精品解析：青海省西宁市2025-2026学年九年级上学期期末调研数学试卷

西宁市2025—2026学年第一学期末调研测试卷 九 年 级 数 学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键． 根据一元二次方程定义（只含一个未知数且最高次数为2的整式方程），判断各选项． 【详解】解：∵ 一元二次方程需满足：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2， 对于A： 是整式方程，只含未知数x，且最高次数为2，符合定义， 对于B： 含有两个未知数x和y，不是一元方程， 对于C： 含有分式，不是整式方程， 对于D： 化简后为 ，是一元一次方程，最高次数为1， ∴ 只有A是一元二次方程． 故选：A． 2. 小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸10次，每次摸到的都是黄球，下面说法中正确的是（ ） A. 他第11次摸到一定还是黄球 B. 他第11次摸到的可能还是黄球 C. 盒子里一定都是黄球 D. 盒子里一定还有其它颜色的球 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了可能性．根据题意，小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸10次，每次摸到的都是黄球，说明盒子里有黄球，也可能有其它颜色的球，他第11次摸到的可能还是黄球，也可能不是黄球． 【详解】解：．他第11次摸到的不一定还是黄球，故该选项不符合题意； ．他第11次摸到的可能还是黄球，故该选项符合题意； ．盒子里不一定都是黄球 ，故该选项不符合题意； ．盒子里不一定还有其它颜色的球．，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 如图，是的直径，A，C在圆上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键． 由是⊙O的直径，得到，再根据及与互余即可求解． 【详解】解：∵是⊙O的直径， ∴， ∵， ∴（同弧所对的圆周角相等）， ． 故选：C． 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则a满足（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的定义以及根的判别式解答即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且． 故选 C． 5. 某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下．该抛物线的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质，形状相同则二次项系数绝对值相等，开口向下则系数为负，顶点代入顶点式解答即可． 【详解】解：∵抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下． ∴该抛物线的函数表达式为． 故选：C． 6. 某停车场的平面示意图如图所示，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等，停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 所有停车位合在一起，可得到一个矩形，用x表示出这个矩形长与宽，即可根据停车位的面积列出方程． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为x米， ∵停车场的长为40米，宽为19米， ∴所有停车位合在一起，可得到一个矩形，这个矩形的长为米，宽为米， ∴可列方程为， 故选：A． 7. 若，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，由 得 ，代入 得到 ，利用配方法可得，即得，据此即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 可能取值为， 故选：． 8. 抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … 根据表格提供的信息，有如下结论：①抛物线的对称轴是直线；②抛物线的开口向下；③方程 的两根为0和2；④当或时，；⑤当时，．其中所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ②③⑤ C. ③④ D. ③④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格数据，利用待定系数法求出抛物线解析式，再根据二次函数的性质判断各结论的正确性． 本题考查的是二次函数的基本性质，涉及函数与坐标轴的交点、对称轴等，确定函数的对称轴是解题关键． 【详解】解：∵ 当 时，， ∴ ，抛物线为 ． 代入点 ： ⇒ ． 代入点 ： ⇒ ． 联立方程： 解得 ，， ∴ 抛物线为 ． 验证点 ：，符合． 点 ：， ∴ ． ① 对称轴 ，不是 ，错误． ② ，开口向上，错误． ③ 方程 ⇒ ，根为 和 ，正确． ④ ，当 或 时，，正确． ⑤ 对称轴 ，开口向上，当 时函数递增， ∴ 当 时，，正确． ∴ 正确结论为③④⑤． 故选： D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．） 9. 点关于原点对称的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点关于原点对称的特点，掌握关于原点对称点的特点求解是关键． 根据点关于原点对称点的特点“点的坐标与对称点的坐标中：横、纵坐标均为相反数”即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为： ． 10. 方程的根为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直接开平方法解一元二次方程，解题关键是将方程化为的形式，再利用平方根的定义求解． 将方程两边除以2后开平方求解． 【详解】方程 ，两边同时除以2，得 ，开平方，得 ， 故答案为 ． 11. 在如图所示的正方形和圆形组成的盘面上投掷飞镖，飞镖落在阴影区域的概率是______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】用阴影部分的面积除以总面积即可求得飞镖落在阴影部分的概率． 【详解】解：∵观察发现阴影部分占所有面积的， ∴飞镖落在阴影区域的概率是； 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了几何概率，求出其他部分面积与总面积的比值是解题关键． 12. 如图，点A，B，C都在上，，则的度数是________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查圆周角与圆心角的关系、圆内接四边形性质，掌握这些是本题解题关键．利用圆周角作为桥梁间接求出的度数，即可求解． 【详解】解：如图，在圆上取一点E，连接， ∵， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴与互补， ∴， ∴ 故答案为：． 13. 如图，中，，，以点为旋转中心，把顺时针旋转得到，且点恰好落在边上，则旋转角的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的运用，掌握旋转的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理可得的度数，根据旋转的性质，可得，，得到，最后根据三角形内角和即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 绕点旋转得到， ，， ， 在中，， 旋转角的度数为． 故答案为：． 14. 在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是______． 【答案】． 【解析】 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯泡L1发光的有2种情况，∴能让灯泡L1发光的概率为：=．故答案为． 点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比 15. 如图，正六边形的边长为6，点B，F在上，若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面圆的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥底面半径，正多边形和圆的综合，求弧长等知识点，解题关键是熟练掌握以上知识点． 根据正六边形的外角和，即可求得内角的度数，进而根据边长等于圆的半径，根据弧长公式求得弧的长，再根据底面圆的周长求得底面圆的半径． 【详解】解：∵正六边形的边长为6， ∴，， ∴弧的长为：， ∵图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图， ∴弧的长即为圆锥底面的周长， 设圆锥底面圆的半径为，则， 解得：， 故答案为：2． 16. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后滑行___________才能停下来． 【答案】600 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．将函数解析式写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案． 飞机停下来时滑行距离最大，即求二次函数的最大值． 【详解】解： ， 当时，取最大值． 即飞机着陆后滑行才能停下来． 故答案为：600． 17. 在半径为的中，弦，点在弦上，且，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】作OC⊥AB于点C，根据垂径定理求出OC的长，根据勾股定理求出PC的长，分当点P在线段AC上和当点P在线段BC上两种情况计算即可． 【详解】作OC⊥AB于点C， ∴AC=AB=16， OC==12，又OP=15， ∴PC==9， 当点P在线段AC上时，AP=16−9=7， 当点P在线段BC上时，AP=16+9=25. 故选7或25. 【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，解题的关键是熟练的掌握垂径定理的相关知识点. 18. 如图，是的直径，，点是半圆上靠近点的一个三等分点，点 是 的中点，点 是直径上的一个动点，则 的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，圆周角定理，勾股定理，准确添加辅助线是解题的关键． 作点关于的对称点，连接，，判断出 的最小值为的长度，结合弧长的比例关系，得出，结合勾股定理可求解出答案． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，，如下图所示： ∵根据轴对称的性质，可得， 故 的最小值为的长度， ∵是半圆上靠近点的一个三等分点， ∴， ∵点是 的中点， ∴是半圆的， ∴也是半圆的， ∴， ∴，且， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共56分．第19、20题每小题5分，第21、22 题每小题6分，第23、24、25题每小题8分，第26题10分．解答题必须写出必要的文字说明、演算．） 19. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．利用因式分解法解答即可． 【详解】解： 解得，． 20. 有A，B，C三张大小、形状完全相同的卡片，上面分别画有圆、矩形、直角三角形．从中任意抽取一张，记下图形的名称后放回、搅匀，再任意抽取一张． （1）用画树状图或列表的方法表示两次抽取卡片所有可能出现的结果； （2）求两次抽取的卡片上的图形都是中心对称图形的概率． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率，中心对称图形的识别等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据题意列出表格，再得出所有可能结果数； （2）根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：列表如下： 第一次 圆 矩形 直角三角形 圆 （圆，圆） （圆，矩形） （圆，直角三角形） 矩形 （矩形，圆） （矩形，矩形） （矩形，直角三角形） 直角三角形 （直角三角形，圆） （直角三角形，矩形） （直角三角形，直角三角形） 共有9种等可能结果； 【小问2详解】 解：因为共有9种等可能结果，其中中心对称图形为圆、矩形，符合条件的结果有4种， 所以两次抽取的卡片上的图形都是中心对称图形的概率为． 21. 如图，已知和外一点P．求作射线，，使，分别与相切于点A，B． 作法：①连接；②分别以点O，P 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；③作直线，交于点 C；④以点C为圆心，的长为半径作圆，交于A，B两点；⑤作射线，．则射线，与分别相切于点A，B． （1）请根据上述作法在图9中完成尺规作图； （2）请根据作图过程证明，是的切线； （3）若，的半径为5，请直接写出，的长． 【答案】（1）图见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据作法作出图形即可； （2）根据切线的判定证明； （3）先证明，再利用30度角的三角函数求解即可． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 证明：连接，， ∵以为圆心长为半径，交于，两点，是直径， ∴， ∵与是的半径， ∴与是的切线； 小问3详解】 解：∵与是的切线， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），证明某直线是圆的切线，应用切线长定理求解，过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 22. 二次函数的图象经过三点． （1）求这个二次函数的解析式，对称轴及顶点坐标； （2）若将此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位，图象恰好经过点，则 ． 【答案】（1），对称轴为直线，顶点坐标为 （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，顶点坐标，平移的规律： （1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可求解； （2）根据抛物线平移的性质可得平移后的图象的解析式，再把点代入，即可求解． 小问1详解】 解：设这个二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过三点， ∴， 解得：， ∴这个二次函数的解析式为， ∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵将此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位， ∴平移后的二次函数的解析式为， ∵平移后的图象恰好经过点， ∴， 解得：． 故答案为：2 23. 如图，是的直径，与相切于点B，与相交于点D，连接 并延长与 相交于点 E，点 F 为 的中点，连接，． （1）求 的半径； （2）判断 与 的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）1 （2）相切，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）由圆周角定理得出,由直角三角形可知,根据等腰三角形和角度关系可知相切． 本题考查了勾股定理，圆周角定理，等腰三角形以及直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解题关键． 【小问1详解】 解：设半径为， ， 即， 解得 故 的半径为：1． 【小问2详解】 连接, ∵是直径， ∴， ∵F是中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴FD是的切线 故答案为：FD是的切线． 24. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1）日平均增长率为 （2）每个玩偶降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 25. 如图，二次函数的图象经过点，，点P是第一象限函数图象上的一个动点，过点P作x轴的平行线与直线l：交于点Q． （1）求二次函数的解析式； （2）求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）由题意可设，则有，然后可得，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：把点，代入二次函数得： ，解得：， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意可设， 由过点P作x轴的平行线与直线l：交于点Q，可知， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为4． 26. 综合与实践 某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题： 如图1，P是等边内一点，，，，求的长． 【思考探究】 （1）经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法： 将绕点A顺时针方向旋转，得到，连接， 则， ∴，，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， （请将上面求解过程补充完整） 【理解应用】 （2）如图2，在中，，，P是内一点，，判断，，之间的数量关系，并说明理由； 【类比迁移】 （3）如图3，小李家有一块三角形的空地，，，小李家位于空地旁的P点，通过测量知道：，，，请直接写出的长． 【答案】（1）5；（2）；（3）的长为 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质得出，从而可得，，，再说明是等边三角形，从而可得，，然后说明，再利用勾股定理求得； （2）作，且，连接，则，再证明，根据全等三角形的性质得出，，从而可得，，再求得，然后利用勾股定理得到，再说明，代入可得，从而可得； （3）将绕点B顺时针旋转，得到，连接，根据旋转可知： ，，，，从而可得是等腰直角三角形，于是有，，再说明是直角三角形，从而可利用勾股定理求得． 【详解】（1）解：将绕点A顺时针方向旋转，得到，连接， 则， ∴，，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：， 理由：作，且，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，将绕点C顺时针旋转，得到，连接， 由旋转可知： ，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴点在线段上， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），等边三角形的判定和性质，用勾股定理解三角形，根据旋转的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁市2025—2026学年第一学期末调研测试卷 九 年 级 数 学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸10次，每次摸到的都是黄球，下面说法中正确的是（ ） A. 他第11次摸到的一定还是黄球 B. 他第11次摸到的可能还是黄球 C. 盒子里一定都是黄球 D. 盒子里一定还有其它颜色的球 3. 如图，是的直径，A，C在圆上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x一元二次方程有实数根，则a满足（　　） A. B. C. 且 D. 且 5. 某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下．该抛物线的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 6. 某停车场的平面示意图如图所示，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等，停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意列方程为（　　） A. B. C. D. 7. 若，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … 根据表格提供的信息，有如下结论：①抛物线的对称轴是直线；②抛物线的开口向下；③方程 的两根为0和2；④当或时，；⑤当时，．其中所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ②③⑤ C. ③④ D. ③④⑤ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．） 9. 点关于原点对称的点的坐标为________． 10. 方程的根为________． 11. 在如图所示正方形和圆形组成的盘面上投掷飞镖，飞镖落在阴影区域的概率是______． 12. 如图，点A，B，C都在上，，则的度数是________． 13. 如图，中，，，以点为旋转中心，把顺时针旋转得到，且点恰好落在边上，则旋转角的度数为________． 14. 在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是______． 15. 如图，正六边形的边长为6，点B，F在上，若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面圆的半径为________． 16. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后滑行___________才能停下来． 17. 在半径为的中，弦，点在弦上，且，则________． 18. 如图，是的直径，，点是半圆上靠近点的一个三等分点，点 是 的中点，点 是直径上的一个动点，则 的最小值是________． 三、解答题（本大题共8小题，共56分．第19、20题每小题5分，第21、22 题每小题6分，第23、24、25题每小题8分，第26题10分．解答题必须写出必要的文字说明、演算．） 19. 解方程： 20. 有A，B，C三张大小、形状完全相同的卡片，上面分别画有圆、矩形、直角三角形．从中任意抽取一张，记下图形的名称后放回、搅匀，再任意抽取一张． （1）用画树状图或列表的方法表示两次抽取卡片所有可能出现的结果； （2）求两次抽取的卡片上的图形都是中心对称图形的概率． 21. 如图，已知和外一点P．求作射线，，使，分别与相切于点A，B． 作法：①连接；②分别以点O，P 为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；③作直线，交于点 C；④以点C为圆心，的长为半径作圆，交于A，B两点；⑤作射线，．则射线，与分别相切于点A，B． （1）请根据上述作法在图9中完成尺规作图； （2）请根据作图过程证明，是的切线； （3）若，的半径为5，请直接写出，的长． 22. 二次函数的图象经过三点． （1）求这个二次函数的解析式，对称轴及顶点坐标； （2）若将此二次函数图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位，图象恰好经过点，则 ． 23. 如图，是的直径，与相切于点B，与相交于点D，连接 并延长与 相交于点 E，点 F 为 的中点，连接，． （1）求 的半径； （2）判断 与 的位置关系，并说明理由． 24. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 25. 如图，二次函数的图象经过点，，点P是第一象限函数图象上的一个动点，过点P作x轴的平行线与直线l：交于点Q． （1）求二次函数的解析式； （2）求的最大值． 26. 综合与实践 某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题： 如图1，P是等边内一点，，，，求的长． 【思考探究】 （1）经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法： 将绕点A顺时针方向旋转，得到，连接， 则， ∴，，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， （请将上面求解过程补充完整） 【理解应用】 （2）如图2，在中，，，P是内一点，，判断，，之间的数量关系，并说明理由； 类比迁移】 （3）如图3，小李家有一块三角形的空地，，，小李家位于空地旁的P点，通过测量知道：，，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $