专题07 圆中的重要模型之辅助线八大模型（几何模型讲义）数学人教版九年级上册

专题07 圆中的重要模型之辅助线八大模型 在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 5 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 7 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 9 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 11 模型5、遇90°的圆周角连直径 13 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 15 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 18 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 21 23 圆中的辅助线模型源于圆的定义、圆的有关性质（如：垂径定理、圆周角与圆心角定理等）、直线与圆的位置关系（如：切线的性质与判定定理）等。圆中的辅助线模型是对圆相关性质定理的升华，可以有助于学生更全面的认识这些性质定理。 （2025·江苏连云港·中考真题）如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ． （2025·江苏无锡·二模）如图，圆是的外接圆，是直径，若，则的度数是（   ）     A． B． C． D． （2025·广东广州·二模）如图，若的半径为，圆心到的距离为，则（ ）． A． B． C． D． （2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求图中阴影部分的面积． 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。 证明：连AO、BO ∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90° 又∵OE=OE，OA=OB ∴△OAE≌△OBE（HL） ∴AE=EB，∴= = 应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，（r=OA，d=OE，a=AB，），在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量。 2）圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即：∠A=∠BOC。 推论1：同弧或等弧所对圆周角相等，即：∠A=∠D； 推论2：半圆（直径）所对的圆周角是90°，即：∠C=90°。 3）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 4）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 5）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。如上图，若PA、PB是O的切线，点A、B为切点，则：①PA=PB；②∠APO=∠BPO；③PO是AB的垂直平分线 6）切线长定理：1）与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 7）内切圆：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。 直角三角形内切圆的半径与三边的关系：设、、分别为中、、的对边，面积为，周长为，则内切圆半径为。特别地，若，则。 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 已知AB是⊙O的一条弦，连接OA、OB，则∠A＝∠B。 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题。 例1（2025··陕西一模）如图，已知△ABC是圆O的内接三角形，AB＝AC，∠ACB＝65°，点C是弧BD的中点，连接CD，则∠ACD的度数是 例2（2025·广东东莞·模拟预测）如图，为的外接圆，半径，垂足为点E，，则的长为（    ） A． B． C．10 D．8 例3（2025·湖南长沙·一模）如图，已知是等边的外接圆，连接并延长交于点，交于点．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。 在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。 例1（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，点是边上一点，以为直径的交于点，将沿翻折恰好经过圆心，若，，则的半径为（    ） A．1 B． C．2 D．4 例2（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，某房屋建筑的棚顶为圆弧形，若该圆弧形棚顶在地面的跨度长为米，该圆弧的半径长为12米，则该屋顶弧的弧长为 米．（结果保留） 例3（2025·河南南阳·二模）如图，正方形内接于，点E为上一点，连接，若，，则阴影部分的面积为 ． 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC，则∠ACB=∠AOB。 例1（2025·浙江·三模）如图，是的内切圆，分别切，，于点D，E，F，，P是上一点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 例2（2025·河南商丘·三模）如图，是的外接圆，，已知的半径的长为，则的长为（    ） A． B．6 C． D．3 例3（2025·吉林·模拟预测）如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点A放在半径为4的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点B，C，则图中的长为 ．（结果保留π） 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。 如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造。 例1（2025·宁夏银川·模拟预测）如图，四边形内接于，是的直径，，点E在上，则 ． 例2（2025·山西·模拟预测）如图，在中，，以为直径的，交于E点，交于D点．若，则劣弧的长为 ． 例3（2025·宁夏·模拟预测）如图，是的弦，半径于点C，为直径，，则线段的长为 ． 模型5、遇90°的圆周角连直径 如图，已知圆周角∠BAC=90o，连接BC，则BC是⊙O的直径。 遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直径。 例2（2022·四川凉山·统考中考真题）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为（    ） A．米2 B．米2 C．米2 D．米2 例3（24-25·陕西渭南·九年级校考期中）如图，正方形内接于，，则阴影部分的面积为 ．（结果保留）    模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 如图，已知直线AB连与圆O相切于点C，连接OC，则OC⊥AB。 A B C O 已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题。 例1（2025·浙江杭州·三模）如图，在中，是直径，是弦，．过点D作的切线，与的延长线相交于点E．若，则等于 ． 例2（2025·宁夏·模拟预测）如图,与相切于点A与弦相交于点C，若，则的长为 ． 例3（2025·河南南阳·二模）如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点C，D，且，连接左右两个绳柄A，B，经过圆心O，分别交于点M，N，经测量，则图中阴影部分的周长为 ． 例4（24-25·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，如图，、分别切于点、，点为优弧上一点，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 证明直线AB是⊙O的切线. A B C O 遇到证明某一直线是圆的切线时： （1）有点连圆心：当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再证 明该直径与直线垂直。如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则直线AB是⊙O的切线． （2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线AB是⊙O的切线． 例1（2025·河南郑州·三模）如图，在中，． （1）实践与操作：点O在线段上，以O为圆心作,恰好过A，C两点，并与线段交于另一点D，小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示，请你用尺规作图：作出点O与点D,并补全.（2）推理与计算：在（1）的条件下，若。①求证：直线是的切线；②若则半径的长度为 。 例2（2025·安徽池州·二模）如图，在中，点A是弧的中点，以、为邻边作平行四边形，延长交于点E，连接． (1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径． 例3（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点． (1)求证：是的切线． 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 当遇到三角形内切圆，连接内心到三角形各顶点，或连接内心到各边切点（或做垂线）。 利用内心的性质可得一内心到三角形三个顶点的连线是各角的平分线，内心到三角形三边的距离相等。 例1（2020·青海·统考中考真题）如图，在中，，，，则的内切圆半径 ． 例2（2023年攀枝花中考数学真题）已知的周长为，其内切圆的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 例3（2023·广东广州·统考中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（    ） A．2r， B．0， C．2r， D．0， 1．（2025江苏中考一模）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，若∠ADC＝125°，则∠BAC的度数是（　　） A．25° B．35° C．45° D．55° 2．（24-25·辽宁九年级期末）如图，在半径为5的⊙O中，、是互相垂直的两条弦，垂足为，且，则的长为（ ） A．3 B．4 C． D． 3．（24-25·哈尔滨市九年级期中）如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与相交于点，则的长为（ ） A．2 B． C．3 D． 4．（2023·四川巴中·统考中考真题）如图，是的外接圆，若，则（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=100o，则∠α度数为（   ） A．160o B．120o C．100o D．80o 6．（24-25·河北·九年级校考阶段练习）如图，已知的直径，则的长为（　　） A．5cm B．5cm C．5cm D．6cm 7．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 8．（24-25·山东·九年级专题练习）如图，为的直径，C为上一点，过点C作的切线交的延长线于点D，连接，若，则的长度为（　　） A． B． C．8 D． 10．（24-25·广东深圳·九年级校考周测）如图，，切于，两点，切于点，交，于，．若的半径为1，的周长等于，则线段的长是（    ）    A． B．3 C． D． 10．（24-25·江苏沭阳初三月考）如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，则的度数是_____． 11．（2025·湖南二模）如图，在中，点C为弧AB的中点，OC交弦AB于D，如果，，那么OD的长为___． 12．（2023年浙江省衢州市中考数学真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于 cm．    13．（24-25黑龙江九年级期末）⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为_______． 14．（24-25广东广州·九年级校考开学考试）如图，在中，弦的长为10，圆周角，则这个圆的直径为 ．    15．（24-25江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，和分别是半圆的直径和弦，且，点是上的点，交于点，垂足为点，且：：，若，则 ． 16．（24-25福建·九年级校考阶段练习）如图，的弦，点E为垂足，，，且则的半径为 ．    17．（24-25秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图，的内切与，，分别相切于点，，，且，的周长为，则的长为 ．    18．（2024·湖北·中考真题）中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点．且．(1)求证：是的切线．(2)连接交于点，若，求弧的长． 19．（2023年四川省攀枝花市中考数学真题）如图，为的直径，如果圆上的点恰使，求证：直线与相切．    20．（24-25·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，是的外接圆，是的直径，． (1)求证：是的切线；(2)若，垂足为交于点；求证：是等腰三角形．      21．（24-25·北京海淀·九年级校考阶段练习）如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． (1)求证：为的切线；(2)若且，求的半径．    22．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）圆O中，弧弧，连接交弦于点C． (1)如图1，求证：；(2)如图2，点E在圆O上，连接，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，过A作，垂足为交于点，求的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆中的重要模型之辅助线八大模型 在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 5 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 7 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 9 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 11 模型5、遇90°的圆周角连直径 13 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 15 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 18 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 21 23 圆中的辅助线模型源于圆的定义、圆的有关性质（如：垂径定理、圆周角与圆心角定理等）、直线与圆的位置关系（如：切线的性质与判定定理）等。圆中的辅助线模型是对圆相关性质定理的升华，可以有助于学生更全面的认识这些性质定理。 （2025·江苏连云港·中考真题）如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，∴，∴劣弧，故答案为：． （2025·江苏无锡·二模）如图，圆是的外接圆，是直径，若，则的度数是（   ）     A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如下图所示，连接，是的直径，， 和所对的弧为，， 在中，，．故选：B． （2025·广东广州·二模）如图，若的半径为，圆心到的距离为，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过作于，， 的半径为，圆心到的距离为，，， ，．故选C． （2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析；(2)． 【详解】（1）解：直线与相切，理由，如图，连接，， ∵直线与相切，∴，∴， 在和中，，∴，∴，∴， ∵是半径，∴直线与相切； （2）解：由（）得，，∴，， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴， ∴． 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。 证明：连AO、BO ∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90° 又∵OE=OE，OA=OB ∴△OAE≌△OBE（HL） ∴AE=EB，∴= = 应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，（r=OA，d=OE，a=AB，），在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量。 2）圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即：∠A=∠BOC。 推论1：同弧或等弧所对圆周角相等，即：∠A=∠D； 推论2：半圆（直径）所对的圆周角是90°，即：∠C=90°。 3）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 4）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 5）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。如上图，若PA、PB是O的切线，点A、B为切点，则：①PA=PB；②∠APO=∠BPO；③PO是AB的垂直平分线 6）切线长定理：1）与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 7）内切圆：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。 直角三角形内切圆的半径与三边的关系：设、、分别为中、、的对边，面积为，周长为，则内切圆半径为。特别地，若，则。 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 已知AB是⊙O的一条弦，连接OA、OB，则∠A＝∠B。 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题。 例1（2025··陕西一模）如图，已知△ABC是圆O的内接三角形，AB＝AC，∠ACB＝65°，点C是弧BD的中点，连接CD，则∠ACD的度数是 【答案】15° 【解析】如图，连接AO，BO，CO，DO， ∵AB＝AC，∠ACB＝65°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴∠BAC＝50°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝130°，∠BOC＝2∠BAC＝100°， ∵点C是弧BD的中点，∴，∴∠BOC＝∠COD＝100°，∴∠AOD＝30°， ∵∠AOD＝2∠ACD，∴∠ACD＝15°． 例2（2025·广东东莞·模拟预测）如图，为的外接圆，半径，垂足为点E，，则的长为（    ） A． B． C．10 D．8 【答案】D 【详解】解：如图，连接， ∵，∴，∵，∴为等腰直角三角形， ∵，∴，∵，∴，故选：D． 例3（2025·湖南长沙·一模）如图，已知是等边的外接圆，连接并延长交于点，交于点．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵为等边三角形，∴，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，由勾股定理得：， ∴，∴，故选：C． 在中，，．故选：B． 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。 在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。 例1（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，点是边上一点，以为直径的交于点，将沿翻折恰好经过圆心，若，，则的半径为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】解：连接，作半径于， ，由题意知：垂直平分，， ，，是圆的直径，， ，，，， ，，， ，，的半径长为．故选：C． 例2（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，某房屋建筑的棚顶为圆弧形，若该圆弧形棚顶在地面的跨度长为米，该圆弧的半径长为12米，则该屋顶弧的弧长为 米．（结果保留） 【答案】 【详解】解：过点O作于点C，交于点D， ∵，∴米，在中，， ∴，∴，∴该屋顶弧的弧长为（米），故答案为：． 例3（2025·河南南阳·二模）如图，正方形内接于，点E为上一点，连接，若，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】连接，则， 正方形内接于，，，， ，， ，，， 是等边三角形，，作于点I，则，， ，∴阴影＝， 故答案为： 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC，则∠ACB=∠AOB。 例1（2025·浙江·三模）如图，是的内切圆，分别切，，于点D，E，F，，P是上一点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接、， ∵与、分别相切于点D，E，∴，，∴， ∵，∴，∴，故选：D． 例2（2025·河南商丘·三模）如图，是的外接圆，，已知的半径的长为，则的长为（    ） A． B．6 C． D．3 【答案】C 【详解】解：连接，则， ∵，∴，∴是等边三角形，∴．故选：C． 例3（2025·吉林·模拟预测）如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点A放在半径为4的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点B，C，则图中的长为 ．（结果保留π） 【答案】 【详解】解：连接、， ∵，∴，∴的长为．故答案为：． 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。 如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造。 例1（2025·宁夏银川·模拟预测）如图，四边形内接于，是的直径，，点E在上，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵四边形内接于，，∴， ∵是的直径，∴，∴， 由圆周角定理得：，故答案为：． 例2（2025·山西·模拟预测）如图，在中，，以为直径的，交于E点，交于D点．若，则劣弧的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，∵是的直径，∴，即． ∵，∴，∴， ∵，∴的半径为1，∴劣弧的长．即劣弧的长为，故答案为：． 例3（2025·宁夏·模拟预测）如图，是的弦，半径于点C，为直径，，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： ，，．设的半径，． 在中，由勾股定理得：，解得：．． ，，．是直径，． 点分别是的中点，是的中位线．． 在中，．故答案为：． 模型5、遇90°的圆周角连直径 如图，已知圆周角∠BAC=90o，连接BC，则BC是⊙O的直径。 遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直径。 例2（2022·四川凉山·统考中考真题）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为（    ） A．米2 B．米2 C．米2 D．米2 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ，是的直径，米， 又，，（米）， 则扇形部件的面积为（米2），故选：C． 例3（24-25·陕西渭南·九年级校考期中）如图，正方形内接于，，则阴影部分的面积为 ．（结果保留）    【答案】 【详解】解：连接如图所示：    ∵四边形为正方形，∴，∴为圆的直径， ∵,∴，∴， 阴影部分的面积为：．故答案为：． 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 如图，已知直线AB连与圆O相切于点C，连接OC，则OC⊥AB。 A B C O 已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题。 例1（2025·浙江杭州·三模）如图，在中，是直径，是弦，．过点D作的切线，与的延长线相交于点E．若，则等于 ． 【答案】 【详解】解：连接，过点D作的切线，， 是直径，是弦，，，， ，，，故答案为：． 例2（2025·宁夏·模拟预测）如图,与相切于点A与弦相交于点C，若，则的长为 ． 【答案】4 【详解】解：连接，如图，∵与☉O相切于点A，∴，∴． ∵，∴．∵，∴． ∵，∴． ∵，∴，∴．设，则， ∵，∴，解得，即的长为4． 例3（2025·河南南阳·二模）如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点C，D，且，连接左右两个绳柄A，B，经过圆心O，分别交于点M，N，经测量，则图中阴影部分的周长为 ． 【答案】 【详解】解：连接、， ∵绳子分别与空竹相切于点C，D，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴弧的长度， ∴图中阴影部分的周长弧的长． 故答案为：． 例4（24-25·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，如图，、分别切于点、，点为优弧上一点，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，∵、分别切于点、， ∴，∴，∴，    ∵，∴，∴，故选：C． 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 证明直线AB是⊙O的切线. A B C O 遇到证明某一直线是圆的切线时： （1）有点连圆心：当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再证 明该直径与直线垂直。如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则直线AB是⊙O的切线． （2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线AB是⊙O的切线． 例1（2025·河南郑州·三模）如图，在中，． （1）实践与操作：点O在线段上，以O为圆心作,恰好过A，C两点，并与线段交于另一点D，小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示，请你用尺规作图：作出点O与点D,并补全. （2）推理与计算：在（1）的条件下，若 ①求证：直线是的切线；②若则半径的长度为 。 【答案】（1）见解析（2）①见解析② 【详解】解：（1）点，点和即为所求作； （2）①如图，连接，由图可知，，∴，， ∵，∴，∴，∴直线是的切线； ②假设的半径为，则， 由①得，由勾股定理得，， 即，解得，∴半径的长度为，故答案为：． 例2（2025·安徽池州·二模）如图，在中，点A是弧的中点，以、为邻边作平行四边形，延长交于点E，连接． (1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见详解(2) 【详解】（1）证明：如图：连接交于点， ∵A是的中点，∴，∴，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，∴， ∵是的半径，∴是的切线． （2）解：如图：连接， ∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∴， ∵，∴，∴，∵，∴， 在中，，设的半径为，则， 在中，，∴，解得：，∴的半径为． 例3（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点． (1)求证：是的切线． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）方法一：证明：过点作于点，，， 与相切于点，，， ，，，， 为的半径，为的半径，，是的切线； 方法二：证明：过点作于点，与相切于点，， ，是的平分线，， 为的半径，为的半径，，是的切线； 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 当遇到三角形内切圆，连接内心到三角形各顶点，或连接内心到各边切点（或做垂线）。 利用内心的性质可得一内心到三角形三个顶点的连线是各角的平分线，内心到三角形三边的距离相等。 例1（2020·青海·统考中考真题）如图，在中，，，，则的内切圆半径 ． 【答案】 【详解】解：在中，，，，根据勾股定理，得， 如下图，设的内切圆与三条边的切点分别为、、，连接、、， ∴，，，可得四边形为矩形， 根据切线长定理，得，∴矩形是正方形，∴， ∴，， ∵，∴，解得， 则的内切圆半径．故答案为：． 例2（2023年攀枝花中考数学真题）已知的周长为，其内切圆的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，设内切圆与相切于点，点，点，连接，，，，，， 切于，，，，同理：，， ， ，，故选A 例3（2023·广东广州·统考中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（    ） A．2r， B．0， C．2r， D．0， 【答案】D 【详解】解：如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴， ∴，， ∴，∴．故选：D． 1．（2025江苏中考一模）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，若∠ADC＝125°，则∠BAC的度数是（　　） A．25° B．35° C．45° D．55° 【答案】B 【解析】连接OC，如下图所示：∵∠ADC＝125°对应优弧，∴∠AOC＝360°﹣2×125°＝110°， 而△AOC为等腰三角形，∴∠BAC+∠OCA＝180°﹣110°＝70°， ∴∠BAC＝35°，故A、C、D错误，故选：B． 2．（24-25·辽宁九年级期末）如图，在半径为5的⊙O中，、是互相垂直的两条弦，垂足为，且，则的长为（ ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】解：作于，于，连接，， ∵于，，∴，， ∴，同理可得：， ∵弦、互相垂直，∴， ∵于，于，∴，∴四边形是矩形， ∵，∴四边形是正方形，∴，故选：C． 3．（24-25·哈尔滨市九年级期中）如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与相交于点，则的长为（ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】解：过C点作CH⊥AB于H点，如下图所示： ∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴△ABC、△CBH均为30°、60°、90°直角三角形，其三边之比为， Rt△ABC中，，Rt△BCH中，， 由垂径定理可知：，∴，故选：C． 4．（2023·四川巴中·统考中考真题）如图，是的外接圆，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，连接，∵，，∴，    ∵，∴．故选：D． 5．（24-25·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=100o，则∠α度数为（   ） A．160o B．120o C．100o D．80o 【答案】A 【详解】解：如图，在⊙O取点，连接 四边形为⊙O的内接四边形， ．故选A 6．（24-25·河北·九年级校考阶段练习）如图，已知的直径，则的长为（　　） A．5cm B．5cm C．5cm D．6cm 【答案】B 【详解】连接，由圆周角定理得，， ∵，∴，∴，∵，∴，故选：B． 7．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，连接，∵，∴， ∵是的直径，∴，∴，故选D．    8．（24-25·山东·九年级专题练习）如图，为的直径，C为上一点，过点C作的切线交的延长线于点D，连接，若，则的长度为（　　） A． B． C．8 D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接，∵为的切线，∴， ∵，∴，，∴， 由圆周角定理得：，∴，∴，故选：D． 10．（24-25·广东深圳·九年级校考周测）如图，，切于，两点，切于点，交，于，．若的半径为1，的周长等于，则线段的长是（    ）    A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，∵，切于，两点，切于点， ∴，， ∵的周长等于，∴，∴， ∵，∴，， ∴，∴， ∴为等边三角形，∴，故选：A．    10．（24-25·江苏沭阳初三月考）如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，则的度数是_____． 【答案】105°． 【解析】解：连接OD、OE， ∵的度数为35°，∴∠AOD=35°，∵CD=CO，∴∠ODC=∠AOD=35°， ∵OD=OE，∴∠ODC=∠E=35°，∴∠DOE=180°-∠ODC-∠E=180°-35°-35°=110°， ∴∠AOE=∠DOE-∠AOD=110°-35°=75°，∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-75°=105°， ∴的度数是105°．故答案为105°． 11．（2025·湖南二模）如图，在中，点C为弧AB的中点，OC交弦AB于D，如果，，那么OD的长为___． 【答案】3 【解析】连接OA，∵C为弧AB的中点，∴AB⊥OC，∵AB=8cm，∴ OA=5， 在Rt△AOD中，∵ 即 解得:OD=3. 12．（2023年浙江省衢州市中考数学真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于 cm．    【答案】10 【详解】由题意得：，， 如图，连接，过点作，交于点，交于点，则，    餐盘与边相切，点为切点，四边形是矩形， ，，，四边形是矩形，， ，，， 设餐盘的半径为，则，， 在中，由勾股定理得：， 即，解得：，餐盘的半径为，故答案为：10． 13．（24-25黑龙江九年级期末）⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为_______． 【答案】1cm或7cm． 【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1 ∵AB＝8cm，CD＝6cm，∴AE＝4cm，CF＝3cm，∵OA＝OC＝5cm，∴EO＝3cm，OF＝4cm，∴EF＝4−3＝1cm； ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，∵AB＝8cm，CD＝6cm，∴AE＝4cm，CF＝3cm， ∵OA＝OC＝5cm，∴EO＝3cm，OF＝4cm，∴EF＝OF＋OE＝7cm． ∴AB与CD之间的距离为1cm或7cm．故填1cm或7cm． 14．（24-25广东广州·九年级校考开学考试）如图，在中，弦的长为10，圆周角，则这个圆的直径为 ．    【答案】 【详解】连接，∵，∴， ∵直径，∴，∵，∴．故答案为：．    15．（24-25江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，和分别是半圆的直径和弦，且，点是上的点，交于点，垂足为点，且：：，若，则 ． 【答案】8 【详解】解：连接，设，．是直径，， ，，， 在中，，， ，，，故答案为：． 16．（24-25福建·九年级校考阶段练习）如图，的弦，点E为垂足，，，且则的半径为 ．    【答案】 【详解】解：过点O作于点M，于点N，连接， ∵，，，∴，∴， ∵，，∴四边形是矩形， ∵，∴，∴四边形是正方形，∴， 在中，，故答案为：．    17．（24-25秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图，的内切与，，分别相切于点，，，且，的周长为，则的长为 ．    【答案】 【详解】解：连接，∵与，，分别相切于点，，， ∴，∵，∴， ∴，∴．故答案为：．    18．（2024·湖北·中考真题）中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点．且． (1)求证：是的切线．(2)连接交于点，若，求弧的长． 【答案】(1)见解析(2)弧的长为． 【详解】（1）证明：连接， 在和中，，∴，∴， ∵为的半径，∴是的切线； （2）解：∵，∴，设的半径为， 在中，，即，解得， ∴，，，∴， ∵，∴，∴弧的长为． 19．（2023年四川省攀枝花市中考数学真题）如图，为的直径，如果圆上的点恰使，求证：直线与相切．    【答案】见详解 【详解】证明：如图，连接，，， 为的直径，，， ，，即，， 是的半径，直线与相切．    20．（24-25·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，是的外接圆，是的直径，．      (1)求证：是的切线；(2)若，垂足为交于点；求证：是等腰三角形． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）证明：连接，      ，，为圆的直径，，， 又，，， 又点在圆上，是的切线； （2）证明：，， ，，， 又，，是等腰三角形． 21．（24-25·北京海淀·九年级校考阶段练习）如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接．    (1)求证：为的切线；(2)若且，求的半径． 【答案】(1)见解析(2)3 【详解】（1）证明：如图，连接，    ，，，， ，，，即，， 是半径，为的切线； （2）解：设的半径，则，， 在中，由勾股定理得，，， 解得，或（舍去），的半径为3． 22．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）圆O中，弧弧，连接交弦于点C． (1)如图1，求证：；(2)如图2，点E在圆O上，连接，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，过A作，垂足为交于点，求的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：连接， ∵，，． （2）证明：连接，，，， ，，， ∵，． （3）解：过O作于于M，连接， 又， ，设，则， ， ，中，由勾股定理得， ，∴四边形是矩形，， 中，由勾股定理得， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $