第二十四章 圆回归教材系列之教材重点例题与习题 2025～2026学年人教版九年级数学上册

回归教材系列 2025～2026学年人教版九年级上册数学回归教材系列 ——教材重点例题与习题 范围：人教版九年级上册数学第二十四章 圆 1.如图，的直径，是的弦，，垂足为，，则的长为． A.   B. C. D. 2.如图，，分别与相切于，两点，，则． A. B. C. D. 3.一个圆锥的侧面积是底面积的倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是． A. B. C. D. 4.填空： 的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是          ； 一个扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角是          ； 用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为          ． 5.如图，在半径为的中，弦长求： 的度数； 点到的距离． 6.如图，中，，求的度数． 7.如图，中，，求的度数． 8.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，求的半径． 9.如图，，是的两条平行弦，是的垂直平分线．求证：垂直平分． 10.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心．，是上一点，，垂足为，求这段弯路的半径． 11.如图，，是上的两点，，是的中点．求证：四边形是菱形． 12.如图，，，，是上的四个点，判断的形状，并证明你的结论． 13.如图，和分别是上的两条弦，圆心到它们的距离分别是和如果，和的大小有什么关系？为什么？ 14.赵州桥图是我国隋代建造的石拱桥，距今约有年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度弧所对的弦的长为，拱高弧的中点到弦的距离为，求赵州桥主桥拱的半径结果保留小数点后一位． 15.如图，在中，，求证：． 16.如图，的直径为，弦为，的平分线交于点，求，，的长． 17.如图，，是的两条弦． 如果，那么          ，          ． 如果，那么          ，          ． 如果，那么          ，          ． 如果，，，垂足分别为，，与相等吗？为什么？ 18. 如图，，，都是的半径，求证：． 19.如图，四边形内接于，为延长线上一点．若，求的度数． 20.一根钢管放在Ⅴ形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是． 如果，是多少？ 如果，是多少？ 21.如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，点为切点．求证：． 22.如图，，是的切线，，为切点，是的直径，求的度数． 23.如图，，，分别与相切于，，三点，且，，求的长． 24.如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为求证：平分． 25.如图，等圆和相交于，两点，经过的圆心求的度数． 26.如图，中，，，，的长分别为，，求的内切圆半径． 27. 如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点求证：是的切线． 28.如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，求，，的长． 29.如图，是的直径，直线，是的切线，，是切点．，有怎样的位置关系？证明你的结论． 30.完成下表中有关正多边形的计算： 正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 31.如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形，求地基的周长和面积结果保留小数点后一位． 32.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面高求截面上有水部分的面积结果保留小数点后两位． 33.制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示的管道的展直长度结果取整数． 34.蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如果想用毛毡搭建个底面积为，高为，外围高的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡取，结果取整数？ 35.如图是一段弯形管道，其中，，中心线的两条圆弧半径都为求图中管道的展直长度取． 36.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，扇面的长为求扇面的面积． 37.如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，求被剪掉的部分的面积；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是多少？ 38.如图，正三角形的边长为，，，分别为，，的中点，以，，三点为圆心，长为半径作圆．求图中阴影部分的面积． 39.如图，，，分别是半径，的中点．求证：． 40.如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点求证：． 41.如图，的直径，和是它的两条切线，与相切于点，并与，分别相交于，两点．设，，求关于的函数解析式，并试着画出它的图象． 42.如图，等腰三角形的顶角和底边相切于的中点，并与两腰，分别相交于，，，四点，其中，分别是两腰，的中点．求证：五边形是正五边形． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：如图所示，连接 的直径， 则的半径为， 即， 又：：， 所以， ，垂足为， ， 在中，， 故选 2.【答案】  【解析】连接，图略， 则，． ，． ． 3.【答案】  【解析】设圆锥底面圆半径为，则圆锥的侧面展开图的弧长和面积分别为，设母线的长为，扇形的圆心角为，则，． 4.【答案】【小题】 【小题】   【小题】     【解析】  设此弧所在圆的半径是，由弧长公式，得，解得．   设扇形的半径为由扇形的面积公式得，． 设扇形的圆心角为，由弧长公式得，．   扇形的弧长为． 设圆锥底面圆的半径为，则， 解得． 5.【答案】【小题】， 是正三角形． 【小题】 如图所示，过点作于点，则， ．   6.【答案】解：，． ． 7.【答案】解：中，， ， ．  8.【答案】解：如图所示，设的半径为，连接 点为的中点，， ，． 在中，，，即， 解得．的半径为  9.【答案】证明：如图，连接，，，，为等腰三角形． 由等腰三角形的“三线合一”知，过圆心． 是的垂直平分线， ， ． ，垂直平分．  10.【答案】解：为弦，，． ， 解得．． 答：这段弯路的半径是．．  11.【答案】证明：如图，连接． 是的中点， ， ，． 又， ． ， 和都是等边三角形． ， 四边形是菱形．  12.【答案】解：是等边三角形． 证明如下： ， ，． 是等边三角形  13.【答案】解：理由如下： 如图所示，连接，，设的半径为，则， ，．   14.【答案】解：如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为，半径为． 经过圆心作弦的垂线，为垂足，与相交于点，连接根据垂径定理，是的中点，是的中点，就是拱高． 由题设可知 ，， 所以 ， ． 在中，由勾股定理，得 ， 即 ． 解得 ． 因此，赵州桥的主桥拱半径约为． 15.【答案】证明：， ，是等腰三角形． 又， 是等边三角形，． ． 16.【答案】解：如图，连接． 是直径， ． 在中， ． 平分， ， ． ． 又在中，， ． 17.【答案】【小题】 【小题】   【小题】 【小题】  相等，理由： ，， 由垂径定理，得 ，． 又，． 在和中， ， ． 18.【答案】证明：由圆周角定理，知，． ，，   19.【答案】解：四边形内接于， ． ，，   20.【答案】【小题】解：由题意得，，分别与相切于点，， ，． ，， ． 【小题】，，． 21.【答案】证明：如图所示，连接． 为小的切线，． 又为大的弦，．  22.【答案】解：，为的切线， ，． ． 又， ．   23.【答案】解：，，分别与相切于，，三点， ，． ，， ，． 在中，利用勾股定理可得 ．  24.【答案】证明：连接，如图， 为的切线， ， ， ， ， ， ， ， 平分．  25.【答案】解：如图所示，连接，，， 和是等圆，且经过的圆心， ， ，．  26.【答案】解：设，，分别为与三条边的切点，如图所示，连接，，． 是的内切圆，，，． 在四边形中，， 四边形是矩形， 又，四边形是正方形， ，， 又，， 即，．  27.【答案】证明：如图，过点作，垂足为，连接，． 与相切于点， ． 又为等腰三角形，是底边的中点， 是的平分线． ，即是的半径． 这样，经过的半径的外端，并且垂直于半径，所以与相切． 28.【答案】解：设，则 ， ， ． 由，可得 ． 解得 ． 因此 ，，．   29.【答案】解：证明如下： 是的切线，同理，． ，，三点在同一直线上， ，   30.【答案】 正多边 形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 31.【答案】解：如图，连接，因为六边形是正六边形，所以它的中心角等于，是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径． 因此，亭子地基的周长． 正边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？ 作，垂足为在中，，，利用勾股定理，可得边心距 ． 亭子地基的面积 ． 32.【答案】解：如图，连接，，作弦的垂直平分线，垂足为，交于点，连接． ，， ． ． 又， 是线段的垂直平分线． ． 从而，． 有水部分的面积 33.【答案】解：由弧长公式，得的长 ． 因此所要求的展直长度 ． 34.【答案】解：图是一个蒙古包的示意图． 根据题意，下部圆柱的底面积为，高；上部圆锥的高． 圆柱的底面圆的半径 ， 侧面积为 圆锥的母线长 ， 侧面展开扇形的弧长为 ， 圆锥的侧面积为 ． 因此，搭建个这样的蒙古包至少需要毛毡 35.【答案】解：，展直长度约为． 答：图中管道的展直长度约为． 36.【答案】解：大扇形面积， 小扇形面积， 扇面的面积：． 答：扇面的面积是． 37.【答案】解：如图所示，连接，． ， 是的直径， 即． ， ，， 易知． 由勾股定理得 ， ， ， 故被剪掉的部分的面积为． 设圆锥的底面圆的半径为， 则，所以． 答：被剪掉的部分的面积为，圆锥的底面圆的半径为． 38.【答案】解：如图所示，连接．为正三角形，，，． ， ． ．  39.【答案】证明：如图所示，连接，，． ，． 又，为公共边， ≌， ． 又，分别是，的中点， ， ≌， ． 40.【答案】证明：如图所示，连接． 点是的内心， 是的平分线，是的平分线， ，． ， ， ． 41.【答案】解：如图所示． ，切于点，过点作，垂足为， 则， ，， ． 又，，，分别与相切， ，， 即． 当与不重合时，在中， ， ． 当与重合时亦成立． 图象如图所示． 42.【答案】证明：，分别是，的中点，，， ，且，， ． 如图所示，连接，，． ，分别是，的中点， ． 又， ， ， ． 又， ，， ． 同理，，． ， ， ，，，，为的五等分点， 五边形是正五边形． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$