可能性为， 由表格中的数据可得，淘气掷200次积木得到朝上的面为灰色的频率为，白色的频率为， 故他选择的是②号积木， 理由：淘气掷200次积木的实验频率接近于②号积木相应的概率． 【点睛】本题主要考查频率与概率的关系，解题的关键是正确理解实验频率与概率的关系． 7．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【答案】B 【分析】正确的推理判断即可求解． 【详解】解：因为丁同学手里拿的两张卡片上的数字之和是3，所以丁拿的卡片只能是1和2，则甲同学手里拿的就只能是3和4． 如果戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7， 则乙同学拿的就是6和6，因为不能重复，所以A是错误的； 如果丙同学拿的是9和8，则乙同学拿的是5和7，戊同学拿的就是10和6，符合数学的演绎推理，是正确的． 根据数学选择题的四选一原则，就选B． 故选：B． 【点睛】本题考查数学演绎推理，结合数学知识，进行正确的演绎推理是解决本题的关键， 解答题 8．一个不透明的盒子中装有只有颜色不同的10张卡片，其中有5张白色卡片、3张黑色卡片、2张红色卡片，以下事件中哪些是随机事件？哪些是必然事件？哪些是不可能事件？ (1)从口袋中任意抽取1张卡片，该卡片是黑色卡片； (2)从口袋中任意抽取6张卡片，没有白色卡片； (3)从口袋中任意抽取9张卡片，白色、黑色、红色三种颜色的卡片都有． 【答案】(1)随机事件 (2)不可能事件 (3)必然事件 【分析】本题主要考查了事件的分类，解题的关键在于熟知在一定条件下，一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，不一定发生的事件是随机事件． （1）任意抽取1张卡片，该卡片可能是黑色卡片，也可能不是黑色卡片，据此可得答案； （2）由于黑色卡片和红色卡片共有5张，那么抽取6张卡片一定会有白色卡片，据此可得答案； （3）由于白色卡片和黑色卡片共有8张，那么抽取9张卡片一定会有红色卡片，即三种颜色的卡片都有，据此可得答案． 【详解】（1）解：从口袋中任意抽取1张卡片，该卡片是黑色卡片，这是随机事件； （2）解：∵， ∴从口袋中任意抽取6张卡片，一定会有白色卡片， ∴原事件为不可能事件； （3）解：∵， ∴从口袋中任意抽取9张卡片，白色、黑色、红色三种颜色的卡片都有是必然事件． 9．将一枚图钉抛起，落地后会出现“钉尖朝上”和“钉帽朝上”两种情况．有人认为这两种情况是等可能的，因此“钉尖朝上”的概率是．请判断该观点是否正确，并说明理由． 【答案】不正确，理由见解析 【分析】本题主要考查概率的意义，判断实验所得结果是不是等可能的，熟练掌握以上知识点是做题的关键．根据概率的意义及判断“钉尖朝上”和“钉帽朝上”所得结果不是等可能的进行解答即可． 【详解】解：该观点不正确，理由如下： 因为图钉的构造不是对称的，其重心偏向一侧，所以落地时“钉尖朝上”和“钉帽朝上”两种结果发生的可能性不相等，因此“钉尖朝上”的概率不是，故该观点不正确． 10．某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 优秀数量 优秀频率 (1)填空：_______，_______ (2)估计该市学生作业优秀的概率．（精确到） 【答案】(1)， (2)估计该市学生作业优秀的概率为 【分析】本题考查频数与频率的关系，用频率估计概率，理解“大量重复试验中，频率会稳定在概率附近”是解题关键． （1）根据“优秀频率优秀数量抽取作业数量”的关系式，代入已知的抽取数量、优秀频率计算；代入已知的优秀数量、抽取数量计算； （2）观察表格，可知当抽取作业数量增大时，优秀频率逐渐稳定在附近，利用“大量重复试验中，频率稳定在概率附近”的规律，可得出该市学生作业优秀的概率． 【详解】（1）解：优秀的频率公式为，当，频率为， ， ； 当时，， ． 答：，． （2）解：观察图表可知，当抽取作业的数量逐渐增大时，优秀频率稳定在附近，则可估计该市学生作业优秀的概率为． 答：估计该市学生作业优秀的概率为． 11．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 100 400 500 1000 1500 2000 指针转到红色区域的次数 37 126 160 331 498 667 (1)下列说法正确的是______（填写序号）． ①从表格中数据可知，转动转盘100次已经有37次指针落在红色区域．那么转盘转动第101次，指针一定不会落在红色区域． ②转动转盘10次，指针指向蓝色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数． ③转动转盘60次，指针指向蓝色区域的次数一定为20． (2)求随机转动转盘“指针指向红色区域”的可能性大小． (3)请你用红、黄、绿三种颜色设计一个转盘，使得转动后指针指向黄色区域的可能性大小是．画出你设计的转盘（画一种情况即可）． 【答案】(1)② (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：可能性的大小=所求情况数与总情况数之比． （1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案； （2）由于转盘分成了6个面积相等的扇形区域，其中红色部分有2个，即可求解可能性大小； （3）画出黄色区域占了整个圆的即可． 【详解】（1）解：①从表格中数据可知，转动转盘100次已经有37次指针落在红色区域．那么转盘转动第101次，指针不一定会落在红色区域，故原说法错误； ②转动转盘10次，指针指向蓝色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数，说法正确； ③转动转盘60次，指针指向蓝色区域的次数不一定为20，故原说法错误； 故答案为：②； （2）解：自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域，其中红色部分有2个， ∴随机转动转盘“指针指向红色区域”的可能性大小为； （3）解：转盘如图： ∵黄色区域占了整个圆的， ∴指针指向黄色区域的可能性大小是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $