2.1 第2课时 垂直-【初中学霸创新题】2025-2026学年七年级下册数学习题课件(北师大版·新教材)

该初中数学课件聚焦“相交线与平行线”中的垂直知识点，涵盖定义、画法、性质及点到直线的距离。从基础定义辨析题切入，通过垂线画法操作、垂线段最短的投壶实例，到距离计算，构建从概念到应用的学习支架。 其亮点是融入跨学科（物理光的反射）、传统文化（投壶游戏）及分层练习。以几何直观分析模型图，逻辑推理解决角度计算（如∠AOD=120°求∠BOC），培养数学眼光与思维。规范解析提升数学语言表达，助力学生深化理解，教师可高效实施分层教学。

2 第二章 相交线与平行线 1 　两条直线的位置关系 第2课时 　垂　直 3 目 录 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 4 1. 如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，下列条件不能说明AB⊥CD的是 （ ） A. ∠AOC=90° B. ∠AOC=∠BOC C. ∠AOC=∠BOD D. ∠AOC+∠BOD=180° 础 基 练 知识点1 垂直的定义 C 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 5 2. 【跨学科|物理】 如图 1 是光的反射规律演示图，图 2为模型图，AO是入射光线，OB是反射光线，法线PO⊥CD，∠AOP=∠BOP。若∠BOP=44°，则∠AOC的度数为 （ ） A. 43° B. 44° C. 45° D. 46° D 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 3. （周口项城市月考）如图，已知直线AB与CD相交于点O，EO⊥AB，FO⊥CD。若 OC 平分∠AOE，则∠EOF 的度数为________。 135° 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 4. （许昌期中）如图，点P是直线AB外一点，下列是同学们利用直角三角尺过点 P 画直线 AB 的垂线CD的示意图，其中正确的是 （ ） C 知识点2 垂线的画法 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 5. （郑州高新区期中节选）如图，所有小正方形的边长都为1，A，B，C都在格点上。过点A画直线BC 的垂线，并注明垂足为 G；过点 A 画直线 AB的垂线，交BC于点H。 G H 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 6. 【传统文化|投壶】（南阳期末）投壶是我国古代宴会的礼制，也是一种投掷游戏。如图，游戏时宾主依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜。若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点 P 处的壶内投箭矢，小明认为站在点 C处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 （ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线 与已知直线垂直 C 知识点3 垂线的性质 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 7. （郑州经开区期中）如图，AB⊥l，BC⊥l，点B为垂足，那么A，B，C三点在同一直线上，理由是____________________________________________________________。 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 8. 如图，AB⊥BC，BD⊥AC，垂足分别为点B，D，则点C到直线BD的距离为 （ ） A. 线段BC的长度 B. 线段BD的长度 C. 线段AD的长度 D. 线段CD的长度 D 知识点3 点到直线的距离 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 9. （商丘月考）如图，AB⊥l1，CB⊥l2，且 AB=12，AC=5，BC=13，则点C到直线AB的距离是_______。 5 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 10. 如图，OA⊥OC，OB⊥OD。若∠AOD=120°，则∠BOC的度数为 （ ） A. 20° B. 30° C. 45° D. 60° D 升 提 练 【解析】因为OA⊥OC，OB⊥OD， 所以∠AOC=∠BOD=90°。 因为∠AOD=120°， 所以∠COD=∠AOD-∠AOC=30°， 所以∠BOC=∠BOD-∠COD=60°。故选D。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 14 11. （易错题）如图，CD⊥AB，垂足为D，AC=8，BC=6，CD=4，点 E 是线段 AB 上一动点（包括端点），连接 CE，则 CE 的长为整数值的线段有 （ ） A. 3条 B. 5条 C. 7条 D. 8条 B 【解析】因为CD⊥AB，垂足为D，AC=8，BC=6，CD=4， 所以4≤CE≤8， 所以当点E由A向B运动时，所得CE的整数值线段长度分别为8，7，6，5，4，5，6，共7条。故选C。 【易错点】易因未结合图形漏掉长度相等的线段而出错。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 12. 如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，∠AOF=2∠EOF，∠COF=50°，则∠BOD 的度数为 （ ） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° B 【解析】因为∠COE是直角，∠COF=50°， 所以∠EOF=∠COE-∠COF=90°-50°=40°。 因为∠AOF=2∠EOF，所以∠AOF=80°， 所以∠AOC=∠AOF-∠COF=80°-50°=30°， 所以∠BOD=∠AOC=30°。故选B。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 【变式】 （南阳期末）如图，直线 AB，CD 相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，OF平分∠BOD。若∠AOC+∠DOF=39°，则∠EOF的度数为__________。 【解析】因为EO⊥AB，所以∠BOE=90°。 因为OF平分∠BOD， 所以∠DOF=∠BOF，∠BOD=2∠BOF， 所以∠AOC=∠BOD=2∠BOF。 因为∠AOC+∠DOF=39°，所以3∠BOF=39°， 所以∠BOF=13°， 所以∠EOF=∠BOE-∠BOF=77°。 77° 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 13. （周口期末）如图，在三角形 ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，AB=10，P 为直线 AB 上一动点 ，连接 PC，则线段PC长度的最小值是___________。 4.8 【解析】当PC⊥AB时，线段PC的长度最小。 因为∠ACB=90°，AC=8，BC=6，AB=10， 所以S△ABC=AC×BC=AB×PC，即×8×6=×10×PC， 所以PC=4.8， 所以线段PC长度的最小值是4.8。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 14. 已知∠A=40°，若∠B的两边与∠A的两边分别互相垂直，则∠B=___________。 140°或40° 【解析】如图1，连接AB。 因为BC⊥AC，BD⊥AD，所以∠C=∠D=90°。 由三角形的内角和，得(∠C+∠CAB+∠CBA)+(∠D+∠DAB+∠DBA)=180°+180°=360°， 所以∠CBD=∠CBA+∠DBA=360°-(∠C+∠D+∠CAB+∠DAB)=140°。 如图2，因为BE⊥AC，BF⊥AD， 所以∠DAC+∠EAD=∠EAD+∠FBE=90°， 所以∠EBF=∠DAC=40°。所以∠B为140°或40°。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 15. （郑州新郑市期中）如图，直线 AB，CD 相交于点O，∠DOE=∠BOD，OF平分∠AOE。 （1）判断OF与OD的位置关系，并说明理由； （2）若∠AOC∶∠AOD=1∶5，求∠EOF的度数。  解：（1）OF⊥OD。理由如下： 因为OF平分∠AOE，所以∠AOF=∠FOE。 因为∠DOE=∠BOD， 所以∠DOF=∠FOE+∠DOE=∠AOF+∠BOD =×180°=90°，所以OF⊥OD。 （2）因为∠AOC∶∠AOD=1∶5，所以∠AOC=×180°=30°， 所以∠DOE=∠BOD=∠AOC=30°， 所以∠EOF=∠DOF-∠DOE=90°-30°=60°。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 16. （南阳期末）如图，点O是直线CE上一点，以 O 为顶点作 AO⊥BO，且OA，OB位于直线CE两侧，OB平分∠COD。 （1）当∠AOC=70°时，求∠DOE的度数； 养 素 练 解：因为AO⊥BO，∠AOC=70°， 所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-70°=20°。 因为OB平分∠COD， 所以∠COD=2∠BOC=40°， 所以∠DOE=180°-∠COD=180°-40°=140°。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 21 （2）当∠AOC=α时，求∠DOE的度数；（用含α的式子表示） （3）请根据（1）（2）的计算结果 ，直接写出∠AOC和∠DOE的数量关系。  解：（2）因为AO⊥BO，∠AOC=α， 所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-α。 因为OB平分∠COD， 所以∠COD=2∠BOC=180°-2α， 所以∠DOE=180°-∠COD=180°-(180°-2α)=2α。 （3）∠DOE=2∠AOC。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 绿卡图书—走向成功的通行证 23 $