圆：垂径定理、圆周角定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练-2025-2026学年 人教版九年级数学上册

圆：垂径定理、圆周角定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 圆：垂径定理、圆周角定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 考点目录 垂径定理 圆周角定理 正多边形与圆 切线的证明 考点一 垂径定理 例1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为4米，宽为米．一辆卡车宽为米，若该卡车要通过该隧道，则它的高必须低于（   ） A．米 B．米 C．4米 D．米 例2．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题．如图，为的直径，弦于点E，，，则的长是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 例3．（25-26九年级上·吉林·期末）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：如图，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸），直径于点．则这根圆柱形木材的直径的长为 寸． 例4．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，一个隧道的横截面是以O为圆心的圆的一部分，路面，高，则此圆的半径长为 ． 变式1．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管件的直径为，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽为，则水的最大深度为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）如图是一个规格，球外径为的烧瓶正加热某种液体，在忽略烧瓶壁厚度的情况下，用弦表示球内液体液面的横截面，弦所在圆的圆心为，且弦时，液面深度为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·北京大兴·期末）如图，在中，点在弦上，半径，，若，，则的面积为 ． 变式4．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为 ． 考点二 圆周角定理 例1．（25-26九年级上·北京西城·期末）如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·北京昌平·期末）如图，是的直径，，是上两点，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·河南漯河·月考）如图，是上的点，若，则的度数是 度． 例4．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，的半径为2，点A为上一点，半径弦于D，如果，那么的长是 ． 变式1．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，是的外接圆，外角的度数为，则的度数为（  ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，是的外接圆，连接，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，四边形是的内接四边形，为延长线上一点．若，则的度数是 ． 变式4．（25-26九年级上·福建厦门·月考）如图，的半径OC垂直于弦，D是优弧上的一点（不与点A，B重合），若，则等于 ． 考点三 正多边形与圆 例1．（25-26九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，有一个亭子，它的地基是正六边形，其外接圆的半径为，则该亭子地基的面积为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·天津津南·月考）如图，正六边形的中心为原点，顶点，在轴上，半径为4，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·河北邯郸·月考）如图，四边形是的内接正方形，若是上一点，则 °． 例4．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，已知的半径等于，则圆内接正六边形的边心距的长等于 ． 变式1．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，从蜂巢的入口看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的中心角为 度． 变式2．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图是“停车让行”标志，其形状为正八边形，则正八边形的中心角的大小是 度． 变式3．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期末）正六边形蜂巢的建筑结构密实度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形，则的长为（    ） A．12 B． C． D． 变式4．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，正六边形内接于，若的面积为，则的半径为（    ） A． B． C． D． 考点四 切线的证明 例1．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，是的直径，，． (1)求证：是的切线． (2)若，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留） 例2．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，与相切于点，经过上的点，交于点，，是的直径． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 例3．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，是的直径，是的弦，点M是外一点，过点C作的切线，交的延长线于点N，连接，． (1)求证：是的切线； (2)点D是的中点，连接，若，，求的长． 例4．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，是的直径，是的弦，是劣弧上一点，且平分，过点作的垂线，垂足为延长线上的点，延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，的半径为，求阴影部分的面积． 变式1．（25-26九年级上·四川凉山·期末）如图，四边形内接于，为的直径，过点作交的延长线于点，延长，交于点，． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径和四边形的面积． 变式2．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接，，，且． (1)求证：为的切线； (2)延长与的延长线交于点D．若，，求阴影部分的面积． 变式3．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，是的外接圆，是的直径，点是上的点，点为的中点.连接，延长到点，且有． (1)求证：是的切线； (2)若点为的中点，，求的长． 变式4．（25-26九年级上·吉林延边·期末）如图，内接于，为的直径，点在的延长线上，连接，使． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径． 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆：垂径定理、圆周角定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 圆：垂径定理、圆周角定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 考点目录 垂径定理 圆周角定理 正多边形与圆 切线的证明 考点一 垂径定理 例1.(25-26八年级上广东深圳期中)如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为4米，宽 为2.5米.一辆卡车宽为2.4米，若该卡车要通过该隧道，则它的高必须低于() O D 2.5米 H 4米 A.3.8米 B.3.9米 C.4米 D.4.1米 【答案】D 【详解】解：如图，作弦CM∥AB,且CM=2.4米，ON⊥CM于N交EF于点G, M D B CN=-CM=1.2米， ) 2.5米 G H EK 4米 :四边形ABFE是长方形，长方形的长为4米， AE=0G=2.5,0C=A0=)AB=2米 .0N=V0C2-NC2=V22-1.22=1.6米， NG=0N+0G=1.6+2.5=4.1米， 故选：D. 例2.(25-26九年级上·甘肃庆阳·期末)《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾 股定理篇记载的圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题.如图，CD为O0的直径，弦AB⊥CD于点E, 1 圆：垂径定理、圆周角定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 ED=4,AB=16,则OE的长是() 0 A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】A 【详解】解：连接OA,设⊙0的半径是， A E D B OD⊥AB, .AE =BE =8, OA2=OE2+AE2, r2=(r-42+82, r=10, ∴0E=r-4=10-4=6, 故选：A. 例3.(25-26九年级上·吉林期末)我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆 材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”意思是：如图，今有一圆柱形木材，埋在 墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深DE=1寸，锯道长AB=1尺(1尺=10寸)，直径CD⊥AB于点E.则 这根圆柱形木材的直径CD的长为寸. A D B 【答案】26 【详解】解：连接A0, 圆：垂径定理、圆周角定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 由题可知OE⊥AB, 0D为00半径， AE=BE=AB=尺=5寸， 2 2 设0A=OD=r, ED=1, 0E=r-1, 在Rt△OAE中， 由勾股定理得(r-12+52=r2, 解得r=13, 这根圆柱形木材的直径CD长为26寸. 故答案为：26 例4.(25-26九年级上山西晋中期末)如图，一个隧道的横截面是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=6m,高 CD=8m,则此圆的半径长为m. 4 【答案】 16 【详解】解：如下图，连接OA, 根据题意，可知CD⊥AB, 圆：垂径定理、圆周角定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 AB =6m,CD=8 m :.AD =-AB =3m, 2 设此圆的半径长为m,则0A=0C=rm, ..OD=CD-OC=(8-r)m, ∴在Rt△0AD中，可有0D2+AD2=0A2, 8-r+32=r2,解得=73m m, 16 即此圆的半径长为 m. 16 故答案为：16 3 变式1.(25-26九年级上·内蒙古通辽·期末)一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管件的直径为10cm,管内存有 些水（阴影部分），测得水面宽AB为8cm,则水的最大深度CD为() B D A.Icm B.2cm C.5cm D.8cm 【答案】B 【详解】解：如图，连接OB, 由垂径定理得，BC= AB=4cm, 2 ~管件的直径为10cm, 1 OD=OB=二×10=5cm, 2 由勾股定理得0C=V0B2-BC2=√25-16=3cm, ∴CD=0D-0C=5-3=2cm, 故选：B. 变式2.(25-26九年级上·辽宁盘锦·期末)如图是一个规格3000ml,球外径为200mm的烧瓶正加热某种液体，在忽 圆：垂径定理、圆周角定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 略烧瓶壁厚度的情况下，用弦AB表示球内液体液面的横截面，弦AB所在圆的圆心为O,且弦AB=I60mm时，液 面深度CD为() D A.120mm B.80mm C.60mm D.40mm 【答案】D 【详解】解：很据题意，得01=00-200=10(mm,0C上48， ∴0C=√OA2-AC2=V1002-802=60(mm, CD=0D-0C=100-60=40(mm, 即液面深度CD为40mm, 故选：D. 变式3.(25-26九年级上北京大兴期末)如图，在⊙0中，点C在弦BD上，半径0A∥BD,AC∥0D,若 BC=2,AC=4,则ABC的面积为」 【答案】√万 【详解】解：过点O作OE⊥BD于点E,如图所示： D CE :.BE DE=-BD, 2 OA∥BD,AC∥OD, 圆：垂径定理、圆周角定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 四边形OACD是平行四边形， 0A=0D, 四边形OACD是菱形， 0A=0D=AC=CD=4, BC=2, :BD=BC+CD=6, DE=3, ∴0E=V0D2-DE2=V万， 5。c=5x2x万=V万； 2 故答案为√万. 变式4.(25-26九年级上江苏苏州·月考)如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5Cm,瓶内液体已经过半， 最大深度CD=8cm,则截面圆中弦AB的长为 cm D 【答案】8 【详解】解：连接AO,如下图： D ~CD=8cm,球的半径为5cm, ∴A0=5cm,CO=3cm,由题意可得CD⊥AB,结合垂径定理，点C为AB的中点， 结合勾股定理得AC=√A02-C02=4cm, 则AB=2AC=8cm, 故答案为：8 6 圆：垂径定理、圆周角定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 考点二 圆周角定理 例1.(25-26九年级上北京西城期末)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，若∠BCD=132°，则∠BOD的 大小为() B D A A.96° B.90° C.76° D.48° 【答案】A 【详解】解：~四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∠A=180°-∠BCD=48°， BD=BD, .∠B0D=2∠A=96°， 故选：A. 例2.(25-26九年级上北京昌平期末)如图，AB是⊙0的直径，C,D是O0上两点，若AC=CD, ∠C0D=70°，则∠ABC的度数是() A.35° B.55° C.70° D.140° 【答案】A 【详解】解：AC=CD, ∠A0C=∠C0D=70°， Ac=Ac ∠4BC=∠40C=x70°=35°. 故选：A. > 圆：垂径定理、圆周角定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 例3.(25-26九年级上河南漯河月考)如图，A,C,B是⊙0上的点，若∠A0B=130°，则∠ACB的度数是度。 B 【答案】115 【详解】解在优弧AB上任意找一点D,连接AD,BD B ∠A0B=130°， A∠ADB=1∠A0B=650 2 ,∠ADB+∠ACB=180°， ACB=115°. 故答案为：115 例4.(25-26九年级上·四川泸州期中)如图，⊙0的半径为2，点A为⊙0上一点，半径0D1弦BC于D,如果 ∠BAC=60°，那么0D的长是」 B 【答案】1 【详解】解：LBAC=60°， ∠B0C=2∠BAC=120°， 0D⊥弦BC,OB=0C, ∴L0DC=90°，LC0D=LB0D=60°， .∠0CD=30°， 圆：垂径定理、圆周角定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 :0D=10C=x2=l, 2 2 故答案为：1. 变式1.(25-26九年级上·江苏南通期中)如图，⊙0是ABC的外接圆，外角∠CBE的度数为50°，则∠A0C的 度数为() A B E A.50° B.80° C.100° D.130° 【答案】C 【详解】解：如图，在优弧ADC上取一点D,连接AD,CD, D A B E ∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠CBE=180°， ∠D=∠CBE=50°， .∠A0C=2∠D=100°， 故选：C. 变式2.(25-26九年级上安徽合肥月考)如图，⊙0是ABC的外接圆，连接0A,OB,∠A0B=84°，则∠C的 度数为() A.42° B.48° C.40° D.84° 【答案】A 圆：垂径定理、圆周角定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 【详解】解：AB=AB,LA0B=84°， :∠C-40B=×84=42， 1 故选：A. 变式3.(25-26九年级上辽宁大连·期末)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，E为AD延长线上一点.若 ∠CDE=58°，则∠AOC的度数是」 B 【答案】116 【详解】解：~四边形ABCD是OO的内接四边形，E为AD延长线上一点.∠CDE=58°， :∠B+∠ADC=180°，∠CDE+∠ADC=180° ∴∠B=∠CDE=58° ∠A0C=2∠B=116° 故答案为：116. 变式4.(25-26九年级上福建厦门月考)如图，O0的半径OC垂直于弦AB,D是优弧AB上的一点（不与点A, B重合)，若LB0C=50°，则∠ADC等于 D 【答案】25°/25度 【详解】解：连接OA, D 00的半径0C垂直于弦AB,∠B0C=50°， B LB0C=LA0C=50°， :.∠ADC= ∠A0C=25°. 10